ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

Đề tài:

SVTH : Đỗ Thùy Linh
GVHD: TS Nguyễn Văn Hoa
Khóa: 2004 – 2008

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài – giới hạn đề tài
Chúng ta đã quan niệm rằng trạng thái của một vi hạt được xác định
nếu biết ba tọa độ của nó hay ba hình chiếu của xung lượng. Nhưng một loạt
các sự kiện thực nghiệm đã chứng tỏ rằng các vi hạt như electron, proton,
nơtron… còn có một bậc tự do nội tại đặc thù. Bậc tự do này gắn liền với
một m
ômen quay riêng của hạt, không liên quan đến chuyển động quay của
nó. Mômen riêng này được gọi là spin ký hiệu là S. Sự tồn tại của spin ở
electron được xác nhận trước khi cơ học lượng tử ra đời. Người ta đã tìm
cách minh họa spin như một đại lượng đặc trưng cho chuyển động tự quay
của hạt quanh trục riêng của nó. Nhưng giải thích như thế mâu thuẫn với
những luận điểm cơ bản của t
huyết tương đối. Như sẽ thấy sau này, bậc tự
do nội tại và spin liên quan đến nó có một đặc tính lượng tử đặc thù. Khi
chuyển sang cơ học cổ điển
0 spin sẽ bằng không. Do đó spin không có
sự tương tự cổ điển.
Các bài tập phần spin và hệ hạt đồng nhất là khó, đòi hỏi việc phân
loại phải đầy đủ, rõ ràng. Em chọn đề tài này nhằm giúp sinh viên ngành vật
lý Đại học Sư Phạm có một hệ thống bài tập rõ ràng hơn, qua đó nắm được
bản chất của phần spin và hệ hạt đồng nhất.
Hệ thống bài tập áp dụng cho chương trình đại học và cao học.
2. Mục tiêu đề tài

Nhằm xây dựng và phân loại bài tập cho phần spin và hệ hạt đồng
nhất trong chương trình học phần cơ học lượng tử.
3. Phương pháp nghiên cứu
Có 3 phương pháp chính được sử dụng khi nghiên cứu đề tài này :

[1]

Spin là momen xung lượng riêng của hạt, độ lớn của spin được đặc
trưng bởi số lượng tử spin S có thể nhận giá trị nguyên dương hay bán
nguyên. Cũng giống như các mômen cơ khác, sự định hướng của mômen cơ
spin bị lượng tử hóa, nghĩa là hình chiếu spin lên một trục tùy ý nào đó trong
không gian có thể có hai giá trị
2


.
Các trạng thái của spin là các ket véctơ
z
S


( trạng thái spin
lên) và
z
S (trạng thái spin xuống). Hai trạng thái này lập thành một
hệ trực chuẩn:

1
0
   
   

Và tính đủ của không gian:
,
1

1 1ab



.
Hình chiếu spin lên trục z có giá trị
2


nên ta biểu diễn thông qua hai
trạng thái của spin như sau:

ˆ
=
2
z
S



và
ˆ
=-
2
z
S 
Ma trận của toán tử

SS SS iS







Đặt
11 1
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ

22 2
x
xyy zz
SS S


  
Trong đó
ˆˆˆ
,,
x
yz


gọi là các ma trận Pauli. Ma trận Pauli là ma trận vuông
cấp hai và
ˆ


 

 

 





Các ma trận Pauli tuân theo hệ thức phản giao hoán:
ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ
0
xy yx yz zy zx xz


.
Vì trị riêng của các toán tử Pauli
ˆˆˆ
,,
x
yz


tương ứng bằng 1 , suy ra

222
10
ˆˆˆ


3
xyz
I


Vy toỏn t bỡnh phng momen spin:

22 2 2
2 222
10

33

01
44 4
xyz
SSSS I







Tr riờng ca toỏn t
2

S
l :

1 0 =1 0 1 1
01





vaứ
vaứ

Vy
10
,
01



l cỏc spin riờng ca

z
S ng vi cỏc tr riờng

2




ng vi hai tr riờng
2


.
Vy hai spinn riờng ca toỏn t

x
S l
1
1
1
2



v
1
1
1
2







ng vi hai tr riờng
2


.

Vậy hai spinnơ riêng của toán tử
ˆ
y
S là
1
1
2
i



và
1
1
2
i




.
Ta đang xét trong

1
1
2




, trong
ˆ
x
S biểu biễn các spinnơ của
ˆ
x
S phải có
dạng
1
0



và
0
1



tương ứng với spin hướng lên hay hướng xuống dưới theo
phương trục x. Mối liên hệ giữa các spinnơ riêng của toán tử
ˆ
x










Ma trận U có dạng

11
22
11
22
U









Các toán tử của ma trận chuyển biểu diễn từ cơ sở này sang cơ sở
khác không làm thay đổi chuẩn của các véctơ trạng thái và bảo toàn xác suất
lượng tử.
1.2. Lý thuyết hệ hạt đồng nhất
[2]

nhau.

12
ˆ
,,
Pab ba
Theo nguyên lí không phân biệt được các hạt đồng nhất, khi hoán vị hai hạt
bất kỳ ta được :

12
ˆ
P


 .
Khi hoán vị lần nữa :

22
12
ˆ
P

 

2
1 = 1

 
.
Trong cơ sở

11 1 1
22 2 2
01 01 0

10 10 0






   
  
 
   
  
  
   

Để phương trình có nghiệm không tầm thường thì định thức các hệ số
bằng không:

2
1
0 1 = 1
1





xứng với phép hoán vị hai hạt.

12
12
ˆ
ˆ
ss
aa
P
P






Tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng của các trạng thái phụ thuộc
vào các loại hạt. Các hạt có spin nguyên
, 0,1,2
ss
Sm m

 gọi là các hạt
bozon, tuân theo thống kê Bose-Einstein. Các hạt có spin bán nguyên
13
, ,
22
s
m  gọi là các hạt fermion, tuân theo thống kê Fermi- Dirac.
1.2.c. Nguyên lý loại trừ Pauli

(1, 2) (2,1)
s
C


.
Khi
12
'CCC  ta có hàm sóng


'(1,2) (2,1)
a
C


.
Sử dụng điều kiện chuẩn hóa ta tìm được
11
, '
22
CC.
Tổng quát cho trường hợp hệ có nhiều hơn hai hạt
2N  .

1,
ˆ
(1, 2, , ) (1,2, , )
N
sij

.
Bỏ qua tương tác giữa các hạt ta có Hamiltonian của hệ bằng tổng các
Hamiltonian của từng hạt riêng rẽ.

0
11
ˆˆ
()
2
NN
i
i
ii
HH Vr
m











.
Phương trình Schrodinger của một hạt viết dưới dạng:

ˆ


1
N
ni
i
E




.

Hàm sóng đối xứng:


12
1,
ˆ
(1) (2) ( )
N
skjnn nN
kkj
CP N

 



,
và hàm sóng phản xứng:

ni

. Gỉa sử có
1
k hạt ở trạng thái
1
n ,
2
k hạt ở trạng thái
2
n …với
12
kk N. Hàm sóng của hệ viết lại như sau:


11 1121 21 22
ˆ
(1) (2) ( ) ( 1) ( 2) ( ) ( )
snnnnn nnN
CP k k k k N

     



Trong đó hệ số chuẩn hóa
!
!
j
j



Nếu ta hoán vị hai hạt bất kỳ thì tương ứng với việc đổi chỗ hai cột
trong định thức Slater.
Trong định thức Slater, các bộ số lượng tử phải khác nhau,
ij
nn nếu
ij . Nếu có 2 hàng giống nhau thì định thức bằng 0 hay 0
a

 .
Nguyên lí Pauli được phát biểu như sau: trong hệ nhiều fermion đồng
nhất không thể có nhiều hơn một hạt trên một trạng thái.

Hệ các boson không bị chi phối bởi nguyên lí loại trừ Pauli, trạng thái
cơ bản có thể chứa rất nhiều hạt gọi là sự ngưng tụ Bose.
1.2.d. Tương tác trao đổi
Xét hệ hạt đồng nhất, hạt thứ nhất xác định bởi tọa độ
1
r

và spin
1

,
hạt thứ hai được xác định bởi tọa độ
22
, spin r





đối xứng được
chấp nhận.
Việc hoán vị hai hạt đồng nhất tương đương với phép nghịch đảo hệ
tọa độ. Do phép nghịch đảo hàm sóng
12
(, )rr



phải nhân với

1
l

trong đó l
là mômen quỹ đạo của chuyển động tương đối của hai hạt. Vì hàm sóng của
hệ là đối xứng nên:

(1) '
l
s
ss



.
Vậy hệ hai hạt đồng nhất có spin bằng không có mômen quỹ đạo chẵn.
Xét hệ hạt fermion (electron) có spin

electron phải song song vì các spin cộng lại được theo quy tắc cộng véctơ,
khi đó
0, 1
z
S .
Như vậy giá trị năng lượng khả dĩ của hệ electron phụ thuộc vào spin
toàn phần của hệ. Ta tìm dạng tổng quát của hàm spinnơ
12
(, )
zz
ss

toàn phần
cho các trạng thái với các S và
z
S đã cho. Các hàm này thỏa mãn phương
trình:

22
ˆ
(1)
ˆ
zs
SSS
Sm






   .
Trong đó
1234
,,,CCCC là các hệ số được xác định bằng điều kiện chuẩn hóa.
Ta có :
1
111
22
(1) (2) S=1, S 1
z
 


1
01111
22 22
1
(1) (2) (1) (2) S=1, S 0
2
z



 



1
11 1
22

2222 222
1 2 1 2 12 12 1 2
2
222
12 1 2
1
ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆˆ
() 2() ()
2
13
ˆˆ ˆˆˆ
() (1)
222
ss s
S SS SS SS SS SSS
SS SSS SS
 
    

  



Ta coù:

Đối với hàm spin đối xứng có S = 1:

2
11
12

1
(, ) () () () ()
2
1
(, ) () () () ()
2
anmmn
snmmn
rr r r r r
rr r r r r





Vậy hàm sóng toàn phần của hệ hai electron:

1
12 12 1 1 2 1 2 1 1
22
1
(,) (,) () () () () (1) (2)
2
aa nmmn
rr rr r r r r
 
  

1
12 12 0 1 2 1 2 1 1 1 1

aa nmmn
as nmmn
rr rr r r r r
rr rr r r r r
 
 



  


   



 Tính không phân biệt được của hệ hạt đồng nhất dẫn tới sự tồn tại của
tương tác trao đổi giữa các hạt. Ta xét hệ gồm hai hạt có spin
1
2
, giữa chúng
có một tương tác không liên quan đến spin của các hạt. Giả sử tương tác này
đủ nhỏ để có thể xem là nhiễu loạn đối với hệ hạt không tương tác. Ký hiệu
nhiễu loạn đó là toán tử
12
ˆ
()


mô tả trạng thái không nhiễu loạn, nghĩa là trạng thái các
hạt không tương tác. Hàm sóng của hệ gồm hai thành phần nhưng toán tử
12
ˆ
()
Vr không tác động lên hàm spinnơ, do đó ta đưa hàm spin ra khỏi dấu
tích phân.
Ta viết lại dạng ma trận của hàm spin, khi S = 0 hàm spinnơ bằng 1,
khi S = 1 thì hàm spinnơ có dạng:

1
0
1
( ) , :


 








số lượng tử của hình chiếu spin toàn phần với
2
1
i










Với
(1, 2)

là hàm tọa độ . 

1
(1,2) (1) (2) (1) (2)
2
1
(1,2) (1) (2) (1) (2)
2
amnnm
smnnm






các spin không được toán tử
12
ˆ
()
Vr xét đến. Phần năng lượng A gọi là tương
tác trao đổi. Gọi như vậy là do trong các hàm đứng trước toán tử
ˆ
V dưới dấu
tích phân và trong các hàm đứng sau toán tử
ˆ
V các hạt trao đổi chỗ cho
nhau, như vậy mỗi hạt như thể ở trong cả hai trạng thái. Năng lượng trao đổi
thu được cả trong trường hợp toán tử
ˆ
V có xét đến tương tác giữa các
mômen từ spin, tức là toán tử
ˆ
V
có tác động lên các phần spinnơ của hàm
sóng.
1.3. Kết luận
Trên đây là một số lí thuyết cơ bản về phần spin và hệ hạt đồng nhất.
Để hiểu và vận dụng được lí thuyết trên ta cần có một hệ thống bài tập với
nhiều mức độ khác nhau, từ dễ đến khó.
Chúng ta xây dựng hệ thống bài tập nhằm đáp ứng yêu cầu trên.

Chương 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP SPIN VÀ HỆ HẠT ĐỒNG
NHẤT
Bài 1.
Tính bình phương của hình chiếu spin của electron trên một phương







2
2
22
2
22xx yy zz xx yy zz
xx yy zz
xxyy xxzz y yxx yyzz zzxx zzyy
xx yy zz
nnnnnn
nnn
nn nn nn nn nn nn
nnn

Vì



x y xy yx
S,S SS SS 0.
Ta có:
S

ˆ
ˆ








S.n S S S




2
2
22
22
22244
xx yy zz
xyz
nnn
nnnNhận xét

  




ˆ
ˆ
ˆ

Hãy chứng minh :









2
ˆˆ ˆ ˆˆ
, ; ,
2
ij ijk k ij ij
SS i S SS .
Lời giải
Chứng minh




  



22
ii
44
i.
2

Vậy
 

 

xy z yx
ˆˆ ˆ ˆˆ
S,S iS S,S

 
 
 

zy x yz
ˆˆ ˆ ˆˆ
S,S iS S,S

 
 
 

được định nghĩa như sau:
Với
ijk
1 nếu i j k và p là số chẵn
1 nếu i j k và p là số lẻ
0 nếu có từ hai chỉ số trở lên trùng nhau




 




Chứng minh:




2
ˆˆ
,
2
ij ij
SS

Ta có



Tương tự:



2
yy zz
ˆˆ ˆˆ
S,S S,S
2



x y xy yx
ˆˆˆˆˆ
S,S SS SS


        

22
ii
44

    




ij ij
SS
Với







ij
1neáuij
0neáuij.

Nhận xét
Bài toán yêu cầu chứng minh các hệ thức giao hoán và phản giao hoán
của các toán tử
ˆˆˆ
,,
xyz
SSS, ta có thể sử dụng kết quả trên để áp dụng cho
những bài tập khác. Đây là bài tập cơ bản giúp sinh viên vận dụng những
kiến thức đã học về lí thuyết spin.
Bài 3:
Hãy biểu diễn véctơ
ˆ
.;Sn



β
y
α

x
Lời giải
Ta phân tích véctơ
ˆ
.;Sn



thành dạng tổ hợp tuyến tính của hai véctơ
 và  như sau :
ˆ




S.n,+ =a +b
. Thay vào phương trình trị riêng và
sử dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng để xác định hai hằng số a và b.
Đặt:
ˆ



S.n,+ =a +b






ˆˆ
xyz
xyz
  
  









S.n = S .nsin cos +S .nsin sin +S .ncos
S.n S.n;+ =(S .nsin cos +S .nsin sin +S .ncos )(a + + b )


sin cos ( ) sin cos ( )
2
x
ab ab
 
       





cos ( ) cos ( )
2
cos
2
z
ab ab
ab


       



S

Thay kết quả trên vào vế trái của phương trình trị riêng ta được:
 
.
ˆˆ
;
sin cos sin sin cos
222
Sn Sn
i
ab ab ab
  


   


 

Đồng nhất thức hai vế ta được:




2
2
2
sin cos sin sin cos sin 1 cos

sin cos sin sin cos
sin 1 cos
1cos

1cos
i
i
bi aabea
i
ai bb
aeb
b

  




Mặt khác từ điều kiện chuẩn hóa :
22
1ab


Nên ta thu được hệ gồm hai phương trình :
2
2
2
22
1
1cos
1cos
i
b
e
a
ab








e
e
b
ee













 





 
  






  
.
Như vậy một trạng thái bất kỳ có thể được biểu diễn thông qua hai véctơ
trực chuẩn
,
zz
SS      .
ab



Chỉ cần sử dụng phương trình trị riêng và điều kiện chuẩn hóa ta có thể xác
định được hai hằng số a,b.
Bài tập này giúp sinh viên rèn luyện kỹ năng biểu diễn một trạng thái bất kỳ
qua hai trạng thái trực chuẩn.
Kiến thức

Đối với bài toán này ta cần nhớ phương trình trị riêng và điều kiện
chuẩn hóa hàm sóng
1
1
n
n
C



. Và cũng chú ý rằng spin
ˆ
S

  

Đồng nhất hai vế ta thu được hệ phương trình hai ẩn a và b, giải hệ tìm a, b
sau đó thay vào phương trình
ˆ
.;
Sn a b




.
Bài 4.
Giả sử hệ nằm tại trạng thái mơ tả bởi véctơ riêng của tốn tử S.n ứng
với trị riêng
1
2
, trong đó n

được xác định bởi các giá trị 0


, 0

 .
a.
Giả sử đo đại lượng
ˆ
x
S . Xác suất nhận được giá trị

11
22
1PP

. Ta có giá trị trung bình của
x
S được tính :
11
22
11
ˆ
22
x
SPP

 .
Ta cũng tính được giá trị trung bình của
ˆ
x
S theo cơng thức
ˆˆ
xx
SS


 . Từ hai phương trình trên ta tính được
1
2
P và
1