SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO TOÁN HỌC
CHO HỌC SINH GIỎI Ở TRƯỜNG THPT QUA
CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC PHẲNG

1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, ở Việt Nam cũng như trên thế giới, giáo dục được coi là quốc sách
hàng đầu, là động lực của sự phát triển kinh tế-xã hội. Với sứ mệnh làm gia tăng
giá trị con người, mục tiêu cơ bản của giáo dục phải đào tạo ra những con người
phát triển toàn diện về mọi mặt, không những có kiến thức mà còn giàu năng lực trí
tuệ. Trong hoàn cảnh đó, việc rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo (TDST) cho
học sinh ở các nhà trường phổ thông đối với những người làm công tác giáo dục có
một vị trí hết sức quan trọng.
Thực hiện Nghị quyết Trung ương II khoá VIII của Đảng, chúng ta cơ bản đã
xoá bỏ loại hình trường chuyên, lớp chọn ở bậc học THPT nhằm hạn chế những
mặt trái của việc học thi, học lệch. Tuy nhiên không vì thế mà công tác bồi dưỡng
HS giỏi bị xem nhẹ, ngược lại nó càng phải được quan tâm và thực hiện đúng mức,
bởi HS giỏi là thế hệ nhân tài tương lai của đất nước. Vậy làm thế nào để bồi
dưỡng, phát triển năng lực sáng tạo cho những HS khá giỏi, đáp ứng được mục tiêu
của giáo dục phổ thông? Câu hỏi đó luôn mang tính cấp thiết và không hề đơn giản.

- Xây dựng hệ thống bài tập về bđt hình học phẳng, hướng dẫn học sinh cách giải
và khai thác bài toán, qua đó củng cố, khắc sâu kiến thức, bồi dưỡng phát triển
TDST cho học sinh trường THPT.
- Đưa ra một số biện pháp sư phạm nhằm thực hiện mục đích nghiên cứu.
- Thực nghiệm sư phạm qua các biện pháp sư phạm trong dạy học chủ đề bđt
hình học phẳng nhằm kiểm tra tính khả thi, đánh giá hiệu quả của đề tài.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu vận dụng lý luận về vấn đề TDST, cùng với việc xây dựng hệ thống
bài tập bđt hình học phẳng sử dụng trong quá trình dạy học chủ đề này thì có thể
góp phần phát triển TDST toán học cho HS giỏi ở trường THPT.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm
6. Phạm vi nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu những biện pháp phát triển TDST toán học cho HS khá, giỏi ở
trường THPT trên cơ sở dạy học nội dung giải bài toán bất đẳng thức hình học
phẳng.
Chương I: Phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở trường THPT
1.1. Dạy học giải bài tập ở nhà trường phổ thông
1.1.1. Vai trò của việc giải bài tập toán
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong quá trình học tập môn toán ở nhà
trường phổ thông. Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học,
thông qua việc giải bài tập, HS phải thực hiện nhiều hoạt động như: nhận dạng, thể
hiện các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc - phương pháp, những hoạt động
phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong
toán học. Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: mục đích, nội dung và
phương pháp của quá trình dạy học. Cụ thể:
a/ Về mặt mục đích dạy học, bài tập toán thể hiện những chức năng khác nhau
hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn toán như:
- Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng toán học ở

bài.
2. Xây dựng chương trình giải:
Sau khi đã tìm hiểu kỹ đề bài, tiến hành tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những
suy nghĩ tìm đoán: biến đổi cái đã cho và cái phải tìm, liên hệ chúng với tri thức đã
học, liên hệ bài toán cần giải với những bài toán đã biết tương tự, một trường hợp
riêng, một bài toán tổng quát hơn hay bài toán nào đó có liên quan. ở bước này
cũng cần chú ý phân tích bài toán thành các bài toán thành phần và giải quyết các
bài toán đó theo trình tự một cách hợp lý.
Tùy vào đặc điểm từng bài toán mà sử dụng những phương pháp đặc thù với
dạng toán đó như: phương pháp tổng hợp, biến đổi tương đương, phản chứng, quy
nạp toán học
3. Thực hiện chương trình giải: Từ cách giải vừa được phát hiện, sắp xếp các việc
phải làm thành một chương trình giải và thực hiện chương trình đó.
4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:
- Kiểm tra lời giải: Xem kỹ lại từng bước trong bài giải, cách suy luận, đặc biệt
hóa kết quả tìm được, đối chiếu với kết quả cách giải khác để kiểm tra tính chuẩn
xác của lời giải.
- Nghiên cứu sâu lời giải:
+ Tìm thêm cách giải khác.
+ Xét khả năng ứng dụng của bài toán.
+ Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, bài toán đảo, bài toán đặc biệt hóa
hay bài toán tổng quát hóa.
+ Xây dựng phương pháp giải chung cho các bài toán cùng dạng.
Sau đây là một ví dụ minh họa.
BT: Cho điểm M trong

ABC nhọn và có diện tích S.
CMR: MA.BC + MB.AC + MC.AB

4S (*)

SBMCdtBCMA
BC
AH
BC
ME
BC
MA






Với hai bđt tương tự, con đường giải bài toán đã rõ ràng.
c/ Thực hiện chương trình giải:
Kẻ AH
BC
ME
BC


,
(H, E thuộc BC ).

MA + ME

AE

AMB
dt
S



MC.AB
)
(
2
2
AMC
dt
S



Chú ý rằng M nằm trong

ABC nhọn nên ta có:
S = dt(AMB) + dt(AMC ) + dt(BMC )


MA.BC + MB.AC + MC.AB

6S -
2(dt(BMC) + dt(AMB) + dt(AMC ))
= 4S (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi M là trực tâm của



MA.BC + MB.AC + MC.AB
Hay là : 4S

MA.BC + MB.AC + MC.AB (đpcm).
+ Sử dụng các thao tác tư duy:
1/ Xét bài toán tương tự trong tứ giác, chẳng hạn:
BT1: Cho điểm M trong tứ giác ABCD.
CMR: MA.AB + MB.BC + MC.CD + MD.DA

2dt(ABCD)
Có thể mở rộng sang cho trường hợp đa giác.
2/ Đặc biệt hóa bài toán
Cho M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC, sử dụng công thức diện
tích: S = pr, ta có kết quả mới :
R( AB + AC + BC )

4pr


R

2r.
Vậy ta suy ra bài toán :
BT2: Cho

ABC, gọi R, r thứ tự là bán kính các đường tròn ngoại tiếp và nội
tiếp tam giác. CMR: R

4
BCACAB
S
. Và ta có:
BT4: Cho điểm M trong

ABC nhọn, gọi h là độ dài đường cao nhỏ nhất của tam
giác. CMR: MA + MB + MC

2h.
4/ Nghiên cứu bài toán khi thay đổi giả thiết như: xét tam giác vuông, tam giác tù,
hoặc M thuộc mặt phẳng tam giác, khi đó kết quả bài toán thế nào?

1.2. Phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở trường THPT
1.2.1. Những biểu hiện của học sinh giỏi về toán
Qua thực tiễn một số năm giảng dạy toán ở nhà trường phổ thông, tôi nhận thấy
HS giỏi về toán thường có những biểu hiện rõ rệt các mặt sau:
- Có khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức nhanh
Ví dụ trong tình huống sử dụng định lý Pitago để giải bài toán:
Cho

ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Biết :BH = 2, CH = 3, tính các độ
dài: AH, AB, AC ?
Những HS giỏi sẽ nhanh chóng biết áp dụng ĐL Pitago trong các tam giác:

ABC
ACH
ABH



22
(2)
Và :
2 2 2 2 2
a b c bc S a S
      (3)
Các bđt (1), (2)&(3) là những bđt đặc trưng của tam giác vuông.
- Biểu hiện ở cách ghi nhớ kiến thức toán học cô đọng, nhanh chóng, chính xác
và bền vững. Điều này giúp HS giỏi về toán nhớ được nhiều kiến thức mà không
tốn quá nhiều sức lực trí tuệ khi giải toán.
Các biểu hiện của HS trên đây, theo chúng tôi là những biểu hiện cụ thể về
những mặt khác nhau của một cấu trúc năng lực hoàn chỉnh, một tư chất của toán
học trí tuệ, người ta gọi đó là năng khiếu toán học.
1.2.2. Năng khiếu toán học
Năng khiếu, theo định nghĩa của từ điển tiếng Việt là năng lực trội, năng lực
đặc biệt của con người xuất hiện từ khi còn nhỏ. Như vậy, năng khiếu toán học có
thể coi như một tổ hợp những năng lực toán học, mà ở lứa tuổi HS thể hiện rõ nhất
ở năng lực học toán. Nhà tâm lý học V.A.Kơrutecxki cho rằng: “Năng lực học tập
toán học là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trí
tuệ), đáp ứng yêu cầu hoạt động học toán và giúp cho việc nắm giáo trình toán một
cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toán
học”


13,51 tr . Khi nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học ở HS phổ thông,
V.A.Kơrutecxki đã phân tích quá trình giải toán của các em HS đó ở những trình
độ phát triển năng lực khác nhau, ông nhận thấy những đặc điểm hoạt động trí tuệ
của HS có năng lực toán học như sau:
- Khả năng tri giác có tính chất hình thức hóa tài liệu toán học, gắn liền với sự
thâu tóm nhanh chóng các cấu trúc hình thức của chúng trong một bài toán cụ thể

Ngày nay, khi khoa học và công nghệ có những bước phát triển mạnh mẽ, trở
thành lực lượng sản xuất trực tiếp trong nền kinh tế tri thức thì mục tiêu giáo dục
nói chung và nhiệm vụ phát triển TDST cho thế hệ trẻ nói riêng có vai trò đặc biệt
quan trọng. Sứ mệnh của nhà trường hiện đại là phát triển tối ưu nhân cách của
HS, trong đó năng lực sáng tạo cần được bồi dưỡng để thúc đẩy mọi tài năng.
Môn toán với vị trí của nó trong nhà trường phổ thông, theo tác giả Hoàng
Chúng, có khả năng to lớn giúp HS phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn
luyện tư duy chính xác, hợp lôgic, phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong lập
luận, trong học tập và giải quyết các vấn đề: biết quan sát, thí nghiệm, mò mẫm, dự
đoán, dùng tương tự, quy nạp, chứng minh…và qua đó, có tác dụng lớn rèn luyện
cho học sinh trí thông minh sáng tạo. Phát triển TDST toán học nằm trong việc phát
triển năng lực trí tuệ chung, một nội dung quan trọng của mục đích dạy học môn
toán. Mục đích đó cần được thực hiện có ý thức, có hệ thống, có kế hoạch chứ
không phải tự phát. Về phía người GV, trong hoạt động dạy học toán cần vạch ra
những biện pháp cụ thể và thực hiện đầy đủ một số mặt sau đây:
- Rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác
- Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng
- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản, các thao tác tư duy như: phân tích, tổng
hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, trừu tượng hóa
- Hình thành, rèn luyện những phẩm chất trí tuệ như: tính linh hoạt, tính độc
lập, tính sáng tạo trong tư duy
Bên cạnh đó người GV phải áp dụng những phương pháp dạy học tích cực,
khoa học và hợp lý, mang lại cho HS của mình sự say mê môn toán, tìm thấy trong
toán niềm vui lớn khi được học tập, qua đó giáo dục các em những phẩm chất đạo
đức tốt đẹp khác.
Một điều quan trọng nữa, có thể nói trong dạy học sáng tạo (thực ra cả hoạt
động dạy học nói chung) vai trò của người thầy là hết sức quan trọng. Để trở thành
một GV dạy giỏi, ngoài lòng tâm huyết, ngoài sự nỗ lực học tập không ngừng thì
người thầy giáo cần có và cần biết dạy cho học trò cách tư duy sáng tạo. Bởi vì, nói
như GS Nguyễn Cảnh Toàn trong một cuốn sách về dạy cách học: Không ai có thể

rằng tính mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật như sau:
- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng
linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá,
cụ thể hoá và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn tương tự; dễ dàng
chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác; điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ
nếu gặp trở ngại.
- Suy nghĩ không dập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kinh
nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào trong hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong đó
có những yếu tố đã thay đổi; có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những
kinh nghiệm, những phương pháp, những suy nghĩ đã có từ trước.
- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của
đối tượng quen biết.
Xét một ví dụ:
Cho

ABC có AB < AC. Điểm M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia
MA lấy điểm D tuỳ ý. CMR: DC < BD.
Không theo sự suy nghĩ thông thường là xét tam giác BCD rồi đánh giá các góc
,
CBD BCD
 
học sinh có thể nhìn nhận vấn đề một cách mềm dẻo theo hướng
khác như sau:
Do AB < AC
AMB AMC
   
.




AB
CF
BE
 .
Xét ba trường hợp có thể xảy ra:
+ Nếu AB = AC hiển nhiên khi đó BE = CF
+ AB < AC 1
AC
AB
1
AC
AB
CF
BE


BE < CF.
+ AB > AC chứng minh tương tự cũng có được BE > CF.
Có thể giải BT cho HS lớp 7 như sau: Nếu AB = AC ta có ngay đpcm.
Giả sử AB < AC , trên AC lấy điểm D sao cho : AB = AD

 
ABD cân ở A.
Kẻ DK

AB ( K

AB )

BE

Dựng bình hành BMIN, theo tính chất đường phân giác trong tam giác:

BN BC BN BC
AN AC AB AC BC
  

.Tương tự:
BC
AC
BC
AC
CM

 , do AB < AC

MIBNCM
AB
AC
BN
CM
AB
BN
AC
CM
BCAC
BC
BCAB
BC









ICN
NIC




Khi đó trong

NIC

CN > IN = BM (đpcm)
Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại, chúng quan hệ mật
thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí
tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm được
nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và
nhờ đề xuất nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được những phương án lạ,
đặc sắc (tính độc đáo). Các yếu tố cơ bản này lại có quan hệ khăng khít với các yếu
tố khác như: tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề…Tất cả các yếu
tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong
các hoạ
Hoạt động giải toán là một dạng hoạt động chủ yếu giúp rèn luyện TDST toán
học cho HS, mỗi dạng bài tập đều có tác dụng nhất định đối với từng thành phần cơ
bản của TDST. Có thể biểu diễn sơ đồ tác động đó như sau:


ABC. CMR: MB + MC < AB + AC
Để giải bài toán này, trước hết cần tìm mối quan hệ giữa các đoạn thẳng MB,
MC với AB, AC . Kéo dài BM cắt AC ở điểm I như hình vẽ.
TDST
Sử dụng bđt tam giác trong các
ABI
MIC


,

Ta có: MC < MI + IC


MB + MC < MB + MI + IC


MB + MC < IB + IC
Trong

ABI : BI < AB + AI


MB + MC < AB + AI + IC

MB + MC < AB + AC (đpcm)
Đây là một bài toán cơ bản trong SGK Toán7, chỉ cần sử dụng hợp lý bđt tam
giác, sẽ có lời giải ngắn gọn. Trong

MBC thì có : BC < MB + MC

CBM
AMI
ABM

















,

Và bài toán sau đây đã được giải:
BT1: Cho

ABC có BC là cạnh lớn nhất, điểm M nằm trong tam giác. CMR:
MA < MB + MC
Với hướng giải tương tự ta cũng có:
BT2: Cho điểm M trong






0
90,//:
)
(

Tương tự: HB < BE

HA + HB + HC < AB + AC .
Như thế chúng ta đã chứng minh được:
BT4: Cho

ABC nhọn với BC là cạnh là lớn nhất, gọi điểm H là trực tâm tam
giác. CMR: HA + HB + HC < AB + AC
Bài toán này cho thấy dường như sự đánh giá trong bài 3 chưa tốt, vậy tổng
quát của nó như thế nào ? Kết quả sau đây là câu trả lời.
BT5: Cho điểm M trong

ABC, giả sử AB
BC
AC



CMR: MA + MB + MC < AC + BC
Lời giải: Từ giả thiết bài toán: AB
BC




Tương tự trong

MPQ:
MQ

PQ (2) . Mặt khác MP//CF, MF//PC

)
3
(
)
(
CF
MP
g
c
g
CPM
MFC









- Rèn luyện khả năng chọn lựa phương pháp và công cụ giải
- Rèn luyện khả năng kiểm tra bài giải
- Rèn luyện khả năng tìm các bài toán, các kiến thức liên quan
Xét một ví dụ: Trong

ABC, gọi r, R thứ tự là bán kính các đường tròn nội
tiếp và ngoại tiếp tam giác. CMR: R

2r
Có thể đi theo những hướng giải quyết như sau:
Cách 1: Xét hai trường hợp
+

ABC không có góc tù.
Kẻ AH
BC
OK
BC


,
(H, K

BC )
Với O là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Khi đó : OA + OK

AH

)(2)(2.


2r (đpcm).
Đẳng thức xảy ra khi O trùng với trực tâm

ABC



ABC đều.
+ Nếu

ABC tù, chứng minh tương tự với chú ý điểm O nằm ngoài

ABC sẽ
có : R > 2r. Đẳng thức không xảy ra trong trường hợp này.
Cách 2: Sử dụng các công thức về diện tích (ký hiệu a, b, c thứ tự là độ dài ba
cạnh BC, AC, AB của tam giác )
S = pr = abc/4R = ))()(( cpbpapp 
Ta đã biết : 8(p-a)(p-b)(p-c)

abc

2
8
4 2
2 2
S
RS S pR
p
pr pR r R


ID = CD.
Kẻ IH

OD (H thuộc OD ).
Sử dụng ĐL Pitago trong

IDO
ta có
DH
DO
DO
DI
OI
.
2
222




=
DH
R
DC
R
.
2
22


0
2
2





Đẳng thức xảy ra khi O trùng I, tức là

ABC đều.
Cách 4: Có thể chứng minh bài toán bằng việc áp dụng hai bài toán thành phần (xét
trong phần sau) sau đây:
BT1: Cho

ABC với các đường cao AN, BE, CF .
CMR: AN + BE + CF
r
9


BT2: ( Bất đẳng thức ECDOS trong tam giác)
Cho điểm M trong

ABC , gọi P, Q, R thứ tự là hình chiếu vuông góc của M
xuống cạnh BC , AB, AC của tam giác.
CMR: MA + MB + MC

2(MP + MQ + MR)
Thậy vậy, ta có: MA + MP

là do chúng ta đã khai thác được cái riêng nhiều vẻ của bài toán cộng với sự tìm tòi
sáng tạo trong quá trình giải toán.
2.1.4. Vấn đề sáng tạo bài toán mới
Trong tác phẩm “Giải bài toán như thế nào”, nhà sư phạm lớn G.Polya đã viết:
“Cách giải này đúng thật, nhưng làm như thế nào để nghĩ ra một cách giải khác? Sự
kiện này đã được kiểm nghiệm, nhưng làm thế nào để phát hiện ra những sự kiện
như vậy? Và làm thế nào để tự mình phát hiện ra đư
ợc?”
Quan điểm này của G.Pôlya muốn nhấn mạnh ý nghĩa của việc dạy cho HS
biết tự tìm tòi lời giải, tự phát hiện những kết quả mới.
Sáng tạo bài toán mới là một bước quan trọng của quá trình giải toán, một
phương thức rèn luyện TDST toán học, một trong các mục tiêu chính của học tập
sáng tạo. Để xây dựng các bài toán mới, có thể hướng dẫn HS đi theo những con
đường sau đây:
a/ Xuất phát từ các khái niệm, định nghĩa, tiên đề về những đối tượng toán học
được đặt trong mối quan hệ toán học nào đó.
Ví dụ: Trong tam giác, nếu bắt đầu từ khái niệm góc, giả sử mối quan hệ giữa hai
góc là “khác nhau”, thì kéo theo mối quan hệ giữa hai cạnh đối diện cũng “khác
nhau” Cụ thể, chẳng hạn ta có bài toán:
BT : Cho

ABC thoả mãn điều kiện
B
A



khi đó CMR : BC < AC .
b/ Xuất phát từ những định lý, tính chất, bài toán đã biết, theo hướng này để xây
dựng nên các bài toán mới, có thể bằng những cách sau:

2 ( ) 2 ( )
(*)
a a
b c
a b c
dt ABC dt BMC
R AH d
a
dt AMC dt AMB
a
bd cd
aR bd cd
a

  



   

Tương tự với hai bđt nữa, suy ra:
)(2
cbacba
cdbdadcRbRaR





(đpcm)

cdbdaR


,
bcb
adcdbR


,
bac
bdadcR


Suy ra:

cbabacacb
baaccbcba
ddabcddabddacddbcd
bdadadcdcdbdRRabcR
88
))()((




cbacba
dddRRR 8