A. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Chuyển động là một khái niệm cơ bản trong cơ học, chuyển động của một
vật thể là sự thay đổi vị trí của vật đó so với các vật khác(vật làm mốc) theo
thời gian.
Để xác định vị trí của một vật trong không gian ta cần chọn một vật làm
mốc và một hệ trục tọa độ gắn với vật làm mốc nhằm xác định các tọa độ của
vật đó. Trong trường hợp đã biết rõ qũy đạo thì chỉ cần chọn một điểm làm
mốc và một chiều dương trên qũy đạo là đủ. Khi nghiên cứu chuyển động của
một vật là cho biết tọa độ của vật đó ở những thời điểm khác nhau. Muốn thế
ta phải chọn gốc thời gian, thông thường người ta chọn gốc thời gian là thời
điểm vật bắt đầu chuyển động và phải dùng đồng hồ để đo khoảng thời gian
trôi qua tính từ gốc thời gian đến thời điểm mà ta quan tâm.
Một sự kiện khá hiển nhiên là một vật đứng yên trong hệ quy chiếu này
lại có thể chuyển động so với hệ quy chiếu khác. Chẳng hạn, người ngồi trên
toa xe lửa đang chuyển động sẽ nói rằng cái ghế anh ta đang đứng yên trong
không gian, trong khi một người đứng ở sân ga lại khẳng định cái ghế đó đang
chuyển động. Từ đó ta thấy rằng, chuyển động của một vật thể được nhận
thấy theo cách khác nhau bởi hai người quan sát đang chuyển động tương đối
với nhau. Rõ ràng chuyển động hay đứng yên chỉ có tính chất tương đối tùy
theo hệ quy chiếu mà ta chọn.
Vì vậy, đối với việc giải một bài toán cơ học, chọn hệ quy chiếu là công
việc quan trọng đầu tiên. Khi chúng ta chọn hệ quy chiếu thích hợp giúp cho
việc giải bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Nhưng cơ học không phải là
một môn học dễ, do đó với những kiến thức đã có chúng ta gặp phải không ít
khó khăn trong việc vận dụng nó vào các bài toán cơ học hay giải thích các
hiện tượng vật lý trong đời sống, trong tự nhiên. Bên cạnh đó, việc cải cách
nội dung chương trình bộ môn Vật lý ở cấp phổ thông trung học đã đưa thêm
một số kiến thức mới về cơ học nói chung, đặc biệt về hệ quy chiếu không
quán tính và lực quán tính nói riêng. Những vấn đề này về cơ bản đối với học
sinh bậc THPT là mới và trừu tượng.
Trong quá trình thực tế giảng dạy ở bậc học này, làm thế nào để có thể

quán tính.
- Khi khảo sát chuyển động của các vật trên mặt đất hoặc ở lân cận mặt đất
xảy ra trong một khoảng thời gian ngắn và trong khoảng không gian hẹp,
người ta chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất hoặc chuyển động thẳng đều so
với mặt đất là hệ quy chiếu quán tính. Hệ quy chiếu này thường được sử dụng
trong việc giải đa số các bài toán cơ học.
2.Khái niệm về hệ quy chiếu không quán tính và lực quán tính
a. Khái niệm về hệ quy chiếu không quán tính
Hệ quy chiếu không quán tính đó là một hệ bất kỳ chuyển động có gia
tốc tương đối với hệ quy chiếu quán tính. Các định luật Newton không
nghiệm đúng trong các hệ quy chiếu không quán tính.
Hệ quy chiếu không quán tính đơn giản nhất là hệ quy chiếu chuyển
động thẳng có gia tốc và hệ quy chiếu quay đều.
b. Lực quán tính
Lực quán tính là lực xuất hiện do tính chất không quán tính của hệ quy
chiếu chứ không do tương tác giữa các vật nên nó không tuân theo định luật
III Newton, tức là không có phản lực tương ứng. Tuy nhiên, nếu thêm lực
quán tính thì định luật II Newton mới áp dụng được cho các hệ quy chiếu
không quán tính và việc giải thích nhiều hiện tượng vật lý cũng như giải một
số bài toán cơ học trở nên dễ dàng hơn.
Ta xét những trường hợp cụ thể:
- Trong hệ quy chiếu chuyển động thẳng với gia tốc
o
a
:
Lực quán tính chỉ có một thành phần:
o
qt
amF −=
.

Nếu xe chuyển động với vận tốc
v
o
và bánh xe lăn không trượt thì trong
hệ quy chiếu được chọn, vận tốc của
mọi điểm ở vành bánh xe đều bằng v
o
.
Vì bánh xe lăn không trượt nên ta có:
dsds ='
dtVRd
o
=
ϕ
o
VR
dt
d
=
ϕ
0
R v
ω
=
Vậy vận tốc của mọi điểm trên vành bánh xe đều bằng v
o
đối với hệ quy
chiếu gắn tâm với bánh xe.
Cách 1
Tọa độ của giọt nước văng ra từ bánh xe được xác định bởi góc

= -g
3
ds
ds’
0
ϕ
y
x

2
.cos.sin.
2
gt
tVRy
o
−+=
ϕϕ
(2)
tại điểm cao nhất của qũy đạo, thành phần thẳng đứng của vận tốc: v
y
=
0.
suy ra thời gian giọt nước lên đến độ cao cực đại:
ϕϕ
cos.0cos.
g
V
tgtV
o
o

g
V
V
gR
h
o
o
22
2
2
2
max
+=
tại:
2
sin
o
V
gR
=
ϕ
kết quả này có nghĩa khi
2
o
VgR ≤
tức là xe lăn nhanh.
từ biểu thức (1): thay (3) vào (1) và kết hợp
2
sin
o

W W= ⇔
( )
2
max
2
sin
2
1
sin
2
1
ϕϕ
oo
VmygmRgmVm +=+
suy ra:
g
V
R
g
V
y
oo
2
sin.sin.
2
2
2
2
max
++−=

quả bóng rổ đang rơi xuống. Hỏi phải ném quả bóng
tennis với vận tốc ban đầu bằng bao nhiêu để nó đập
vào quả bóng rổ ở điểm cách rổ một khoảng h? Tìm
độ lớn v
o
và góc hợp bởi
o
V
và phương nằm ngang.
Lời giải
- Cách 1:Giải bài toán trong hệ quy chiếu gắn với mặt đất
khi quả bóng tennis đập vào quả bóng rổ ở độ cao h:
2
2
1
gth =
(1)
2
.
2
1
.sin gttVhH
o
−=−
α
(2)
tVHl
o
.cos.
22

o
2
.sin.
α
=
0
.
sin 2 2
H g g
v l
h h
α
= =
- Cách 2: Giải bài toán trong hệ quy chiếu gắn với quả bóng rổ
như vậy ta xét chuyển động của quả bóng tennis đối với quả bóng rổ.
. vận tốc ban đầu của quả bóng tennis so với quả bóng rổ:
o
o
VV =
)2/1(
(1/đất)

o
V+
(đất/2)

o
V=
. gia tốc tương đối
2/1

α
22
Hl
−
 trong hệ quy chiếu này quả bóng tennis chuyển động thẳng đều với vận tốc
o
V
. đương nhiên
o
V
phải hướng đúng vào rổ và sau thời gian
o
V
l
t =
, hai quả
bóng sẽ chạm nhau ta tìm được:
h
g
l
t
l
V
o
2
.==
Nhận xét:
Rõ ràng với cách chọn hệ quy chiếu không quán tính gắn với quả bóng
rổ bài toán trở nên dễ dàng hơn.
Như ta đã biết, vận tốc là đại lượng có tính tương đối, nghĩa là phụ

VVV −=
chiếu lên hệ tọa độ o
xy
, gốc tọa độ o tại điểm bắt đầu ném.
o
x
:
xxx
VVV
2112
−=
(1)
o
y
:
yyy
VVV
2112
−=
(2)
với:
11
cos.
α
ox
VV =
22
cos.
α
ox

21
2
12
2
1212
αα
+
=+=
oyx
VVVV
b: khoảng cách giữa 2 vật
2
21
2
21
)()( yyxxS −+−=∆
với
tVx
o
.cos.
11
α
=
;
tVx
o
.cos.
22
α
−=

suy ra:
tVS
o
)
2
cos( 2
21
αα
+
=∆
C ách 2 : Chọn hệ quy chiếu gắn với vật 2
Đây là hệ quy chiếu không quán tính chuyển động với gia tốc g so với
mặt đất. trong hệ quy chiếu này vật 2 đứng yên còn vật 1 chịu tác dụng của 2
lực cân bằng, đó là trọng lực
gmP =
và lực quán tính
gmF
qt
−=
. do đó vật 1
chuyển dộng thẳng đều so với vật 2 với vận tốc:
2112
VVV −=
: không
đổi.
tương tự như trên ta tìm được:
)
2
cos(.2
21

để vật đi tới B và quãng đường nêm đã đi được trong
thời gian đó. Cho hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt
nêm là
µ
.
Câu b: Cũng cơ hệ tương tự trên nhưng bỏ qua ma sát giữa vật và mặt
phẳng nêm. Hỏi khi vật m trượt tới đầu dưới của nêm thì nêm có vận tốc theo
phương ngang bằng bao nhiêu? vectơ vận tốc v
1
của vật m
1
lập với phương
nằm ngang một góc bằng bao nhiêu?
Giải
Vì không có ngoại lực theo phương nằm ngang nên khối tâm của cả hệ
không di chuyển theo phương ngang. khi m chuyển động xuống dọc theo mặt
nêm, thì khối tâm của nêm dịch chuyển sang phải.
Câu a:
Cách 1: Chọn hệ quy chiếu quán tính gắn với mặt đất
các lực tác dụng lên cơ hệ được biểu diễn như hình vẽ.

1
'N
là áp lực của m lên M

1
1
' NN −=
là phản lực của M tác dụng lên m
được xuất hiện theo định luật III newton.

f
và
2ms
f
là lực ma sát do m và M chuyển
động tương đối với nhau.
phương trình động lực học cho cơ hệ:
1
1
1
1
1
amfNP
ms
=++
(1)
2
21
1
2
2
'' amNfNP
ms
=+++
(2)
chiếu (1) và (2) lên hệ trục o
xy
như hình vẽ:

xms

y
amNkNP
11111
sin cos. −=++−
αα

gk
m
N
a
y
++
−
= )sin.(cos
1
1
1
αα
(4)

2211
cos.sin. amkNN =−
αα

)cos.(sin
2
1
2
αα
k

1
1
2112
αααα
k
m
N
k
m
N
aaa
xx
)
11
)(cos(sin
21
1
mm
kN +−−=
αα
(6)

gk
m
N
aa
yy
−+=−= )sin(cos
1
1

+−−=−+
ta tìm được N
1
:
)1()cos(sinsincos
2
1
1
1
m
m
tgkk
gm
N
+−++
=
ααααα
(8)
thế biểu thức của n
1
vào (5) tìm được gia tốc a
2
của nêm đối với đất
thế biểu thức của n
1
vào (6), (7) ta tìm được a
12x
, a
12y
2

l
ataS ==
Nhận xét
Khi chọn hệ quy chiếu quán tính gắn với mặt đất bài toán trở nên phức tạp
hơn.
Cách 2: Chọn hệ quy chiếu không quán tính gắn với mặt nêm
khi vật m chuyển động dọc xuống mặt nêm, nêm dịch chuyển tịnh tiến sang
phải với gia tốc
2
a
so với đất.
trong hệ quy chiếu gắn với nêm vật m
1
ngoài chịu tác dụng của các lực
1
1
1
,, NfP
ms
còn chịu tác dụng của lực quán tính.
12
a
: gia tốc của vật m
1
đối với nêm.
phương trình động lực học viết cho vật m
1
:
12
1

211
2
2
'' amNfNP
ms
=+++
chiếu lên phương chuyển động với chiều (+) là chiều chuyển động của
nêm:
2211
sincos amNkN =+−
αα
thế biểu thức của N
1
ở (3) vào ta được:
ααα
ααα
2
112
2
1
2
sincos.sin.
)coscos.(sin
mmkm
kgm
a
+−
−
=
tương tự :

gọi
1
V
vận tốc của vật m
1
so với đất.
9
A
C
y
x
qt
F
ur
1
N
uur
a
r
1
P
ur
B
ms
f
ur

2
V
vận tốc của nêm m

= =
+
 xác định góc hợp bởi
1
V
so với phương nằm ngang:
( )
1
1 2
2
1 1 1
tan
tan 1 tan
y
x
x x x
V
V V
V
V V V
α
β α
+
 
= = = +
 ÷
 
(1)
tìm mối quan hệ giữa v
2

m
m
β α
 
= +
 ÷
 
(3)
N hận xét :
1
2
1
m
m
=
: từ (3) ta được:
αβ
≈
: trường hợp này nêm không
chuyển động.

1
2
1
m
m
?
: từ (3) ta được:
2
π

2
1
2
111
.
2
1
)(
2
1
vmvvmghm
yx
++=
(4)
10
12
V
1x
v
r
12
V
α
1y
v
r
α
2
V
x

1
+=
thay vào (4), ta được:
2
22
2
2
2
2
1
2
2
1
2
11
.
2
1
1
2
1
VmVtg
m
m
m
m
mghm
+



2
2
1
2
2
2
1
2
m
m
tg
m
m
m
m
gh
V
+








++




là
1
0,1k =
. Hệ số ma sát giữa
m
2
và mặt dốc
2
0,2k =
. Khi thả tay cho các vật chuyển động thì m
1
trượt khỏi
m
2
. Chiều dài của m
2
bằng 1m, kích thước của m
1
không đáng kể.
Tìm gia tốc mỗi vật? Tìm lực ép của m
1
lên giá đỡ m
2
.
Giải
gọi
21
,aa
là gia tốc của vật m
1

phương trình động lực học cho cơ hệ:
vật m
1
:
)(.
21
1
12
1
1
1
1
aamamFFNP
qtms
−==+++
(1)
chiếu lên hệ trục tọa độ o
xy
như hình vẽ:
o
x
:
)(sin
21121111
aamamNKgm −=−−
α

11111
sin amNKgm =−
α

N
1
m
2
m
1
'
ms
F
2
P
1
'N
1
P
2ms
F
1ms
F
qt
F
2
2
2
1
12
2
.'' amFFNNP
ms
ms

2
/12,3
cos)(cossin
sm
m
gmmKgmKgm
a =
+−+
=
ααα
lực ép của m
1
lên giá đỡ m
2
:
NgmN 866,0cos
11
==
α
như vậy, khi m
2
chuyển động thì áp lực của m
1
lên m
2
có giá trị bằng
với áp lực trong trường hợp m
2
đứng yên.
α

NP 866,0'
1
=
Vậy áp lực của m
1
lên m
2
cũng chính là trọng lượng của vật m
1
. Nhưng
trong những trường hợp khác chúng ta cũng lưu ý rằng: trọng lượng là lực vật
tác dụng lên giá đỡ chứ không phải là áp lực mà vật tác dụng vào giá đỡ.
Nhận xét: Khi xét trong hệ quy chiếu không quán tính gắn với vật m
2
bài toán được giải quyết nhanh gọn và mang lại nhiều thông tin hơn.
 Bài toán 6: cơ chế atut đặt trong thang máy,
hai đầu dây ròng rọc là hai vật khối lượng m
1
, m
2
coi sợi dây và ròng rọc là lý tưởng. thang máy đi
lên với gia tốc
o
a
. tính gia tốc
','
21
aa
của hai vật
đối với mặt đất và lực căng

'
'
phương trình động lực học cho cơ hệ:
)(
1
1
1
1
11
o
aamamPT +==+
(1)
)('
2
2
2
2
22
o
aamamPT +==+
(2)
12
'P
o
30
qt
F
1
P
60

+−=+
(4)
lấy (3)-(4):
21
1221
1
21
1
2121
)()(
)()()(
mm
ammgmm
a
ammammgmm
o
o
+
−+−
=⇒
−++=−
21
2112
12
)()(
mm
ammgmm
aa
o
+

chiếu (1), (5), (6) lên phương thẳng đứng với chiều dương hướng lên
21
21211
11
21
121
2
21
212
1
2)(
2)(
'
2)(
'
mm
ammgmmm
gmT
mm
amgmm
a
mm
amgmm
a
o
o
o
+
+−
=−

qti
amF .−=
.
21
,aa
: là gia tốc của vật m
1
, m
2
trong hệ quy chiếu gắn với thang máy.
phương trình động lực học:
1
1
111
amFPT
qt
=++
(7)
2
2
222
amFPT
qt
=++
(8)
do điều kiện của ròng rọc và dây nối:
21
21
; aaTT −==
suy ra:

21
2112
12
21
1221
1
)()(
)()(
mm
ammgmm
aa
mm
ammgmm
a
o
o
+
−+−
=−=
+
−+−
=
từ công thức cộng vận tốc tìm được gia tốc của mỗi vật đối với mặt đất:
21
221
11
2)(
'
mm
amgmm

21
212
1
2)(
'
2)(
'
mm
amgmm
a
mm
amgmm
a
o
o
+
+−
=
+
+−
=
Bài toán 7: cho cơ hệ như hình vẽ. vật A có khối lượng
m
1
. vật B có khối lượng m
2
. lúc bàn đứng yên thì vật m
1
ở trạng
thái cân bằng giới hạn. cho bàn trượt với gia tốc a

 vật B :
OTP
=+
22
T
2
= P
2
= m
2
g (2)
do điều kiện của ròng rọc và dây nối: T
1
= T
2
= T
từ (1) (2), ta có:
1
2
m
m
K
=
 Khi bàn chuyển động sang phải với gia tốc
o
a
: đoạn dây nối với vật b lệch
sang trái một góc
α
so với phương thẳng đứng, đồng thời với sự dịch chuyển


BA
aa ,
: là gia tốc của vật a, b so với bàn.
ta có:
oB
oA
aaa
aaa
+=
+=
2
1
Do sợi dây không dãn:
a
a
= a
b
= a
phương trình động lực học cho cơ hệ:
 vật a:
111
11
amFNTP
ms
=+++
hay
)(
11
11


=
=+
)7("
)6('
2
2
2
2
o
B
amP
amTP
chiếu (6) lên phương đoạn dây nối với b và chiếu (7) lên phương ngang ta
được:
2
2
os
m g
T m a
c
α
− =
(8)
2 2 0
.tanm g m a
α
=
(9)
từ (9) rút ra:

=
gia tốc của vật a đối với mặt đất:
21
1
22
2
1
)(
mm
gKmagam
aaa
oo
o
+
−−+
=−=
từ (8), tìm được lực căng dây:
am
gm
T
2
2
cos
−=
α
thế biểu thức a vào, tìm được:
21
11
22
12

ms
F
1
N
1
P
1
T
2
T
2
P
2
'P
2
''P
α
gọi
BA
aa ,
: là gia tốc của vật a, b so với
bàn. trong hệ quy chiếu này mỗi vật ngoài chiều
tác dụng của các lực thông thường còn chịu tác
dụng của lực quán tính
o
i
qti
amF −=
hướng sang
trái.

)5(cos&sin
cos.sin.
2222
22
ga
g
ga
a
g
a
tg
amgm
oo
o
o
o
+
=
+
=⇒
=⇒
+=
αα
α
αα
kết hợp (3), (4), (5) ta tìm được gia tốc của vật a và lực căng.
21
1
22
21

=
2
21
2
21
)(
2
1
0)(
2
1
VmmVmm +=−+
A =
221
1
1 ptms
FPF
qt
PNP
AAAAAA +++++
samgmsgmKsamA
oo
.sin.cos 00
2211
αα
++−++=
với s độ dịch chuyển của các vật so với bàn ứng với vận tốc v.
suy ra:
samsgmsgmKsamVmm
oo

=
α
và
22
cos
ga
g
o
+
=
α
16
cuối cùng ta cũng tìm được:
21
1
22
21
mm
gKmgamam
a
oo
+
−++
=
Nhận xét :
Trong hệ quy chiếu không quán tính gắn với bàn, khi dùng phương
pháp động lực học bài toán được giải quyết nhanh hơn so với trong hệ quy
chiếu quán tính gắn với mặt đất.
mặt khác, khi sử dụng phương pháp năng lượng trong hệ quy chiếu
không quán tính bằng cách áp dụng định lý động năng hoặc định luật biến

1
, m
2
đứng yên đối với xe, nên chuyển động với cùng gia tốc,
ngoại lực gây gia tốc chỉ có f:
f = (m+m
1
+m
2
)a (1)
Xét trường hợp m
1
có xu hướng đi xuống:
 vật m
2
:
OFFNTP
qtmsn
=++++
22
2
22
thực hiện phép chiếu:
0
22
=−+
TamF
msn
(2)
N

(4)
N
2
= f
qt1
= m
1
a
ta có: f
msn1
≤ k.N
1
hay: f
msn1
≤ k.m
1
.a (5)
kết hợp (2), (3), (4) và (5), ta được:
17
2
m
1
m
F
2
T
2qt
F
2
N

))(.(
mKm
mmMgmKgm
F
+
++−
≥
(*)
Xét trường hợp m
1
có xu hướng đi lên
các lực tác dụng lên vật được biểu diễn như hình vẽ
tương tự như trên ta có:
 vật m
2
: m
2
a – t – f
ms2
= 0 (2’)
f
msn2
≤ k.m
2
.g (3’)
 vật m
1
: t – f
msn1
– m

12
2121
21
2121
.
))(.())(.(
mKm
mmMmKmg
F
mKm
mmMmKmg
−
+++
≤≤
+
++−
Nhận xét
do yêu cầu của bài toán xét sự đứng yên tương đối với xe, nên chọn hệ quy
chiếu không quán tính gắn với xe là hiệu quả nhất.
4. Bài tập tự giải
Bài 1: Từ một khí cầu đang bay lên cao theo phương thẳng đứng với vận
tốc đều là v=5m/s, người ta thả nhẹ nhàng một vật có khối lượng m sao cho
vận tốc của khí cầu không đổi.
a) sau 2 giây vật cách khí cầu bao nhiêu mét?
b) tính chiều dài tổng cộng vật đã đi được đối với đất trong thời gian
trên.
Đáp số: a) s = 20m b) d = 12,5m
Bài 2: máy bay ở độ cao h = 500m, bay theo phương nằm ngang. với
vận tốc 100m/s (coi qũy đạo của máy bay và tàu trên cùng một mặt phẳng
thẳng đứng).

bỏ qua tác dụng của chuyển động quay của trái đất quanh trục.
Đáp số:
hkmV /40'
=
o
19'=
α
Bài 4 : một xe con chuyển động thẳng đều với vận tốc v
o
thì người lái xe nhìn
thấy một xe tải đang chuyển động thẳng đều, cùng chiều, phía trước với vận
tốc v
1
(v
1
<v
o
). nếu thời gian phản ứng của người lái xe con là
τ
(tức là thời
gian xe con vẫn giữ nguyên vận tốc v
o
) và sau đó hãm phanh. hỏi khoảng cách
tối thiểu của hai xe kể từ lúc người lái xe con nhìn thấy xe tải là bao nhiêu để
không xảy ra tai nạn?
Đáp số:
) 2()(
11min
VVaVVd
oo

VV
o
)2(
2
1
+
−=
b)
M
mMKLg
V
M
mMKLg
o
)34( )2( +
≤≤
+
4. Cách thức triển khai và hiệu quả của hoạt động.
Khi thực hiện giảng dạy trên lớp chuyển sang phần hệ quy chiếu có gia
tốc và lực quán tính. Một mâu thuẫn lớn đặt ra với học sinh, các em đặt ra các
câu hỏi: vậy giải bài toán trong hệ quy chiếu nào thì thích hợp hay hệ quy
chiếu lâu nay đang được chọn gắn với Trái Đất bài toán giải sẽ như thế nào?
Bài toán giải trong các hệ quy chiếu khác nhau thì có chung kết quả hay
không. Từ những thắc mắc đó thông qua các bài tập, đặc biệt là các bài tập
19
B
A
o
V
phần động học mà các em đã gặp từ đầu năm học, đến đây đã được giải quyết

2. 121 bài toán vật lí nâng cao vật lí 10 – Vũ Thanh Khiết – NXBGD
3. Lý luận dạy học – NXBGD 1997
4. Tổ chức hoạt động dạy học ở các trường trung học - NXBGD 1997
21