1


Cầu có vị trí quan trọng hàng đầu trong cơ sở hạ tầng vận tải của chúng
ta. Tuổi thọ của cầu càng cao thì việc vận hành và bảo dưỡng cầu càng trở nên
phức tạp. Tầm quan trọng của việc giám sát quá trình làm việc của kết cấu
cầu ngày càng quan trọng trong thời gian gần đây. Để duy trì và nâng cao chất
lượng, hiệu quả của quá trình khai thác, cần phải nắm vững quá trình làm việc
của kết cấu để bảo đảm độ bền và thời gian làm việc lâu dài.
Từ quan điểm về liên kết động giữa phương tiện giao thông và kết cấu
cầu, sự dao động của một cây cầu phần lớn liên quan đến sự chuyển động của
phương tiện giao thông di chuyển trên nó. Điều này được kiểm chứng rõ ràng
thông qua các kết quả phân tích về động lực học cầu dưới tải trọng của các
phương tiện giao thông đang di chuyển. Tất cả các phân tích động lực học đối
với cầu dưới sự di chuyển của các phương tiện giao thông đều được dựa trên
giả thiết rằng đã biết chính xác các thông số kỹ thuật của phương tiện giao
thông. Tuy nhiên, đối với việc vận hành thông thường và hoạt động giám sát
độ bền kết cấu đối với những cây cầu hiện vẫn đang được sử dụng, thì việc
cho rằng tất cả các thông số kỹ thuật chính xác của các phương tiện giao
thông đã được biết trước là điều không thực tế. Bởi thế cho nên việc xác định
các thông số kỹ thuật của phương tiện giao thông là một khâu rất quan trọng
trong quá trình nghiên cứu những biểu hiện động của các cây cầu hiện đang
sử dụng.
Để đảm bảo an toàn cho kết cấu cầu, tải trọng xe lưu thông trên cầu được
quy định rõ ràng. Tuy nhiên, trong thực tế việc các xe có tải trọng vượt quá
quy định đi qua cầu vẫn thường xuyên xảy ra và gây mất an toàn cho công
trình. Hiện nay, để hạn chế hiện tượng này, thường sử dụng phương pháp cân
xe. Tuy nhiên, biện pháp này rất tốn kém do phải lắp đặt quá nhiều trạm cân
và không hiệu quả do mất nhiều thời gian, có thể gây ùn tắc cục bộ.
2
Ngày nay, với sự phát triển của công nghệ xây dựng cầu, công nghệ đo

nhiên), tiếp xúc liên tục hoặc không liên tục.
• Điều kiện ban đầu khi bắt đầu tiếp xúc với kết cấu.
Các nghiên cứu mới đây chủ yếu khai thác khả năng của các công cụ
tính toán thường tập trung ở các hướng sau:
• Phân tích đầy đủ và sát thực tế hơn trạng thái dao động của cầu dưới
tác động của tải trọng di động.
• Xây dựng các mô hình tải trọng di động sát thực tế hơn.
*+,&-./&0.+1
Lý thuyết và thực nghiệm về phản ứng động của kết cấu chịu tác dụng
của tải trọng di động đã được bắt đầu từ cách đây hơn 100 năm. Willis và
Stoke từ 1849 đã nghiên cứu lời giải cho trường hợp tải là một chất điểm có
khối lượng di chuyển với tốc độ đều trên một dầm đơn không khối lượng.
Dựa trên cơ sở các kết quả nghiên cứu sơ bộ trước đây cùng với sự phát
triển của khoa học và phương pháp số trên máy tính, việc nghiên cứu bài toán
tải trọng di động đã có những bước tiến dài. Các kết quả nghiên cứu gần đây
cho các dạng kết cấu chịu tải trọng di động có thể tổng hợp và phân loại như
sau.
• Ảnh hưởng do sự mấp mô bề mặt cầu: Theo hướng này các tác giả đã
nghiên cứu xây dựng mô hình tương tác của xe và cầu với các kích động ngẫu
nhiên xuất hiện do sự mấp mô của bề mặt cầu. Tính ngẫu nhiên của sự mấp
mô bề mặt cầu được các tác giả mô tả bằng các hàm mật độ phổ.
• Ảnh hưởng của hệ thống treo: Nhiều nghiên cứu lý thuyết và thực
nghiệm đã được tiến hành tập trung vào ảnh hưởng của hệ thống treo đến
các phản ứng của cầu trong mô hình tương tác hai chiều.
• Ảnh hưởng khi phanh xe trên cầu: Nghiên cứu phản ứng động của
cầu một nhịp và cầu nhiều nhịp dạng dầm liên tục dưới tác động phanh đột
ngột của xe với hệ thống treo gồm lò xo và phần tử cản.
• Ảnh hưởng của dao động ban đầu của xe: Nhiều kết quả nghiên cứu
đã đưa ra kết luận rằng dao động ban đầu của xe có ảnh hưởng lớn nhất đến
biến dạng cực đại. Tư thế nằm ngang của xe và trọng lượng của nó có ảnh

kích động điều hoà tác động lên tải di động. Tác giả sử dụng nguyên lý
5
D‘Alambe để xây dựng phương trình vi phân chuyển động cho tải di động và
cho dầm. Hệ phương trình vi phân nhận được sẽ bao gồm n phương trình vi
phân thường (n là số lượng tải trọng di động) và một phương trình vi phân
đạo hàm riêng. Hệ phương trình vi phân hỗn hợp trên sẽ được đưa về hệ
phương trình vi phân thường và giải bằng phương pháp Runge-Kutta.
Trong công trình của TS Đỗ Xuân Thọ (1996), vật thể đi động là vật rắn
liên kết với dầm thông qua phần tử đàn hồi và phần tử cản. Đối với dầm tác
giả có đưa ra 2 mô hình, mô hình thứ nhất cũng gồm một dầm liên tục tựa trên
các gối đỡ đàn hồi tuyến tính, mô hình thứ 2 tựa trên các gối đỡ phi tuyến
dạng Duffing. Tác giả tách cấu trúc trên thành các cấu trúc con trong đó gồm
tải trọng di động và một dầm đơn, các gối tựa trung gian được thay bằng các
phản lực liên kết, sau đó tiến hành lập phương trình vi phân mô tả dao động
của hệ. Hệ bao gồm các phương trình vi phân thường và phương trình vi phân
đạo hàm riêng. Tác giả sử dụng phương pháp Ritz để đưa hỗn hợp nói trên về
hệ các phương trình vi phân thường và giải bằng phương pháp Runge- Kutta.
Trong công trình của TS Tạ Hữu Vinh (2005), tác giả đã sử dụng
phương pháp phần tử hữu hạn để nghiên cứu dao động của hệ khung chịu tác
dụng của tải trọng di động. Trong công trình này, tác giả đã thiết lập phương
trình vi phân mô tả dao động của phần tử hữu hạn thanh không gian chịu tác
dụng của một tải trọng di động đối với các trường hợp giữa tải trọng di động
và dầm có và không có liên kết đàn hồi hoặc cản nhớt.
561$&789%&:&;<-0
;"
Tải trọng di động được được xét ở đây có thể là một trong ba dạng sau:
• Lực có điểm đặt di chuyển trên kết cấu với vận tốc v
• Vật mang khối lượng cùng với lực tác dụng vào nó di chuyển trên kết
cấu với vận tốc v
• Hệ dao động di chuyển trên kết cấu với vận tốc v, giữa hệ di động và

này đã được trình bày trong các giáo trình Cơ học kết cấu. Một số phần mềm
phổ biến hiện nay như SAP-2000 có khả năng tính theo phương pháp này đối
với hầu hết các dạng kết cấu.
89
Mô hình này kể đến khối lượng của tải trọng và bỏ qua khối lượng của
kết cấu tức là đã xét dao động của kết cấu.

v

c
k
v

v

(1)
(2)
(4)
(3)
P
P
m
v

m
P
=9>' Mô hình 2
Phương trình vi phân dao động của hệ có dạng:
2
2

P
m
v

m
P
=9>'5 Mô hình 3
Lời giải đầy đủ của bài toán được A.N.Krưlov đưa ra vào năm 1905.
Phương trình vi phân dao động của hệ có vô số bậc tự do tương ứng có dạng:
( ) ( )
4 2
4 2
1
, ,
2
sin sin
k
w x t w x t
P k k x
EJ m
x x
∞
πη π
=
∂ ∂
+ =
∂ ∂
∑
l l l
Trong đó:

(2)
(4)
(3)
P
P
m
v

m
P
=9>'? Mô hình 3
Tuỳ theo cấu trúc của hệ dao động bên trên mà có thể mô hình hoá nó
thành các hệ một hay nhiều bậc tự do. Tác dụng của hệ di động đối với kết
cấu được truyền qua các lò xo đàn hồi và cản, và chính những lực này lại gây
dao động cho hệ di động. Phương trình vi phân mô tả hệ như vậy có hệ số phụ
thuộc thời gian.
Đây là mô hình phức tạp hơn cả, gần sát thực tế và phân tích đầy đủ các
hiệu ứng quán tính của hệ. Đã có nhiều lời giải cho bài toán này nhưng cho
đến năm 1930 Meizel mới đưa ra lời giải đủ sức thuyết phục.
Kể từ đó đến nay đã có hàng loạt công trình được công bố. Cách đặt vấn
đề, xây dựng mô hình bài toán và cách giải quyết vấn đề của các công trình
ngày gấn sát với thực tế, song cũng đòi hỏi một khối lượng tính toán lớn và
cần có công cụ tính đủ mạnh.
Trong luận văn này sẽ sử dụng mô hình 4 và phương pháp phần tử hữu
hạn để tính toán tương tác động lực học của hệ cầu – xe.
5*8720@#7$%&
Tầm quan trọng của việc giám sát trạng thái làm việc của kết cấu ngày
càng được quan tâm trong thời gian gần đây. Để duy trì và nâng cao chất
lượng, hiệu quả của quá trình khai thác công trình, cần phải nắm rõ trạng thái
làm việc của kết cấu trong suốt quá trình khai thác sử dụng để bảo đảm độ

này còn được áp dụng cho nhiều bài toán khác trong đó có bài toán thiết lập
10
mô hình thực trạng công trình. Trong khoa học kỹ thuật hay trong các lĩnh
vực của đời sống kinh tế xã hội, sự hoạt động của bất cứ đối tượng cụ thể nào
cũng có thể mô hình hoá dưới dạng:
=C( ;
(a)
Trong đó:
; - ký hiệu các thông số đầu vào,
C - ký hiệu mô tả cấu trúc, đặc tính của đối tượng,
( - ký hiệu các thông số đầu ra.
Khi đó bài toán thuận được hiểu là cần phải xác định đầu ra ( nếu đã biết
được đầu vào ; và mô hình hoá C của đối tượng. Ngược lại, bài toán xác định
mô hình hoá C khi biết đầu vào ; và đầu ra ( của đối tượng là bài toán ngược
hoặc bài toán nhận dạng hệ thống (hay là bài toán chẩn đoán). Trong trường
hợp bài toán nhận dạng hệ cơ học công trình thì C là các đặc trưng hình học,
khối lượng, độ cứng kết cấu và môi trường, còn ; có thể là tải trọng, ( là biến
trạng thái như chuyển vị, biến dạng, v.v của kết cấu.
Phương pháp nhận dạng là phương pháp thiết lập lại mô hình thực trạng
của kết cấu dựa vào sự đồng nhất các trạng thái của hệ xuất hiện dưới một tác
động nào đó nhận được bằng đo đạc thực nghiệm và bằng tính toán trên mô
hình nhận dạng của hệ. Việc đồng nhất này dẫn đến giải bài toán cực tiểu hoá
một hàm mục tiêu phi tuyến có dạng:
( )
minf ⇒(
v i x = {x
1
, x
2
, , x

– khoảng xác định của các tham số tối ưu x
i
(i=1,2, ,n).
Hiện nay, tồn tại nhiều phương pháp giải bài toán trên, nhưng phương
pháp tổng quát và chính xác nhất là phương pháp quy hoạch phi tuyến.
Theo [13,14] hàm mục tiêu thường chọn là bình phương của sai số giữa
một trạng thái cơ học của hệ khi thử tải tại hiện trường và qua phân tích tính
toán.
E<.&+,&-%@ F
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu phương pháp xác định các thông số
(đặc biệt là trọng lượng) của xe di chuyển trên cầu từ các số liệu đo (giám sát)
dao động của cầu kết hợp với phương pháp tính toán dao động của cầu khi có
xe di chuyển trên cầu.
Nội dung luận án bao gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm ba chương
và phần kết luận. Cuối luận án trình bầy các kết luận và kiến nghị về hướng
nghiên cứu tiếp theo, danh mục các công trình đã công bố, tài liệu tham khảo
và phụ lục chương trình tính.
Trong phần mở đầu nêu lên tính thực tiễn và nhu cầu cấp thiết của đề tài
nghiên cứu, trình bày tổng quan các kết quả nghiên cứu đối với các hệ dao
động chịu tác dụng của tải trọng di động của các tác giả trên thế giới và ở Việt
Nam, các mô hình tính toán cầu chịu tác dụng của tải trọng di động. Trong
chương này cũng trình bày mục tiêu nghiên cứu của luận án.
Chương 1 trình bày các cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn và thiết
lập phương trình dao động cho bài toán hệ dầm liên tục.
Chương 2 thiết lập phương trình dao động của phần tử dầm có xét đến sự
tương tác giữa đoàn xe và phần tử dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn.
Trên cơ sở đó, xây dựng phương trình dao động cho toàn hệ cầu dầm liên lục
chịu tác dụng của đoàn tải trọng (xe) di động. Trong chương này cũng xây
12
dựng thuật toán và lập chương trình tính dao động của kết cấu cầu dầm liên

• Dọc theo cầu, các đặc trưng tiết diện có thể thay đổi.
• Các điều kiện biên liên kết của cầu (gối, ngàm) có thể là các liên kết
cứng hoặc đàn hồi.
*!24S !SSS%TU&@-D;";%7
#.<
I&V.#W0:;X+YS%
Xét một hệ kết cấu ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của các ngoại
lực. Giả sử trong hệ xuất hiện các chuyển vị vô cùng bé (được gọi là chuyển
vị khả dĩ) phù hợp với điều kiện liên kết của hệ. Khi đó, ứng với các chuyển
vị khả dĩ này trong hệ xuất hiện các biến dạng và được gọi là biến dạng khả
15
dĩ. Công do ngoại lực sinh ra trên các chuyển vị khả dĩ được gọi là công khả
dĩ và công do nội lực sinh ra trên các biến dạng khả dĩ gọi là năng lượng biến
dạng khả dĩ. Nguyên lý chuyển vị khả dĩ được phát biểu như sau: Nếu một kết
cấu đàn hồi ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của các ngoại lực và sau đó
chịu một chuyển vị khả dĩ bất kỳ thì công khả dĩ
1
W
δ
của hệ phải bằng năng
lượng biến dạng khả dĩ
1
A
δ
của hệ:
1 1
W A
δ δ
=
Trong đó,

V A A
δ δ
= + =
Trong đó,
1
V
δ
là độ biến thiên của thế năng toàn phần của hệ (gồm thế
năng của ngoại lực A
e
và năng lượng biến dạng A của hệ). Vì rằng theo biểu
thức này
1
0W
δ
=
cho nên thế năng toàn phần V ở trạng thái dừng, nghĩa là
lúc này nguyên lý chuyển vị khả dĩ trở thành nguyên lý giá trị dừng của thế
năng toàn phần đối với hệ bảo toàn.
Hệ thức tương đương với điều kiện sau đây về mặt toán học:
0
i
V
q
∂
=
∂
v i i=1,2, ,n
Nếu chỉ xét số hạng thứ nhất của biến phân
V

=
∂
v i i=1,2, ,n
Hệ thức này biểu thị các điều kiện cân bằng tại các toạ độ i=1,2, ,n.
=7"2&VS%TU&@;%7:&&3
Trong phương pháp phần tử hữu hạn, kết cấu dạng hệ dầm liên tục được
rời rạc bằng các phần tử dầm chịu uốn thuần túy. Trên mỗi phần tử này gắn
một hệ toạ độ địa phương xy (Hình 1 -5).
=9'E Phần tử dầm chịu uốn thuần tuý
Khảo sát một phần tử dầm chịu uốn thuần túy. Vào thời điểm t, tại điểm
bất kỳ trên thanh có toạ độ địa phương x tồn tại một véc tơ chuyển vị &(x,t):
( )
( )
( )
,
,
,
v x t
x t
x t
θ
 
=
 
 
&
trong đó:
v(x,t) – độ võng của dầm,
θ(x,t) –thành phần góc xoay tương ứng với chuyển vị v:
( )

 
 
 
= =
   
 
 
 
 
&
,
&
17
Trong đó, &
1
, &
2
– véc tơ chuyển vị tại các nút 1 và 2 của phần tử.
Trường chuyển vị trong thanh được xấp xỉ theo véc tơ của các chuyển vị
tại nút:
( ) ( ) ( )
,x t x t=& I ,
Trong đó, I – ma trận các hàm dạng (hàm nội suy) chuyển vị của phần
tử:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4
1 2 3 4
N x N x N x N x

2
3 2
x x
N x
L L
x x
N x x
L L
x x
N x
L L
x x
N x
L L
= − +
= − +
= −
= − +
Trong đó, L – chiều dài phần tử.
Thay vào nhận được:
( )
2 3 2 3 2 3 2 3
2 3 2 2 3 2
2 2 2 2
2 3 2 2 3 2
3 2 2 3 2
1
6 6 4 3 6 6 2 3
1
x x x x x x x x

Trong đó
V – thể tích phần tử,
σ
x
– ứng suất pháp tại tiết diện có tọa độ x,
ϵ
x
– biến dạng dọc trục tại tiết diện có tọa độ x,
Theo lý thuyết dầm, mô men uốn M tại vị trí có tọa độ x trong hệ tọa độ
địa phương của dầm được tính bằng biểu thức:
( )
( )
2
2
,
,
d v x t
M x t EJ
dx
=
Trong đó,
E – mô đun đàn hồi của vật liệu,
J – mô men quán tính của tiết diện dầm.
Ứng suất tại toạ độ y của tiết diện có toạ độ x:
( )
,
( , , )
x
M x t
x y t y

   
=
 ÷  ÷
   
∫ ∫
Trong công thức trên, thành phần tích phân thứ hai chính là mô men
quán tính của tiết diện dầm:
2
S
J y dS
=
∫
Thay vào , nhận được:
( )
2
2
2
0
,
2
L
d v x t
EJ
A dx
dx
 
=
 ÷
 
∫

∫ ∫
A, , A A ,
Trong đó, A – ma trận liên hệ biến dạng – chuyển vị của phần tử thanh:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
1 2 3 4
v
d N x d N x d N x d N x
d
x
dx dx dx dx dx
 
= =
 
 
A I
Thay vào , nhận được:
2 3 2 2 3 2
6 12 4 6 6 12 2 6x x x x
L L L L L L L L
 
= − + − + − − +
 
 
A
Công của ngoại lực bẳng tổng công do các thành phần gây ra:
f P qt c
W W W W W= + + +

( )
0
1
,
2
L
qt
W x t dx
ρ
= −
∫
&
&&
W
c
– công do các thành phần lực cản nhớt gây ra:
( )
0
1
,
2
L
c
W c x t dx
= −
∫
&
&
Trong các công thức trên:
20

i
P x t
t
M x t
 
=
 
 
Z
ρ – khối lượng phân bố trên một đơn vị chiều dài dầm,
c – hệ số cản nhớt phân bố trên một đơn vị chiều dài dầm.
Chú ý đến , viết lại như sau:
0 0 0
1 1
2 2
L L L
T T T T T T T T
i
i
W dx dx c dx
ρ
= + − −
∑
∫ ∫ ∫
, I , , I Z , I I , I I
&& && & &
&& &
Theo nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần điều kiện cân bằng
của hệ có dạng:
( )

dx
ρ
=
∫
7 I I
&& &&
 – ma trận cản nhớt của phần tử
0
L
T
c dx
=
∫
 I I
& &
21
S(t) – véc tơ lực quy nút của các tải trọng tác dụng lên phần tử
0
( ) ( ) ( )
L
T T
i
i
t t dx t
= +
∑
∫
S I , I Z
Thực hiện các tích phân từ đến sẽ nhận được các ma trận phần tử hữu
hạn cho phần tử dầm chịu uốn thuần tuý:

22 4 13 3
54 13 156 22
420
13 3 22 4
L L
L L L L
L
L L
L L L L
ρ
−
 
 
−
 
=
 
−
 
− − −
 
7
22
Ma trận cản nhớt của phần tử:
2 2
2 2
156 22 54 13
22 4 13 3
54 13 156 22
420

Các hệ số cản liên hệ với tỷ số cản theo dạng riêng bằng phương trình:
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
ω
ω
ξ
α
ξ
β
ω
ω
 
 
 
 
 
=
   
 
 
 
 

 
−
 
 
=
   
−
 
 
 
−
 
23
?A+\@# F#&V]:X$@":
S !2$@"\]
Khi xây dựng các ma trận phần tử hữu hạn của phần tử, mỗi phần tử
được gắn với một hệ toạ độ địa phương (gọi là hệ toạ độ phần tử). Các thành
phần của các véc tơ lực và chuyển vị tại các nút của phần tử được chọn tương
ứng với các phương của hệ toạ độ này. Khi thiết lập phương trình chuyển
động của toàn kết cấu, các véc tơ trên cần được biến đổi về hệ tọa độ tổng thể
của kết cấu.
Dưới đây dẫn ra các công thức biến đổi giữa hai hệ toạ độ cho véc tơ
chuyển vị nút. Việc chuyển đổi đối với các véc tơ lực cũng được thực hiện
tương tự.
Các véc tơ lực và chuyển vị trong hệ toạ độ địa phương và hệ toạ độ tổng
thể có mối quan hệ như sau:
′
=
, ,
Trong đó:

c c
T
c c
 
=
 
−
 
Trong đó, c
x
, c
y
– các cosin chỉ phương
24
j i
x
j i
y
X X
c
L
Y Y
c
L
−
=
−
=
Tương tự, véc tơ lực nút của phần tử chuyển từ hệ tọa độ tổng thể về hệ
tọa độ cục bộ có dạng:

=
 
Trong đó,
T

– dạng chuyển trí của ma trận chuyển hệ tọa độ .
Thay vào nhận được:
( )
t
′ ′ ′ ′ ′
+ + =
7, ,  , S
&& &
Trong đó:
^ - ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng thể
T
′
=
  
7^ - ma trận khối lượng phần tử trong hệ tọa độ tổng thể
T
′
=
7  7
^ - ma trận cản nhớt phần tử trong hệ tọa độ tổng thể
T
′
=
  
Đối với bài toán dầm liên tục, trục X của hệ tọa độ tổng thể thường được

1
2
n
 
 
 
=
 
 
 
 
&
&

&
M
Trong đó, &
i
– véc tơ chuyển vị tại nút i, gồm hai thành phần độ võng và
góc xoay
i
i
i
v
θ
 
=
 
 
&