Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
1
ST&BS: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
CHƯƠNG II. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1. Định nghĩa:
Giả sử y
f(x) liên tục trên khoảng (a, b), khi đó hàm số y
F(x) là một nguyên
hàm của hàm số y
f(x) khi và chỉ khi F
(x)
f(x),
x
(a, b).
Nếu y
(a,b), khi đó ta có:
• Công thức vi phân theo số gia:
dy y x x
df x f x x
• Công thức biến đổi vi phân:
Chọn hàm số y
x
dy = dx = x’.
x =
x
dx =
x.
• Nếu hàm số f(x) có vi phân tại điểm x thì ta nói f(x) khả vi tại điểm x.
Do
df x f x x
nên f(x) khả vi tại điểm x
f(x) có đạo hàm tại điểm x
2.2. Tính chất:
Giả sử u và v là 2 hàm số cùng khả vi tại điểm x. Khi đó:
2
udv vdu
u
d u v du dv ; d uv udv vdu ; d
v
v
2.3 Vi phân của hàm hợp
Nếu
Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thì
f x dx f x
;
d f x dx f x dx
4.2.
Nếu F(x) có đạo hàm thì:
d F x F x c
4.3. Phép cộng:
Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:
f x dx F x c
thì
f g x g x dx f u du F u c
5. Nhận xét:
Nếu
f x dx F x c
với F(x) là hàm sơ cấp thì ta nói tích phân
bất định
f x dx
biểu diễn được dưới dạng hữu hạn. Ta có nhận xét:
Nếu một tích phân bất định biểu diễn được dưới dạng hữu hạn thì hàm số dưới dấu
tích phân là hàm sơ cấp và điều ngược lại không đúng, tức là có nhiều hàm số dưới
dấu tích phân là hàm sơ cấp nhưng tích phân bất định không biểu diễn được dưới
dạng hữu hạn mặc dù nó tồn tại. Chẳng hạn các tích phân bất định sau tồn tại
2
x
và gọi
1kkk
xx
là độ dài của
1kk
x ,x
. Khi đó:
n
k k 1 1 2 2 n n
k1
f f f f
gọi là tổng tích phân của hàm f(x)
trên đoạn [a, b]. Tổng tích phân này phụ thuộc vào phân hoạch
, số khoảng chia n
và phụ thuộc vào cách chọn điểm
Nếu f(x) > 0 trên đoạn [a, b] thì
b
a
f x dx
là diện tích của hình thang cong giới hạn
bởi các đường: y
f(x), x
a, x
b, y
0
O
y
x
0
a=x
1
1
x
2
x
2
N
1
C
k
B
1
2
B
B
k
B
n
B
k+1
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương Page4
ST&BS: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
4. Các định lý, tính chất và công thức của tích phân xác định:
4.1. Định lý 1:
Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn [a, b]
4.2. Định lý 2:
Nếu f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(x)
g(x),
b
a
a
f x dx F x F b F a
4.4. Phép cộng:
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
4.5. Phép trừ:
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
4.6. Phép nhân với một hằng số khác 0:
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
4.9. Công thức đổi biến số:
Cho y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và hàm x
(t) khả vi, liên tục trên đoạn
[m, M] và
t m,M t m,M
Min t a; Max t b
;
m a; M b
.
Khi đó ta có:
1
1
1
ax b
ax b dx c,
a
1
cos ax b dx sin ax b
a
c
1dx
ln ax b c
ax b a
c
1
cotg ax b dx ln sin ax b c
a
22
1dx x
arctg c
aa
ax
2
1dx
cotg ax b c
a
sin ax b
22
22
xx
arcsin dx xarcsin a x c
aa
22
dx x
arcsin c
a
ax
22
xx
arccos dx xarccos a x c
aa
22
1dx x
arccos c
aa
aa
b
ln ax b dx x ln ax b x c
a
1
2
dx ax b
ln tg c
sin ax b a
2 2 2
22
22
x a x a x
a x dx arcsin c
ax
ax
e acosbx bsinbx
e cosbxdx c
ab
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương Page6
ST&BS: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
IV. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12
Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng
minh lại bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề
nhưng cách đơn giản nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm
1. Ví dụ 1:
Chứng minh:
22
dx 1 x a
ln c
2a x a
xa
22
dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a x
dx ln c
2a a x a x 2a a x a x 2a a x
ax
2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
22
22
dx
ln x x a
xa
c
Chứng minh: Lấy đạo hàm ta có:
uc
a
ax
(với
x
tgu
a
)
Đặt
x
tgu
a
,
u,
22
22
,u
,
22
22
22
dx d asinu
du u c
ax
a 1 sin u
Bình luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm
22
dx 1 x
arctg c
aa
ax
mm
n
nk
mm
n nk
x x ; x x
1
n
n
n
n
11
x ; x
x
x
;
m
n
n
m
1
x
x
;
xp
1
x 1 x 2
dx d d d
a a a
a
V.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HOẠ
1.
3
dx
1
x
x
3
2
1 1 1
2.
1
4 7 dx = 4 7 7 4 7 dx
4
x x x x
3 5 3
1
2 2 2 2
1 1 2 2
4 7 7 4 7 4 7 4 7 7 4 7
16 16 5 3
x x d x x x c
3.
x
dx 1 2 1 1 1 1 2
2 ln
ln2 5ln2 5ln2
2 + 5 2 2 5 2 5
2 2 5
xx
x
x x x
xx
d
dc
5.
5
3 2 3
cos
cos 1 sin 1 sin cos cos sin dx
. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI
1
x 1 x 2 x 3 x 4
J dx
xx
;
2
7 x 3
J dx
2x 5
;
2
3
3x 7 x 5
J dx
x2
33
2
11
152
10
3100
9
2
4
3
2 4 5
5
9
12 13 14
4
7
x 3x 5
J 2x 3 . x 1 dx ; J dx ; J x . 2x 3 dx
2x 1
xdx dx dx
J ; J ; J
x 3 x 7 3x 7 x 2 2x 5 x 3
ln2 ln2 ln2 ln2
2x x
x
24 25 26 27
x
xx
1 0 0 0
dx e dx 1 e
J ; J ; J e 1dx ; J dx
1e
e 1 e 1
22
xx
1 1 1 1
x
28 29 30 31
3 1 1
6
5 2 5 3 3 2
36 37 38
0 0 0
J x 1 x dx ; J x 1 x dx ; J x 1 x dx
2
x
1 1 1 1
2x x
39 40 41 42
x x x x
0 0 0 0
2 1 dx
dx dx
J ; J ; J ; J e 1 e dx
4 3 4 2 4
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
9
ST&BS: Cao Văn Tú
22
du 1 u a
ln c
2a u a
ua
5.
22
du u
arcsin c a 0
a
au
3.
22
du 1 a u
ln c
2a a u
au
4a
2.
2
22
ax bx c mx n p
B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN
I. Dạng 1:
2
dx
A=
ax + bx + c
1. Phương pháp:
22
2
dx dx 1 mx n
arctg c
d d 1 d 2 2 1 2 2 3
ln
2
4 8 1
4 3 2 2 3
2 2 3
2 2 3
x x x x
Ac
xx
x
x
x
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1
2
dx
A
3x 4x 2
2
mx + n
B = dx
ax + bx + c
1. Phương pháp:
22
m mb
2ax b n
mx n
2a 2a
B dx dx
ax bx c ax bx c
• Nếu mẫu có nghiệm kép
0
xx
tức là
22
0
()ax bx c a x x
thì ta giả sử:
22
0
0
mx n
x
xx
ax bx c
xx
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm
,
.
2
12
( )( )ax bx c a x x x x
thì ta giả sử
2
12
mx n
x
x x x x
ax bx c
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm
,
.
Với
,
vừa tìm ta có:
dx
93
d
93
9 6 1 9 6 1 9 6 1
x
x x x
x
x x x x x x
2
22
1 9 6 1 11 3 1 2 11
ln 3 1
9 9 9 9 3 1
9 6 1
31
d x x d x
xc
x
xx
dx
C=
ax + bx + c
1. Phương pháp:
Bổ đề:
ln
2
2
du
u u k c
uk
Biến đổi nguyên hàm về 1 trong 2 dạng sau:
2
22
dx dx 1
lnC mx n mx n k c
m
ax bx c
mx n k
ln
4 16
24
45
4 10 5
5
4
16
xx
C x x c
xx
x
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 2 3
22
2
dx dx dx
C ; C ; C
3x 8x 1 7 8x 10x
5 12x 4 2 x
d ax bx c
m mb
C
aa
ax bx c
2. Các bài tập mẫu minh họa:
• D
1
=
1 1 1
2 2 2
0 0 0
4 d 2 d d
2
4 5 4 5 4 5
x x x x x
x x x x x x
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 2 3
2 2 2
5 4x dx 3x 7 dx 8x 11 dx
D ; D ; D
3x 2x 1 2x 5x 1 9 6x 4x
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương Page1
2
ST&BS: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
V. Dạng 5:
2
dx
E=
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
3
1
2
2
dx
E=
x - 1 x - 2x + 2
. Đặt
2
21
1
11
3
1;
2
dx
xt
t
xt
xx
dx
E
1
x-1 x 2 x 2
t 1 t 1
22
tt
t
1
1
2
2
12
12
dt 1 5 2 2 2
ln t t 1 ln 1 2 ln ln
2
15
t1
22
dx
dx
mq
m
px q n
mx n
pp
F
px q ax bx c px q ax bx c
22
dx dx
mq mq
mm
F n C n E
pp
pp
ax bx c px q ax bx c
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
13
ST&BS: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
1
2
0
dx
22
I
xx
1
1
2
0
2
0
dx 2 5
ln 1 1 1 ln
xt
xt
x
t
dt
t
. Khi đó:
12
1
2
1
2
22
12
2 5 2 2 2 2 9 4 5
2ln ln ln
1 2 1 5
1 2 1 5
•
32
2
2
5
1
21
22
2 1 4 3
x
dx
x x x
xx
32
32
2
2
2
dx
arcsin x 2
6
1 x 2
32
2
2
1 2 1 3
2
22
1 3 1 2
13
13
Vậy
2
5
5
1 2 1
F I J arcsin arcsin
2 2 12 2 3 4
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
Đặt
2
2 2 2 2
t d tdt
t cx d t cx d x ;xdx
cc
Khi đó:
2 2 2
2
1 1 1t dt dt
GA
c
c at bc ad c
a t d
bt
c
7
77
1
22
2
1
11
3 4 7
1 t dt 1 dt 1 1 4 t 1
G ln ln
6 2 2 8 4 t 16
4t
16 t
5 4 7
t
3
22
2
d td.dt
xt cx d x t cx d x xdx
tc
tc
2
2
2
2
2
td.dt t c
dx xdx dt
x xt
tc
td t c
cx d
•
3
1
22
2
dx
H=
x - 2 x + 3
. Đặt
2
2
2
3
3
3
3
7
2
2
xt
x
xt x t
x
xt
2
2
2
2
2
3tdt t 1
dx xdx dt
x xt
t1
3t t 1
x3
. Khi đó ta có:
23
1
2
72
dt
25
H
t
x x x x x x
IX. Dạng 9:
22
mx + n dx
I=
ax + b cx + d
1. Phương pháp:
2222
xdx dx
I m n mG nH
ax b cx d ax b cx d
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
1 1 1
du udu du
4u 7
4 7 4J 7L
u 5 3u 2 u 5 3u 2 u 5 3u 2
Xét
2
22
1
5 3 2
udu
J
uu
. Đặt
2
22
2
32
33
t tdt
t u u udu
17 14 17 5
1 17 14 17 5 1
ln ln ln
2 17 17 14 17 5 2 17
17 14 17 5
Xét
2
22
1
5 3 2
du
L
uu
. Đặt
2 2 2 2 2
2
. Khi đó:
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương Page1
6
ST&BS: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
14 2 14 2
2
2
22
2
1 2 2
2
du dt dt
L
2
17 5t
u 5 3u 2
5 t 3
t3
1
17 14 17 5
4 7 70 2 17 2 5 17
I 4J 7L ln ln
2 17 2 85
17 14 17 5 70 2 17 2 5 17
•
61
22
21
2 1 1
1 5 2 1 3
x dx
xx
Xét
6
22
2
5 2 3
udu
J
uu
. Đặt
2
22
3
23
22
t tdt
t u u udu
6 3 3
2
2
22
11
3
2 3 2 3
2
ut u u t u u
t
2
2
3tdt
udu
2t
2
2
2
2
2
3tdt 2 t
du udu dt
2t
36
12
13 5 t
1 1 1 78 3 5 26 5
ln ln ln
5
2 13 5 13 5 t 2 65 78 3 5 26 5
x 2 x+ 5
1 5 2 1 1 1 1 2
ln
7 2 5 7 5 5 7 5
x x x
dx dx c
x x x x x
1 x 4 x 5
dx
9 x 5 x 2 x 4
II. DẠNG 2: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ KHÔNG ĐỒNG BẬC
1. Các bài tập mẫu minh họa:
22
2
22
22
2
22
dx 1 x x 3 1 xdx dx
dx
3 3 x
x3
x x 3 x x 3
1 1 d x 3 dx 1 1 1 x 3
ln x 3 ln x c ln c
3 2 x 3 2 6
x 3 x
dx
10 10
x 10 x
x x 10 x x 10
2
73
dx
B=
x 10x
22
2 3 2
2
2
1 1 d x dx 1 1 x 10 1
ln c
10 2 20
xx
10 x 10
x 10
III. DẠNG 3: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 4
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương Page1
8
ST&BS: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
22
2 2 2 2
dx 1 x 1 x 1 1 x 1 1
dx ln arctgx c
2 4 x 1 2
x 1 x 1 x 1 x 1
1
4
22
22
22
22
1 x 1 x 1 1 1 1
dx dx
22
x 1 x 1
x 1 x 1
1 dx 1 dx 1 x 1 1
ln arctgx c
2 2 4 x 1 2
x 1 x 1
44
x 1 1 dx 1 x 1 1
dx dx x C x ln arctgx c
4 x 1 2
x 1 x 1
4
5
4
x dx
C=
x1
2
2
2
2
1 d x 1
arctg x c
22
x1
2
2
2
2
2
1
11
1
d x x 2
1
xx
x
dx ln c
1
1
22
1
x2
x
x2
x
x
x
1
dx
1 x 1
x
x
dx arctg c
1
2 x 2
1
x
x2
x
x
2
9
4
x + 1
C = dx
x + 1
2 2 2 2
C=
x + 1
2 2 2 2
4 4 4
22
98
2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
dx dx dx
22
x 1 x 1 x 1
1 1 1 x 1 1 x x 2 1
C C arctg ln c
22
2 x 2 2 2 x x 2 1
12
4
x dx
C=
x + 1
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
19
ST&BS: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
2
2
2
2
2
22
1
1
1 dx
dx
x
x
11
2
13
4 3 2
x -1 dx
C=
x 5x 4x 5x+ 1•
2 2 2 2
4 2 4 2 4 2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
dx dx dx
22
x x 1 x x 1 x x 1
14
42
dx
C=
x + x +1
22
2
11
x x 1
1 1 1 x 1 1 x x 1
xx
arctg ln c arctg ln c
1
44
3
dx
D=
x1
22
2
22
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt
dt
3 3 t
t 3t 3
t t 3t 3 t t 3t 3
22
1 dt 1 2t 3 dt 3 dt
3 t 2 2
2
3
dx
D=
x + 1
22
2
22
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt
dt
3 3 t
t 3t 3
t t 3t 3 t t 3t 3
ln 3arctg c ln arctg c
3 2 6
t 3t 3 x x 1
3 2 3 3
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương Page2
0
ST&BS: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
•
2
2
22
xdx 1 x x 1 x 1
22
2
1 dx 1 2x 1 dx 3 dx
3 x 1 2 2
x x 1
3
1
x
22
2
1 1 2x 1
ln x 1 ln x x 1 3arctg c
32
2 2 2
2
1 1 x 1 1 dx 1 2x 1 dx 3 dx
dx
3 x 1 3 x 1 2 2
x x 1 x x 1
3
1
x
22
1
6
dx
E=
x1
22
22
22
22
1 1 x 2x 1 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1
ln arctg ln arctg
2 6 6
x x 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1
ln arctg arctg c
12
4 3 3 3
x 2x 1 x x 1
2
6
xdx
E=
x12 4 2 2
2 4 2
1 1 u 2u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1
ln arctg c ln arctg c
2 6 12
u u 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
3 3 3
6 3 3
1 d x 1 1 x 1 1 x 1
ln c ln c
3 3 2 6
6
x dx
E=
x1
2
4 2 2
2 4 2
1 u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1
ln arctg c ln arctg c
12 12
u u 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
21
ST&BS: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
4 2 2
2 4 2 6
2 4 2
•
6
6
6
1 d x 1
ln x 1 c
66
x1
5
6
6
x dx
E=
x1
•
6
1
66
x 1 1 dx
dx dx x E
2 2 2
2
42
2 4 2
2
2
1
1 dx
x 1 x 1 dx x 1 dx
x
1
x x 1
x 1 x x 1
x1
x
x
x
•
4 2 2 2
26
2 4 2
x x 1 x dx x dx
dx
x 1 x 1
x 1 x x 1
4
9
6
x + 1
arctgx arctg x ln c
23
2 3 x x 3 1
10
6
dx
E=
x + 1
•
3 2 3
2
6 6 6
1 d x 1 d x 1 d x 1
D
3 2 3 2
x 1 x 1 x 1
VI. DẠNG 6: SỦ DỤNG KHAI TRIỂN TAYLOR
• Đa thức P
n
(x) bậc n có khai triển Taylor tại điểm x
a là:
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương Page2
2
ST&BS: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
n
2n
n n n
nn
P a P a P a
34
2 3 4
4 4 4 4
44
P 2 P 2 P 2 P 2
P x P 2 x 2 x 2 x 2 x 2
1! 2 ! 3! 4!
2 3 4
4
P x 66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2
2 3 4
1
50
50 49 48 47 46
49 48 47 46 45
66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2
F dx
3 5 3 5
1
100
dx
G=
3x + 5x
dx x x dx x dx
dx
x
x
x x x x
99 99
99
99 99
1 dx 1 d 3x 5 1 1 1 x
ln x ln 3x 5 c ln c
5 x 99 5 99 495
3x 5 3x 5
dx
77
x 2x 7
x 2x 7 2x 7
1 1 2x 7 2x 2x dx 1 dx 2x dx 1 2x dx
dx
7 7 49 x 7
2x 7
x 2x 7
2x 7 2x 7
1 dx 1 d 2x 7
49 x 50
2x 7
350
2x 7
1 1 1 1 x 1
ln x ln 2x 7 ln c
49 49.50 49.50
2x 7
350 2x 7 350 2x 7
n n n
k k 1 k
n n n
1 ax b ax 1 dx 1 d ax b
dx
b b nb
x ax b x ax b ax b
x ax b ax b ax b
n
k k 1 k
k 1 n
n
n
k n k 1
k 1 n
n
1 1 1 1 1
ln x ln ax b c
n
bb
b ax b
b k 1 ax b
1 x 1 1 1
ln c
2000 1000
2000
2000
2000
1 x 2x dx 2x dx
dx
x
x 1 x 1 x
dx 1 d 1 x 1 x
ln x ln 1 x c ln c
x 1000 1000
1x
1x
2000
4
2000
1 x dx
G=
x 1+ x
19
5
2
10
x dx
G = =
3 + x
x x dx x d x x
dx
x x x
d x d x
xc
x
x
x
10 2x 3 2000 2x 3
99
6
7
50
x dx
G=
2x 3
•
n n 1
nn
2 k 1 k 2 k 2 k 1
n n n n
1 d ax b d ax b 1 1 b
bc
na na
ax b ax b k 2 ax b k 1 ax b
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương Page2
4
ST&BS: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
VIII. DẠNG 8: KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC
•
10
2
3x 5 dx
x2
x2
10
1
12
3x 5
99
2
101
7x 1
H = dx
2x + 1100 100
1 1 7x 1 1 7x 1
cc
9 100 2x 1 900 2x 1
•
1 1 x 3 x 5 1 1
x3
d u 1 du
x5
x5
2 2 u
x3
x5
6 5 4 3 2
75
7 2 3 4 5
2
7 2 3 4
1 u 6u 15u 20u 15u 6u 1
du
2u
1
2
7
2 3 4
7
1 1 x 3
x 3 x 3
6 15ln
x 5 x 5
2 x 5
2
1
x 5 15 x 5 x 5 x 5
1
20 2 c
x 3 2 x 3 x 3 4 x 3
2
3
54
dx
H=
3x+ 2 4x - 1BÀI 4. TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
25
ST&BS: Cao Văn Tú
Email: [email protected]
A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG
1. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON
0 1 1 1 1
n
n n k n k k n n n n
n n n n n
a b C a C a b C a b C ab C b
trong đó
!
B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN
I. Dạng 1:
nn
1.1 1.2
A = sinx dx ; A cosx dx
1. Công thức hạ bậc
2 2 3 3
1 2 1 2 3 3 3 3
2 2 4 4
cos x cos x sin x sin x cos x cos x
sin x ;cos x ;sin x ;cos x
2. Phương pháp
2.1.
Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc
2.2.
Nếu n
kp
kp
0 1 2 k 2 p 2
p p p p
kp
2k 1 2p 1
0 1 3 k p
p p p p
C C cos x 1 C cos x 1 C cos x d cos x
1 1 1
C cosx C cos x C cosx C cos x c
3 2k 1 2p 1
Copyright: Tài liệu đại học ©