Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức
Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 119
BÀI 6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM ĐA THỨC
VẤN ĐỀ 1: HÀM BẬC BA
DẠNG 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Tập xác định:
D=
Đạo hàm:
2
2
' 3 2
' 0 3 2 0 (1)
y ax bx c
y ax bx c
Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, hàm số có cực đại và cực tiểu
Nếu (1) vô nghiệm hay có nghiệm kép, thì hàm số đơn điệu trên TXĐ
Giới hạn:
3
2 3
0
lim lim 1
0
x x
, do đó ta có bốn trường
hợp biến thiên khác nhau.
Đồ thị hàm số: Do có bốn trường hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm bậc ba
có bốn dạng sau đay:
a > 0 a < 0
y’ = 0 có 2 nghiệm phân
biệt
'
0
y
( Có hai cực trị)
y’ = 0 vô nghiệm hoặc có
nghiệm kép
'
'
0
0
y
y
0
I
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức
Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 120@ Mẹo nhỏ: Đối với trường hợp đồ thị hàm số không có cực trị, để vẽ đồ thị được đẹp và chính
xác ta nên tìm điểm uốn (điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai bằng 0) để biết đồ thị “uốn lượn” ở
đâu? Và ta dễ dàng thấy rằng: đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: (Trường hợp có cực trị)
3 2 3 2
) 3 1 ) 2 3 2
a y x x b y x x
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: (Trường hợp
' 0
y
có nghiệm kép)
3 2 3 2
1
) 3 3 1 ) 1
3
a y x x x b y x x x
ax ( )
y bx cx d C
1. Điều kiện cần và đủ để đồ thị (C) có cực đại và cực tiểu ( có cực trị) là:
2
' ( ) 3 2 0
y g x ax bx c
có hai nghiệm phân biệt
1. Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị. Ba điểm
A, I, B
thẳng hàng (I là điểm
uốn: điểm mà tại đó
y’’=0
, A và B là hai điểm cực trị)
Giả sử y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và
y = k(Ax + B)y’ + r x + q
với k là hằng số khác 0
thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là
y = r x + q
. Vậy phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm phân biệt chính là phần dư trong phép chia đa thức
( ): '( )
f x f x
Để chứng minh ba điểm A,I, B thẳng hàng ta chứng minh
AB
k AI
1 2
1 2
' 0 có 2 nghiệm phân biệt x ,
( ). ( ) 0
y x
y x y x
c) (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt
1 2
1 2
' 0 có 2 nghiệm phân biệt x ,
( ). ( ) 0
y x
y x y x
(C)
A
x
0
O
x
y (h.1a)
(C)
A
x
0
x
y
(h.1b) x
1
x
(H.3)
y
CĐ
x
0
x'
0
B
(C)
y
CĐ
y
A
x
0
o
x
1
B
x'
x x g) Phng trỡnh
3 2
ax 0( 0)
bx cx d a
cú 3 nghim õm
0 0
. 0 . 0
hoaởc
(0) 0 (0) 0
0 0
CD CT CD CT
CT CD
a a
y y y y
a a
y y y y
x x
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức
Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 123
i) Phương trình
3 2
ax 0( 0)
bx cx d a
có 2 nghiệm âm:
0 0
y'=0 có hai nghiệm phân biệt y'=0 co
ù hai nghiệm phân biệt
hoặc
f x Ox
6. Biện luận số nghiệm của phương trình : ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (1) (a 0) khi x = là 1
nghiệm của (1).
Nếu
x
là 1 nghiệm của (1), ta có
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = (x - )(ax
2
+ b
1
x + c
1
Nếu a>0: hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn bé nhất; a<0: hệ số góc của tiếp
tuyến tại điểm uốn lờn nhất
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức
Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 125
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1(TNTHPT – 2008) .Cho hàm số
3 2
2 3 1
y x x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Biệm luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
2 3 1
x x m
Bài 2 (TN THPT- lần 2 – 2008). Cho hàm số
3 2
3
y x x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b. Tìm các giá trị của m để phương trình
3 2
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình
'' 0
y
c/ Với giá trị nào của m thì đường thẳng
2
y x m m
đi qua trung điểm của đoạn thẳng
nối cực đại vào cực tiểu .
Bài 6 (TNTHPT – 2004 - KPB). Cho hàm số
3 2 3
3 4
y x mx m
.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi
1
m
.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
1
x
.
Bài 7 (ĐH- A- 2002). Cho hàm số
3 2 2 3 2
Bài 9 (ĐH-B- 2007). Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1
y x x m x m
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
1
m
b. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị cách đều điểm O.
Bài 10 (ĐH - D - 2004). Cho hàm số
3 2
3 9 1
y x mx x
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với
2
m
b. Tìm m để nghiệm của phương trình
'' 0
y
thuộc đường thẳng
b. Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ
0
x
.
Bài 3. Cho hàm số y = (x -1)(x
2
+ mx + m)
a. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với
4
m
Bài 4. Cho hàm số y =
3 2 2
2 2
x mx m x
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi
1
m
b. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại
1
x
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức
Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 127
2
' 12 2 3
y x mx
Ta có:
2
' 36 0
m
với mọi
m
, vậy luôn có cực trị
1 2
1 2
1 2
4
9
6 2
1
4
x x
m
x x m
x x
1
m
.
2. Cho
d
có phương trình
4
y x
và điểm
1;3
K . Tìm các giá trị của tham số m
sao cho
d
cắt
m
C
tại ba điểm phân biệt
0;4
A ,
,
B C
sao cho tam giác
(d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C
phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt
khác 0.
/ 2
1 2
2 0
( )
2
(0) 2 0
m m
m m
a
m
g m
.
x x x x
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức
Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 128
2 2
1 137
4 4( 2) 128 34 0
2
m m m m m
(thỏa ĐK (a)).
Vậy
1 137
2
m
Bài 7. Cho hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 có đồ (C
m
); (m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
3
) cắt đường thẳng
1
y
tại C(0, 1),
,
D E
phân biệt:
Phương trình (2) có 2 nghiệm
,
2
0
9 4 0
0
4
0 3 0 0
9
D E
m
m
x x
mm
E
= –1.
(3x
D
+ 2m)(3x
E
+ 2m) = 9x
D
x
E
+6m(x
D
+ x
E
) + 4m
2
= –1
9m + 6m
(–3) + 4m
2
= –1;(vì x
D
+ x
E
= –3; x
D
x
E
= m theo định lý Vi-et).
a
Miền xác định :
D=
Đạo hàm:
3 2
' 4 2 2 2
y ax bx x ax b
Phương trình
' 0
y
hoặc có một nghiệm (
. 0
a b
) hoặc có 3 nghiệm phân biệt. Do đó
hàm số hoặc chỉ có một cực trị hoặc có ba cực trị.
Giới hạn:
4
2 4
khi 0
lim lim 1
Hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng
a > 0 a < 0
y’ = 0 có 3 nghiệm phân
biệt
ab < 0
y’ = 0 chỉ có
1 nghiệm
ab > 0
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (trường hợp có 3 cực trị)
4
4 2 2
3
) )
4 2
x
a y x x b y x
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (trường hợp có 1 cực trị)
4
4 2 2
1 3 3
) )
2 2 4 2
x
a y x x b y x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
4 2 4 2 4 2 4 2
1
) 1; ) 4 20; ) 4 3; ) 2 1
2
a y x x b y x x c y x x d y x x
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm
4 2 4 2
có ba nghiệm phân biệt
0
2
b
a
3. Đồ thị hàm số ln nhận Oy là trục đối xứng.
4. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu
0
0
a
b
5. Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu
0
0
a
b
t t t t
ycbt t t
g t at bt c
g t at bt c
2 1
1 2
1 2
9
hương trình :
t t
S t t
10. Phương trình trùng phương
4 2
0 ( 0) (*)
ax bx c a
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức
Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 132
Đặt
2
, 0
t x t
lúc đó phương trình trở thành
0
0
P
S
Phương trình (*) có 2 nghiệm
(**) có 1 nghiệm dương
0
P
0
0
2
S
Phương trình (*) vô nghiệm
(**) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm âm
0
0
0
0
P
S
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức
Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 133
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
4 2
2 1
x x
c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
4 2
2 1 0
x x m
Bài 3 (ĐH Thái Nguyên - 2002) Cho hàm số
4 2
m
2 (C )
y x mx
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với
1
m
b. Hãy xác định m để hàm số đồ thị hàm số có 3 cực trị
Bài 4. (ĐH Vinh - 2002)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
4 2
y x mx m m
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
1
m
b. Xác định m để đồ thị
( )
m
C
của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm
Bài 7. (ĐH Cần thơ - 2002). Cho hàm số
4 2
2 2
y x x m
(C
m
)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
0
m
b. Tìm các giá trị của m để đồ thị (C
m
) của hàm số chỉ có hai điểm chung với Ox
c. Chứng minh với mọi m tam giác có 3 đỉnh là ba cực trị là một tam giác vuông cân.
4 4
0;1 ; ;1 ; ;1
A B m m C m m
.
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức
Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế 134
Dễ thấy
. 0
AB AC
AC AB
nên tam giác ABC vng cân
2 2 2
1
AB AC BC m .
m = 0 có 4 nghiệm phân biệt trong đó 3 nghiệm
lớn hơn – 1.
Hướng dẫn:
Pt x
4
– 6x
2
+ 5 = 5 + log
2
m
Nhìn vào đồ thị ta thấy u cầu bài tốn
0 < 5 + log
2
m < 5 1/32 < m < 1
Bài 12. Cho hàm số
4 2
8 9 1
y x x
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình:
4 2
8cos 9cos 0, 0;
x x m x
Bài 12. Cho hàm số
4 2
1
1
4
y x mx m
.
.
.
x
o
y
4
5
1-1
.
.
.
x
o
y
4
5
1-1
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức
Bài 1. Cho hàm số
4 2
( ) 2
y f x x x
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b. Tìm điều
kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
Hướng dẫn:
Ta có
3
'( ) 4 4
f x x x
. Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B.
Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là
3 3
'( ) 4 4 , '( ) 4 4
A B
k f a a a k f b b b
Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:
, do đó (1) tương đương với phương trình:
2 2
1 0 (2)
a ab b
Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau
2 2
2 2
4 2 4 2
1 0
1 0
' '
3 2 3 2
a ab b
a ab b
a b
f a af a f b bf b
a a b b
Bài 2.
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x
4
– 4x
2
+ 3
2.Tìm a để phương trình :
4 2
3
4 log 3 0
x x a
có 4 nghiệm thực phân biệt
Hướng dẫn:
Theo đồ thị câu 1 bài toán yêu cầu tương đương
1
3
log
a
< 3
1
m
Tọa độ các điểm cực trị:
A(0;m+1); B(
2 4 2
1 ; 2
m m m m
) ; C(-
2 4 2
1 ; 2
m m m m
)
ABC
S
=
2 4 2 2 5
1
. ( ; ) 1 2 1 (1 ) 1
2
BC d A BC m m m m
.Dấu bằng xảy ra khi m=0.
Vậy m=0
Bài 4. Cho hàm số
4 2
5 4,
.
1.Khảo sát sự bthiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0
2)Tìm m để đồ thị của hsố cắt trục hoành tại 4 điểm pbiệt
1 2 3 4
, , ,
x x x x
thỏa :
1 2 3 4
8
x x x x
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và Ox.
4 2 2
( 10) 9 0
x m x
(1).
Đặt
2
( 0)
t x t
Ptrình trở thành:
2 2
( 10) 9 0
t m t
4 2 . 16
t t t t t t
(3)
Áp dụng Viet :
2
1 2 1 2
10 , 9
b c
t t m t t
a a
.
Ta có pt: m
2
+ 10 = 10
m = 0.
Bài 7. Cho hàm số
4 2
3 1 2 11
y x m x m
. Tìm m để (C
m
) cắt đường thẳng
0
0 2 6 1
0
P m
S
.
Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm dương
1 2
;
t t
. Giả sử
1 2
0
t t
, khi đó phương (1) có
4 nghiệm phân biệt được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là
2 1 1 2
, , ,
t t t t
. Bốn nghiệm
này lập thành cấp số cộng nên:
1 2
9 1
1
;
30 30
m
m
t t
và từ (3) cho ta:
10 6
1 ( )
3
10 6
1
3
m loaïi
m
Copyright: Tài liệu đại học ©