ða thức-ðTH.
1
Chủ ñề:
ðA THỨC Chủ ñề nâng cao lớp 10
Biên soạn: ðỖ THANH HÂN
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

A/ MỤC TIÊU:

- Cung cấp cho học sinh một số khái niệm cơ bản về ña thức, phép chia ña
thức và phương trình hàm ña thức.
- Cung cấp cho học sinh một số phương pháp giải toán về ña thức qua các ví
dụ và bài tập.
- Rèn kĩ năng vận dụng linh họat, diễn ñạt chặt chẽ.
- Góp phần xây dựng năng lực tư duy lôgic, tư duy ñộc lập sáng tạo.

B/ THỜI LƯỢNG:

6 tiết

C/ NỘI DUNG:

Chủ ñề bao gồm các kiến thức ñược trình bày trong hai bài:
- Bài 1: ða thức và phép chia ña thức. (4 tiết)
- Bài 2: ða thức với hệ số nguyên và phương trình hàm ña thức. (2 tiết)

D/ CHÚ THÍCH VỀ MỨC ðỘ YÊU CẦU:

)
f x
là một biểu thức có dạng:

(
)
1
1 1 0

n n
n n
x x x a
f x a a a
−
−
= + + + +

( trong ñó
*
n N
∈
;
x R
∈
;
0 1
, , ,
n
a a a R
∈

, kí hiệu
deg .
f n
=

d) Các hệ
s
ố

0 1
, , ,
n
a a a
g
ọ
i là các h
ệ
s
ố
c
ủ
a
(
)
f x
,
n
a
g
ọ

g
ọ
i là h
ạ
ng t
ử
b
ậ
c
k
,
n
n
x
a
là h
ạ
ng t
ử

b
ậ
c cao nh
ấ
t.

2)
ðị
nh lí 1.1
a)

ỗ
i
ñ
a th
ứ
c
(
)
f x
khác không có m
ộ
t cách vi
ế
t duy nh
ấ
t d
ướ
i d
ạ
ng:

(
)
(
)
1
1 1 0
0 .
n n
n n n

a m
ỗ
i h
ạ
ng t
ử
cùng b
ậ
c là b
ằ
ng nhau.

•
Chú ý: T
ậ
p h
ợ
p t
ấ
t c
ả
các
ñ
a th
ứ
c v
ớ
i h
ệ
s

ậ
p h
ợ
p t
ấ
t c
ả
các
ñ
a th
ứ
c v
ớ
i h
ệ
s
ố

h
ữ
u t
ỉ
, h
ệ
s
ố
nguyên.

c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c
)
.

Ví dụ 1)
Tìm
a,b,c
bi
ế
t r
ằ
ng:

( ) ( )
2 2
2 3 5a x b x cx x R+ + + = + ∀ ∈

L
ờ
i gi
ả
i:
Ta có
( ) ( )



+ =


Gi
ả
i h
ệ
trên ta
ñượ
c:
1; 1; 2.
a b c
= − = =

- - - - - - - - - - - - - - -
Bài tập tự giải:

1)
Tìm
a, b
bi
ế
t r
ằ
ng
4 3 2
2 3
x x x ax b

S:
2, 1
a b
= =
)
- - - - - - - - - - - - - - -
2)
Tìm
a, b, c
bi
ế
t r
ằ
ng
2
2 2
2 3
.
1 1
x x bx c
a x R
x x
− − + +
= + ∀ ∈
+ +

(
ð
S:
1; 2; 4.

 
= ∀ ∈
 L
ờ
i gi
ả
i:
G
ọ
i
(
)
(
)
1
1 1 0
0; , 1,2, , .
n n
n n n i
x x x a a a R i n
f x a a a
−
−
= + + + + ≠ ∈ =

Ta có
(1)

n
x
ta có:
2 2
16
16. 2 .
4
n
n n n
n
a a a= ⇒ =
(do
0
n
a
≠
)
Mà
n
a Z
∈
nên
0,1,2.
n
=

•
V
ớ
i

)
0
4
x a
f x
= +
thay vào (1) ta có
(
)
( )
2
2
0 0
16 4 8
x a x a
+ = +

2
0 0 0 0
16 16 0.
a a x a a
⇔ = + ⇔ =
( do (1)
ñ
úng
x
∀
)
V
ậ

)
( )
2
4 2 2
1 0 1 0
16 (2 ) 2
x a x a x a x a
 
+ + = + +
 

(
)
(
)
4 2 4 3 2 2 2
1 0 1 1 0 1 0 0
16 16 16 4 8 4
x a x a x a x a a x a a x a
⇔ + + = + + + + +

ðồ
ng nh
ấ
t các h
ệ
s
ố
ta
ñượ

( )
( )
2
16
4
x
x
f x
f x
f x

=

=


=


ñề
u th
ỏ
a
ñề
ra.
- - - - - - - - - - - - - - -
Bài tập tự giải:

Tìm t
ấ

)
, 0,1,2,3,
n
x n
f x
= = )
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Thực hành 2: Tính tổng các hệ số của ña thức.

Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i:
S
ử
d
ụ
ng k
ế
t qu
ả
:
N
ế
u
(
)
(

s
ố
c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c:

(
)
(
)
32 2006
5 2 3
( ) 2 3 3 3 5 8 6 .
f x x x x x x= − + − + −L
ờ
i gi
ả
i:
Ta vi
ế
t
( )
f x

c
ñ
ã cho là:

( ) ( ) ( )
32 2006
1 1 0
1 2 3 3 3 5 8 6 0.
n n
a a a a f
−
+ + + + = = − + − + − =

- - - - - - - - - - - - - - -
Bài tập tự giải:
V
ớ
i
a R
∈
, hãy tính t
ổ
ng các h
ệ
s
ố
c
ủ
a
ñ

nh ngh
ĩ
a 1.2)
Ta nói r
ằ
ng
ñ
a th
ứ
c
( )
f x
chia h
ế
t cho
ñ
a th
ứ
c
( )
g x
, kí hi
ệ
u
(
)
( )
f x g x
⋮
, n

ñ
a th
ứ
c
( )
f x
và
( )
g x
(
( ) 0
g x
≠
) luôn t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t hai
ñ
a th
ứ
c
( )
q x
và
( )
r x
sao cho

ứ
c
( )
r x
g
ọ
i là d
ư
c
ủ
a phép chia
( )
f x
cho
( )
g x
). 3/ Nghiệm của ña thức:ðị
nh ngh
ĩ
a 1.3)
Ta nói
a
là nghi
ệ

m c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c
( )
f x
khi và ch
ỉ
khi
(
)
( ) .
f x x a
−
⋮
ðị
nh ngh
ĩ
a 1.4)
Ta nói
a
là nghi
ệ
m b

g a
≠
và
( )
( ) ( ) .
k
f x x a g x x R
= − ∀ ∈

Thực hành 3: Xác ñịnh ña thức chia trong phép chia hết.

Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i:

PP1: S
ử
d
ụ
ng
ñị
nh ngh
ĩ
a phép chia h
ế

ử
d
ụ
ng
ñị
nh lí B
ơ
-du.

Ví dụ 1)
Tìm
a
bi
ế
t r
ằ
ng:

4 3 2
( ) 6 7 3 2
f x x x ax x
= − + + +
chia h
ế
t cho
ñ
a th
ứ
c
2

6 7 3 2 6 6 6
x x ax x x b x c b x b c x c
− + + + = + − + − − − + − ða thức-ðTH.
6
Suy ra
6 7
6
3
2
b
c b a
b c
c
− = −


− − =


− − =


− =


1
2

ằ
ng:
4 3
( ) 1
f x ax bx
= + +
chia h
ế
t cho
2
( 1) .
x −

L
ờ
i gi
ả
i:

*
Cách 1: ðặ
t
( )
(
)
2
2


− =


=


1
2
3
4
n
m
a
b
=


=

⇔

=


= −


V
ậ


(
)
( ) 4 3 1 3 2 . (1)
r x a x a b= + + − −

Do
( )
2
( ) 1
f x x
−
⋮
nên
( ) 0
r x x R
= ∀ ∈
vì v
ậ
y t
ừ
(1) ta có:

4 3 0 3
1 3 2 1 4
a b a
a b b
+ = =
 
⇔

ó:

(1) 0 1 0 1
f a b b a
= ⇒ + + = ⇒ = − −

Suy ra
(
)
4 3
( ) 1 1
f x ax a x
= − + +(
)
(
)
3 2
1 1
x ax x x
= − − − −

Do
1
x
=
là nghi
ệ

b
= −

V
ậ
y
a
= 3,
b
= - 4 là giá tr
ị
ph
ả
i tìm.
- - - - - - - - - - - - - - -

Ví dụ 3)*
Cho
3 3 3
F x y z mxyz
= + + +
.

ðị
nh
m

ñể

F

( )
F x
.
Vì
(
)
(
)
x y z x y z
+ + = − − −
và
(
)
F x y z
+ +
⋮
nên
(
)
( )
F x x y z
 
− − −
 
⋮

Suy ra
( ) ( )
3
3 3

y z
∀

3.
m
⇔ = −

- - - - - - - - - - - - - - -

Bài tập tự giải:

1)
Tìm
a, b
bi
ế
t r
ằ
ng
4 3 2
( ) 6 7 3 2
f x x x ax x
= − + + +
chia h
ế
t cho
ñ
a th
ứ
c

= − = −
 
∨
 
= − = −
 
)
- - - - - - - - - - - - - - -
2)
Tìm
a, b
bi
ế
t r
ằ
ng
4
( ) 1
f x x
= +
chia h
ế
t cho
ñ
a th
ứ
c
2
.
x ax b

∨
 
= =
 
 
)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Thực hành 4: Xác ñịnh ña thức chia trong phép chia có dư.

Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i:

S
ử
d
ụ
ng
ñị
nh lí phép chia có d
ư
, chú ý
ñế
n các giá tr
ị

ñặ

cho
2
1
x
−

thì
ñượ
c d
ư
là
x
.

L
ờ
i gi
ả
i:
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t, ta có:
(
)
(
)

a b c
a b c b
a b c
c
f
f
f

= −


− = + − + =


 
= ⇒ + + + = ⇔ =
  
  
− = − + − + =



=


- - - - - - - - - - - - -

ða thức-ðTH.
8
Ví dụ 2)

2 2 ( 1)( 1)( 2)
x x x x x x
− − + = − + −
nên t
ừ
gi
ả
thi
ế
t ta có:

(
)
( 1)( 1)( 2) ( ) 1
x x x q x
f x
= − + − +

Suy ra:
(1) 1 1 1
( 1) 1 7 3
(2) 1 4 2 1 3
f a b c a
f a b c b
f a b c c
= + + = =
  
  
− = ⇒ − + = ⇔ = −
  


cho
2
1
x
−
thì
ñượ
c d
ư
là 2
x
.

(
ð
S:
10; 19; 10
a b c
= − = − = −
)
- - - - - - - - - - - - - - -

2)
Tìm
ñ
a th
ứ
c b
ậ

x
+
,
2
x
+
,
1
x
−

(
ð
S:
3 2
2 14
( )
3 3 3 3
x x x
f x
= + − −
)

- - - - - - - - - - - - - - - - - -*)(* - - - - - - - - - - - - - - - - -

là m
ộ
t
ñ
a th
ứ
c v
ớ
i nh
ữ
ng h
ệ
s
ố
nguyên và
a
,
b
là nh
ữ
ng s
ố

nguyên, thì hi
ệ
u
f(a) – f(b)
chia h
ế
t cho

)
1
( )
n n
n
f a b a a b a a b
f
− = − + + −( )
(
)
1 1
1

n n
n
a b a a b a
− −
 
= − + + + +
 

T
ừ

ñ
ây suy ra tính ch
ấ

f x
là
ñ
a th
ứ
c v
ớ
i h
ệ
s
ố
nguyên, có
(0)
f
,
(1)
f
là các s
ố
l
ẻ
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình
( )

v
ớ
i
[
]
( )
g x Z x
∈

Suy ra
(
)
(
)
(1) 1 1
f g
α
= −
mà
(1)
f
là s
ố
l
ẻ
nên
α
là s
ố
ch

ẫ
n trên ch
ứ
ng t
ỏ

ñ
i
ề
u ta gi
ả
s
ử
là sai.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
( )
f x
=0 không có nghi
ệ
m nguyên. (
ñ
pcm
)
- - - - - - - - - - - - -

Ví dụ 2)*
ða thức-ðTH.
10
L
ờ
i gi
ả
i:
G
ọ
i
α
là nghi
ệ
m nguyên c
ủ
a
( )
f x
, ta có
( ) 0
f
α
=
.
Vì
(1) 2 2005
f a
= −

là s
ố
l
ẻ
, suy ra
α
là s
ố
ch
ẵ
n.
Gi
ả
s
ử

1 2
,
α α
là hai nghi
ệ
m nguyên phân bi
ệ
t c
ủ
a ph
ươ
ng trình
( )
f x

)
(
)
3 2 2 3 2 2
1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2
2007 2006 2005
a
α α α α α α α α α α α α
= + + + − + + + + + −

ðẳ
ng th
ứ
c trên không th
ể
x
ả
y ra vì
1 2
,
α α
là các s
ố
ch
ẵ
n.
Mâu thu
ẫ
n trên ch
ứ

Bài tập tự giải:

1)
Cho
( )
f x
là
ñ
a th
ứ
c v
ớ
i h
ệ
s
ố
nguyên th
ỏ
a
ñ
i
ề
u ki
ệ
n:
f(a+b) = ab
v
ớ
i m
ọ

ứ
c
(
)
[
]
f x Z x
∈
th
ỏ
a:

(
)
( )
2007 2006
2002 2003
f
f

=


=



- - - - - - - - - - - - - -

3)*

)
(
)
(
)
3 3 2
1
P x xg x x x
f x
= + + +
⋮

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
(
)
(
)
(
)
2006 , 2006 2005.
UCLN g
f
≥

(
H

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Thực hành 6: Các bài toán ña thức liên quan ñến số học.

Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i:

S
ử
d
ụ
ng
ñị
nh lí B
ơ
-du và
ñị
nh ngh
ĩ
a 1.4 Ví dụ 1)
Cho
( )
f x


ða thức-ðTH.
11

L
ờ
i gi
ả
i:
G
ọ
i
α
là nghi
ệ
m nguyên c
ủ
a
( )
f x
, ta có
(
)
(
)
( )
f x x g x
α
= −
v

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(2005) 2006 2005 2006 2005 2006 .
f g g
f
α α
= − −

Do
(
)
(
)
2005 2006 2
α α
− −
⋮
nên
(
)
(2005) 2006 2007 2
f
f

ñ
pcm
)
- - - - - - - - - - - - - - - -

Ví dụ 2)*
Cho
( )
f x
là
ñ
a th
ứ
c v
ớ
i h
ệ
s
ố
nguyên.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
(
)
(

i gi
ả
i:
Gi
ả
s
ử
ph
ươ
ng trình
(
)
0
f x
=
có m
ộ
t nghi
ệ
m nguyên là
α
, ta có:
(
)
(
)
( )
f x x g x
α
= −


. . . . . . . . . . . . . . .

(
)
(
)
( 1) 1 1 .
f m m g m
α
− = − − −

Vì:
(
)
(
)
(
)
0 , 1 , , 1m
α α α
− − − −
là
m
s
ố
nguyên liên ti
ế
p nên ph
ả

t s
ố
chia h
ế
t
cho
m,
mâu thu
ẫ
n gi
ả
thi
ế
t.
V
ậ
y
ñ
i
ề
u ta gi
ả
s
ử
là sai, suy ra ph
ươ
ng trình
(
)
0

ph
ươ
ng trình
(
)
1
f x
=
có quá 3 nghi
ệ
m nguyên. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình
(
)
1
f x
= −

không có nghi
ệ
m nguyên.

L
ờ
i gi

f x
=
có quá 3 nghi
ệ
m nguyên nên có ít nh
ấ
t 4 nghi
ệ
m
nguyên khác nhau, g
ọ
i 4 nghi
ệ
m
ñ
ó là:
1 2 3 4
, , ,
α α α α
.
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(

(
)
(
)
1 2 3 4
1 2 g
f
α α α α α α α α α α
− = − = − − − −
,
trong
ñ
ó:
1 2, 3 4
, ,
α α α α α α α α
− − − −
là 4 s
ố
nguyên phân bi
ệ
t.
V
ậ
y -2 phân tích
ñượ
c thành tích c
ủ
a 4 s
ố

nguyên có
(
)
1996
f x
=
t
ạ
i 5 giá tr
ị
nguyên
c
ủ
a
x.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
(
)
2006
f x
≠
v
ớ
i m
ọ
i giá tr

t
ñ
a th
ứ
c
(
)
f x
v
ớ
i h
ệ
s
ố
nguyên nh
ậ
n giá tr
ị
b
ằ
ng 2 t
ạ
i 4 giá tr
ị
nguyên
khác nhau c
ủ
a
x.
Ch

(
)
(
)
(
)
2
x x a x b x c x d g x
F f x
= − = − − − −
)

- - - - - - - - - - - - - - - -
3)
Bi
ế
t
ñ
a th
ứ
c
(
)
f x
v
ớ
i h
ệ
s
ố

ệ
m nguyên.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

II/ PHƯƠNG TRÌNH HÀM ðA THỨC:
ðị
nh lí 2.1) ( Khai tri
ể
n
ñ
a th
ứ
c theo các nghi
ệ
m )
Gi
ả
s
ử

1 2
, , ,
m
a a a
là các nghi
ệ
m c

n t
ạ
i
ñ
a th
ứ
c
( )
g x
sao cho:

(
)
(
)
(
)
1 2
1 2
( ) ( ) .
m
k k k
m
f x x a x a x a g x x R
= − − − ∀ ∈
.
( v
ớ
i
( ) 0

c
1
n
≥

ñề
u có không quá
n
nghi
ệ
m th
ự
c.
b)

N
ế
u
ñ
a th
ứ
c
( )
f x
có b
ậ
c
n
mà t
ồ

= ∀ ∈

Thực hành 7: Tìm phương trình hàm ña thức.

Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i:

S
ử
d
ụ
ng
ñị
nh lí 2.1 và h
ệ
qu
ả
2.1.

ða thức-ðTH.
13Ví dụ 1)*

i gi
ả
i:
T
ừ
(1): cho
x
=0 ta có
(0) 0
f
=
.
Suy ra: v
ớ
i
x
=1 ta có
(1) 0
f
=
.
V
ớ
i
x
=2 ta có
(2) 0
f
=
.

g x R x
∈
.
Thay vào (1) ta có:

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 3 1 2 .
x x x x g x x x x x g x x R
− − − − = − − − ∀ ∈

Suy ra:
(
)
{
}


ñ
i
ể
m, nên:
( ) .
g x c x R
= ∀ ∈

V
ậ
y
(
)
(
)
( ) 1 2
f x cx x x x R
= − − ∀ ∈

Th
ử
l
ạ
i ta th
ấ
y
(
)
(

(
)
( 1) 2 1 .
f x x x R
f x
+ = + + ∀ ∈
(2)

L
ờ
i gi
ả
i:
Ta có (2)
( ) ( )
2
2
( 1) 1 .
f x x x x R
f x
⇔ + − + = − ∀ ∈
(3)

ðặ
t
(
)
(
)
2

ậ
n cùng m
ộ
t giá tr
ị
t
ạ
i vô
s
ố

ñ
i
ể
m, nên:
( ) .
g x c x R
= ∀ ∈

V
ậ
y
2
( )
f x x c x R
= + ∀ ∈

Th
ử
l

f x R x
∈
th
ỏ
a:

(
)
(
)
(
)
1 . ( 1) 2 . .
x f x x x R
f x
− + = + ∀ ∈

(
ð
S:
(
)
2
( ) 1 .
f x cx x x R
= − ∀ ∈
)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ða thức-ðTH.

ð
S:
(
)
( ) 1 ( 2)( 3)( 4) .
f x cx x x x x x R
= − − − − ∀ ∈
)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3)*
Tìm t
ấ
t c
ả
các
ñ
a th
ứ
c
[
]
( )
f x R x
∈
th
ỏ
a:

(
)

f x R x
∈
th
ỏ
a:

(
)
(
)
2 2
( 1) ( 3) .
2
x f x x x R
f x
− = − ∀ ∈
+

( ðS:
( )
2
( ) 3 .
f x c x x R
= − ∀ ∈
)

- - - - - - - - - - - - - - - - - -*) HẾT (* - - - - - - - - - - - - - - - - -