BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Lê Thị Mỹ Hạnh
CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ
THUYẾT ÁNH XẠ BẢO GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011
LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê thị Thiên Hương
về sự hướng dẫn tận tình của cô trong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn quí thầy cô thuộc khoa Toán – Tin trường đại học sư
phạm TP. Hồ Chí Minh đã truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm quí báu cho
tôi trong suốt thời gian học tập tại trường.
Xin cảm ơn các anh ch
ị và các bạn trong lớp cao học K19 đã hỗ trợ tôi nhiều
mặt trong thời gian học tập và nghiên cứu.
Và cuối cùng, lời thân thương nhất tôi xin được gửi đến gia đình tôi, nơi đã
tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành luận văn này.
ỚI HẠN BỞI ĐƯỜNG
CONG BẬC HAI LÊN NỬA MẶT PHẲNG TRÊN 42
3.1. Miền giới hạn bởi hyperbol 42
3.2. Miền giới hạn bởi parabol 44
3.3. Miền giới hạn bởi parabol và ellip 50
3.4. Ánh xạ miền trong ellip lên nửa mặt phẳng 58
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 MỞ ĐẦU

Trong lĩnh vực lý thuyết hàm biến phức, việc xác định ánh xạ bảo giác biến
miền này thành miền khác là một công việc rất hữu ích. Nó giúp cho việc tính toán
một số đại lượng hay khảo sát tính chất một số miền cho trước trở nên linh hoạt và
dễ dàng hơn. Tuy nhiên, để việc xác định ánh xạ bảo giác biến miền này thành miền
kia thực hiện được đơn giản hơn thì ngoài việc nắm được khái niệm, ta cần nắm
vững các nguyên lý của nó trong quá trình thực hiện ánh xạ.
Chính vì vậy, trong luận văn này, sau khi nêu khái niệm và điều kiện xác
định duy nhất của ánh xạ bảo giác, chúng tôi tập trung vào hệ thống sáu nguyên lý
cơ bản của ánh xạ bảo giác (có kèm theo chứng minh cụ thể từng nguyên lý). Đồng
thời, để người đọc thấy rõ hơn vai trò của các nguyên lý khi xác định ánh xạ bảo
giác biến miền này thành miền khác, chúng tôi đã đưa ra m
ột số ví dụ minh họa.
Luận văn gồm bốn chương:
- Chương 0 trình bày các kiến thức chuẩn bị cho các chương sau.
- Chương 1 nêu ý nghĩa hình học của argument và môđun đạo hàm, từ đó đưa ra

có tọa vị là M. Khi đó, độ dài của
OM
J
JJJG
gọi là môđun của số phức
z
,
ký hiệu
zOMr==
JJJJG
.
- Trong mặt phẳng
Oxy , cho số phức
z
có tọa vị là
M
. Khi đó argument của số
phức
z là góc tạo nên giữa hướng dương của trục thực và OM
J
JJJG
, nhận hướng ngược
chiều kim đồng hồ làm hướng dương.
Ký hiệu
A
rgz

(
)
,2Ox OM k

*20
Arg z z Argz Argz k
z
Arg Argz Argz k z
z
π
π
=++
⎛⎞
=
−+ ≠
⎜⎟
⎝⎠

0.1.2. Dạng mũ và dạng lượng giác của số phức
Mọi số phức
zxiy
=
+ đều có thể biểu diễn dưới dạng lượng giác
(
)
cos sinzr i
ϕ
ϕ
=+
trong đó ,rz Argz
ϕ
=∈.
Dạng mũ của số phức đó là
i

ii. Có thể nối hai điểm bất kỳ thuộc
X
bằng một đường cong nằm hoàn toàn trong
X
(tập liên thông).
- Miền
X
có biên là một tập liên thông được gọi là miền đơn liên. Ngược lại, miền
X
có biên không phải tập liên thông là miền đa liên.
0.1.5. Một số khái niệm liên quan đến đường cong
- Một đường cong có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là đường cong đóng.
Đường cong không có điểm tự cắt gọi là đường cong Jordan. Đường cong Jordan
đóng gọi là chu tuyến.
- Giả sử
()
t
ϕ
và
()
t
µ
là các hàm thực trên đoạn
[
]
,ab
của đường thẳng thực. Khi
đó phương trình
()
(

< và khai triển được thành chuỗi lũy thừa ở
lân cận của mỗi điểm
t .
- Ta lại gọi một cung là giải tích đều nếu nó không có điểm bội mà tại đó
', '
x
y triệt
tiêu đồng thời.
0.1.7. Hàm đơn trị
Xét hàm số
(
)
wfz= , nếu mỗi giá trị của đối số có một giá trị duy nhất của hàm số
thì hàm số đó được gọi là hàm đơn trị. Ngược lại, với mỗi giá trị của đối số ta nhận
được nhiều giá trị của hàm số thì hàm số được gọi là hàm đa trị. 4 0.1.8. Hàm đơn diệp
Một hàm số
:
f
DD
∗
→ được gọi là đơn trị một đối một, hay đơn diệp, nếu với hai
điểm bất kỳ
12 1 2
,,zz Dz z∈≠ thì ảnh

,
f
zfz zzfzzD
=
+− ∀∈

- Cho
D là tập mở khác rỗng trong ^ . Hàm số
:fD→ ^
được gọi là chỉnh hình
trên
D nếu nó khả vi phức tại mọi điểm thuộc D .
- Hàm
f
được gọi là chỉnh hình tại điểm
0
zD
∈
, nếu tồn tại một lân cận mở
U
của
0
z nằm trong D sao cho hàm
f
U
chỉnh hình trên
U
.
0.1.10. Hàm điều hòa
-Hàm

- Điểm
za=
gọi là cực điểm (
∞
-điểm) của hàm
(
)
f
z nếu
()
lim
za
fz
→
=∞
.
0.1.12. Yếu tố
Ta quy ước yếu tố là tập hợp gồm một điểm và một hướng qua nó.
0.2. Một số định lý sử dụng trong luận văn
0.2.1. Định lý 1 (tính chất của phép biến đổi tuyến tính)
Mọi ánh xạ tuyến tính có tính chất biến vòng tròn này thành vòng tròn kia.
(Coi đường thẳng là đường tròn với bán kính vô cùng lớn).
5 0.2.2. Định lý 2
Ánh xạ tuyến tính biến hình tròn đơn vị trong mặt phẳng

)
0fzdz
γ
=
∫

0.2.4. Định lý 4 ( công thức tích phân Cauchy)
Cho hàm
f
giải tích trên miền D và
γ
là một chu tuyến trong D sao cho
miền D
γ
hữu hạn giới hạn bởi
γ
nằm trong D . Khi đó,
0
zD
γ
∀
∈ ta có
- Công thức tích phân Cauchy
()
(
)
0
0
1
2

+
==
−
∫

0.2.5. Định lý 5 (công thức tích phân cơ bản thứ hai của Cauchy)
Giả sử
f
giải tích trên miền D và D
∗
là miền giới nội thuộc D cùng với
biên gồm một số hữu hạn đường cong đóng Jordan đo được. Khi đó
()
()
1
,
2
0,
D
f
f
zzD
d
iz
zD
ζ
ζ
πζ
∗
∗

()
(
)
1
2
f
Fz d
iz
γ
ζ
ζ
πζ
=
−
∫

sẽ xác định những hàm chỉnh hình trên các thành phần liên thông của phần bù
\
γ
^ .
0.2.7. Định lý 7 (bất đẳng thức Cauchy đối với hệ số của chuỗi lũy thừa)
Nếu chuỗi lũy thừa
(
)
01

n
n
fz a az az
=

z
ϕ
chỉnh hình trong miền G nào đó và nhận các
giá trị bằng nhau trên mọi tập hợp
E
gồm vô hạn các điểm của G , trong đó
E
có ít
nhất một điểm giới hạn nằm bên trong
G
, thì hai hàm số này bằng nhau khắp nơi
trên
G .
0.2.10. Định lý 10
Nếu hàm số đơn trị không có điểm bất thường nào khác cực điểm trên mặt
phẳng “mở rộng” thì nó là hàm hữu tỷ.
0.2.11. Định lý 11 (bổ đề Hay-nơ-Boren)

A là tập compắc khi và chỉ khi từ mọi phủ mở của A đều có thể trích một
phủ con hữu hạn, tức là có một số hữu hạn chỉ số
12 n
i ,i , ,i sao cho
{
}
12 nk
ii ii
A U U U , U U ,k 1,2, ,n⊂∪∪∪ ∈ = với
{
}
U là một phủ mở của A .

=
f
za ở trong chu tuyến
Γ
. 8 Chương 1. ÁNH XẠ BẢO GIÁC
1.1. Khái niệm ánh xạ bảo giác
1.1.1. Ý nghĩa hình học của argument đạo hàm
Giả sử hàm
(
)
wfz= là hàm số giải tích trên miền G . Ta sẽ biểu diễn gía trị
của hàm số
wuiv
=
+ bởi điểm trên mặt phẳng w . Mỗi diểm zxiy=+ trên mặt
phẳng của biến số độc lập
z sẽ tương ứng với một điểm wuiv
=
+ trên mặt phẳng
w (hình 1.1 và 1.2). Khi điểm
z
chuyển động trên mặt phẳng
z
theo một đường

ϕ
ψ

Hình 1.1 Hình 1.2

Gọi
0
z là điểm bất kỳ trên miền G và C là đường cong cho trước có hướng
xác định,
C đi qua
0
z và có tiếp tuyến xác định tại
0
z . Giả sử
()
'
0
0fz≠ .
Trên mặt phẳng
w , ảnh của C là
Γ
đi qua điểm
()
00
wfz=
. Nếu phương
trình của
C là
()
(0 1)zzt t=≤≤ thì phương trình của

0
(cos sin )fz r i
α
α
=+
và nêu ý nghĩa hình học của
argument
α
và môđun r của đạo hàm. 9 Lấy điểm bất kỳ
00
zz+∆ trên đường cong C và ký hiệu
00
ww+∆ là điểm
tương ứng với nó trên mặt phẳng
w
thuộc đường cong
Γ
. Khi điểm
00
zz+∆ tiến về
điểm
0
z trên đường cong C thì điểm tương ứng
00

0
0
0
lim
z
w
r
z
∆→
∆
=
∆
(1.1)

0
0
0
0
lim arg
z
w
z
α
∆→
⎛⎞
∆
=
⎜⎟
∆
⎝⎠

Ta giải thích ý nghĩa hình học của (1.2’) sử dụng các hình 1, hình 2. Rõ ràng,
()
0000
zzzz∆= +∆ − được biểu diễn bởi vecto nối điểm
0
z với điểm
00
zz+∆ , còn
0
w∆ là vecto nối từ điểm
0
w
đến điểm
00
ww
+
∆ . Suy ra,
0
arg z
∆
là góc
ϕ
nằm giữa
hướng dương của trục
Ox và vecto
0
z
∆
tương ứng, còn
0

Γ tại điểm
0
w
(hình 1.2), tiếp tuyến này tồn tại theo đẳng thức
(1.2’). Ký hiệu
ψ
và Ψ là các góc của trục Ox và Ou với các tiếp tuyến tương ứng
của
C và Γ tại
0
z và
0
w
. Ta có thể viết (1.2’’) dưới dạng
ψ
α
Ψ
−= hay
ψ
α
Ψ
=+ (1.3) 10 Ta quy ước hướng dương của các trục
Ox và Ou trùng nhau. Khi đó, từ
(1.3) ta có

ψ
α
Ψ
=+
trong đó
', '
ψ
Ψ là các giá trị ,
ψ
Ψ
tương ứng đối với 'C và 'Γ . Từ (1.3) và (1.3’)
suy ra
''
ψ
ψ
Ψ
−Ψ= − (1.4)
Để ý rằng góc
'
ψ
ψ
−
là góc giữa các tiếp tuyến tại điểm
0
z với các đường
cong
C và 'C , còn 'Ψ−Ψlà góc tương ứng với
Γ
và '
Γ

()
0
0
0
0
0
'lim
z
w
f
zr
z
∆→
∆
=
=
∆
(1.1’)
Về mặt hình học,
0
z∆ là độ dài vecto
0
z
∆
, tức là khoảng cách giữa
0
z và
00
zz+∆ (hình 1.1); tương tự,
0

0
z ; nếu
1r
<
thì ngược lại có sự co; nếu
1r =
thì tỷ lệ
này không đổi, nghĩa là phần tử vô cùng bé tại
0
z được thay thế bởi phần tử vô cùng
bé tương đương với nó tại điểm
0
w .
Vì
()
0
'rfz= chỉ phụ thuộc vào
0
z mà không phụ thuộc vào hướng của C
nên tỷ lệ này thường được gọi là sự biến dạng tại điểm
0
z và nó sẽ không phụ thuộc
vào hướng. Vậy có thể nói rằng ánh xạ bởi hàm số giải tích
(
)
wfz= có độ co giãn
không phụ thuộc vào hướng tại mọi điểm
0
z sao cho
(

0
w (hình 1.3 và 1.4). Các góc tương ứng của hai
tam giác này sẽ bằng nhau theo tính chất bảo toàn góc; tỷ số các cạnh tương ứng
chính xác đến vô cùng bé sẽ bằng số cố định
0r
≠
. Hai tam giác vô cùng bé như
vậy được gọi là đồng dạng với nhau. Vậy ánh xạ giải tích là ánh xạ đồng dạng trong
vô cùng bé (tại lân cận mỗi điểm
z sao cho
(
)
'0fz
≠
). 12 z
0
0
x
y
u
v
0
w
0

wz= . Ta sẽ biểu diễn số w trên cùng một mặt phẳng với z , khi
đó ta thấy rằng mọi điểm của
z sẽ ánh xạ vào điểm đối xứng với nó qua trục thực.
Rõ ràng trong ánh xạ này, hai hướng bất kỳ xuất phát từ
z
và tạo thành góc
α
nào
đó sẽ biến thành hai hướng tương ứng đối xứng với hai hướng ban đầu, góc giữa
chúng sẽ là
α
− , nghĩa là độ lớn của góc được bảo toàn nhưng hướng quy chiếu
được thay đổi thành hướng ngược lại (hình 1.5). Ngoài ra, ánh xạ này có độ co giãn
không đổi vì không có sự thay đổi nào về tỷ lệ xích trong ánh xạ này. 13 Vậy ánh xạ
wz= đã cho là ánh xạ bảo giác loại II.
0
y
x
z
z

Hình 1.5

1.1.4.3. Tính chất

Định lý 2
Mọi ánh x
ạ bảo giác loại II đều được cho bởi hàm số liên hợp với một hàm
giải tích nào đó.
14 Chứng minh
Thật vậy, nếu
(
)
wFz= là ánh xạ bảo giác loại II thì
()
wFz= sẽ xác định
ánh xạ bảo giác loại I, suy ra
(
)
Fz là hàm số giải tích trên miền đang xét:
() ()
Fz f z= , suy ra
()
(
)
Fz f z= .
Vậy định lý đã được chứng minh.
Ta đã thấy rằng ánh xạ giải tích có hai tính chất đặc trưng: bảo tồn góc và
độ co giãn khơng đổi. Vấn đề đặt ra là: phải chăng mọi ánh xạ liên tục có tính chất

=
⎨
⎪
⎩

Lưu ý: trên trục thực
zz= 15 Rõ ràng ánh xạ này liên tục trên toàn bộ mặt phẳng của biến số phức
z và có
độ co giãn không đổi nhưng nó không là ánh xạ giải tích trên cả mặt phẳng cũng
không là ánh xạ liên hợp của ánh xạ giải tích.
1.2.Điều kiện xác định ánh xạ bảo giác
1.2.1. Ánh xạ hình tròn đơn vị lên chính nó
Theo định lý 1, mọi phép biến đổi tuyến tính đều có tính chất biến vòng tròn
thành vòng tròn. Bây giờ ta chứng minh tính chất đó đặc trưng cho ánh xạ tuyến
tính. Thật vậy, giả sử
(
)
wfz=
là ánh xạ song ánh và bảo giác biến mặt tròn thành
mặt tròn khác. Ta sẽ chứng minh nó là ánh xạ tuyến tính.
Đầu tiên, ta gọi
Γ là ánh xạ tuyến tính biến mặt tròn đã cho của mặt phẳng z
thành mặt tròn đơn vị của mặt phẳng
τ

i
z
we
z
θ
α
α
−
=
−
(2.1)
trong đó
1
α
< và
θ
là số thực bất kỳ. Nó chứa ba tham số thực tùy ý, nên được xác
định duy nhất bởi ba điều kiện.
Cho trước một yếu tố gồm điểm
α
và hướng
θ
đi qua điểm đó, thì ánh xạ
tuyến tính biến yếu tố đó thành yếu tố gồm gốc tọa độ và hướng dương trục thực,
được xác định duy nhất bởi công thức (2.1). Về giải tích, dữ kiện cho trước có thể
viết là
(
)
(
)

wFz= là ánh xạ song ánh và bảo giác biến mặt tròn đơn
vị thành chính nó thỏa mãn (2.2). Bằng cách ký hiệu
L là phép biến đổi tuyến tính
(2.1), ta xét phép biến đổi bổ trợ
1
FL
−
thỏa mãn điều kiện (2.3) và biến mặt tròn đơn
vị thành chính nó. Nếu chứng minh được
1
FL
−
là phép biến đổi đồng nhất thì từ đó
ta có được
(
)
(
)
Fz Lz=
nên khi đó
L là duy nhất.
Vậy tóm lại, ta phải chứng minh rằng ánh xạ song ánh và bảo giác
(
)
wfz=
biến mặt tròn đơn vị thành chính nó với điều kiện (2.3) là phép đồng nhất.
Ta chứng minh mệnh đề tổng quát hơn sau đây
Mệnh đề
“Nếu hàm số
()

αα
=− = + −).
Ngoài ra, có thể xem
(
)
'
01f
α
=
≥ vì nếu
(
)
'
01f
<
thì ta xét hàm ngược của
()
f
z thay cho
()
f
z . Và ta hãy chú ý rằng cùng với hàm số
() ()
1
f
zfz= , các phép
lặp của nó 17

Tại lân cận điểm gốc, hàm số
(
)
f
z có khai triển
(
)

v
f z az bz
=
++
trong đó
2v ≥
và
1a ≥
. Tất nhiên ở lân cận điểm
0z
=
khai triển thành chuỗi lũy
thừa của hàm số
()
n
f
z sẽ có dạng
(
)

n
n

<
. Tiếp theo, giả sử
ρ
là bán kính mặt tròn tâm tại
không điểm và nằm hoàn toàn trong miền
G , kể cả biên của nó. Khi đó theo định lý
7, ta có
()
'
0
n
n
M
af
ρ
=≤
Vì bất đẳng thức đó phải đúng với mọi giá trị
n và 1a > nên điều đó không
thể có được. Vậy phải công nhận rằng
1a
=
.
Vậy từ khai triển
(
)

v
fz z bz
=
++

và vế phải của bất đẳng thức đó có số không phụ thuộc
n , vậy 0b = . Như vậy,
()
f
zz= .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
1.2.2. Điều kiện xác định duy nhất của ánh xạ bảo giác
Giả sử cho miền đơn liên
G
nào đó trong mặt phẳng số phức z .Vấn đề đặt
ra là có chăng một hàm số
(
)
wfz= chỉnh hình trong miền G , và ánh xạ một đối
một
G
thành mặt tròn đã cho trong mặt phẳng
w
.
Đây là vấn đề cơ bản của lý thuyết ánh xạ bảo giác được Riemann đưa ra và
đã được giải quyết triệt để đối với miền có biên chứa nhiều hơn một điểm.
Với giả thiết tồn tại một hàm
(
)
wfz= như vậy, thì ta thấy rằng tập hợp các
hàm số đó là vô số.
Thật vậy, ta đã biết có vô số các hàm tuyến tính biến mặt tròn thành chính
nó. Chẳng hạn, nếu
()
wfz= là hàm số ánh xạ miền G thành mặt tròn 1w

)
wFz= Hình 1.6 Hình 1.7 19 đều là ánh xạ bảo giác biến miền
G thành mặt tròn sao cho một yếu tố của miền G
với cả hai ánh xạ đều biến thành cùng một yếu tố của mặt tròn. Vậy thì,
() ()
1
wfFw
ϕ
−
= biến mặt tròn thành chính nó. Ký hiệu
α
là tọa vị của điểm của yếu
tố đó, ta có
(
)
ϕ
αα
=
và
(
)

Thật vậy, ta dùng phép ánh xạ từ miền
G lên mặt tròn làm trung gian: đầu
tiên ánh xạ miền
G thành mặt tròn và sau đó ánh xạ mặt tròn thành ∆ . 20 Chương 2. CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT
ÁNH XẠ BẢO GIÁC
2.1. Nguyên lý bảo toàn miền
2.1.1. Nguyên lý
“Một hàm số giải tích đơn trị ánh xạ một miền xác định của nó thành một
miền mới (đơn diệp hay đa diệp).”
2.1.2. Chứng minh
Ở định lý 13, ta đã thấy rằng hàm số
(
)
wfz= đơn diệp trong miền G của
mặt phẳng
z , luôn ánh xạ miền đó lên một miền
E
trong mặt phẳng w và giữa các
điểm của hai miền có sự tương ứng đơn trị hai chiều. Để mở rộng mệnh đề đó cho
một hàm số giải tích tùy ý thì cần phải mở rộng khái niệm miền. Nên cần có một sự
mở rộng như vậy khi xét các hàm số
,
nz
ze và sin z . Để tượng trưng cho ảnh của mặt

(
)
2
01 2 1
( 0)fz a az a a z a a
=
+−+−+≠
ta chọn
ρ
khá bé để
2
12 3
2 3 0aa a
ρρ
−
−−>
Khi đó, với hai điểm bất kỳ
121 2
,( )zz z z
≠
nằm trong mặt tròn za
ρ
−
< .
Bằng cách đặt
11
za
ζ
−= và
22