Đại Số - Hình Học 8
Phân tích đa thức thành nhân tử – Hình bình hành, đối xứng tâm
1

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

VẤN ĐỀ I. Phƣơng pháp đặt nhân tử chung

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
xx
2
46
b)
x y x y
4 3 2 4
93
c)
x x x
32
25

d)
x x x3 ( 1) 5( 1)  
e)
x x x
2
2 ( 1) 4( 1)  
f)
x xy xz3 6 9  


a)
x x x
32
2 2 1  
3 b)
x y xy x
2
1  
c)
ax by ay bx

d)
x a b x ab
2
()  
e)
x y xy x y
22
  
f)
ax ay bx by
22
  

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
ax x a a
2
22  
b)

c)
x x y x y
32
22  

d)
x y x y
2 2 2
3 3 2( )  
e)
x x x
32
4 9 36  
f)
x y x y
22
22  

Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
x x x( 3)( 1) 3( 3)   
b)
x x x x x( 1)(2 1) 3( 1)( 2)(2 1)     

c)
x x x(6 3) (2 5)(2 1)   
d)
x x x x x
2
( 5) ( 5)( 5) (5 )(2 1)      

2
4 12 9
b)
xx
2
4 4 1
c)
xx
2
1 12 36

d)
x xy y
22
9 24 16
e)
x
xy y
2
2
24
4

f)
xx
2
10 25  

g)
a b a b a b

xx
22
9(2 3) 4( 1)  
f)
b c b c a
2 2 2 2 2 2
4 ( )  

Đại Số - Hình Học 8
Phân tích đa thức thành nhân tử – Hình bình hành, đối xứng tâm
2

g)
ax by ay bx
22
( ) ( )  
h)
a b ab
2 2 2 2
( 5) 4( 2)   

i)
x x x x
2 2 2 2
(4 3 18) (4 3 )   
k)
x y x y
22
9( 1) 4(2 3 1)    


3
3
27
8

f)
xy
33
125 27

Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
x x x
32
6 12 8  
b)
x x x
32
3 3 1  
c)
x x x
23
1 9 27 27  

d)
x x x
32
3 3 1
2 4 8
  

xx
2 2 2
( 25) ( 5)  
b)
xx
2 2 2
(4 25) 9(2 5)  
c)
xx
2 2 2
4(2 3) 9(4 9)  

d)
a a a a
6 4 3 2
22  
e)
x x x x
2 2 2 2
(3 3 2) (3 3 2)    

Bài 7. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
xy x y
22
( 1) ( )  
b)
x y x y
33
( ) ( )  

3 2 2 3
5 3 45 27  
e)
x a b c xy a b c y a b c
22
3 ( ) 36 ( ) 108 ( )       VẤN ĐỀ IV. Một số phƣơng pháp khác

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (tách một hạng tử thành nhiều hạng tử)
a)
xx
2
56
b)
xx
2
3 9 30
c)
xx
2
32

d)
xx
2
9 18
e)
xx

xx
2
7 50 7

d)
xx
2
12 7 12
e)
xx
2
15 7 2
f)
aa
2
5 14

g)
mm
2
2 10 8
h)
pp
2
4 36 56
i)
xx
2
2 5 2


42
1
b)
aa
42
2
c)
xx
42
45

d)
xx
3
19 30
e)
xx
3
76
f)
x x x
32
5 14

Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (thêm bớt cùng một hạng tử)
Đại Số - Hình Học 8
Phân tích đa thức thành nhân tử – Hình bình hành, đối xứng tâm
3

a)

xx
3
24
i)
ab
44
4

HD: Số hạng cần thêm bớt:
a)
x
2
4
b)
x
2
16
c)
xx
2

d)
x
2
e)
x
2
f)
x
2


e)
x x x x( 1)( 3)( 5)( 7) 15    
f)
x x x x( 1)( 2)( 3)( 4) 24    

Bài 7. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ)
a)
x x x x x x
2 2 2 2
( 4 8) 3 ( 4 8) 2     
b)
x x x x
22
( 1)( 2) 12    

c)
x x x x
22
( 8 7)( 8 15) 15    
d)
x x x x( 2)( 3)( 4)( 5) 24    
VẤN ĐỀ V. Tổng hợp

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
xx

32
3 –4 12
i)
x x x
43
1  

k)
x x x
4 3 2
– – 1
l)
xx
22
(2 1) –( –1)
m)
xx
42
4 –5

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
x y x y
22
   
b)
x x y x y( ) 5 5  
c)
x x y y
22

3 2 3
3 3 1–27  
l)
x x y
22
4 4 –9 1
m)
x x xy y
2
–3 –3

Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
x xy y z
2 2 2
5 10 5 20  
b)
x z y xy
2 2 2
2  
c)
a ay a x xy
32
  

d)
x xy z y
2 2 2
24  
e)

( ) – – –

Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
x x z y z xyz y
3 2 2 3
   
b)
bc b c ca c a ab a b( ) ( ) ( )    

c)
a b c b c a c a b
2 2 2
( ) ( ) ( )    
d)
a a a a
6 4 3 2
22  

e)
x x x x x x x
9 7 6 5 4 3 2
1      
f)
x y z x y z
3 3 3 3
()    

g)
a b c a b c b c a c a b

e)
x x x
2
4( –3) –(2 –1)(2 1) 10
f)
x x x
2
25( 3) (1–5 )(1 5 ) 8   

g)
x x x
2
9( 1) –(3 –2)(3 2) 10  
h)
x x x
2
4( –1) (2 –1)(2 1) 3    

Bài 6. Chứng minh rằng:
a)
a a a a
2
( 1) 2 ( 1)  
chia hết cho 6 với
aZ
.
b)
a a a a(2 3) 2 ( 1)  
chia hết cho 5 với
aZ


2.
x
4
– 4x
3
+ 4x
2

22.
4a
2
b
2
– (a
2
+ b
2
– c
2
)
2

3.
2ab
2
– a
2
b – b
3


24.
a(b
3
– c
3
) + b(c
3
– a
3
) + c(a
3
– b
3
)
5.
x
3
+ x
2
– 4x - 4
25.
a
6
– a
4
+ 2a
3
+ 2a
2

8.
x
2
y
2
+ 1 – x
2
– y
2

28.
X
m + 4
+ x
m + 3
– x - 1
10.
x
4
– x
2
+ 2x - 1
29.
(x + y)
3
– x
3
– y
3


13.
a
2
– b
2
– 4a + 4b
32.
x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz
14.
a
3
– b
3
– 3a + 3b
33.
(x + y)
5
– x
5
– y
5

15.
x

35.

17.
x
3
– 4x
2
+ 4x - 1
36.

18.
4a
2
b
2
– (a
2
+ b
2
– 1)
2

37.

19.
(xy + 4)
2
– (2x + 2y)
2


x
3
– 5x
2
y – 14xy
2

2.
x
2
– 7xy + 10y
2

24.
x
4
– 7x
2
+ 1
3.
a
2
– 5a - 14
25.
4x
4
– 12x
2
+ 1
4.

+ 1
29.
x
2
– 5x – 24
8.
a
4
+ a
2
– 2
30.
3x
2
– 16x + 5
9.
x
4
+ 4x
2
+ 5
31.
8x
2
+ 30x + 7
10.
x
3
– 10x - 12
32.

– 10x + 16
14.
4 x
2
– 3x – 1
36.
3x
2
– 14x + 11
15.
3 x
2
– 7x + 4
37.
5x
2
+ 8x – 13
16.
2 x
2
– 7x + 3
38.
x
2
+ 19x

+ 60
17.
6x
3

+ 26x + 24
20.
4x
4
– 37x
2
+ 9
42.
4x
2
– 17xy + 13y
2

21.
x
4
+ 3x
3
+ x
2
– 12x - 20
43.
- 7x
2
+ 5xy + 12y
2

22.
2x
4

18.
x
12
– 3x
6
+ 1
3.
x
4
+ 3x
2
+ 4
19.
x
8
- 3x
4
+ 1
4.
2x
4
– x
2
– 1
20.
a
5
+ a
4
+ a

7.
4 x
4
y
4
+ 1
23.
x
3
+ 4x
2
– 29x + 24
8.
32x
4
+ 1
24.
x
10
+ x
8
+ x
6
+ x
4
+ x
2
+ 1
9.
x

2
– x - 2
11.
x
8
+ x + 1
27.
x
8
+ x
6
+ x
4
+ x
2
+ 1
12.
x
8
+ x
7
+ 1
28.
x
9
– x
7
– x
6
– x

10
+ x
5
+ 1
30.

15.
x
5
+ x + 1
31.

16.
x
5
+ x
4
+ 1
32.

Bµi 10: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
1. x
2
+ 2xy – 8y
2
+ 2xz + 14yz – 3z
2

2. 3x
2

2
+ 36
8. x
4
+ 3x
2
– 2x + 3
9. x
4
+ 2x
3
+ 3x
2
+ 2x + 1
Bµi 11: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
1. (a – b)
3
+ (b – c)
3
+ (c – a)
3

2. (a – x)y
3
– (a – y)x
3
– (x – y)a
3

3. x(y

3
– 3x
2
+ 10x + 8
6. 5x
4
+ 24x
3
– 15x
2
– 118x + 24
7. 15x
3
+ 29x
2
– 8x – 12
8. x
4
– 6x
3
+ 7x
2
+ 6x – 8
9. x
3
+ 9x
2
+ 26x + 24
Bµi 12: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
1. (x

– 4xy + 4y
2
– 2x + 4y – 35
7. (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16
8. (x
2
+ x)
2
+ 4(x
2
+ x) – 12
9. 4(x
2
+ 15x + 50)(x
2
+ 18x + 72) – 3x
2
CHIA ĐA THỨC

VẤN ĐỀ I. Chia đa thức cho đơn thức

Bài 1. Thực hiện phép tính:
a)
53
( 2) :( 2)
b)
yy

x x x x
2 5 2
( 2 4) :( 2 4)   

d)
xx
2 3 2
1
2( 1) : ( 1)
3

e)
x y x y
52
5
5( ) : ( )
6


Bài 3. Thực hiện phép tính:
a)
xy y
2
6 :3
b)
x y xy
2 3 2
6 : 2
c)
x y xy

i)
x y xy x y
3 2 3 2
(2 )(3 ): 2

k)
a b ab
ab
2 3 3 2
2 2 4
(3 ) ( )
()
l)
xy x y
xy
2 3 2 2
3 2 2
(2 ) (3 )
(2 )

Bài 4. Thực hiện phép tính:
a)
x x x x
32
(2 5 ):
b)
x x x x
4 3 2
(3 2 ):( 2 )  
c)

3 3 9 3
:
5 7 10 5





Đại Số - Hình Học 8
Phân tích đa thức thành nhân tử – Hình bình hành, đối xứng tâm
7

c)
x y x y x y x y y
2 3 4 4 2 2 2
(9 15 ):3 (2 3 )  
d)
x xy x x y xy xy x x
2 3 2
(6 ): (2 3 ): (2 1)    

e)
x xy x x y x y x y x y
2 2 5 3 4 4 2 2 3
3
( ): (6 9 15 ):
2
   
g)
x x x x
32
( 3 5 9 15):(5 3 )    
h)
x x x x
23
( 6 26 21):(2 3)    

Bài 2. Thực hiện phép tính:
a)
x x x x x
4 2 3 2
(2 5 3 3 ):( 3)    
b)
x x x x
5 3 2 3
( 1):( 1)   

c)
x x x x x
3 2 2
(2 5 –2 3):(2 – 1)  
d)
x x x x x x
3 2 4 2
(8 8 10 3 5):(3 2 1)     

e)
x x x x x x

2 2 4 4 3 3 2 2
(13 5 6 13 13 ):(2 3 )     

Bài 5. Tìm
ab,
để đa thức
fx()
chia hết cho đa thức
gx()
, với:
a)
f x x x x ax b
4 3 2
( ) 9 21    
,
g x x x
2
( ) 2  

b)
f x x x x x a
4 3 2
( ) 6    
,
g x x x
2
( ) 5  

c)
f x x x a


b)
f x x x x x
4 2 3
( ) 2 4 3 7 5    
,
g x x x
2
( ) 1  

c)
f x x x x x
2 3 4
( ) 19 11 9 20 2    
,
g x x x
2
( ) 1 4  

d)
f x x y x x y x y x y xy y
4 5 3 2 2 3 2 2 3 4
( ) 3 3 2      
,
g x x x y y
3 2 2
()  

4 3 2 2 3 4
( )( )    

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
a a a a
22
( 1)( 1)   
b)
a a a a a a
22
( 2)( 2)( 2 4)( 2 4)     

c)
y x y xy
22
(2 3 ) (2 3 ) 12   
d)
x x x x x x
3 3 3 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1)        

Bài 3. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không phụ thuộc vào x:
a)
x x x x
33
( 1) ( 1) 6( 1)( 1)     
b)
x x x x x x
22

2( ) 3( )   
với
xy1

Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
xy x y
22
12  
b)
a b c d ab cd
2 2 2 2
22    

c)
ab
33
1
d)
x y z y z x z x y
2 2 2
( ) ( ) ( )    

e)
xx
2
15 36
f)
x x y y
12 6 6 12

Bài 7. Thực hiện phép chia các đa thức sau:
a)
x x x x x x
4 3 2 2
(3 8 10 8 5):(3 2 1)     

b)
x x x x x
3 2 2
(2 9 19 15):( 3 5)    

c)
x x x x x x
4 3 2 2
(15 41 70):(3 2 7)     

d)
x x y x y x y xy y x xy y
5 4 3 2 2 3 4 5 3 2 3
(6 3 2 4 5 2 ):(3 2 )      

Bài 8. Giải các phương trình sau:
a)
xx
3
16 0
b)
xx
3
2 50 0

x y xy
22
2 4 0   
với mọi giá trị của x và y.
c)
xx( 3)( 5) 2 0   
với mọi giá trị của x.
Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a)
xx
2
1
b)
xx
2
2
c)
xx
2
41

d)
xx
2
4 4 11
e)
xx
2
3 6 1
f)








Bài 12:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1)3)(2)(1()
4)
45)
209)
92)
77)
4925)
159)
4
24
2
222
22
22
3223








22








Bài 14:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
yxyyxGg
xxFf
yxyxEe
yxyxDd
xxCc
xxBb
xxAa
222)
1
2
3
)
3244)
16)(4)
163)
74)
178)
22
2
22

yxyxRc
xxQb
xxPa

Bài 16:Tìm m sao cho đa thức A chia hết cho đa thức B
a)A=
mxxxx  763
234
và B =
12
2
 xx

b) A=
mxx  64
2
và B = x – 3
c) A = 8x
2
– 26x +m và B = 2x – 3
d) x
3
+ 4x
2
+4x + m và B = x + 3
Bài 17:Tìm a,b sao cho đa thức
a) f(x) = x
4
- x
3





xxxxe
xxxd
xxxc
yxxyxyyxb
yxyxyxyxa

Bài 19: Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức 4n
3
- 4n
2
–n +4 chia
hết cho giá trị của biểu thức 2n +1


Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.


Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

VẤN ĐỀ I. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh tính chất hình học

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC.
a) Chứng minh
BE DF
và


ABE CDF
.
b) Chứng minh tứ giác EBFD là hình bình hành.
c) Chứng minh các đường thẳng EF, DB và AC đồng qui.
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác
của góc B cắt CD ở F.
a) Chứng minh
DE BF

. b) Tứ giác DEBF là hình gì?
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB vad CD, M và
N là giao điểm của AI và CK với BD.
a) Chứng minh:
AI CK


Bài 6. Cho hình bình hành ABCD,
AD AB2
. Từ C vẽ CE vuông góc với AB. Nối E với trung
điểm M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE, MF cắt BC tại N.
a) Tứ giác MNCD là hình gì? b) Tam giác EMC là tam giác gì?
c) Chứng minh:


BAD AEM2
.
Bài 7. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AB và CD, AD và BC; M, N, P, Q
lần lượt là trung điểm của AE, EC, CF, FA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Đại Số - Hình Học 8
Phân tích đa thức thành nhân tử – Hình bình hành, đối xứng tâm
12

Bài 8. Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho AE = EF = FC.
Gọi M là giao điểm của BF và CD; N là giao điểm của DE và AB. Chứng minh rằng:
a) M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. b) EMFN là hình bình hành.
Bài 9. Cho hình thang vuông ABCD, có


AB
0
90
và AD = 2BC. Kẻ AH vuông góc với BD (H
thuộc BD). Gọi I là trung điểm của HD. Chứng minh rằng: CI  AI.
Bài 10. Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn OA,
OB, OC. Chứng minh rằng: các đoạn thẳng EL, FM và DN đồng qui.

c) I là trung điểm của AD. C/m AH = 2IO
Bài 5. Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM và CN cắt nhau ở G. P là điểm đối xứng của điểm
M qua G. Gọi Q là điểm đối xứng của điểm N qua G.Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. Lấy hai điểm E, F theo thứ tự thuộc AB và CD sao cho AE =
CF. Lấy hai điểm M, N theo thứ tự thuộc BC và AD sao cho CM = AN. Chứng minh rằng:
a. MENF là hình bình hành
b. Các đường thẳng AC, BD, MN, EF đồng quy.
Bài 7. Cho

ABC có M thuộc BC. Kẻ MN // AB (với N

AC) và MP // AC (P

AB). Gọi I
trung điểm của NP. C/m A, I, M thẳng hàng.
Bài 8. Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Một
đường thẳng tùy ý qua O cắt AB, CD theo thứ tự tại M và N.
a) C/m OM = ON
b) C/m DMBN là gì? Vì sao?
c) C/m AN // CM
Bài 9. Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Kẻ AE, CF lần lượt

với BD tại E, F.
a) C/m AEDF là hình bình hành
b) AE kéo dài cắt CD tại K, CF kéo dài cắt AB tại H. Chứng tỏ rằng AC, BD, HK đồng quy.
Bài 10. Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA, AD.
a) C/m tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b) Gọi M là trung điểm của DB, AD=6, AB=8. Cho
DBAM
2

là điểm đối xứng với A qua
Oy
. Chứng minh B đối xứng với C qua O.
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua O
cắt các cạnh AB và CD theo thứ tự ở M và N. Chứng minh điểm M đối xứng với điểm N
qua O.
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD có tâm đối xứng là O, một điểm E ở trên đoạn OD. Gọi F là
điểm đối xứng của điểm C qua E.
a) Chứng minh tứ giác ODFA là hình thang.
b) Xác định vị trí điểm E trên OD để hình thang ODFA là hình bình hành.
Bài 7. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Gọi M, N, P theo thứ tự là các điểm đối xứng của A, B, C
qua tâm G.
a) Chứng minh tứ giác BPNC là hình bình hành.
b) Chứng minh các tam giác ABC, MNP bằng nhau.
c) Chứng minh các tam giác ABC, MNP có cùng trọng tâm.
Bài 8. Cho tam giác ABC, H là trực tâm, I là giao điểm các đường trung trực. K là điểm đối xứng
với H qua trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh K đối xứng với A qua I.
Bài 9. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Trên AB lấy
điểm E, trên CD lấy điểm F sao cho AE = CF.
a) Chứng minh E đối xứng với F qua O.
b) Từ E dựng Ex // AC cắt BC tại I, dựng Fy // AC cắt AD tại K. Chứng minh rằng: EF = FK; I
và K đối xứng với nhau qua O.
Bài 10. Cho tam giác ABC. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua C, B' là điểm đối xứng với B qua
A, C' là điểm đối xứng với C qua B. Gọi BM là trung tuyến của tam giác ABC, B'M' là
trung tuyến của tam giác A'B'C'.
a) Chứng minh rằng ABM'M là hình bình hành.
b) Gọi G là giao điểm của BM và B'M'. Chứng minh rằng G là trọng tâm của hai tam giác
ABC và tam giác A'B'C'.