Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC (QUYỂN 2)
(Phần 1: Đại số)
- Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc biệt
là khối 12).
- Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của Bộ
GD&ĐT.
- Tài liệu được chia ra làm 2 phần:
+ Phần 1: Phần Đại số (Chiếm khoảng 7 điểm) gồm 2 quyển – Mỗi quyển 5 chuyên
đề.
Trong phần này có 10 chuyên đề:
 Chuyên đề 1: Chuyên đề khảo sát hàm số và các câu hỏi phụ trong khảo sát
hàm số.
 Chuyên đề 2: Chuyên đề PT – BPT Đại số.
 Chuyên đề 3: Chuyên đề HPT – HBPT Đại số.
 Chuyên đề 4: Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit.
 Chuyên đề 5: Chuyên đề Lượng giác và PT Lượng giác.
 Chuyên đề 6: Chuyên đề Tích phân.
 Chuyên đề 7: Chuyên đề Tổ hợp – Xác suất.
 Chuyên đề 8: Chuyên đề Nhị thức Newtơn.
 Chuyên đề 9: Chuyên đề Số phức.
 Chuyên đề 10: Chuyên đề Bất đẳng thức.
+ Phần 2: Phần Hình học (Chiếm khoảng 3 điểm)
Trong phần này có 5 chuyên đề:
 Chuyên đề 1: Chuyên đề Thể tích: Khối chóp, Khối lăng trụ
 Chuyên đề 2: Chuyên đề Hình học phẳng.
 Chuyên đề 3: Chuyên đề Hình học không gian.
 Chuyên đề 4: Chuyên đề Phương trình đường thẳng (*).
 Chuyên đề 5: Chuyên đề Các hình đặc biệt trong đề thi.
Cuối cùng, Phần tổng kết và kinh nghiệm làm bài.

Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
I. NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm.
Định nghĩa. Cho hàm số
( )f x
xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng). Hàm số
( )F x
được gọi là nguyên hàm của hàm số
( )f x
trên K, nếu
'( ) ( )F x f x
=
, với mọi
x K
∈
.
Định lý. Giả sử
( )F x
là một nguyên hàm của hàm số
( )f x
trên khoảng K. Khi đó
a. Với mỗi hằng số C, hàm số
( ) ( )G x F x C
= +
cũng là một nguyên hàm của
( )f x
.
b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của

1
x dx x C
α α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
1
1
. ( 1)
1
u du u C
α α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
ln
dx
x C
x
= +
∫
(
0x
≠

∫
(0 1).
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫
(0 1).
ln
u
u
a
a du C a
a
= + < ≠
∫
cos sinxdx x C
= +
∫
cos sinudu u C
= +
∫
sin cosxdx x C
= − +
∫
sin cosudu u C
= − +

sin
du
u C
u
= − +
∫
Ngoài ra còn một số công thức thường gặp là.
3
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
1
1 ) 1 1
( ) ,( 0, 1); ln , 0.
1
1 1
; ( ) sin( )
1
sin( ) ( )
ax ax
(ax
ax ax
ax
os ax ax
ax os ax
k
k
b b
b
b dx C a k dx b C a

c.
( ) ( ) ( 0)a.f(x)dx aFa f x dx x C a
= = + ≠
∫ ∫
.
3. Một số phương pháp tìm nguyên hàm
a. Phương pháp đổi biến số
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số
( )u u x
=
có đạo hàm liên tục
trên K và hàm số
(u)y f
=
liên tục sao cho
[ ( )]f u x
xác định trên K. Khi đó nếu F là một
nguyên hàm của f, tức là
( ) ( )f u du F u C
= +
∫
thì
[ ( )]dx=F[u(x)]+Cf u x
∫
.
b. Phương pháp tích phân từng phần
Một số dạng thường gặp:
Dạng 1.
( ). , ( )sin( ) , ( ) ( )
ax

−
được gọi là tích phân của
( )f x
từ
a đến b và ký hiệu là
( )
b
a
f x dx
∫
. Trong trường hợp
a b
<
thì
( )
b
a
f x dx
∫
là tích phân của f trên
4
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
[ ]
;a b
.
2. Tính chất của tích phân .
Cho các hàm số
( ), ( )f x g x

∫ ∫
. Trong đó
( )f x
là hàm số liên tục và
( )u x
có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp
[ ( )]f u x
xác định trên J;
,a b J
∈
.
Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách
Cách 1. Đặt ẩn phụ
( )u u x
=
(
u
là một hàm của x)
Cách 2. Đặt ẩn phụ
( )x x t
=
(
x
là một hàm số của t).
• Phương pháp tích phân từng phần.
Định lý. Nếu
( ), ( )u x v x
là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và
,a b
là hai số thuộc

.
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số
( )y f x
=
,
( )y g x
=
và hai đường thẳng
,x a x b
= =
là
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= −
∫
• Tính thể tích vật thể. Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox
5
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
tại các điểm
,a b
là
( )
b
a
V S x dx
=

∫
.
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )x g y
=
, trục tung và hai đường thẳng
,y c y d
= =
quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức
2
( )
d
c
V g y dy
π
=
∫
.
Bảng công thức tích phân bất định
∫
=
Cdx0
∫
+=
Cxdx
1
1
1
−≠+
+

∫
+=
Cxxdx sincos
∫
+=
Cxdx
x
tan
cos
1
2
∫
+−=
Cxdx
x
cot
sin
1
2
∫
+=
′
Cxudx
xu
xu
)(ln
)(
)(
∫
+

có nguyên hàm là
)(xF
.
Giả sử
)(xu
là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn
[ ]
βα
,
và có miền giá trị là
[ ]
ba;
thì ta có :
[ ] [ ]
CxuxFdxxuxuf
+=
∫
)()()('.)(
BÀI TẬP
6
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Tính các tích phân sau :
a)
∫
+
=
1
0

a) Đặt
2
21
2
dt
xdxxdxdtxt
=⇒=⇒+=
Đổi cận :



=→=
=→=
21
10
tx
tx
Vậy :
2ln
2
1
ln
2
1
2
1
1
2
1
2

Vậy :
)1ln(ln
1
1
1
1
1
1
0
2
2
2
+===
−
=
−
−
−
−
∫∫
et
t
dt
e
dxe
I
e
e
e
e

=
β
α
dxxxI
nm
.cos.sin
Cách làm :
Nếu
nm,
chẵn . Đặt
xt tan
=
Nếu
m
chẵn
n
lẻ . Đặt
xt sin
=
(trường hợp còn lại thì ngược lại)
7
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
)122(
3
2
3
2ln1
2
1
2






+
−
=
+
=
⇒=
2
2
2
1
1
cos
1
2
sin
2
tan
t
t
x
t
t
x
x
t

Dạng 5:
∫
++
++
=
β
α
dx
nxdxc
mxbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :
nxdxc
C
nxdxc
xdxcB
A
nxdxc
mxbxa
++
+
++
−
+=
++
++
cos.sin.cos.sin.

c)
∫
=
4
0
6
3
tan
π
xdxI
Bài làm :
a) Đặt :
xdxdtxt cos1sin
=⇒+=
Đổi cận :





=→=
=→=
2
2
10
tx
tx
π
Vậy :
24

Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Đổi cận :





=→=
=→=
1
2
00
tx
tx
π
Vậy :
( ) ( )
15
8
3
2
5
211cos
1
0
1
0
3
5

2
+=⇒=
Đổi cận :





=→=
=→=
1
4
00
tx
tx
π
Vậy :
415
13
35
1
1
1
1
tan
4
0
1
0
35


+
−+−=
+
==
∫
∫ ∫∫
dut
tt
dt
t
tt
t
dtt
xdxI
Tính các tích phân sau :
a)
∫
+
=
2
0
2222
1
cos.sin.
cos.sin
π
dx
xbxa
xx

2
2
0
btx
atx
π
Nếu
ba
≠
9
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Vậy :
( )
ba
ab
ba
t
ab
t
dt
ab
dx
xbxa
xx
I
b
a
b

ba
=
Vậy :
a
x
a
xdx
a
a
xdxx
dx
xbxa
xx
I
2
1
2cos
4
1
2sin
2
1
cos.sin
cos.sin.
cos.sin
2
0
2
0
2

tx
π
Vậy :
∫∫∫
−
=
−
=
+
=
2
3
0
2
2
3
0
2
3
0
2
2
32
1
23
2cos2
cos
t
dt
t

ut
ut
Vậy :
( )
242
1
2
1
cos1
2
3
sin
2
3
2
1
2
32
1
2
4
4
4
2
4
2
2
3
0
2

2
0
1
5cos3sin4
1
π
dx
xx
I
b)
∫
++
++
=
2
0
2
5cos3sin4
6cos7sin
π
dx
xx
xx
I

Bài làm :
a) Đặt :
1
2
1

1
2
00
tx
tx
π
Vậy :
( )
6
1
2
1
1
5
1
1
3
1
2
4
1
2
1
0
1
0
2
1
0
2

5cos3sin4
6cos7sin
++
+
++
−
+=
++
++
xx
C
xx
xx
BA
xx
xx
Dùng đồng nhất thức ta được:
1,1,1
===
CBA
Vậy :
( )
6
1
8
9
ln
2
5cos3sin4ln
5cos3sin4

π
π
ππ
Ixxx
dx
xxxx
xx
dx
xx
xx
I
Bạn đọc tự làm :
a)
∫
=
2
6
2
3
1
sin
cos
π
π
dx
x
x
I
b)
∫

π
dx
x
x
I
d)
∫
++
=
2
0
5
3cos2sin
1
π
dx
xx
I
d)
∫
++
+−
=
2
0
6
3cos2sin
1cossin
π
dx

với
( ) { }( )
1,0,
−×∈
NCna
ta có :
Nếu
Ran
∈=
,1
ta có :
Cx
ax
dx
I
+=
−
=
∫
ln
Dạng 2 :
( )
∫
++
+
=
dx
cbxax
x
I




−+
++
+
=
++
−++
=
nnn
cbxax
dx
b
a
a
dx
cbxax
bax
a
dx
cbxax
b
a
bax
a
I
222
2
2

t
n
n
n
t
dt
a
a
dx
cbxax
dx
I
2
22
1
2
.
4

* Giai đoạn 3 :
Tính
( )
∫
+
= dt
t
I
n
1
1

m
m
n
m
+++
+++
=
Nếu :
( ) ( )
QP degdeg
≥
thì ta thực hiện phép chia
( )
( )
( )
( )
( )
( )
xQ
xR
xA
xQ
xP
n
r
nm
n
m
+=
−

ax
A
ax
A
ax
P
−
+
−
++
−
=
−
−
−
1
11

Vdụ 1a :
( )
( )
( )
∑
∏
=
=
−
=
−
n

xP
m
−
+
−
+
−
+
−
=
−−−
*Qt 2':
( )
( )
( )
( ) ( )
n
nn
n
nn
n
m
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
xP

( )
( )
( )
∑ ∑
= =
++
+
+
−
=
++−
m
i
n
k
i
i
i
i
n
m
t
cbxax
BxA
x
A
cbxaxx
xP
1 1
2

( )
2
2
22
2
11
2
2
cbxax
CxB
cbxax
CxB
x
A
cbxaxx
xP
t
++
+
+
++
+
+
−
=
++−
α
α
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :






+
−
+
=
++
=
++
=
1
0
1
0
1
0
2
1
2
1
1
1
21
23
dx
xxxx
dx

1
0
22
1
0
2
2
2
21
2
2
1
1
1
23

( )
OKxx
xx
=






+−+−
+
−
+

2
21
24
dx
xx
x
I

Bài làm :
a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được
∫
+=
+
=
C
a
x
aax
dx
I arctan
1
22
0
với
0>a
( )( )
dx
xxxx
dx
xx

2
1
3133
( )
329
2
3
arctan
3
1
arctan
2
1
1
0
−=






−=
π
x
x
13
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
[ ]
3

−
xx
ACCBxBAx
x
CBx
x
A
xx
x
Do đó ta có hệ :





=
=
−=
⇔





=+
=+
=+
0
2
2

2
2
2
1
2
2
2
21
24
dx
x
x
x
dx
xx
x
I

[ ]
9
4
ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2
1
0
2
=−++−=+++−=
xx
Bạn đọc tự làm :
a)
( )

I
∫
−
−
=
2
1
3
3
3
4
1
d)
∫
+−
=
2
3
24
3
23
dx
xx
x
I

HD:
a)
( )
1

c)
( )( )








−+
−
+=
−
−
1212
4
1
4
1
4
1
3
3
xxx
x
xx
x
d)
22

∫ ∫
−=−
1
0
1
0
11 dxxxdxxx
m
n
n
m
Bài làm :
14
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Xét
( )
∫
−=
1
0
1 dxxxI
n
m
Đặt :
dtdxdxdtxt
−=⇒−=⇒−=
1
Đổi cận :

aa,
−
thì :

( )
∫
−
==
a
a
dxxfI 0
Bài làm :
( ) ( ) ( )
1)(
0
0
∫ ∫ ∫
− −
+==
a
a a
a
dxxfdxxfdxxfI
Xét
( )
∫
−
0
a
dxxf

aa,
−
thì
( ) ( )
∫ ∫
−
==
a
a
a
dxxfdxxfI
0
2
Cho
0
>
a
và
( )
xf
là hàm chẵn , liên tục và xác định trên
R
.
Chứng minh rằng :
( )
( )
∫ ∫
−
=
+

xf
dx
a
xf
dx
a
xf
xxx
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Xét
( )
dx
a
xf
x
∫
−
+
0
1
α
. Đặt
dtdxdxdtxt
−=⇒−=⇒−=
Đổi cận :



=→=

xf
Thế vào (1) ta được :
( ) ( ) ( )
( )
∫∫ ∫ ∫
=
+
+
+
=
+
− −
αα
α α
α
0
0
0
111
dxxfdx
a
xf
dx
a
xfa
dx
a
xf
xx
x




=→=
=→=
0
0
tx
tx
π
π
Vậy :
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
∫ ∫∫
−=−−=
π ππ
πππ
0 00
sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx
( ) ( )
∫ ∫
−=
π π
π
0 0
sin.sin dttftdttf
( ) ( )
( ) ( )

∫ ∫
+
=
b
a
dxxf
ba
dxxfx
π
0
2
.
Cho hàm số
( )
xf
liên tục,xác định , tuần hoàn trên
R
và có chu kì
T
.
16
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Chứng minh rằng :
( ) ( )
∫ ∫
+
=
Ta

0
Xét
( )
∫
a
dxxf
0
. Đặt
dxdtTxt
=⇒+=
Đổi cận :



+=→=
=→=
Tatax
Ttx 0
Vậy :
( ) ( )
∫ ∫
+ +
=−
Ta
T
Ta
T
dttfdtTtf

Hay :

Bạn đọc tự làm :
a)
( )
∫
−=
1
0
6
1
1 dxxxI
b)
(
)
∫
−
++=
1
1
22
2
1lncos.sin dxxxxxI

c)
∫
+
=
π
0
2
3

21
sin
π
π
dx
xx
I
x
f)
∫
−
+
+
=
1
1
2
2
6
1
sin
dx
x
xx
I
g)
( )
∫
++=
∗

∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt
xu ln
=
hay
xu
a
log=
.
*ưu tiên 2 : Đặt
??
=
u
mà có thể hạ bậc.
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)
∫
=
1
0

dxduxu
Vậy :
( )
11
1
0
1
0
1
0
1
0
1
=−−=−=−==
∫∫
eeeedxeexdxexI
xxxx

b) Đặt :



=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
xdxduxu
sincos
2
2
Vậy :



−=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxduxu
cossin
Vậy :
1sincos.coscos.sin.
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
=+−=+−=
∫∫
ππ
π
π
π
xxxdxxxxdxx
18
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

01
1
1
1
3
=−=−==
∫∫
ee
e
e
e
xxxdxxxxdxI
Tính các tích phân sau :
a)
∫
=
π
0
1
sin. xdxeI
x
b)
∫
=
4
0
2
2
cos
π

π
π
π
0
0
0
1
11cos.cos.sin. JexdxexexdxeI
xxx
Đặt :



=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxedueu
xx
sincos
Vậy :
IxdxexexdxeJ
xxx
−=−==
∫∫
π
π
π
0
0
0

2
2
ln
4
cosln
4
tantan.
cos
4
0
4
0
4
0
4
0
2
2
+=+=−==
∫∫
ππ
π
π
π
π
xxdxxxdx
x
x
I
c) Đặt :

π
π
19
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Đặt :
( ) ( )





=⇒=
=⇒=
xvdxdv
dxx
x
duxu lncos
1
lnsin
Vậy :
( ) ( ) ( )
3
1
1
1
3
0lncoslnsin.lnsin IdxxxxdxxI
e

( )
∫
−=
e
dxxI
1
2
2
ln1

c)
∫






−=
2
2
3
ln
1
ln
1
e
dx
xx
I

6
lncos
g)
∫
=
∗
4
0
2
7
2cos
π
xxI
h)
∫
+
+
=
∗
2
0
7
cos1
sin1
π
dxe
x
x
I
x

Muốn tính
( ) ( )
[ ]
∫
=
b
a
dxxgxfI ,min
ta đi xét dấu
( ) ( )
xgxf
−
trên đoạn
[ ]
ba,
Tính các tích phân sau :
a)
∫
−=
4
1
1
2 dxxI
b)
∫
−+=
2
0
2
1




−+






−=++−=−=
∫∫∫
x
xx
xdxxdxxdxxI
( ) ( ) ( )
[ ]
2
5
4288
2
1
224 =−−−+








1
0
dxaxxI
a
với
a
là tham số :
Bài làm :
x
∞−
a
∞+
x-a - 0 +
(Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ).
Nếu
0
≤
a
.
( )
∫∫
−=






−=−=−=
1

223
1
3232
32
1
32
0
32
aaxaxxax
a
a
+−=






+−+






−=
Nếu
1≥a
.
( )

2
1
3
2
1
0
3
2
1
=






++−+






−−=
x
xx
x
xxI
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

,1min
2
1
2
0
3
2
1
1
0
2
2
0
2
1
=+=+==
∫∫∫
x
x
dxdxxdxxI
b) Xét hiệu số :
( )
[ ]
3,01
∈∀−
xxx
tương tự như trên ta có .
( )
6
55

1
3,min dxxxI
b)
( )
∫
=
2
0
2
cos,sinmax
π
dxxxI
c)
∫
−=
4
3
0
3
cossin
π
dxxxI
d)
( )
∫
−
−=
3
2
2












∆−
+
+
∆−
=++→



<∆
>
2
2
2
1
4
0
0
bax
a




∆−
+
−
∆−
=++→



<∆
<
2
2
2
1
4
0
0
bax
a
cbxax
a
(
)
(
)
dtttSdxcbxaxxR
bax

+∆
=++→



>∆
>
1
2
4
0
0
2
2
bax
a
cbxax
a
22
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
(
)
(
)
dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫

1
22

Một số cách đặt thường gặp :
(
)
dxxaxS
∫
−
22
,
đặt
π
≤≤=
ttax 0cos.
(
)
dxxaxS
∫
+
22
,
đặt
22
tan.
ππ
<<−=
ttax
(
)

=++−=++
>±=++
0;.
0;
0;
2
000
2
2
atxacbxax
cbxaxxxtcbxax
ccxtcbxax
∫








+
+
m
dcx
bax
xS ,
đặt
0;
≠−

2
374
xt
t
dt
xx
dx
Đặt :
( )
duudtut 1tan3tan3
2
+=⇒=
Ta có
( )
( )
∫∫
=
+
+
=
uu
udu
u
duu
I
tan3tan3
3
2
2
cos

++
=
1
2
xx
xdx
I
b)
∫
−−
=
12
2
xxx
dx
I
23
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Bài làm :
a)
∫∫∫
+
=
+
−
=
+


)
Cxxxxx
Ctttdt
t
t
I
x
t
+






+++++−++=
+++−+=
+
−
=
∫
+
=
1
2
1
ln
2
1
1

dx
I
t
x
+
+
−=
+−
−=
−−
=
∫∫
=
2
1
arcsin
12
12
1
22
C
x
C
x
+
+
−=+
+
−=
2

Vậy :
∫∫∫
+=+=






+
−+−=
+
=
+++
=
66
1
2
1
23
5
3
1
1
166
11
xtxt
dt
t
tt

−
dx
x
x
dxxdx
x
xx
xx
dx
I
1
2
1
1
2
1
2
11
11
2
1
( )
1
1
2
1
2
1
dx
x

−
−=⇒
−
=⇒
+
=
24
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: [email protected]
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Vậy :
( )
OK
t
dtt
dx
x
x
x
x
t
=
−
−=
+
∫∫
+
=
1
2

9
+
=⇒
−
=⇒−=+
Vậy :
( ) ( )
( )
(
)
C
xx
xx
xx
C
t
t
t
dt
tt
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
t


+−−=
−
−=
−








−−








+
=
∫
∫∫
4
2
2
4

1
4
9
.
2
9
.
2
9
b)Đặt :
dt
t
t
dx
t
t
xtxx
2
22
2
2
4
2
4
4
+
=⇒
−
=⇒−=+
( ) ( )







+−
−+−+
+−
−=
+








−−−=






+−−=
−
−=
−

5
2
4
2
2
22
2
2
4
64
4ln36
4
4
64
ln36
4
25636
16
4
4
.
2
4
.
2
4
16
Tính các tích phân sau :
a)
∫