CHỦ ĐỀ 15: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
a.Giới hạn hữu hạn.
Giả sử
(a;b)
là một khoảng chứa điểm
0
x
và f là một hàm số xác định
trên khoảng
0
(a;b) \ x
. Khi đó
0
0
x x
lim f(x ) L


nếu
n
d·y sè (x )

trong tập
hợp
0
(a;b) \ x
mà
n 0
lim x x


 


n
hay lim f(x )
 
.
2.Giới hạn hàm số tại vô cực.
+/ Giả sử ta có hàm số f xác định trên
(a; )

. Ta nói rằng hàm số f có
giới hạn là số thực L khi x dần đến

nếu với mọi dãy
n
(x )
trong khoảng
(a; )

mà
n
lim x
 
,ta đều có
n
lim f(x ) L

.
Ta viết


  

b/


0
x x
lim f(x) g(x) L M.

  

c/




0 0
x x x x
lim f(x).g(x) L.M ®Æc biÖt lim cf(x) cL.
 
 
d/
0
x x
f(x) L
lim ,M 0
g(x) M

 

f(x) 0 x J \ {x }
  
,trong đó J là một khoảng nào đó chứa điểm
0
x

thì
0
0
x x
L 0 vµ lim f(x ) L

  .
4. Giới hạn một bên.
+/ Giả sử hàm số f xác định trên khoảng
0
(x ;b)
.Ta nói hàm số f có
giới hạn bên phải là L khi x dần đến
0
x
(hoặc tại điểm
0
x
),nếu với mỗi dãy
n
(x )
trong khoảng
0
(x ;b)

x x
lim f(x) L


tồn tại
0
x x
lim f(x)


,
0
x x
lim f(x)


và
0 0
x x x x
lim f(x) lim L
 
 
 
.
5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực.
+/ Nếu
0
x x
lim f(x)



Dấu của L


0
x x
lim f(x).g(x)

























cho
bởi bảng sau:

Dấu của L Dấu của f(x)
0
x x
f(x)
lim
g(x)





















ra ngoài (k
là bậc cao nhất của x trong căn) trước khi chia cả tử và mẫu cho lũy thừa
của x.
Dạng
 
và dạng
0.

:
+/ Nhân và chia với biểu thức liên hợp,nếu có biểu thức chứa biến x
dưới dấu căn hoặc quy đồng mẫu để đưa về cùng một phân thức.
II. Kĩ năng cơ bản.
Vận dụng linh hoạt các định lý về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm
giới hạn vô cực để giải các bài toán về giới hạn hàm số.
III. Một số ví dụ:
A.Ví dụ tự luận:
Ví dụ 1: Áp dụng định nghĩa tính
2
x 2
3x x 1
lim
x 1

 

.
Giải :
+/ Hàm số
2
3x x 1

   
  
 

+/ Vậy
2
x 2
3x x 1
lim 11
x 1

 


.
Ví dụ 2: Áp dụng định nghĩa tính
2
2
x 1
x 2x 3
lim
2x x 1

 
 
.
Giải :
+/ Hàm số
2
2

n n
n n
n n
n
n
x 2x 3
f(x ) lim
2x x 1
(x 1)(x 3)
lim
1
2(x 1)(x )
2
x 3
4
lim
1
3
2(x )
2
 

 
 

 

 







.
Giải :
1/ Ta có :

2
x 5 x 5 x 5
x 5 x 5 1 1
lim lim lim
(x 5)(x 5) x 5 10
x 25
  
  
 
  
  

.
2/ Ta có :

2
x 5 x 5 x 5
x 5 5 x 1 1
lim lim lim
(x 5)(x 5) x 5 10
x 25
  

f(x)
4x 2 khi x 1

  


 

.
Tính
x 1
lim f(x)

.
Giải :
+/ Ta có hàm số f(x) xác định trên tập
¡
.
+/
2
x 1 x 1
lim f(x) lim(7x 4x 3) 6
 
   
.
+/
x 1 x 1
lim f(x) lim(4x 2) 6
 
 


 

 
 

 

2/
3
2
x
3x x 1
lim
x 3x 1

 
 
.
Giải :
1/ Ta có
3
3 2
x x
3
1
1
x
lim lim 0
1 2

3
3
2 3
2
x x
2
2
2 3
x
2
1 1
x 3
3x x 1
x x
2/ lim lim
3 1
x 3x 1
x 1
x
x
1 1
3
x x
lim x
3 1
1
x
x
= .
 

x
.
 
 
 

 
 
 

 
 
    
 
 
 
 

 
 
 

 
 
 
 
 x

x 0
(x 3) 27
lim
x

 
2/
3
x 2
3 x 1
lim
x 2

 


2/
2
x 1
9 5x 2
lim
x 1

 

4/
3
2
2
x 1

x 1 x 1
x 1
x 1
9 5x 2 5 5x
lim lim
x 1
(x 1) ( 9 5x 2)
5(1 x)
lim
(x 1)(x 1)( 9 5x 2)
5 5
lim .
9
(x 1)( 9 5x 2)
 


  


  


   

  
  

   


4/ Ta có

3 3
2 2
2 2 2
x 1 x 1
5 x x 7 5 x 2 x 7 2
lim lim
x 1 x 1 x 1
 
 
      
 
 
    
.
Mặt khác

2
x 1 x 1
x 1
5 x 2 1 x
lim lim
x 1
(x 1)(x 1)( 5 x 2)
1
=lim

lim
(x 7) x 7 2
1
=
12
 

  

 

    
 

   


Vậy
3
2
2
x 1
5 x x 7 1 1 5
lim
8 12 24
x 1

  
    


 
 

Giải:

x x
2
x
3 1 x
5
5x 3 1 x
x
1/ lim lim
1
1 x
1
x
1 1
5 3
x
x
= lim
1
1
x
= 5 .
 




x
= lim
1 2
4 1
x x

 


 
 

  
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
  
=
4 .


2
2

2
x x
x
2
x
2
x
4 / lim x x 1 x lim
x 1 x
x
= lim
1
x 1 1
x
1
= lim
1
1 1
x
1
=
2
 


 
  
 
 
 


 

bằng:
A.1 B.0 C.
1

D.
3


Ví dụ 9:
2
x 0
1 1
lim
x
x

 

 
 
bằng:
A.2 B.4 C.

D.


bằng
A.1 B.2 C.không tồn tại D.3

Ví dụ 12:
2
x 1
x 1
lim
x 2



bằng:
A.2 B.0 C.1 D.
1


Ví dụ 13:
3
2
x 1
x 3x 4
lim
x 1

 

bằng:
A.1 B.1,5 C.3 D.3,5

B.

C.1 D.2
Đáp án:
VD7 VD8 VD9 VD10

VD11

VD12

VD13

VD14

VD15

B C D C D A C C D
II.Bài tập
A.Bài tập tự luận
Bài1:Dùng định nghĩa tính giới hạn.

2
x 3
x 5
1/ lim
x 4





x x 6





 
 
 

HD :
1/ Để ý:
2 2
x 3x 2 x 3x 2 x>1 .
     





  
2
2
x 1 x 1
x 1
x 1 x 1 x 1
Nªn lim lim
x 1 x 2
x 3x 2
x 1

x 4x 12 x 2 x 6
Nªn lim lim
x 3 x 2
x x 6
x 6 8
= lim
.
x 3 5
 

 

   

  
 

 
 

Bài 3: Tìm a để hàm số
2
x 7x 2a 4 khi x>2
f(x)
3ax 4 khi x 2

  


 

9
a
2
 
thì hàm số có giới hạn khi x dần đến 2.
x 2
lim f(x) 23

 
.
Bài 4: Tính
3 2
x 1 x 1
3 3
2 3 3
x 0 x 1
2x 7 x 4 2x 7 3
1/ lim 2/ lim
x 4x 3
2 x 3
x x 1 x 1 x 3x 2
3/ lim 4/ lim
x x 1
 
 
    
 
 
     


lim x x 1 1 x 1 lim x x 1
(x 1) x 1 1
1
= .
3
 
 
 
       
 
 
   
 

4/ Để rút gọn ta biến đổi:
3 3
2
x 3x 2 x 1 3x 2 1 3x 1 1
(x x 1)
x 1 x 1 x 1 x 1
      
     
   

Như vậy giới hạn cần tính bằng
2
x 1 x 1 x 1
3x 1 1 3 3
lim(x x 1) lim 3 lim .
x 1 2


HD:
1/ Biến đổi giới hạn cần tính bằng
3 3
x 0 x 0 x 0
1 2x 1 1 3x 1 1 2x 1 1 3x 1
lim lim lim
x x x x
1 1 0 .
  
 
       
  
 
 
  

2/ +/ Tương tự câu 1,thêm bớt 2 ở tử.
+/ Đáp số
1
6
.
3/ +/ Nhân liên hợp cả tử và mẫu.
+/ Đáp số: 1
4/ +/ Biến đổi:
2 2 2
x x 1 1 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
    
 

2 4
5/ lim 6 / lim x x x x
1 x
1 x
7 / lim x 3x x 8 / lim x 3x x 2x .
 
 
 
 
        

  
 
   
 
 
   
 

  
    

HD: Xem lại cách làm ở ví dụ 6.
Đ/S: 1/ 5 2/
1


3/
1


 

HD:
1/ Ta có
2
2
x a x a
(x 3x 2) x a (x 2)(x a)
I = lim lim
x 4
x 5x 4
 
 
    


 

+/ Trường hợp 1:
a 4
x 4
I lim (x 2) 2.


   

+/ Trường hợp 2:

lim
x(x 1)(x 4)

 

 
    
 

 
    

 

+/ Trường hợp 1:
a 1
x 1
(x 1)(x 3)(x 4)
I lim 0
x(x 4)


  
  

.
+/ Trường hợp 2:

0 khi a 4 .

 





