
Lý thuyết toán học

Giới hạn - Đạo hàm
- Vi Phân

u(x)0
u(x)
lim1
sinu(x)

b)
x
x
1
lim1e,xR
x
®¥
ỉư
+=Ỵ
ç÷
èø

Hệ quả:
1
x
x0
lim(1x)e.
®
+=

x0
ln(1x)
lim1
x
®


2
1u'
'
uu
ỉư
=-
ç÷
èø

( )
1
x'
2x
=

( )
u'
u'
2u
=

xx
(e)'e=
uu
(e)'u'.e=
xx
(a)'a.lna=
uu
(a)'a.lna.u'=

==+
2
2
1
(cotgx)'(1cotgx)
sinx
-
==-+
2
2
u'
(cotgu)'(1cotgu).u'
sinu
-
==-+
3. Vi phân:
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại x(a;b)Ỵ . Cho số
gia Dx tại x sao cho xx(a;b)+DỴ . Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) là vi phân của
hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)).
dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx
Áp dụng đònh nghóa trên vào hàm số y = x, thì
dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx
Vì vậy ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx)
Trang 2
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
1. Đònh nghóa:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x

af(x)dxaf(x)dx(a0)=¹
òò

·
[ ]
f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx+=+
òòò

·
[ ] [ ]
f(t)dtF(t)Cfu(x)u'(x)dxFu(x)CF(u)C(uu(x))=+Þ=+=+=
òò4. Sự tồn tại nguyên hàm:
· Đònh lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
§Bài 1: NGUYÊN HÀM
Trang 3
BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
thường gặp
Nguyên hàm của các hàm số hợp
(dưới đây u = u(x))
dxxC=+
ò

duuC=+
ò


ò

xx
edxeC=+
ò

uu
edueC=+
ò

x
x
a
adxC(0a1)
lna
=+<¹
ò

u
u
a
aduC(0a1)
lna
=+<¹
ò

cosxdxsinxC=+
ò

cosudusinuC=+

òò

2
2
du
(1cotgu)ducotguC
sinu
=+=-+
òò

dx
xC(x0)
2x
=+>
ò

du
uC(u0)
2u
=+>
ò

1
cos(axb)dxsin(axb)C(a0)
a
+=++¹
ò

1
sin(axb)dxcos(axb)C(a0)

Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Bài toán 1: CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b)
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
+ Bước 2: Chứng tỏ rằng
F'(x)f(x)vớix(a;b)="Ỵ
Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
Xác đònh F’(a
+
)
Xác đònh F’(b
–
)
+ Bước 2: Chứng tỏ rằng
F'(x)f(x),x(a;b)
F'(a)f(a)
F'(b)f(b)
+
-
="Ỵ
ì
ï
=
í
ï
=
ỵ


2
222
xax1
f(x)
xa(xxa)xa
++
===
++++

Vậy F(x) với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.
Ví dụ 2
: CMR hàm số:
x
2
ekhix0
F(x)
xx1khix0
ì
³
ï
=
í
++<
ï
ỵ

Là một nguyên hàm của hàm số
x
ekhix0

= 0.

20
x0x0
F(x)F(0)xx1e
F'(0)limlim1.
x0x

-
®®
-++-
===
-

· Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x
0
= 0.

x0
x0x0
F(x)F(0)ee
F'(0)limlim1.
x0x
++
+
®®

===
-


+
)
Xác đònh F’(b
–
)
+ Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là:

F'(x)f(x),x(a;b)
F'(a)f(a)
F'(b)f(b)
+
-
="Ỵ
ì
ï
=
í
ï
=
ỵ
Þ giá trò của tham số.

Bài toán 3
: Tìm hằng số tích phân
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
· Dùng công thức đã học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C
· Dựa vào đề bài đã cho để tìm hằng số C.
Thay giá trò C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm.

Trang 6

ì
=
í
>
ỵ

b/ Với x = 1, ta có:
Để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục tại x = 1, do
đó :
x1x1
limF(x)limF(x)f(1)ab1b1a(1)
-+
®®
==Û+=Û=-
· Đạo hàm bên trái của hàm số y = F(x) tại điểm x = 1.

2
x1
x1
f(x)F(1)x1
F'(1)=limlim2.
x1x1
-
®
®

== · Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x

-
= + trên R.
Giải:
Ta có:
2x22x
F'(x)(2axb)e2(axbxc)e

=+-++
22x
2ax2(ab)xb2ce
-
éù
=-+-+-
ëû

Do đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R
F'(x)f(x),xRÛ="Ỵ
Û-+-+-=-+-"Ỵ
22
2ax2(ab)xb2c2x8x7,xR

a1a1
ab4b3
b2c7c2
==
ìì
ïï
Û-=Û=-
íí
ïï

F(x)
x
0,x0
ì
+
¹
ï
=
í
ï
=
ỵ

là một nguyên hàm của hàm số
2
22
2ln(x1)
,x0
f(x)
x1x
1,x0
ì
+
-¹
ï
=
+
í
ï
=

pp
ỉư
==
ç÷
èø

ĐS
: a/
2
x8
F(x)x;
2x1
=++
+
b/
1
F(x)(xsinx1)
2
=-+
Bài 5. a/ Xác đònh các hằng số a, b, c sao cho hàm số:

2
F(x)(axbxc)2x3=++- là một nguyên hàm của hàm số:

2
20x30x73
f(x)trênkhoảng;
2
2x3
-+

+=++¹
ò

Giải:
Ta luôn có:
1
f(axb)dxf(axb)d(axb)vớia0.
a
+=++¹
Áp dụng tính chất 4, ta được:
11
f(axb)dx(axb)d(axb)F(axb)C(đpcm)
aa
+=++++
òò
.
Ghi chú
: Công thức trên được áp dụng cho các hàm số hợp:

f(t)dtF(t)Cf(u)duF(u)C,vớiuu(x)=+Þ=+=
òò

Ví dụ 2
: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/
3
(2x3)dx+
ò
b/
4

44
cosx
cosx.sinxdxcosxd(cosx)C
5
=-=-+
òò

c/ Ta có:
xx
x
xx
2ed(e1)
dx22ln(e1)C
e1e1
+
==++
++
òò

d/ Ta có:
2
23
(2lnx1)11
dx(2lnx1)d(2lnx1)(2lnx1)C.
x22
+
=++=++
òò

Ví dụ 3: Tính các tích phân bất đònh sau:

2
2
1
cotgxdx1dxcotgxxC
sinx
ỉư
=-= +
ç÷
èø
òò

c/ Ta có:
sinxd(cosx)
tgxdxdxlncosxC
cosxcosx
==-=-+
òòò

Trang 9
d/ Ta có:
3
3443
tgxsinxd(cosx)11
dxdxcosxCC.
cosxcosxcosx33cosx
-
==-=-+=-+
òòò

Ví dụ 4

dxdxdx
x3x2(x1)(x2)x2x1
ỉư
==-
ç÷
-+ èø
òòòx2
lnx2lnx1ClnC.
x1
-
= +=+
-BÀI TẬP
Bài 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số:
a/
2
x
f(x)cos;
2
= b/
3
f(x)sinx.
ĐS: a/
1
(xsinx)C;

25x
x
e1
dx;
e
-
+
ò
e/
x
x
e
dx
e2+
ò

ĐS
: a/
x
2exC;-+ b/
x
x
e
C;
(1ln2)2
+
-
c/
x
6

2001
(12x)dx;-
ò
e/
34lnx
dx
x
-
ò

ĐS: a/
3
x1
C;
3x
-+ b/
57
5
xC;
7
+ c/
22
1
(x1)x1C
3
+++ ;
d/
2002
1(12x)
.C;

111
f(x)thìviếtlạif(x)
x5x6x3x2
==-
-+

· Với
11
f(x)thìviếtlạif(x)(32x2x1)
2
2x132x
== +
++-

· Với
xx2xxx
f(x)(23)thìviếtlạif(x)42.69.=-=-+
· Với
3
f(x)8cosx.sinxthìviếtlạif(x)2(cos3x3cosx).sinx==+
2cos3x.sinx6cosx.sinxsin4xsin2x3sin2xsin4x2sin2x.=+=-+=+
·
22
tgx(1tgx)1=+-
·
22
cotgx(1cotgx)1=+-
·
n2
n

=-++
òòòòTổng quát: Tính tích phân bất đònh:
Ix(axb)dx,vớia0
a
=+¹
ò

Sử dụng đồng nhất thức:
11
x.ax[(axb)b]
aa
==+-
Trang 11
Ta được:

1
11
x(axb)[(axb)b)(axb)[(axb)d(axb)(axb)d(ax d)]
aa
aaa+a
+=+-+=++-++
òò

Ta xét ba trường hợp :
· Với a = 2, ta được:
12
2

I[]C.
a21
a+a+
++
=++
a+a+Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I
x4x3
=
-+
ò

Giải:
Ta có:
2
111(x1)(x3)111

x4x3(x3)(x1)2(x3)(x1)2x3x1

ỉư
===-
ç÷
-+
èø


Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được:

11
22
33
11
I(x2x3)dx[(x2)d(x2)(x3)d(x3)]
55
2
[(x2)(x3)]C.
15
=++-=+++
=++-+
òòò

Ví dụ 4
: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I.
sinx.cosx
=
ò

Giải:
Sử dụng đồng nhất thức:
22
sinxcosx1,+=
Trang 12
Ta được:

=+=-+=++
òòòò

Ví dụ 5
: Tính tích phân bất đònh:
4
dx
I.
cosx
=
ò

Giải:
Sử dụng kết quả:
2
dx
d(tgx)
cosx
=
ta được:
223
22
1dx1
I.(1tgx)d(tgx)d(tgx)tgxd(tgx)tgxtgxC.
cosxcosx3
==+=+=++
òòòòBÀI TẬP

57
-+-+ ; b/
x
4
elnxC;
3xx
++

c/
3322
6
243
6xxxxxC;
75
+++ d/
33
1
(3x4)(3x2)C.
9
éù
-+++
ëû

Bài 10
. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a/
2
1
f(x);
x6x5

: a/
1x5
lnC;
4x1
-
+
-
b/
2
1
x2xln2x1C;
2
+-++
c/
32
2111
xxxln2x1C
3224
+ ++; d/
2
x12x3
lnC.
2122x3
-
-+
+

Bài 11. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
Trang 13
a/

pp
æöæö
++-+
ç÷ç÷
èøèø

c/
31
sinxsin3xC;
412
++ d/
311
xsin2xsin4xC;
8431
+++
e/
3sin4x
xC;
416
++ f/
53
xsin8xC.
864
++
Trang 14

Vấn đề 4: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất
đònh. Phương pháp đổi biến số để xác đònh nguyên hàm có hai dạng dựa trên đònh lý sau:
Đònh lý:

xasintvớit
22
xxcostvới0t
pp
é
=-££
ê
ê
=££p
ê
ë

22
xa-
a
xvớit;\{0}
sint22
a
xvớit[0;]\{}
cost2
é pp
éù
=Ỵ-
ê
êú
ëû
ê
p
ê
=Ỵp

2
dx
I.
(1x)
=
-
ò

Giải:
Đặt xsint;t
22
pp
=-<<
Trang 15
Suy ra:
32
23
dxcostdtdt
dxcostdt&d(tgt)
costcost
(1x)
====
-

Khi đó:
2
x
Id(tdt)tgtCC.
1x
==+=+

: Tính tích phân bất đònh:
2
2
xdx
I
x1
=
-
ò

Giải:
Vì điều kiện x1> , ta xét hai trường hợp :
· Với x > 1
Đặt:
1
x;0t
sin2t4
p
=<< Suy ra:
2
2cos2tdt
dx
sin2t
=
ú
2222
333
2
xdx2dt2(costsint)dt
sin2t8sintcost

22
11111
(cotgttgt2lntgt)C(cotgttgt)lntgtC
42282
11
xx1lnxx1C.
22
= +++= +
= +

· Với x < –1 Đề nghò bạn đọc tự làm
Chú ý: Trong ví dụ trên sở dó ta có:
2222
cotgttgt4xx1vàtgtxx1-=-=
là bởi:
442
22
22222
costsint4cos2t41sin2t41
cotgttgt1
cost.sintsin2tsin2tsin2tsin2t

-====-
tgt =
-
===-
22
2
sint2sint1cos2t1cos2t
cost2sint.costsin2tsin2t

===
+

Khi đó:
2
x
IcostdtsintCC
1x
==+=+
+
ò

Chú ý
:
1. Trong ví dụ trên sở dó ta có:
22
1x
costvàsint
1x1x
==
++

là bởi:
2
2
costcost
tcost0
x
22
sinttgt.cost

+ Bước 1: Chọn t = y(x), trong đó y(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp
+ Bước 2: Xác đònh vi phân =ydt'(x)dx.
+ Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
+ Bước 4: Khi đó
Ig(t)dt.=
ò

Dấu hiệu Cách chọn
Hàm số mẫu có t là mẫu số
Hàm số f(x,(x)j t(x)=j
Hàm
a.sinxb.cosx
f(x)
c.sinxd.cosxe
+
=
++

xx
ttg(vớicos0)
22

x(23x)dxx(23x)xdx.t.dt(t2t)dt.
33618

ỉư
-=-==-=-
ç÷
èø

Khi đó:
98109109
111211
I(t2t)dtttCttC
181810918081
ỉư
=-=-+=-+
ç÷
èø
ò

Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh:
2
xdx
I
1x
=
-
ò

Giải:
Đặt:

Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh:
522
3
Ix(12x)dx.=-
ò

Giải:
Đặt:
3
3 22
1t
t12xx
2
-
=-Þ= . Suy ra:
2
3
2xdxttdt,
2
=-

3
5222222274
33
1t33
x(12x)dxx(12x)xdx.ttdt(tt)dt.
248
-
ỉư
-=-=-=-

Isinxcosxdx.=
ò

Giải:
Đặt:
2
tcosxtcosx=Þ=
dt = sinxdx,
Trang 18

322
462
sinxcosxdxsinxcosxsinxdx(1cosx)cosxsinxdx
(1t).t.(2tdt)2(tt)dt.
==-
=-=-

Khi đó:
627362
112
I2(tt)dt2ttC(3t7t)tC
7321
ỉư
=-=-+=-+
ç÷
èø
ò3

èø

Khi đó:
22
111
I1dtf12(tlntC[1sinxln(1sinx)]C
2t2
ỉư
=-=-+=+-++
ç÷
èø
ò

Ví dụ 9
: Tính tích phân bất đònh:
2
8
cosxdx
I.
sinx
=
ò

Giải:
Đặt: t = cotgx
Suy ra:
2
1
dtdx,
sinx

Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh:
xx/2
dx
I
ee
=
-
ò

Giải:
Đặt:
x/2
te
-
=

Suy ra:
x/2
x/2
1dx
dtedx2dt,
2e
=-Û-=

x/2
xx/2xx/2x/2x/2
dxdxedx2tdt1
2(1)dt
eee(1e)e(1e)1tt1
-

x
dx
I
1e
=
+
ò
.
Giải:
Cách 1:
Đặt:
x2x
t1et1e=+Û=+
Suy ra:
x
222
x
2tdtdx2tdt2tdt
2tdtedxdx&.
t1t(t1)t1
1e
=Û===

+

Khi đó:
x
2
x
dtt11e1

++++

Khi đó:
2x/2x
2
dt
I22lntt1C2lnee1C
t1

=-=-+++=-+++
+
ò

Ví dụ 12
: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I,vớia0.
xa
=¹
+
ò
.
Giải:
Đặt:
2
txxa=++
Suy ra:
2
222

· Với
x10
x1
x20
+>
ì
Û>-
í
+>
ỵ

Đặt:
tx1x2=+++
Trang 20
Suy ra:
11(x1x2)dxdx2dt
dtdx
t
2x12x22(x1)(x2)(x1)(x2)
+++
ỉư
=+=Û=
ç÷
++++++
èø

Khi đó:
dt
I22lntC2lnx1x2C
t

t
(x1)(x2)
Û=-
++

Khi đó:
dt
I22lntC2ln(x1)(x2)C
t
=-=-+= ++-++
ò

BÀI TẬP

Bài 12. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
29
f(x)x(x1);=- b/
4
10
x
f(x);
x4
=
-
c/
2
3
xx
f(x);

2
2x5
lnx2C;
(x2)
-
+
-
d/
2
2
1xx21
lnC.
22xx21
-+
+
++

Bài 13. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
2
2x
f(x);
xx1
=
+-
b/
223
1
f(x)(a0)
(xa)

++-+
ç÷
èø

Bài 14
. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
5
3
cosx
f(x);
sinx
=
b/
1
f(x)
cosx
= ; c/
3
sinxcosx
f(x)
sinxcosx
+
=
-
;
d/
3
cosx
f(x);

-+
d/
2
1
lnsinxsinxC;
2
-+ e/
3
1
cotgxcotgxC.
3
+
Bài 15. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
2x
1
f(x);
1e
=
+
b/
x
x1
f(x);
x(1xe)
+
=
+

c/

132
,lnC;
2(ln3ln2)32
-
+
-+
d/
lnln(lnx)C.+

Trang 22
Vấn đề 5: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Công thức tính tích phân từng phần:
udvuvvdu.=-
òò

Bài toán 1
: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác đònh If(x)dx.=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:
12
If(x)dxf(x).f(x)dx.==
òò

+ Bước 2: Đặt:
1

2
2
x
Iln(xx1)dx.
x1
=++
+
ò

Đặt :
2
2
22
2
2
1x
uln(xx1)
dx
x1
du
x
xx1x1
dv
x1
vx1
+
ì
ì
ï
=++

vx
-
ì
=
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:
Ixcos(lnx)sin(lnx)dx.=+
ò
(1)
Xét Jsin(lnx)dx.=
ò

Đặt:
1
usin(lnx)
ducos(lnx)dx
x
dvdx
vx.
ì

, như sau:
Đặt :
1
usin(lnx)
ducos(lnx)dx
x
dvdx
vx
ì
=
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:
12
Ix.sin(lnx)cos(lnx)dxx.sin(lnx)I.(3)=-=-
ò

· Sử dụng tích phân từng phần cho I
2
, như sau:
Đặt :

22
=-+=++

Ví dụ 3: Tích tích phân bất đònh:
2
ln(cosx)
Idx.
cosx
=
ò

Giải:
Đặt :
2
uln(cosx) sinx
dudx
cosx
dx
dv
vtgx
cosx
=
ì ì
=-
ïï
Þ
íí
=
ïï
=

uP(x)
.
1
dvsinxdx
vcosx
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=a
=-a
ỵ
ï


+ Bước 2: Khi đó:
11
IP(x)cosP'(x).cosx.dx.=-a+a
aa
ò

+ Bước 3: Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ “khử” được đa thức.
· Cách 1
: (Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Ta có: IP(x)cosxdxA(x)sinxB(x)cosxC.(1)=a=a+a+
ò


Jxcos2xdx.=
ò

Đặt :
2
dx
dudx
ux
x1
dvcos2xdx
1
vsin2x
2
ì
==
ï
=
ì
ï
+
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ï
ỵ

Khi đó: