Trần Só Tùng Tích phân
Trang 1
Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân
1. Các giới hạn đặc biệt:
a)
®
=
x0
sinx
lim1
x

Hệ quả:
®
=
x0
x
lim1
sinx

®
=
u(x)0
sinu(x)
lim1
u(x)

®
=
u(x)0
u(x)


x
x0
e1
lim1
x
®
-
=

2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả:
(c)’ = 0 (c là hằng số)
1
(x)'x
aa-
=a
1
(u)'uu'
aa-
=a
2
11
'
xx
ỉư
=-
ç÷
èø

2

x
=
u'
(lnu)'
u
=
a
1
(logx')
x.lna
=
a
u'
(logu)'
u.lna
=
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu
2
2
1
(tgx)'1tgx
cosx
==+
2
2
u'
(tgu)'(1tgu).u'
cosu
==+
2

Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm:
F'(a)f(x)vàF'(b)f(b)
+-
==

2. Đònh lý:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì :
a/ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng đó.
b/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể
viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số.
Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là
f(x)dx.
ò
Do
đó viết:
f(x)dxF(x)C=+
ò

Bổ đề: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó.

3. Các tính chất của nguyên hàm:
·
( )
f(x)dx'f(x)=
ò

·
af(x)dxaf(x)dx(a0)=¹
òò

x
xdxC(1)
1
a+
a
=+a¹-
a+
ò

1
u
uduC(1)
1
a+
a
=+a¹-
a+
ò

dx
lnxC(x0)
x
=+¹
ò

du
lnuC(uu(x)0)
u
=+=¹
ò


sinxdxcosxC=-+
ò

sinuducosuC=-+
ò

2
2
dx
(1tgx)dxtgxC
cosx
=+=+
òò

2
2
du
(1tgu)dutguC
cosu
=+=+
òò

2
2
dx
(1cotgx)dxcotgxC
sinx
=+=-+
òò

+=-++¹
ò

dx1
lnaxbC
axba
=++
+
ò

axbaxb
1
edxeC(a0)
a
++
=+¹
ò

dx2
axbC(a0)
a
axb
=++¹
+
òTích phân Trần Só Tùng
Trang 4


Ví dụ 1: CMR hàm số:
2
F(x)ln(xxa)=++ với a > 0
là một nguyên hàm của hàm số
2
1
f(x)
xa
=
+
trên R.
Giải:
Ta có:
2
2
2
22
2x
1
(xxa)'
2xa
F'(x)[ln(xxa)]'
xxaxxa
+
++
+
=++==
++++

2

³
=
í
+<
ỵ
trên R.
Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp:
a/ Với
x0¹
, ta có:

x
ekhix0
F'(x)
2x1khix0
ì
>
=
í
+<
ỵ

b/ Với x = 0, ta có:
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 5
· Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x
0
= 0.


==Þ=
Tóm lại:
x
ekhix0
F'(x)f(x)
2x1khix0
ì
³
==
í
+<
ỵ

Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.

Bài toán 2: Xác đònh các giá trò của tham số để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
trên (a ; b).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
+ Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là:
F'(x)f(x)vớix(a;b)="Ỵ
Dùng đồng nhất của hàm đa thức Þ giá trò tham số.
Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
Xác đònh F’(a
+
)
Xác đònh F’(b
–

axbkhix1
ì
£
=
í
+>
ỵ

là một nguyên hàm của hàm số:
2xkhix1
f(x)
2khix1
£
ì
=
í
>
ỵ
trên R.
Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp:
a/ Với x1¹ , ta có:
2xkhix1
F'(x)
2khix1
<
ì
=
í
>

F(x)F(1)axb1ax1a1
F'(1)limlimlima.
x1x1x1
+++
+
®®®
-+-+--
====
---

Hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1 F'(1)F'(1)a2.
-+
Û=Û= (2)
Thay (2) vào (1), ta được b = –1.
Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b = –1.
Khi đó: F’(1) = 2 = f(1)
Tóm lại với a = 2, b = 1 thì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
Ví dụ 4: Xác đònh a , b , c để hàm số:
-
=++
22x
F(x)(axbxc)e là một nguyên hàm của
22x
F(x)(2x8x7)e
-
=--+ trên R.
Giải:
Ta có:
2x22x
F'(x)(2axb)e2(axbxc)e

22x
F(x)(x3x2)e .
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 7
BÀI TẬP
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số
x
F(x)lntg
24
p
ỉư
=+
ç÷
èø

Từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số
1
f(x)
cosx
= .
Bài 2. Chứng tỏ rằng hàm số
2
ln(x1)
,x0
F(x)
x
0,x0
ì
+
¹

=++ là một nguyên hàm của
hàm số
2x
f(x)(2x5x2)e
-
=-+ trên R.
ĐS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1.
Bài 4. a/ Tính nguyên hàm
32
2
x3x3x7
F(x)củaf(x)vàF(0)8.
(x1)
++-
==
+

b/ Tìm nguyên hàm F(x) của
2
x
f(x)sinvàF.
224
pp
ỉư
==
ç÷
èø

ĐS: a/
2

G(x)(4x2x10)2x322.=-+-- Tích phân Trần Só Tùng
Trang 8
Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG
CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

Ví dụ 1: CMR , nếu
f(x)dxF(x)C=+
ò
thì
1
f(axb)dxF(axb)Cvớia0.
a
+=++¹
ò

Giải:
Ta luôn có:
1
f(axb)dxf(axb)d(axb)vớia0.
a
+=++¹

(2lnx1)
dx
x
+
ò

Giải:
a/ Ta có:
44
33
11(2x3)(2x3)
(2x3)dx(2x3)d(2x3).CC.
2248
++
+=++=+=+
òò

b/ Ta có:
5
44
cosx
cosx.sinxdxcosxd(cosx)C
5
=-=-+
òò

c/ Ta có:
xx
x
xx

tgxdx
ò
d/
3
tgx
dx
cosx
ò

Giải:
a/ Ta có:
2
x
2sindx(1cosx)dxxsinxC
2
=-=-+
òò

b/ Ta có:
2
2
1
cotgxdx1dxcotgxxC
sinx
ỉư
=-=--+
ç÷
èø
òò


x3x2-+
ò

Giải:
a/ Ta có:
2
2
22
x1d(1x)1
dxln(1x)C
1x21x2
+
==++
++
òò

b/ Ta có:
2
1111
dxdxdx
x3x2(x1)(x2)x2x1
ỉư
==-
ç÷
-+----èø
òòòx2
lnx2lnx1ClnC.

-
-
ò
b/
x
x
e
dx;
2
ò
c/
2xxx
x
2.3.5
dx
10
ò
.
d/
25x
x
e1
dx;
e
-
+
ò
e/
x
x

Bài 8. Tính các tích phân bất đònh :
a/
44
xx2dx
-
++
ò
; b/
3
5
xxdx
ò
; c/
2
xx1dx+
ò
;
d/
2001
(12x)dx;-
ò
e/
34lnx
dx
x
-
ò

ĐS: a/
3

Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu
thức dưới dấu tích phân thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó
có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết.
Chú ý quan trọng: Điểm mấu chốt là phép phân tích là có thể rút ra ý tưởng cho riêng
mình từ một vài minh hoạ sau:
· Với
3263
f(x)(x2)thìviếtlạif(x)x4x4.=-=-+
· Với
2
x4x52
f(x)thìviếtlạif(x)x3
x1x1
-+
==-+
--
.
· Với
2
111
f(x)thìviếtlạif(x)
x5x6x3x2
==-
-+--

· Với
11
f(x)thìviếtlạif(x)(32x2x1)
2
2x132x

2002
Ix(1x)dx.=-
ò

Giải:
Sử dụng đồng nhất thức : x = 1 – (1 – x)
ta được:
2002200220022003
x(1x)[1(1x)](1x)(1x)(1x).-=---=---
Khi đó:

2002200320022003
20032004
I(1x)dx(1x)dx(1x)d(1x)(1x)d(1x)
(1x)(1x)
C.
20032004
=---=---+--
--
=-++
òòòòTổng quát: Tính tích phân bất đònh:
Ix(axb)dx,vớia0
a
=+¹
ò

Sử dụng đồng nhất thức:

[lnaxb]C.
aaxb
=+++
+

· Với a = –1, ta được:

1
22
11
I[d(axb)(axb)d(axb)][axblnaxb]C.
aa
-
=+-++=+-++
òò

· Với R\{2;1},-- ta được:
21
2
1(axb)(axb)
I[]C.
a21
a+a+
++
=++
a+a+Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh:
2
-
=+
-
1x3
lnC.
2x1Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh:
dx
I
x2x3
=
++-
ò

Giải:
Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được:

11
22
33
11
I(x2x3)dx[(x2)d(x2)(x3)d(x3)]
55
2
[(x2)(x3)]C.
15

+
==+=+
Suy ra:
22
2
x
1
dtg
sinxd(cosx)1x
2
2
IdxdxlntgC.
xxx
cosxcosxcosx2
costgtg
222
ỉư
ç÷
èø
=+=-+=++
òòòò

Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh:
4
dx
I.
cosx
=
ò


2
(2x)
f(x);
x
+
=
d/
1
f(x)
3x43x2
=
+-+

ĐS: a/
357
128
x2xxxC
57
-+-+ ; b/
x
4
elnxC;
3xx
--++

c/
3322
6
243
6xxxxxC;

f(x);
2x1
+-
=
+
d/
3
2
4x9x1
f(x);
94x
-++
=
-

ĐS: a/
1x5
lnC;
4x1
-
+
-
b/
2
1
x2xln2x1C;
2
+-++
c/
32

4
cosx; e/
44
sinxcosx;+ f/
66
sin2xcos2x.+

ẹS: a/
1
xcos2xC
2
-+ ; b/
171
sin5xsinxC
1012212
pp
ổửổử
++-+
ỗữỗữ
ốứốứ

c/
31
sinxsin3xC;
412
++ d/
311
xsin2xsin4xC;
8431
+++

If(x)dx.=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.
+ Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt
+ Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
+ Bước 4: Khi đó
Ig(t)dt.=
ò

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:
Dấu hiệu Cách chọn
22
ax-
xasintvớit
22
xxcostvới0t
pp
é
=-££
ê
ê
=££p
ê
ë

22
xa-

ê
ë

axax
hoặc
axax
+-
-+

x = acos2t
(xa)(bx)--
x = a + (b – a)sin
2
t

Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I.
(1x)
=
-
ò

Giải:
Đặt xsint;t
22
pp
=-<<
Trần Só Tùng Tích phân

2
22
costcost
tcost0
22
cost1sint1x
ì
=
pp
ï
-<<Þ>Þ
í
=-=-
ï
ỵ

Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh:
2
2
xdx
I
x1
=
-
ò

Giải:
Vì điều kiện x1> , ta xét hai trường hợp :
· Với x > 1
Đặt:

1d(tgt)
[cotgt.d(cotgt)tgt.d(tgt)2].
4tgt
=-++
=-++
=--++

Khi đó:
1d(tgt)
I[cotgt.d(cotgt)tgt.d(tgt)2]
4tgt
=--++
òòò2222
22
11111
(cotgttgt2lntgt)C(cotgttgt)lntgtC
42282
11
xx1lnxx1C.
22
=--+++=--+
=----+

· Với x < –1 Đề nghò bạn đọc tự làm
Chú ý: Trong ví dụ trên sở dó ta có:
2222
cotgttgt4xx1vàtgtxx1-=-=--

(1x)
=
+
ò

Giải:
Đặt: xtgt;t
22
pp
=-<< . Suy ra:
3
22
23
dtdxcostdt
dx&costdt.
costcost
(1x)
===
+

Khi đó:
2
x
IcostdtsintCC
1x
==+=+
+
ò

Chú ý:

222k1
dx
I,vớikZ.
(ax)
+
=Ỵ
+
òBài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tích tích phân
If(x)dx.=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn t = y(x), trong đó y(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp
+ Bước 2: Xác đònh vi phân =ydt'(x)dx.
+ Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
+ Bước 4: Khi đó
Ig(t)dt.=
ò
Trang 17
Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh:
328
Ix(23x)dx.=-
ò

Giải:
Đặt:
2
t23x=- . Suy ra: dt6xdx=

328228898
2t2t11
x(23x)dxx(23x)xdx.t.dt(t2t)dt.
33618
--
ỉư
-=-==-=-
ç÷
èø

Khi đó:
98109109
111211
I(t2t)dtttCttC
181810918081
ỉư
=-=-+=-+
ç÷
èø

5315
ỉư
=-+=--++=--++
ç÷
èø
ò

22
22
[3(1x)10(1x)15]1xC(3x4x8)1xC
1515
=----+-+=-++-+

Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh:
522
3
Ix(12x)dx.=-
ò

Giải:
Đặt:
3
3 22
1t
t12xx
2
-
=-Þ= . Suy ra:
2
3

3
[5(12x)8(12x)](12x)C
320
=----+

4222
3
3
(20x4x3)(12x)C.
320
=---+
Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh:
3
Isinxcosxdx.=
ò

Giải:
Đặt:
2
tcosxtcosx=Þ=
dt = sinxdx,
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 18

322
462
sinxcosxdxsinxcosxsinxdx(1cosx)cosxsinxdx
(1t).t.(2tdt)2(tt)dt.
==-
=-=-

22
t1xx1tat1sinx=-Þ=-=+
Suy ra: dt2sinxcosxdx,=

32
22
cosx.sinxdxsinx.cosx.sinxdx(t1)dt11
1dt.
1sinx1sinx2t2t
-
ỉư
===-
ç÷
++
èø

Khi đó:
22
111
I1dtf12(tlntC[1sinxln(1sinx)]C
2t2
ỉư
=-=-+=+-++
ç÷
èø
ò

Ví dụ 9: Tính tích phân bất đònh:
2
8

753
ỉư
=+=++=+++
ç÷
èø
òò753
1
(15cotgx42cotgx35cotgx)C.
105
=+++
Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh:
xx/2
dx
I
ee
=
-
ò

Giải:
Đặt:
x/2
te
-
=

Suy ra:

èø
ò

Chú ý: Bài toán trên đã dùng tới kinh nghiệm để lựa chọn cho phép đổi biến
x/2
te,
-
=
tuy nhiên với cách đặt
x/2
te=
chúng ta cũng có thể thực hiện được bài toán.
Ví dụ 11: Tính tích phân bất đònh:
x
dx
I
1e
=
+
ò
.
Giải:
Cách 1:
Đặt:
x2x
t1et1e=+Û=+
Suy ra:
x
222
x

x/2
1dx
dtedx2dt,
2e
-
=Û-=

xxxx/2x2
dxdxdx2dt
1ee(e1)ee1t1
--
-
===
++++

Khi đó:
2x/2x
2
dt
I22lntt1C2lnee1C
t1
--
=-=-+++=-+++
+
ò

Ví dụ 12: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I,vớia0.


Ví dụ 13: Tính tích phân bất đònh:
dx
I
(x1)(x2)
=
++
ò
.
Giải:
Ta xét hai trường hợp:
· Với
x10
x1
x20
+>
ì
Û>-
í
+>
ỵ

Đặt: tx1x2=+++
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 20
Suy ra:
11(x1x2)dxdx2dt
dtdx
t
2x12x22(x1)(x2)(x1)(x2)

2(x1)2(x2)2(x1)(x2)
-++-+
éù
=--=
êú
-+-+++
ëûdx2dt
t
(x1)(x2)
Û=-
++

Khi đó:
dt
I22lntC2ln(x1)(x2)C
t
=-=-+=--++-++
ò

BÀI TẬP
Bài 12. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
29
f(x)x(x1);=- b/
4
10
x

5
1x2
lnC.
20x2
-
+
+

c/
2
2x5
lnx2C;
(x2)
-
--+
-
d/
2
2
1xx21
lnC.
22xx21
-+
+
++

Bài 13. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
2
2x

+

c/
3
66
x
6xlnx1C.
2
ỉư
++-+
ç÷
èø

Bài 14. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
5
3
cosx
f(x);
sinx
=
b/
1
f(x)
cosx
= ; c/
3
sinxcosx
f(x)
sinxcosx

++
ç÷
èø
c/
3
3
1sin2xC;
2
-+
d/
2
1
lnsinxsinxC;
2
-+ e/
3
1
cotgxcotgxC.
3
--+
Bài 15. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
2x
1
f(x);
1e
=
+
b/
x

1xe
+
+

c/
xx
xx
132
,lnC;
2(ln3ln2)32
-
+
-+
d/ lnln(lnx)C.+

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 22
Vấn đề 5: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Công thức tính tích phân từng phần: udvuvvdu.=-
òò

Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác đònh If(x)dx.=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:
12

ò
.
Giải:
Viết lại I dưới dạng:
2
2
x
Iln(xx1)dx.
x1
=++
+
ò

Đặt :
2
2
22
2
2
1x
uln(xx1)
dx
x1
du
x
xx1x1
dv
x1
vx1
+

ucos(lnx)
dusin(lnx)dx
x
dvdx
vx
-
ì
=
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó: Ixcos(lnx)sin(lnx)dx.=+
ò
(1)
Xét Jsin(lnx)dx.=
ò

Đặt:
1
usin(lnx)
ducos(lnx)dx
x

ta nên lựa chọn cách trình bày sau:
· Sử dụng tích phân từng phần cho I
1
, như sau:
Đặt :
1
usin(lnx)
ducos(lnx)dx
x
dvdx
vx
ì
=
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:
12
Ix.sin(lnx)cos(lnx)dxx.sin(lnx)I.(3)=-=-
ò

· Sử dụng tích phân từng phần cho I

12
xx
I[sin(lnx)cos(lnx)]C.I[sin(lnx)cos(lnx)] C.
22
=-+=++

Ví dụ 3: Tích tích phân bất đònh:
2
ln(cosx)
Idx.
cosx
=
ò

Giải:
Đặt :
2
uln(cosx) sinx
dudx
cosx
dx
dv
vtgx
cosx
=
ì ì
=-
ïï
Þ
íí

+ Bước 1: Đặt :
duP'(x)dx
uP(x)
.
1
dvsinxdx
vcosx
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=a
=-a
ỵ
ï


+ Bước 2: Khi đó:
11
IP(x)cosP'(x).cosx.dx.=-a+a
aa
ò

+ Bước 3: Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ “khử” được đa thức.
· Cách 1: (Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Ta có: IP(x)cosxdxA(x)sinxB(x)cosxC.(1)=a=a+a+
ò

Xét Jxcos2xdx.=
ò

Đặt :
2
dx
dudx
ux
x1
dvcos2xdx
1
vsin2x
2
ì
==
ï
=
ì
ï
+
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ï
ỵ

Khi đó:


3232
2121212
32
1212121
(xx2x3)sinx[ax(3ab)x(2bc)xcd].cosx
[ax(3ab)x(2bc)xcd].sinx(2)
-+-=++++++-
-----+-

Đồng nhất đẳng thức, ta được:

22
1221
1221
1221
a0a1
3ab03ab1
(I)và(II)
2bc02bc2
cd0cd3
=-=
ìì
ïï
+=-=-
ïï
íí
+=-=
ïï
ïï

ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
axax
1b
Iecos(bx)esin(bx)dx.(1)
aa
=+
ò

+ Bước 2: Xét
ax
Jesin(bx)dx.=
ò

Đặt
ax
ax
dubcosx(bx)dx
usin(bx)

=+-

ax
22
[a.cos(bx)b.sin(bx)e
IC.
ab
+
Û=+
+

· Cách 2: (Sử dụng phương pháp hằng số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước :
+ Bước 1: Ta có:
axax
Iecos(bx)dx[Acos(bx)B.sin(bx)]eC.(3)==++
ò

trong đó A, B là các hằng số.