Bài thu hoạch môn: Số học hiện đại. Lớp 17A3 Cao học toán - Đại học Vinh
Học viên: Trần Thanh Hải – Chuyên ngành: Giải tích 1Lời Mở Đầu

“Số học hiện đại” là một nghành khoa học tự nhiên ra đời cùng với
sự ra đời của nghành toán học.Số Học ra đơi tư rất sớm trong lịch sử phát
triên nghành toán và có vai trò quan trọng trong các nghành khoa học khác
cũng như trong cuộc sống thực tế.Trong nền toán học hiện đại Số học có vai
trò quan trọng,là nền tảng cho các nghanh toán đó.
Tuy vậy khi tiếp cận với Số học hiện đại người học sẽ gặp rất nhiều
khó khăn vì tính trừu tương và độ tư duy rất cao của nghành học.Để khắc
phục vấn đề đó tôi đưa ra một số ít những gì mình đã học trong chương I và
III của giáo trình “Số học hiện đại” của thầy Nguyễn Thành Quang.Thông
qua một số kết quả và một số ví dụ để minh họa cho sự quan trọng đó và sự
tương tự trong các nghiên cứu đó. Từ định lý Mason, người ta dễ dàng thu
được định lý cuối cùng Fermat đối với đa thức trên hệ thức giữa các đa thức.
Chẳng hạn một trong những hệ quả đó là định lý Davenport mà khẳng định
tương tự của nó đối với số nguyên là giả thuyết Hall hoặc Giả thuyết “ABC”
vẫn còn chưa được chứng minh.Số nguyên tố và số giả nguyên tố cùng
những ứng dụng của nó trong khoa học và trong thực tiễn của cuộc sống.
Cuối cùng tôi xin cám ơn Thầy giáo Nguyễn Thành Quang đã tận tình
dạy bảo va giúp đỡ tôi trong quá trình học tập.Vì khả năng còn nhiêu hạn
chế chắc chắn sẽ còn rất nhiều hạn chế và thiếu sót,vì vậy rất mong được sự
góp ý chỉ dẫn của các thầy,cô và các bạn
Tôi Xin Chân Thành Cám Ơn!
Vinh,tháng 5 năm 2010

ự
c ,
Ka
∈
∀
,
ii. )0(
ϕ
= 0; )(
a
ϕ
> 0; v
ớ
i
Ka
∈
≠
0 ,
iii. )(ab
ϕ
= )(a
ϕ
)(b
ϕ
,
iv.
(
)
(
)

Q là tr
ườ
ng các s
ố
h
ữ
u t
ỉ
,
p
là m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố
c
ố

đị
nh nào
đ
ó. Khi
đ
ó
v
ớ
i m
ỗ
i

t cho
p.
Ta
đặ
t
(
)
(
)
n
pp
pa
−
==
ϕϕ
;00
.Khi
đ
ó
trên
Q
s
ẽ
xác
đị
nh cho ta m
ộ
t s
ự


p
n
p
∈∈==⇒
−

Ch
ẳ
ng h
ạ
n:
.77
5
1
7
1
5
1
35
1
7
1
77
=⋅=⋅=
−.122
35
1

đươ
ng nhau trên tr
ườ
ng các s
ố
h
ữ
u t
ỉ

Q
.
I.3 Định chuẩn không Ácsimet.
M
ộ
t chu
ẩ
n
ϕ
trên tr
ườ
ng
K
là m
ộ
t
đị
nh chu
ẩ
n không

đặ
c s
ố
không.Gi
ả
s
ử

a(t),b(t),c(t)
là các
đ
a
th
ứ
c khác h
ằ
ng s
ố
v
ớ
i h
ệ
s
ố
trong K, nguyên t
ố
cùng nhau sao cho
cba
=
+

(
)
1
0
−≤ abcn
.

II.2 Định lý Fermat
T
ừ

đị
nh lí trên ta suy ra
đượ
c h
ệ
qu
ả
sau: (T
ươ
ng t
ự
c
ủ
a
đị
nh lí cu
ố
i cùng c
ủ

Áp dụng định lý
Mason, ta có:
deg(a
n
) = ndega
≤
n
o
(a
n
b
n
c
n
) – 1

≤
n
o
(abc) – 1

≤
deg(abc) – 1
= deg(a) + deg(b) + deg(c) - 1.
Nên
deg(a
n
) = ndega
≤
deg(a) + deg(b) + deg(c) – 1

+≥− fgf .

Chứng minh: Ta dùng định lý Mason với.
a = g
2
, b = f
3
– g
2
, c = g=f
3
.
Khi đó a, b, c nguyên tố cùng nhau và thoả mãn phương trình a + b = c. Theo định lý
Mason ta có dega
≤
n
o
(abc) – 1
≤
n
o
(g
2
(f
3
– g
2
)f
3
) – 1

≤
degg + deg(f
3
– g
2
) +deg(f) – 1 (2)
Cộng từng vế các bất phương trìng (1) và (2) trên, ta có:
Bài thu hoạch môn: Số học hiện đại. Lớp 17A3 Cao học toán - Đại học Vinh
Học viên: Trần Thanh Hải – Chuyên ngành: Giải tích 4

2degg + 3degf
≤
2degg + 2deg(f
3
– g
2
) + 2deg(f) – 2.
⇒
deg(f)
≤
2deg(f
3
– g
2
) - 2.
⇒
deg(f
3
– g
2

deg(f
3
- g
4
) = deg(f
3
) = 3deg(f). Khi đó hiển nhiên ta có
(*),với chú ý rằng deg(f)
≥
1.
+) Nếu 3deg(f) < 4deg(g)
⇒
deg(f
3
- g
4
) = deg(g
4
) = 4deg(g) khi đó ta cũng có (*), vì:
deg(f
3
- g
4
) = 4deg(g) > 3deg(f) >
4
5
degf + 1
+) Nếu 3deg(f) = 4deg(g)
Sử dụng định lý Mason với: a = f
3

(g(f
3
- g
4
)f) – 1.
Do đó ta có 3deg(f)
≤
deg(g) + deg(f
3
- g
4
) + deg(f) – 1.
⇒
deg(f
3
- g
4
)
≥
2deg(f) – deg(g) + 1
⇒
deg(f
3
- g
4
)
≥
2deg(f) –
4
3

−
−
degf + 1 (**)
Bài thu hoạch môn: Số học hiện đại. Lớp 17A3 Cao học toán - Đại học Vinh
Học viên: Trần Thanh Hải – Chuyên ngành: Giải tích 5

Chứng minh:
+) Nếu ndeg(f) > mdeg(g)
⇒
deg(f
n
- g
m
) = deg(f
n
)= ndeg(f). Khi đó hiển nhiên ta có
(**),vơi chú ý rằng deg(f)
≥
1.
+) Nếu ndeg(f) < mdeg(g)
⇒
deg(f
n
- g
m
) = deg(g
m
)= mdeg(g). Khi đó hiển nhiên ta có
(**),với deg(f
n

(f
n
– g
m
)f
n
) – 1.
Suy ra ndeg(f)
≤
n
o
(g(f
n
– g
m
)f) – 1.
Do đó ta có ndeg(f)
≤
deg(g) + deg(f
n
– g
m
) + deg(f) – 1.
⇒
deg(f
n
– g
m
)
≥


? Fermat Theorem Hall Conjecture
Mason Theorem
Davenport
Theorem
Analog of Fermat
Theorem
(
)
3≥n
‘abc
Conjecture
Fermat Theorem
(
)

ươ
ng sao cho
1
2
−
m
là s
ố
nguyên t
ố
.
Vd:

(
)
(
)
12.212.27.428
31332
−=−==
−
:
(
)
(
)
12.212.231.16496
51554
−=−==
−

n khi có m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố
d
ạ
ng
1
2
−
m
. Các s
ố
nguyên t
ố
nh
ư
v
ậ
y g
ọ
i là s
ố
nguyên t
ố
Mersenner.
Trong vd v
ề

ẳ
ng h
ạ
n v
ấ
n
đề
tìm ra các s
ố
nguyên t
ố
l
ớ
n h
ơ
n
để
xây d
ự
ng h
ệ
m
ậ
t mã công khai.
III.4. Số nguyên tố Fermat
Fermat
đ
ã chi ra r
ằ
ng,các s

ọ
i s
ố
t
ự
nhiên l
ơ
n h
ơ
n 1
đề
u phân tích
đượ
c m
ộ
t cách duy nh
ấ
t thành tích các
th
ừ
a s
ố
nguyên t
ố
, trong
đ
ó các th
ừ
a s
ố

là chính nó.
III.6. Số nguyên tố sánh đôi.
Định nghĩa:
N
ế
u 1 là
ướ
c chung l
ớ
n nh
ấ
t (
ƯCLN
) c
ủ
a các s
ố
nguyên
n
aaa , ,,
21
thì các s
ố

n
aaa , ,,
21

đượ
c g

ọ
i là nguyên t
ố
cùng nhau t
ừ
ng
đ
ôi m
ộ
t,hay nguyên t
ố
sánh
đ
ôi.
Ch
ẵ
ng h
ạ
n dãy s
ố
3,5,17,257,65537, là dãy s
ố
nguyên t
ố
Fermat thõa mãn
đ
i
ề
u
ki

(
)
nbb
n
mod≡ ,thì n
đượ
c g
ọ
i là s
ố
nguyên t
ố
c
ơ
s
ở
b.
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p (n,b)=1, ta th
ươ
ng dùng
đị
nh ngh
ĩ
a t
ươ
ng

đ
ó áp d
ụ
ng
đị
nh lý
Fermat, ta có:
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
17mod122
11mod122
3mod122
35
16560
56
10560
280
2260
≡=
≡=
≡=

T
ừ


n th
ỏ
a mãn
đồ
ng d
ư
th
ứ
c
(
)
nb
n
mod1
1
≡
−
v
ớ
i m
ọ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng b sao
cho (n,b)=1
đượ
c g
ọ

y (b,3)= (b,11)= (b,17)= 1.
Theo
đị
nh lý Fermat bé, ta có:
(
)
( )
( )





≡
≡
≡
17mod1
11mod1
3mod1
16
10
2
b
b
b

⇔
(
)
( )

⇒
561 là số carmichael.

Một cách khác để ta nhận biết một số có phải là số Carmichael hay không nhờ vào
định lý sau:” Số tự nhiên n là số Carmichael khi và chỉ khi
k
qqqn
21
= , trong đó
(
)
kjq
j
, 2,1, = ,là các s
ố
nguyên t
ố
khác nhau th
ỏ
a mãn 1−
j
q là
ướ
c c
ủ
a n-1.