Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 1
ĐỀ TÀI MÔN LẬP TRÌNH TÍNH TOÁN

ỨNG DỤNG CÁC PHẦN MỀM TOÁN HỌC TRONG
VIỆC DẠY VÀ HỌC TOÁN Ở BẬC ĐẠI HỌC

Sinh viên thực hiện : Phạm Chí Hiếu
Nguyễn Thị Hồng Viên
Lớp : Tin4 – VT
Giáo viên hướng dẫn : Thầy Trịnh Huy Hoàng

I. GIỚI THIỆU
Hiện nay có rất nhiều phần mềm toán học hỗ trợ tính toán giúp chúng ta có
thể tính toán một cách nhanh chóng hơn. Ví dụ như Maple, Matlab hay
Mathematica. Việc ứng dụng các phần mềm tính toán này ở bậc đại học là rất cần
thiết và gần giống nhau. Do đó trong đề tài này chúng em sẽ sử dụng phần mềm
Mathematica để minh họa.
Mathematica là bộ chương trình tính toán dựa trên nguyên lý của đại số
máy tính. Tính ưu việt của nó so với các bộ chương trình máy tính khác là ở khả
năng tính toán trên các kí hiệu, qua đó máy tính có thể trợ giúp cho người kĩ sư,
cho các nhà khoa học các tính toán về số như những bộ chương trình khác mà còn
giúp họ giải quyết các quá trình lập luận của ứng dụng cũng như tư duy toán học.
đặc biệt với môn toán cao cấp được giảng dạy trong hệ thống đào tạo cao đẳng, đại
học, sau đại học hiện nay, Mathematica là công cụ rất hữu ích trợ giúp cho giảng
viên có thể truyền đạt một cách linh hoạt và tường minh, dễ hiểu tới học sinh, sinh
viên. Mathematica không chỉ là công cụ tính toán mạnh các số, biểu thức toán học,
hàm, các phép tính vi phân, tích phân, hàm ẩn, chuỗi số, mà còn có khả năng cung
cấp các phương tiện đồ họa 2 chiều, 3 chiều , giúp cho sinh viên có thể nắm bài
giảng một cách trực quan và nhanh nhạy nhất.


Việc sử dụng N[5^123] hay 5^123 //N là hoàn tòan giống nhau. Đều cho ra kết
quả ước lượng chính xác của 5^123 .
Muốn tính căn thức ta sử dụng lện Sqrt. Ví dụ :

Hay ước lượng kết quả chính xác

2. Các hàm phức tạp.
Với các phép tính toán như trị tuyệt đối, Ln, Exp, Sin, Cos, Tang, Cotang
hay các hàm Arc thì Mathematica tính toán rất khoa học.
Ví dụ : Muốn biểu diễn e
-5
:

Hay kết quả chính xác :
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 3

Tinh giá trị của Sin(30)

Hàm Log[x] để tính logarit tự nhiên, còn Log[a,b] để tính Log
a
b
Ví dụ :
Tính log
2
11

Mathematica giúp cho người học toán có thể tiếp cận một cách trực quan hơn các

3
(3x – y)
3Viết tổng của
2
2
2
2
x
x
− dưới dạng một phân thức.

Tính giá trị biểu thức
2
2
2
2
x
x
− khi x = 3. Tính giá trị hàm f(x) =
2
2
2
2
x

Ví dụ :
Giải phương trình x
4
- 2x
2
+ x – 1 = 0

Đối với những phương trình không thực tế hoặc không giải được thì Mathematica
đưa ra nhiều hàm để xấp xỉ nghiệm của phương trình. Một trong số đó là hàm
FindRoot và NRoots.
Ví dụ : Xấp xỉ nghiệm của phương trình x
5
+ x
4
– 4x
3
+2x
2
– 3x – 7 = 0
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 6

Hàm FindRoot[lhs == rhs,{x, Firstguess}] cho phép chúng ta xấp xỉ nghiệm của
phương trình bắt đầu với x = Firstguess.
Ví dụ :
Xấp xỉ nghiệm của phương trình x
5
+ x
4

k

Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 7

III. ỨNG DỤNG MATHEMATICA VÀO DẠY VÀ HỌC TOÁN
CAO CẤP

PHẦN 1 : MÔN GIẢI TÍCH
1. Phép tính giới hạn
a) Tính giới hạn
Một trong những phép tính cơ bản nhất của giải tích là tính giới hạn. Để tính giới
hạn dùng lệnh :
Limit[expression, x->a]
Ví dụ 1.1:
Tính giới hạn của :
a)
n
n
Lim
n
1
+
∞→

b)
2
2
3

a)

b)

c)

Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 8
d)

b) Giới hạn một phía
Mathematica có thể tính giới hạn một phía.
Lệnh : Limit[f[x],x->a,Direction ->1] dùng để tính giới hạn
+
>− ax
xf )(lim
và lệnh
Limit[f[x],x->a,Direction-> -1] dùng để tính
−
>− ax
xf )(lim

Ví dụ 1.2:
Tính :
a)
x
x
1
lim

−
→
x
x
x
nhưng Mathematica không thể tính dược cắcgiới hạn
này.
Chú ý :
Các kết quả của lênh Limit nhiều khi cũng cần phải đặt câu hỏi. Trong một
số trường hợp Mathematica cho ta câu trả lời ngạc nhiên hoặc thậm chí trả lời
không chuẩn xác. Ví dụ Mathematica có thể tính được 0=
−
+∞→
x
x
xeLim

Nhưng nó không thể tính được giới hạn của 0
5
=
−
+∞→
x
x
exLim
Hơn nữa Mathematica không thể tính được các giới hạn kiểu như 0
!
=
+∞→
x

b) Sinx
c) (3 x + 4)
2
( x +5)
2

d)
x
x
xx
3
12
2
2
+
++

e) F(x) =x
3
. e
-2x

f) X arctg x
Giải
a)

b)

c)


+ 6x
2
+ 2, g(x) = 12x
2
+ 12x + 9,
h(x) = 24x + 12
Giải
Vẽ một đồ thị f(x)
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 11

Để vẽ đồ thị f(x) có nhiều màu khác nhau, ta dùng lệnh:
Plot[f[x],{x,a,b}, PlotStyle -> GrayLevel[w]] , trong đó w là 0 hoặc 1
PlotStyle -> GrayLevel[0] hiển thị màu đen, còn PlotStyle -> GrayLevel[1] hiển
thị màu trắng
Muốn vẽ nhiều màu hơn nữa có thể dùng lệnh:
Plot[f[x],{x,a,b}, PlotStyle ->RBGColor[r,g,b]], trong đó r,g,b có thể lấy
các giá trị 0 hoặc 1. Chẳng hạn RGBColor[1,0,0] cho màu đỏ, RGBColor[0,1,0]
cho màu xanh lá cây, còn RGBColor[0,0,1] cho màu xanh nước biển
Chú ý: Kết quả có được khi sử dụng lệnh Plot là một đối tượng của
Mathematica, do đó có thể đặt tên cho nó với mục đích sẽ dùng lại kết quả đó khi
cần
Một đồ thị ghép nối (dashed graph) được tạo nên nhờ sử dụng biến lựa
chọn PlotStyle -> Dashing[{n1,n2…}], trong đó n1, n2,… là những con số.

Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 12


Ví dụ 4.2 :
Vẽ đồ thị trong tọa độ cực với R(t) = 2(1+cost)
Giải
Ta sẽ vẽ đồ thị hai hàm R(t).Cost và R(t)Sint

Ví dụ 4.3) :
Dùng lệnh ParametricPlot để vẽ đường tròn x
2
– 4x + y
2
– 2y =4
Giải:
Ta thấy phương trình đường tròn có thể đưa về dạng (x-2)
2
+ ( y-1)
2
=3
2
Và có dạng tham số là
{
tx
ty
cos32
sin31
+=
+=
,
π
20
≥

e
+−
.
Giải

Tham số PlotPoint để thay đổi độ “mịn” của đồ thị.
Nếu ta cho tham số Mesh (Lưới) là False ta sẽ có đồ thị như sau :
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 17

Ví dụ 5.3:
Vẽ hàm số f(x,y) = x
2
– 4x + y
2
-2y + 5 trong hình chữ nhật [0,4]
×
[-1,3]
Giải: Lợi thế của ViewPoint ở đây là hiển thị đồ thị từ điểm ta qui định. Còn
BoxRatios xác định kích thước của hình hộp mà trong đó đồ thị được hiển thị.
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 18

6. Vẽ đồ thị tham số trong không gian 3 chiều.
Lệnh ParameticPlot3D được sử dụng để vẽ đường và mặt cong theo tham số

song song với trục hoành.
Giải
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 19
Ví dụ 7.2:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm f(x)=2x
3
+3x
2
-12x +7 tại x=1
Giải: Vậy phương trình tiếp tuyến là: y-20=-12(x-(-1))
Ta vẽ đồ thị cuả f và tiếp tuyến nói trên nhờ lệnh:
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 20 Chú ý rằng: Thuộc tính tùy chọn DisplayFunction → Identity sử dụng để
tránh cho việc đồ thị cảu f và của tiếp tuyến xuất hiện ngay lập tức, còn lệnh Show
giúp hai đồ thị này xuất hiện trên màn hình trên cùng một hệ trục tọa độ

8. Điểm tới hạn, điểm uốn.
Vì đạo hàm của hàm số là những biểu thức nên có thể biểu diễn bằng


Để nhận được các điểm tới hạn và điểm uốn ta phải tính giá trị f tại các
nghiệm của f’ và f’’ Đánh các lệnh trên ta sẽ nhận được kết quả các điểm tới hạn là:
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 22

Và các điểm uốn là:

Để giải phần b) ta viết các dòng lệnh sau: Nghiệm của f’(x) =0 là x=1, nghiệm của f’’(x) =0 là x=4, tiếp đó ta tính f[1], f[4] Và ta được điểm tới hạn là (1,1/12) và điểm uốn là (4,2/27)
9. Định lý Rolle và định lý giá trị trung bình
Giả sử f là hàm liên tục trên [a,b] và khả vi trên (a,b). Khi đó định lý Rolle
khẳng định rằng nếu f(a) = f(b) = 0 thì tồn tại ít nhất một giá trị c trong (a,b) sao
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 23
cho f’(c) = 0 và định lý giá trị trung bình khẳng định rằng tồn tại ít nhất một giá trị
c thuộc (a,b) sao cho
a
b
−

+1) trong đoạn [0,
π
]
Giải

Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 25

10. Đạo hàm của hàm ẩn
Nếu một phương trình chứa hai biến x và y thì Mathematica tính đạo hàm
của hàm ẩn của phương trình nhờ lệnh Dt[equation,x] trong đó biểu thức của
phương trình là hàm khả vi theo biến x.
Biểu thức Dt[y,x] được dùng khi tính đạo hàm của hàm ẩn y đối với x
(dy/dx)
Ví dụ 10.1:
Tính đạo hàm của hàm ẩn y đối với x, biết rằng x
2
y
3
+ 2y=0
Giải

Ví dụ 10.2 :
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của phương trình :
2x
2