BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TẬP ĐOÀN BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG VIỆT NAM
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

NGUYỄN THỊ HỒNG HUỆ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP
TIẾP CẬN HÌNH HỌC TRONG CÁC BÀI TOÁN
THUỘC HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH
LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT
LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành đến giáo viên hướng
dẫn PGS.TSKH Nguyễn Ngọc San, người đã tận tình chỉ bảo tôi trong định hướng
nghiên cứu, đề xuất các ý tưởng và giúp đỡ về mặt phương pháp luận cũng như việc
kiểm tra cuối cùng đối với luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông,
Lãnh đạo khoa Quốc tế và Đào tạo Sau đại học và các đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi rất
nhiều trong quá trình học tập, nghiên cứu và tạo điều kiện giúp tôi trong công tác để
tôi có thời gian thực hiện việc học tập và hoàn thành luận văn.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới bố mẹ và dành tình
cảm tới chồng tôi, người động viên về tinh thần và hỗ trợ nhiều về mặt khoa học.
NGUYỄN THỊ HỒNG HUỆ
MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC 2
THUẬT NGỮ, CHỮ VIẾT TẮT 3
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ 5
LỜI NÓI ĐẦU 6
CHƯƠNG 1
KHÁI NIỆM HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH 9
I.1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ THUẬT NGỮ CƠ BẢN 9
I.2. CÁC ĐỊNH NGHĨA TỔNG QUAN CỦA HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH 11
I.3. KHÁI NIỆM ĐIỀU KHIỂN VÀ QUAN SÁT KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 13

there exists Tồn tại
⇒
implies Nghĩa là, hàm ý
⇔
implies and is implied by Bao hàm và kéo theo bởi
:
=
equal by definition Bằng theo định nghĩa
A
,
X
sets or vector spaces Tập hoặc các không gian véctơ
a, x elements of sets or vectors Các phần tử của tập hoặc của các véctơ
∅
the empty set Tập rỗng
{ }
i
x
the set whose elements are
i
x
Tập gồm các phần tử là
i
x
f
A
,
f
X
function spaces Không gian hàm

0 1
[ )t ,t
A right open interval Khoảng mở phải
(.)f
a time function Hàm thời gian
(.)f
&
the first derivative of function
(.)f
Đạo hàm đầu tiên của hàm
(.)f
( )f t
The value of
(.)f
at t Giá trị của
(.)f
tại thời điểm t
0 1
( )t ,t
f
|
a segment of
(.)f
Một đoạn của
(.)f
j
the imaginary unit Đơn vị ảo
n
x|| ||
the n-norm of vector x Trị chuẩn n của véctơ x

the transpose of A Chuyển vị của ma trận A
*
A
the conjugate transpose of A Liên hợp chuyển vị phức của ma trận A
1
A
−
the inverse of A (A square
nonsingular)
Nghịch đảo của ma trận A
A
+
the pseudoinverse of A
(A nonsquare or singular)
Tựa nghịch đảo của ma trận A
( , )x
ε
O
The
ε
-neighborhood of x Lân cận
ε
của x
Im A
the image of A Ảnh của A
kerA
the kernel of A Nhân của A
B- CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VÀ VIẾT TẮT
V
: Không gian con bất biến điều khiển được nói chung

mảng nghiên cứu kết hợp của nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau như toán học, lý
thuyết hệ thống… Trong đó, sự kết hợp của các khái niệm toán học cùng các phương
pháp tiếp cận đã tạo dựng được nhiều thành công trong nghiên cứu như: phương
pháp tiếp cận trong miền tần số; phương pháp tiếp cận trong miền thời gian; phương
pháp tần số trong miền đa thức - ma trận …Các các phương pháp tiếp cận này gặp
một số nhược điểm sau:
- Việc biểu diễn của các hệ thống, kể cả biểu diễn bởi hệ phương trình vi phân hay
dạng ma trận tần số, chúng bao gồm các thành phần là các giá trị số cần phải được
xác định một cách chính xác.
- Các thuật toán kèm theo của các phân tích và tổng hợp hệ thống đều dựa trên phép
tính ma trận mà không quan tâm đến việc hệ thống có cấu trúc đặc biệt hay không
hoặc hệ thống có hồi tiếp hay không.
- Do việc dựa vào các tính toán ma trận nên khi các hệ thống xem xét có bậc lớn và
phức tạp việc giải quyết các bài toán gặp nhiều khó khăn, thậm chí trở thành phi
thực tế, nhất là đối với các hệ điều khiển đòi hỏi các đáp ứng thời gian thực, bởi sự
phức tạp của các tính toán.
- Các bước tổng hợp hồi tiếp khi sử dụng các phương pháp nói trên chỉ thích hợp
cho các hệ thống có số đầu vào, số trạng thái và số đầu ra giới hạn. Đối với các hệ
thống lớn như hệ thống có sự rải rác (sparsity)…, thì các phương pháp này không
thể áp dụng được.
- Các phương pháp này không cung cấp được cái nhìn rõ ràng (insight) trực quan
cũng như ý nghĩa vật lý thực của các biểu diễn, biến đổi và các thuật toán.
- Một số phương pháp không thể áp dụng cho hệ thống đa biến MIMO.
Với các nhược điểm và hạn chế kể trên việc tìm kiếm một phương pháp đơn giản,
cung cấp tính thuận tiện trong phân tích biểu diễn hệ thống, đồng thời không làm
mất cái nhìn và ý nghĩa trực quan của các biến đổi là cần thiết. Và phương pháp hình
học là một trong các phương pháp đó.
Phương pháp tiếp cận hình học gồm hai phần cốt lõi là: lý thuyết đại số và phần
tính toán hay còn gọi là phần thuật toán. Phương pháp hình học được phát triển trên
cơ sở toán học không phụ thuộc vào hệ tọa độ, do đó có ưu điểm đơn giản, cho phép

Trong chương 3, từ các khái niệm cơ bản của phương pháp tiếp cận hình học đề
cập trong chương 2, chúng ta sẽ lần lượt xem xét các bài toán điều khiển dưới cái
nhìn mới.
Phần cuối cùng sẽ là kết luận của bản luận văn này.
CHƯƠNG I
HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH
I.6. CÁC KHÁI NIỆM VÀ THUẬT NGỮ CƠ BẢN
Ngày nay các thuật ngữ “ hệ thống”, “lý thuyết hệ thống”, “khoa học hệ thống” và
“kỹ thuật hệ thống” trở nên khá phổ biến và được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác
nhau như điều khiển, xử lý số liệu, công nghệ sinh học…. và khiến chúng được hiểu
theo hàm nghĩa liên quan đến lĩnh vực được sử dụng. Do đó, thấy cần có một định
nghĩa rõ ràng phù hợp với việc nghiên cứu trong luận văn này.
Trước hết, thuật ngữ hệ thống hay hệ được dùng để diễn tả một đối tượng, thiết
bị hoặc một hiện tượng mà có sự biến chuyển trong các đại lượng đo lường quan
tâm, chẳng hạn như các máy công cụ, các động cơ điện, một máy tính, một vệ tinh
nhân tạo, nền kinh tế của một quốc gia.
Đại lượng đo lường là một đặc tính có thể tương hỗ với một hoặc nhiều đại lượng
số, chẳng hạn điện áp, trở kháng của một đoạn mạch.… Đối với những hệ thống có
tham số phân tán, các đặc tính có thể được biểu diễn bởi các hàm thực hoặc phức
trong không gian tọa độ.
Mô hình toán học biểu diễn sự liên kết giữa các đại lượng đo lường hoặc biến số
của hệ thống thông qua một quá trình xấp xỉ nào đó. Mô hình toán học là một công
cụ hữu hiệu và cần thiết trong việc tái tạo và phân tích đặc tính, đáp ứng của một hệ
thống. Cùng một hệ thống, có thể được biểu diễn bởi một số mô hình toán học khác
nhau phụ thuộc vào các tiêu chí cũng như sự lựa chọn các mục tiêu (trái ngược giữa
sự đơn giản hóa trong biểu diễn phân tích và sự chính xác trong biểu diễn). Đôi khi
những tiêu chí cho việc xây dựng mô hình còn phải phụ thuộc vào những trường hợp
bài toán đặc biệt.
Các mô hình toán học tự thân chúng là các hệ thống, nhìn dưới góc độ giản lược,
được xây dựng để biểu diễn đối tượng nghiên cứu và mô hình toán học của đối

chuyển biến theo thời gian của các biến tương ứng nêu trên. Trong một số trường
hợp đặc biệt, các hàm đầu vào, các hàm đầu ra thường được gọi tương ứng là các
tín hiệu vào, tín hiệu ra. Đôi khi những khái niệm tín hiệu vào, tín hiệu ra được thay
thế bởi các khái niệm tương ứng là tín hiệu kích thích và tín hiệu đáp ứng.
Một hệ thống không kết nối với môi trường bởi bất cứ một đầu vào nào được gọi
là hệ thống tự do hay còn gọi là hệ thống tự trị (autonomous system). Ngược lại, nếu
có bất cứ một đầu vào nào biểu diễn sự kích thích từ môi trường, chúng thường
được gọi là các tín hiệu ngoại sinh, lên hệ thống thì hệ thống được gọi là hệ thống
chịu tác động (forced system). Trong các bài toán điều khiển, thường chúng ta phân
biệt các đầu vào thành 2 lớp chính: lớp biến có thể điều khiển được; lớp không thể
điều khiển được. Lớp các giá trị đầu vào được dùng trong suốt quá trình điều khiển
để nhằm đạt được mục tiêu điều khiển đặt ra được gọi là lớp đầu vào có thể điều
khiển được. Trong khi đó, lớp đầu vào không điều khiển được là lớp đầu vào thay đổi
một cách tùy ý và thường là không thể dự đoán được, chúng thường được gọi là tín
hiệu can nhiễu (disturbances)
I.7. CÁC ĐỊNH NGHĨA TỔNG QUAN CỦA HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH
Trước khi đưa ra các khái niệm chúng ta quy định một số ký hiệu toán học như
sau:
T
:

biểu diễn tập thời gian;
U
: biểu diễn tập đầu vào;
f
U
: biểu diễn tập hàm
đầu vào;
X
: biểu diễn tập trạng thái;

U
, tập trạng thái
X
, tập đầu ra
Y
và hàm biến đổi trạng
thái được biểu diễn bởi:
( ) ( ( ), ( ), )x t g x t u t t
=
&
(1.2)
Có nghiệm duy nhất đối với bất kỳ trạng thái ban đầu, hàm đầu vào của một hàm
đầu ra hay còn goi là ánh xạ đầu ra:
( ) ( ( ), ( ), )y t g x t u t t=
(1.3)
ĐỊNH NGHĨA 1.2.4: (Hệ thống động học rời rạc theo thời gian) Một hệ thống động học
rời rạc theo thời gian là hệ thống có tập thời gian
= ¢T
, tập đầu vào
U
,
tập hàm đầu vào
f
U
, tập trạng thái
X
, tập đầu ra của một hàm trạng thái kế
tiếp
( 1) ( ( ), ( ), )x i f x i u i i+ =
(1.4)

0 1
[ , ]t t
u
, một cách duy nhất xác định một đoạn cắt hàm
đầu ra.
I.8. KHÁI NIỆM ĐIỀU KHIỂN VÀ QUAN SÁT KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
Khái niệm có thể điều khiển được diễn tả khả năng có thể ảnh hưởng đến chuyển
động
(.)x
hoặc đáp ứng
(.)y
của một hệ động học
Σ
bởi hàm đầu vào (hoặc
hàm điều khiển)
(.)
f
u
∈
U
.
Việc phân tích tính có thể điều khiển được liên hệ chặt chẽ với định nghĩa của các
tập con đặc biệt của không gian trạng thái
X
. Cụ thể :
- Tập có thể tiếp cận được ở thời điểm cuối
1
t t=
từ sự kiện
0 0

t
:
0 1 1 0 0 1 0 0
( , , { ( , , , (.)), (.) }
f
R t t x x x t t x u u
−
) := : = ϕ ∈ U
- Tập có thể điều khiển được từ một sự kiện
1 1
( , )t x
từ một thời điểm bất
kỳ trong khoảng thời gian
0 1
[ , ]t t
:
0 1 1 0 0 1 0 0 1
( , , { ( , , , (.)), [ , ], (.) }
f
W t t x x x t x u t t u
τ τ
−
) := : = ϕ ∈ ∈ U
Trong các định nghĩa trên, ta luôn giả thiết thứ tự
0 1
t t
≤
. Từ đó dễ dàng
thấy rằng:
0 1 0 1

: {( , }t x t t= ): =P
trong khi đó
0 1 0
( , ,t t x
+
)
W
có thể đạt được bằng cách chiếu tập
0 0
( ,t x )∩C M
, với
0 1
: {( , [t , ]}t x t t= ): ∈M
, lên mặt phẳng
1 1
: {( , }t x t t= ): =P
dọc theo trục thời gian t.
0 1 0
( , ,t t x
−
)R
và
0 1 0
( , ,t t x
−
)
W
được suy ra bằng cách tương tự.
Hình 1.3: Tập các trạng thái có thể điều khiển được
ĐỊNH NGHĨA 1.3.1: (Tính có thể tiếp cận được và tính có thể điểu khiển được của một

)R
,
0 1
( , ,t t x
+
)W
,
0 1
( , ,t t x
−
)R
,
0 1
( , ,t t x
−
)W
, không phụ thuộc vào
thời điểm
0 1
,t t
mà chỉ phụ thuộc vào sự khác biệt
1 0
t t−
, do đó có thể giả thiết
0
0t =
mà không làm mất đi tính tổng quát của bài toán. Khi đó, các ký hiệu
trên có thể được giản lược như sau:
-
1

x
−
)
R
: Biểu diễn tập có thể điều khiển được tới x tại thời điểm
1
t t=
từ thời
điểm khởi đầu 0.
-
1
(
t
x
−
)W
: Biểu diễn tập có thể điều khiển được đến trạng thái x tại bất kỳ thời
điểm nào trong khoản thời gian
1
[0, ]t
từ thời điểm khởi đầu 0.
Với hai thời điểm cho trước
1 2
,t t
thỏa mãn
1 2
t t≤
, suy ra quan hệ:
1 2
( ( ,

( lim (
t
x x
− −
→∞
) := )W W
. Tức là biểu diễn tập có thể tiếp cận được từ trạng thái x và
tập có thể điều khiển được đến trạng thái x trong một khoảng thời gian bất kỳ đủ
lớn.
ĐỊNH NGHĨA 1.3.2: (Hệ thống hoàn toàn có thể điều khiển được) Một hệ thống bất
biến theo thời gian được gọi là một hệ thống hoàn toàn điều khiển được hay được
kết nối nếu nó tiếp cận đến một trạng thái bất kỳ từ một trạng thái khác nào đó, và
do đó
( (x x
+ −
) = ) =
W W X
với mọi
x
∈
X
.
Thuật ngữ tính có thể quan sát được diễn tả một cách tổng quát khả năng của
việc suy dẫn trạng thái khởi đầu
0
(x t
)
hoặc trạng thái cuối
1
(x t )

τ τ τ
−
) := : = γ ∈Q
.
- Tập các trạng thái cuối nhất quán với các hàm đầu vào
(.u )
, hàm đầu ra
(.y
)
trong khoảng thời gian
0 1
[ , ]t t
:
0 1 1 1 1 0 0 0 0 1
( , , (.), (.) { ( , , , (.)), ( , , (.), (.) }t t u y x x t t x u x t t u y
+ −
) := : = ϕ ∈ )Q Q
Các quan hệ trên đây không phải là các quan hệ tùy ý, mà là những quan hệ được
bó hẹp trong tập các hàm đầu ra có thể khi xem xét tương ứng với các trạng thái khởi
đầu và hàm đầu vào. Tập này được định nghĩa như sau:
0 0 0 0 0
( , (.)): { (.) : ( ) ( , , , (.)), , }
f
t u y y t t t x u t t x
= = γ ≥ ∈
Y X
(1.11)
ĐỊNH NGHĨA 1.3.3: (Chẩn đoán, khu trú của một hệ thống) Tập trạng thái của một hệ
thống động học ∑, hoặc hệ thống mở rộng chính nó, được gọi là có thể quan sát
được trong khoảng thời gian

+
Q
có thể giản lược thành một thành phần đơn với mọi hàm
đầu ra
0
(.) ( , (.))
f
y t u∈Y
.
Một hệ động học mà không có trạng thái nào là không thể phân biệt được trong
khoảng thời gian
0 1
[ , ]t t
không nhất thiết là một hệ thống có thể quan sát được
trong khoảng thời gian đó bởi một thí nghiệm nào đó. Điều này bởi vì các hàm đầu
vào khác nhau có thể là yêu cầu để tách biệt các cặp trạng thái khởi đầu. Đây thường
là trường hợp điển hình của hệ thống có số trạng thái hữu hạn và khá phổ biến trong
các hệ thống phi tuyến.
ĐỊNH NGHĨA 1.3.4: (Hệ thống hoàn toàn quan sát được hoặc có thể tái cấu trúc một
các đầy đủ) Tập trạng thái của một hệ thống động học ∑, hoặc là mở rộng của chính
nó, được gọi là hoàn toàn quan sát được trong khoảng thời gian
0 1
[ , ]t t
nếu với
tất cả các hàm đầu vào
(.)
f
u
∈
U