ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀO TRUNG KIÊN

PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN CON KRYLOV
CHO GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thanh Sơn

Thái Ngun - 2013

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

LỜI CẢM ƠN
Trước tiên tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thanh
Sơn - Giảng viên khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học
Thái Ngun, người thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tơi trong
suốt q trình hồn thành luận văn này.
Tơi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy, cơ đã và
đang tham gia giảng dạy tại trường Đại học Khoa học Thái Ngun.


- ii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1 Phương pháp khơng gian Krylov cho giảm bậc của hệ
động lực tuyến tính
8
1.1. Sơ lược về lí thuyết hệ động lực tuyến tính

. . . . . .

8

1.1.1. Cơng thức nghiệm của phương trình trạng thái

9

1.1.2. Quan hệ đầu vào - đầu ra trong khơng gian trạng
thái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Quan hệ đầu vào - đầu ra trong miền tần số . .


22

1.4.2. Thuật tốn Lanczos . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.5. Phương pháp Krylov cho hệ cấp hai [19] . . . . . . . .

24

1.5.1. Hệ động lực cấp 2 một đầu vào - một đầu ra . .

24

1.5.2. Giảm bậc bằng phương pháp hợp hóa mơmen
trong khơng gian trạng thái. . . . . . . . . . . .

25

-1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

1.5.3. Phương pháp giảm bậc sử dụng phép chiếu cho
hệ cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.5.4. Một số chủ đề liên quan . . . . . . . . . . . . .

1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, mơ phỏng số là khâu rất quan trọng giúp các nhà sản
xuất tạo ra sản phẩm. Bước này giúp các nhà thiết kế tạo ra mẫu
sản phẩm thỏa mãn các u cầu của nhà sản xuất. Ngồi ra, việc mơ
phỏng thay thế cho các thí nghiệm thực tế thường đắt tiền và kéo dài
sẽ giúp hạ giá thành và tiết kiệm thời gian.
Trong bước đầu tiên của một mơ phỏng, người ta phải tìm một mơ
hình tốn học mơ tả hoạt động của thiết bị, hoặc một thành phần
đơn lẻ của nó. Việc hình thành một mơ hình được dựa trên các quy
luật trong vật lý, hóa học, vv. Q trình này thường được kết thúc
bởi một tập hợp các phương trình vi phân đạo hàm riêng. Để có dữ
liệu mơ phỏng người ta phải giải những phương trình đó trên máy
tính. Để làm được điều này các phương trình vi phân đạo hàm riêng
phải được rời rạc trong khơng gian bằng một số phương pháp số chẳng
hạn như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) hoặc phương pháp sai
phân hữu hạn (FDM). Thơng qua q trình tuyến tính hóa và khai
triển thích hợp ta thường thu được hệ tuyến tính khơng phụ thuộc
thời gian dạng như sau:
E x(t)
˙
= A(t)x(t) + B(t)u(t)),
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)),

(0.1)

trong đó E, A ∈ RN ×N , B ∈ RN ×m , C ∈ Rl×N là các ma trận thực
hoặc phức; x(t) là một véctơ mơ tả trạng thái của hệ thống phụ thuộc
vào thời gian t; u(t) đại diện cho đầu vào được đưa ra bởi người sử
dụng hoặc được xác định bởi một q trình, được gọi là đầu vào hoặc
hàm điều khiển, ảnh hưởng tới hoạt động của hệ thống; y(t) là thơng

đòi hỏi của q trình mơ phỏng. Từ đó người ta muốn xấp xỉ hệ động
lực bậc N ban đầu bởi một hệ động lực bậc n, với n
N . Xấp xỉ
được hiểu theo nghĩa: với mọi đầu vào giống nhau, đầu ra của hai hệ
động lực xấp xỉ bằng nhau. Đương nhiên với bậc n nhỏ hơn nhiều lần,

-4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

thời gian mơ phỏng sẽ được rút ngắn rất nhiều. Cơng việc này gọi là
giảm bậc của hệ động lực.
Việc giảm bậc hệ của động lực rất quan trọng cả về mặt lý thuyết
và ứng dụng thực tế. Có rất nhiều cơng trình đã viết về vấn đề này
và nhiều phương pháp đã được tìm ra. Nổi bật hơn cả là ba phương
pháp: phân tích trực giao chính (Proper Orthogonal Decomposition),
chặt cụt cân bằng (Balanced Truncation) và phương pháp khơng gian
con Krylov (Krylov Subspace Methods). Trong ba phương pháp giảm
bậc ở trên thì phương pháp khơng gian con Krylov có ưu điểm là dễ
lập trình, độ phức tạp của thuật tốn thấp, có thể làm với hệ bậc cao.
Do vậy chúng tơi quyết định chọn đề tài "Phương pháp khơng gian
con Krylov cho giảm bậc của hệ động lực tuyến tính" để nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Xây dựng phương pháp khơng gian con Krylov cho giảm bậc của
hệ động lực tuyến tính; áp dụng phương pháp này cho một số ví dụ
thực tế.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý thuyết của hệ động lực tuyến tính cấp một
và cấp hai, phương pháp khơng gian con Krylov và các thuật tốn
Arnoldi, Lanczos.

văn
• R+ là tập các số thực dương.
• Rn×r là tập các ma trận thực cỡ n × r.
• AT là ma trận chuyển của ma trận A.
• span {a1 , a2 , ..., aj } là khơng gian sinh bởi các véctơ {a1 , a2 , ..., aj }.
• colsp(A) là khơng gian sinh bởi các véctơ cột của ma trậnA
• x(t)
˙
là đạo hàm của x theo biến t.
• x¨(t) là đạo hàm cấp 2 của x theo biến t.
• Re(λ) là phần thực của số phức λ.
• Λ(A) là tập hợp các giá trị riêng của ma trận A.
• σi (A) là giá trị kỳ dị thứ i của ma trận A, trong đó σ1 (A) ≥
σ2 (A) ≥ ... ≥ σn (A).
• A∗ là ma trận chuyển vị liên hợp của ma trận A.
• trace(A) là tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận
vng A, nghĩa là nếu A = (aij ) là ma trận vng cấp n thì
trace(A) = ni=1 aii .

-7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Chương 1

Phương pháp khơng gian Krylov
cho giảm bậc của hệ động lực
tuyến tính
1.1.




• Phần lớn các hệ động lực thường gặp là bất biến thời gian:
A, B, C, D là các ma trận hằng, nghĩa là chúng khơng phụ thuộc
vào thời gian t.
• Khi u(t) và y(t) là các hàm vơ hướng, hay m = l = 1, thì hệ động
lực được gọi là một đầu vào - một đầu ra và kí hiệu là SISO (single
- input - single - output); trường hợp ngược lại nếu m, l > 1 thì
hệ được gọi là nhiều đầu vào - nhiều đầu ra và kí hiệu là MIMO
(multiple-input - multiple-output).
• Khi xét hệ động lực người ta còn đưa vào một số khái niệm: tính
chất khoảng, tính nhất qn, tính nhân quả, tính đối chu trình,
tính ổn định, tính đạt được và tính quan sát được, xem [20].
1.1.1.

Cơng thức nghiệm của phương trình trạng thái

Xét hệ động lực tuyến tính khơng phụ thuộc thời gian sau:
x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)

(a),
(b).

(1.3)

Giả sử phương trình trạng thái (1.3(a)) có điều kiện ban đầu x0 =
x(t0 ), bằng phương pháp biến thiên hằng số phương trình (1.3(a)) có

(
f (t) qq dt) < +∞}.

= {f : R+ → Rk :

R+

-9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>
f (t)

Lq

:=


Xét ánh xạ
L : Lq R+ , Rk → Lq R+ , Rk , 1

q

+∞

t

CeA(t−τ ) Bu(τ )d(τ ).

u(t) → y(t) = Du(t) +


sˆ
x(s) = Aˆ
x(s) + B uˆ(s),
(1.8)
yˆ(s) = C xˆ(s) + Dˆ
u(s).

(1.9)

xˆ(s) = (sI − A)−1 B uˆ(s).

(1.10)

Từ (1.8) ta suy ra

Kết hợp (1.9) và (1.10) ta có
yˆ(s) = (C(sI − A)−1 B + D)ˆ
u(s).

(1.11)

Đặt H(s) = C(sI − A)−1 B + D ∈ Cl×m . Theo (1.11), H(s) cho ta cơng
thức tính yˆ(s) trực tiếp từ uˆ(s): yˆ(s) = H(s)ˆ
u(s).
- 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Định nghĩa 1.1.3. H(s) được gọi là hàm chuyển (transfer function)
của hệ động lực (1.3).

trong C+ , chuẩn Hardy của F được định nghĩa và kí hiệu là:

1
+∞
p


p
 sup
F (α + iβ) S,p dβ , 1 ≤ p < +∞
α>0 −∞
F Hp :=


 sup F (z) S,p , p = +∞,
z∈C+

trong đó C+ = { z ∈ C, Re(z) > 0}.
Trong việc giảm bậc của hệ động lực người ta hay dùng hai chuẩn
Hardy p = 2 và p = ∞. Cụ thể:
F

H∞

:= sup σmax (F (z)),
z∈C+
+∞

F



H2

trace(F ∗ (−iβ)F (iβ))dβ

=

1
2

.

−∞

Khi sử dụng những chuẩn này cho hệ động lực, người ta áp dụng vào
hàm chuyển của hệ động lực.
1.2.

Sơ lược lịch sử của phương pháp

Theo phần 1.1, ta thấy rằng hàm chuyển của một hệ động lực chính
là đại diện của hệ động lực đó trong miền tần số. Vì vậy có một xu
hướng giảm bậc là tìm một hệ có bậc nhỏ hơn và có hàm chuyển xấp
xỉ hàm chuyển của hệ gốc. Điều này có thể thực hiện thơng qua việc
hợp hóa (1) các hệ số đầu trong khai triển Laurent của hàm chuyển
gốc tại một điểm. Phụ thuộc vào việc chọn điểm khai triển mà bài
tốn giảm bậc được đặt tên khác nhau như sau:
• Mơ tả từng phần (Partial realization): hợp hóa các số hạng của
khai triển quanh ∞.
• Xấp xỉ Padé (Padé approximation): hợp hóa các số hạng của khai

của hệ gốc có thể được viết dưới dạng phân thức
PN −1 (s)
ˆ
H(s)
=
,
QN (s)
trong đó PN −1 (s) là đa thức có bậc khơng q N −1, QN (s) là đa thức
bậc N . Để tìm xấp xỉ Padé người ta đã tính tốn hệ số của PN −1 (s) và
PN −1 (s) bằng việc giải phương trình tuyến tính có vế phải là mơmen
của H(s) [12] . Cách tiếp cận này gọi là phương pháp hợp hóa mơmen
hiện (explicit moment matching). Phương pháp này được sử dụng
rộng rãi trong kỹ thuật đánh giá dạng sóng tiệm cận (Asymptotic
Waveform Evaluation) [16,4,5]. Tuy nhiên người ta phát hiện ra rằng
phương pháp hợp hóa mơmen hiện là khơng ổn định. Do đó nó dẫn
tới sự khơng chính xác, đặc biệt khi bậc của hệ lớn. Điều này xảy ra
do một ngun nhân là phương pháp này đòi hỏi phải tính tốn cụ
thể mơmen của hệ gốc.
Như vậy một u cầu xuất hiện là làm sao có thể hợp hóa mơmen
nhưng khơng nhất thiết phải tính tốn cụ thể các mơmen đó. Mục
tiếp theo sẽ trình bày cụ thể giải pháp này thơng qua phép chiếu lên
khơng gian con Krylov.
1.3.

Phương pháp khơng gian con Krylov

1.3.1.

Phương pháp giảm bậc của hệ động lực thơng qua phép chiếu


Eˆ xˆ(t) = Aˆ
yˆ(t) = CV xˆ(t) + Du(t).

(1.14)

Định nghĩa 1.3.1. Hệ (1.14) được gọi là hệ giảm bậc của hệ (1.12)
xây dựng bằng phương pháp chiếu bởi hai ma trận chiếu W và V .
Lưu ý: Ma trận D khơng bị ảnh hưởng bởi q trình hạ bậc nên
từ đây ta giả sử D = 0.
1.3.2.

Cơ sở của phương pháp

Xét hệ (1.12) với hàm chuyển H(s) = C(sE − A)−1 B. Ta giả sử
rằng det(λE − A) ≡ 0. Khi đó,
H(s) = C(sE − A)−1 B
= C((s − s0 )E − (A − s0 E))−1 B
= C(−(A − s0 E)(I − (A − s0 E)−1 E(s − s0 )))−1 B
= −C(I − (A − s0 E)−1 E(s − s0 ))−1 (A − s0 E)−1 B.
Khi s gần s0 , ta có thể giả sử ||(A − s0 E)−1 E(s − s0 )|| < 1, khai
triển ở trên trở thành
∞

i

(A − s0 E)−1 E(s − s0 ) (A − s0 E)−1 B

H(s) = −C
i=0


H(s) = C(sE − A)−1 B
E −1 A −1
= C(sE(I −
)) B
s
E −1 A −1 −1 −1
= C(I −
) E s B.
s
Khi s đủ lớn thỏa mãn ||(E −1 A)/s|| < 1 ta có
∞

E −1 A
s

H(s) = C
i=0

hay

i

E −1 Bs−1

∞

(E −1 A)i E −1 Bs−(i+1) .

H(s) = C


Trước hết ta thấy rằng trạng thái x(t) của hệ SISO với điều kiện ban
t
đầu thuần nhất có dạng x(t) = 0 eA(t−τ ) bu(τ )dτ . Do đó việc xây dựng
hệ giảm nhằm xấp xỉ biểu thức eAt b. Dựa trên quan sát người ta thấy
rằng tốn tử mũ ma trận có thể được xấp xỉ bởi phép chiếu trên khơng
gian con Krylov [10, 17]. Liên hệ giữa khơng gian con Krylov và xấp
xỉ Padé được trình bày trong [8]. Tuy nhiên ý tưởng ban đầu xuất
hiện trong q trình giải bài tốn nội suy phân thức[11, 21]. Chúng
ta nhắc lại định lý quan trọng dưới đây.
Định lý 1.3.1. ([12], Theorem 1) Cho hệ động lực tuyến tính khơng
phụ thuộc thời gian SISO bậc N dạng
x(t)
˙
= Ax(t) + bu(t),
y(t) = cx(t).

(1.18)

Giả sử rằng tồn tại các ma trận hạng đầy đủ V, W ∈ RN ×r thỏa mãn
colsp(V ) = Kr (A, b),
colsp(W ) = Kr (AT , cT ),

(1.19)

W T V = I.
Giả sử hệ giảm được xác định bởi phép chiếu lên hai khơng gian con
Krylov Kr (A, b) và Kr (AT , cT ), tức là các ma trận chiếu tương ứng của
hệ giảm là Aˆ = W T AV, ˆb = W T b, cˆ = cV . Khi đó 2r tham số Markov
của hệ giảm và hệ gốc bằng nhau.
Với bài tốn xấp xỉ Padé và nội suy phân thức ta có các

Tuy nhiên, chúng tơi trình bày lại chứng minh đưa ra trong [20] và sẽ
lý giải cho sự lựa chọn đó sau khi trình bày chứng minh. Trước khi
đi vào nội dung, chúng ta cần một số bổ đề làm cơ sở để chứng minh
định lý chính sau đây.
Bổ đề 1.3.1. Giả sử V, W ∈ Rn×r thỏa mãn W T V = Ir . Khi đó nếu
H ∈ Rn×m , m ≤ r, colsp(H) ⊂ (V ) thì:
V WTH = H
Chứng minh. Từ giả thiết ta suy ra tồn tại ma trận J ∈ Rr×m sao
cho H = V J. Theo đó ta có, V W T H = V W T V J = V IJ = V J = H.
Bổ đề 1.3.2. Giả sử V ∈ RN ×r , rank(V ) = r thỏa mãn: colsp(V ) ⊃
KkB ((A − s0 E)−1 E, (A − s0 E)−1 B) và Z ∈ RN ×m , rank(Z) = r, sao
cho Z T (A − s0 E)V khả nghịch. Khi đó:
ˆ −1 E)j (Aˆ − s0 E)
ˆ −1 B,
ˆ
((A − s0 E)−1 E)j (A − s0 E)−1 B = V ((Aˆ − s0 E)
(1.21)
ˆ = Z T B.
j = 0, ..., kB − 1, trong đó Aˆ = Z T AV, Eˆ = Z T EV, B
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp hữu hạn.
ˆ −1 B
ˆ . Ta có:
Với j = 0, (1.21) trở thành (A − s0 E)−1 B = V (Aˆ − s0 E)
ˆ −1 B
ˆ = V (Z T (A − s0 E)V )−1 Z T B
V (Aˆ − s0 E)
= V (Z T (A − s0 E)V )−1 Z T (A − s0 E)(A − s0 E)−1 B.

- 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu


ˆ −1 Z T EV )((A − s0 E)−1 E)k (A − s0 E)−1 B
= V ((Aˆ − s0 E)
ˆ −1 Z T (A − s0 E)(A − s0 E)−1 E((A − s0 E)−1 E)k (A − s0 E)−1 B
= V ((Aˆ − s0 E)
= V (Z T (A − s0 E)V )−1 Z T (A − s0 E)((A − s0 E)−1 E)k+1 (A − s0 E)−1 B .

Đặt W T = (Z T (A−s0 E)V )−1 Z T (A−s0 E) và H = ((A−s0 E)−1 E)k+1 (A−s0 E)−1 B
Theo giả thiết colsp(V ) ⊂ colsp(H) nên áp dụng Bổ đề 1.3.1 ta có
V W T H = H.

Vậy khẳng định của bổ đề đúng với mọi 0 ≤ k ≤ kB − 1.
Bổ đề 1.3.3. Giả sử Z ∈ RN ×r , rank(Z) = r thỏa mãn:
colsp(Z) ⊃ KkC ((AT − s0 E T )−1 E T , (AT − s0 E T )−1 C T ).
V ∈ RN ×r , rank(V ) = r, sao cho Z T (A − s0 E)V khả nghịch.

Khi đó:
ˆ Aˆ − s0 E)
ˆ −1 (E(
ˆ Aˆ − s0 E)
ˆ −1 )j Z T ,
C(A − s0 E)−1 (E(A − s0 E)−1 )j = C(

(1.22)

với Cˆ = CV, Aˆ = Z T AV, Eˆ = Z T EV .
Chứng minh. Trước tiên từ Bổ đề 1.3.1 ta có dạng đối ngẫu như sau:
Giả sử W, Z ∈ Rn×r , Z T W = Ir khi đó nếu H ∈ Rn×r thỏa mãn colsp(Z) ⊃
colsp(H) thì ta có: H T = H T W Z T .

- 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ˆ −1 )k E(
ˆ Aˆ − s0 E)
ˆ −1 Z T
= C(
ˆ Aˆ − s0 E)
ˆ −1 (E(
ˆ Aˆ − s0 E)
ˆ −1 )k Z T EV (Aˆ − s0 E)
ˆ −1 Z T
= C(
ˆ −1 Z T
= C(A − s0 E)−1 (E(A − s0 E)−1 )k EV (Aˆ − s0 E)
ˆ −1 Z T
= C(A − s0 E)−1 (E(A − s0 E)−1 )k .E(A − s0 E)−1 (A − s0 E)V (Aˆ − s0 E)
= C(A − s0 E)−1 (E(A − s0 E)−1 )k+1 (A − s0 E)V (Z T (A − s0 E)V )−1 Z T

Theo giả thiết
colsp(Z) ⊃ colsp(C(A − s0 E)−1 (E(A − s0 E)−1 )k+1 )
nên áp dụng đối ngẫu của Bổ đề 1.3.1 ta có
C(A − s0 E)−1 (E(A − s0 E)−1 )k+1 (A − s0 E)V (Z T (A − s0 E)V )−1 Z T
= C(A − s0 E)−1 (E(A − s0 E)−1 )k+1 .

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.

- 19 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

Định lý 1.3.2. Giả sử V ∈ RN ×r thỏa mãn giả thiết của Bổ đề 1.3.2, và
Z ∈ RN ×r thỏa mãn giả thiết của Bổ đề 1.3.3. Khi đó:

ˆ Aˆ − s0 E)
ˆ −1 E)
ˆ jC ((Aˆ − s0 E)
ˆ −1 E).((
ˆ Aˆ − s0 E)
ˆ −1 E)
ˆ jB (Aˆ − s0 E)
ˆ −1 B
ˆ
= −C((
ˆ Aˆ − s0 E)
ˆ −1 E)
ˆ jC (Aˆ − s0 E)
ˆ −1 Z T EV.((Aˆ − s0 E)
ˆ −1 E)
ˆ jB (Aˆ − s0 E)
ˆ −1 B
ˆ
= −C((
ˆ Aˆ − s0 E)
ˆ −1 E)
ˆ jC (Aˆ − s0 E)
ˆ −1 Z T E((A − s0 E)−1 E jB (A − s0 E)−1 B
= −C((

(Theo Bổ đề 1.3.2)
ˆ Aˆ − s0 E)
ˆ −1 (E(
ˆ Aˆ − s0 E)
ˆ −1 )jC −1 E(

Định lý 1.3.1 trong hai khía cạnh. Thứ nhất là sự linh hoạt trong việc
chọn ma trận chiếu, nó chỉ đòi hỏi một bao hàm thay vì một đẳng thức
như trong Định lý 1.3.1. Thứ hai là khơng cần phải trực giao hóa ma
trận.
Định lý trên phát biểu cho trường hợp hợp hóa mơmen tại một điểm
s0 . Nếu muốn hợp hóa mơmen tại nhiều điểm s1 , s2 , ..., sj đồng thời, ta
chỉ việc xây dựng V và Z sao cho giả thiết của Bổ đề 1.3.2 và 1.3.3 đồng
thời đúng tại các điểm đó. Khi đó biểu thức (1.23) xảy ra đồng thời tại
s1 , s2 , ...,sj .
Định lý này khơng phát biểu cho trường hợp hợp hóa mơmen tại điểm
s0 = ∞, nhưng ta dễ dàng thấy rằng trường hợp này đã được giải quyết
nếu ta chọn V và Z thỏa mãn hai điều kiện đầu trong Định lý 1.3.1. Do
đó ở mức độ nào đó, định lý này bao qt hơn Định lý 1.3.1.
Định lý khơng cung cấp cách chọn điểm s0 sao cho đạt xấp xỉ tốt.
Bài tốn đã được giải quyết theo kết quả năm 2008 của Gugercin [19].
ˆ H đạt giá
Trong đó người ta đã chỉ ra cách chọn s0 sao cho ||H − H||
2
trị nhỏ nhất.
Phương pháp giảm bậc sử dụng định lý này có nhược điểm là khơng
bảo tồn tính ổn định, khơng có cận trên của sai số, nhưng có ưu điểm
là tính tốn rẻ hơn và áp dụng được với hệ có bậc rất lớn.

1.4.

Thuật tốn Arnoldi và thuật tốn Lanczos

Khi áp dụng Định lý 1.3.2 cho giảm bậc của hệ động lực, mặc dù giả
thiết khơng u cầu về tính trực giao của ma trận V hay Z hay tính