1
BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI NGUYỄN XUÂN PHƯƠNG
CHIẾN LƯỢC CHỨNG MINH TRONG
SUY LUẬN TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Đại số
Mã ngành: 604605


1.6. Bố cục của đề tài 5
Chương 2: Cơ sở lý luận 6
2.1. Cơ sở lí thuyết 6
2.2. Cơ sở lý luận đề tài 6
2.3. Vai trò và vị trí 6
2.4. Kinh nghiệm nghiên cứu trong nước 6
2.5. Kinh nghiệm nghiên cứu ở nước ngoài 7
Chương 3: Thực trạng và phương pháp nghiên cứu 8
3.1. Quá trình hình thành và phát triển toán học 8
3.2. Phương pháp và mô hình nghiên cứu 10
Chương 4: Kết quả nghiên cứu 11
4.1. Các phương pháp chứng minh trong toán học 11
4.1.1. Chứng minh trực tiếp 11
4.1.2. Chứng minh gián tiếp 12
4.1.3. Chứng minh phản chứng 13
4.1.4. Chứng minh bằng quy nạp toán học 15
4.1.5. Chứng minh xây dựng 19
4.1.6. Chứng minh không xây dựng 20
4.1.7. Chứng minh bằng hình ảnh 20
4.1.8. Chứng minh vét cạn 21
4.1.9. Chứng minh xác suất 22 3
4.1.10. Chứng minh tính duy nhất 23
4.1.11. Chứng minh hai cột 25
4.1.12. Chứng minh rỗng và chứng minh tầm thường 25

Mục đích của đề tài nhằm cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản
về tư duy logic, suy luận trong toán học, các phương pháp chứng minh và cách
kết hợp các phương pháp chứng minh để giải quyết bài toán, một vấn đề nào đó
cần chứng minh, cũng như chọn các phương pháp nào thích hợp cho công việc
của mình.
Ngày nay, có nhiều phương pháp chứng minh trong toán học. Trong đề tài
này sẽ trình bày những phương pháp cơ bản, trong đó có một số phương pháp
thông dụng và nhiều hữu ích. Nhằm giúp cho học sinh, sinh viên mau chóng tiếp
cận và thong hiểu được vấn đề mà mình quan tâm.
1.3. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Về mặt lý thuyết đề tài nghiên cứu một số khía cạnh bổ trợ của nghệ thuật
và khoa học chứng minh: bao gồm cách chứng minh ngược, tức là thay vì chứng
minh từ giả thuyết đến kết luận, ta chứng minh từ kết luận, cải tiến các chứng
minh đã có và lợi dụng các ưu điểm của các phương pháp chứng minh.
Thông qua việc tiếp cận các phương pháp chứng minh và nghiên cứu cách
kết hợp các chứng minh, sinh viên có thể các môn học khác trong chuyên ngành
của mình được dễ dàng hơn, cũng như vận dụng để giải quyết một số bài toán, 5
vấn đề trong lĩnh vực tài chính, kiểm toán, quản lí, tiếp thị
Từ đó trau dồi tư duy logic và rèn luyện kỹ năng suy đoán, tính toán của
sinh viên.
1.4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là đại số và lý thuyết số.
Thời gian nghiên cứu là 6 tháng.
Quy mô nghiên cứu: tài liệu về toán ứng dụng, các chuyên đề trên internet.

niệm nhằm mục đích xây dựng cơ sở lý luận.
2.2. Cơ sở lý luận đề tài
Đó là cơ cở lý thuyết và cơ sở thực tiễn. Cơ sở lý thuyết bao gồm các lý
thuyết, luận điểm khoa học, các tiên đề, định lí, định luật, qui luật được làm luận
cứ cho chứng minh. Cơ sở thực tiễn bao gồm số liệu thu thập được, phân tích và
tổng hợp.
2.3. Vai trò và vị trí
Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể
hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản
xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc đẩy mạnh
mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất và trở thành công cụ thiết yếu của
mọi khoa học. Toán học có vai trò quan trọng như vậy không phải là do ngẫu
nhiên mà chính là sự liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm động
lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng. Để đáp ứng được sự phát triển
của kinh tế, của khoa học khác, của kỹ thuật và sản xuất đòi hỏi phải có con
người lao động có hiểu biết có kỹ năng và ý thức vận dụng những suy luận hợp
lí, các phương pháp chứng minh toán học trong những điều kiện cụ thể để mang
lại hiệu quả lao động thiết thực.
2.4. Kinh nghiệm nghiên cứu trong nước
Trong chương trình giảng dạy của khoa Toán ở các trường đại học như 7
trường đại học Khoa học Tự nhiên, trường đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí
Minh có các chương cơ sở logic, phương pháp đếm, phương pháp quy nạp, các
thuật toán đệ quy…Qua đó, sinh viên sẽ học và làm quen được nhiều cách
chứng minh. Nhưng chưa có phần nào tổng hợp các phương pháp chứng minh

toán có thể mất hàng năm, hay thậm chí hàng thế kỷ.
Những lập luận chặt chẽ xuất hiện trước tiên trong nền toán học Hy
Lạp cổ đại, đáng chú ý nhất là trong tác phẩm Cơ sở của Euclid. Kể từ những
công trình tiên phong của Giuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert (1862–
1943) và của những nhà toán học khác trong thế kỷ 19 về các hệ thống tiên đề,
nghiên cứu toán học trở thành việc thiết lập chân lý thông qua suy luận lôgic
chặt chẽ từ những tiên đề và định nghĩa thích hợp. Toán học phát triển tương đối
chậm cho tới thời Phục hưng, khi sự tương tác giữa những phát minh toán học
với những phát kiến khoa học mới đã dẫn đến sự gia tăng nhanh chóng những
phát minh toán học vẫn tiếp tục cho đến ngày nay.
Toán học được sử dụng trên khắp thế giới như một công cụ thiết yếu trong
nhiều lĩnh vực, bao gồm khoa học, kỹ thuật, y học và tài chính. Toán học ứng
dụng, một nhánh toán học liên quan đến việc ứng dụng kiến thức toán học vào 9
những lĩnh vực khác, thúc đẩy và sử dụng những phát minh toán học mới, từ đó
đã dẫn đến việc phát triển nên những ngành toán hoàn toàn mới, chẳng hạn như
thống kê và lý thuyết trò chơi. Các nhà toán học cũng dành thời gian cho toán
học thuần túy, hay toán học vị toán học. Không có biên giới rõ ràng giữa toán
học thuần túy và toán học ứng dụng, những ứng dụng thực tiễn thường được
khám phá từ những gì ban đầu được xem là toán học thuần túy.
Từ "mathematics" trong tiếng Anh bắt nguồn từ μάθημα (máthēma)
trong tiếng Hy Lạp cổ, có nghĩa là "thứ học được", "những gì người ta cần biết,"
và như vậy cũng có nghĩa là "học" và "khoa học"; còn trong tiếng Hy Lạp hiện
đại thì nó chỉ có nghĩa là "bài học". Trong tiếng Việt, "toán" có nghĩa là tính;
"toán học" là môn học về toán số.

các tài liệu, tư liệu trên internet, phân tích ưu điểm của từng phương pháp chứng
minh. Quan sát, đặt vấn đề và lập giả thuyết xác định tiền đề chính, sau đó phân
tích các kiến thức có được từ những suy luận suy diễn một cách logic để kết luận
giả thuyết.
Qua những ví dụ, phân tích rút ra nhận xét về thuộc tính, bản chất của sự
vật và mối liên hệ của chúng, từ đó đưa ra phương pháp chứng minh thích hợp.
11
CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
4.1. Các phương pháp chứng minh trong toán học
Trong nghiên cứu toán học xuất hiện hai vấn đề quan trọng: Khi nào một
suy luận toán học là đúng và có thể dùng các phương pháp chứng minh nào để
xây dựng các suy luận toán học?
Một chứng minh là một cách trình bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn
mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu toán học là đúng
đắn. Chứng minh có được từ lập luận suy diễn, chứ không phải là tranh luận
kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm. Có nghĩa là, một chứng minh phải biểu
diễn cho thấy một phát biểu là đúng với mọi trường hợp, không có ngoại lệ.
Phát biểu đã được chứng minh thường được gọi là định lý. Một khi định
lý đã được chứng minh, nó có thể được dùng làm nền tảng để chứng minh các
phát biểu khác. Một định lý cũng có thể được gọi là bổ đề, đặc biệt nếu nó được
dự định dùng làm bước đệm để chứng minh một định lý khác. Những chứng
minh phức tạp thường dễ hiểu hơn khi sử dụng một số các bổ đề, trong đó mỗi
bổ đề được chứng minh riêng rẽ. Còn hệ quả là mệnh đề được suy ra trực tiếp từ
một định lý đã được chứng minh. Trong khi đó phỏng đoán là một mệnh đề mà

Giả sử r và s là hai số hữu tỉ. Theo định nghĩa số hữu tỉ thì có các số
nguyên p và q với q ≠ 0 sao cho r = p/q; và các số nguyên t và u với u ≠ 0 sao
cho s = t/u. Bước tiếp theo cộng r và s ta được

p t pu qt
rs
q u qu

   

Vì q ≠ 0 và u ≠ 0 suy ra qu ≠ 0. Chúng ta biểu iên được tổng r và s là tỉ số
của hai số nguyên pu + qt và qu với qu ≠0. Điều này có nghĩa r + s là một số hữu
tỉ. Như vậy, ý định chứng minh trực tiếp đã thành công.
Bài chứng minh này sử dụng định nghĩa số hữu tỉ và quy tắc cộng hai phân số.
4.1.2. Chứng minh gián tiếp
Vì mệnh đề kéo theo p → q (“ nếu p thì q ”) tương đương với mệnh đề
phản đảo của nó ¬q → ¬p (“ nếu không q thì không p”) nên mệnh đề kéo theo p
→ q (“ nếu p thì q ”) sẽ được chứng minh bằng cách chứng tỏ rằng “ nếu không
q thì không p” là đúng. Chứng minh cách này gọi là chứng minh gián tiếp.
Trong chứng minh gián tiếp, người ta giả sử rằng kết luận của mệnh đề
kéo theo này là sai dẫn đến giả thiết của mệnh đề đó sai thì mệnh đề ban đầu là
đúng. 13
Ví dụ 1: Chứng minh gián tiếp định lí:”Nếu (5n + 2 ) là một số lẻ thì n
cũng là số lẻ”.

+ 3k + 2)
Vậy (n
3
+ 3) là một số chẵn, tức giả thiết (n
3
+ 3) là một số chẵn là sai.
Nên mệnh đề ban đầu là đúng.
4.1.3. Chứng minh phản chứng
Để chứng minh mệnh đề kéo theo p → q , giả sử có thể tìm được mâu
thuẫn q sao cho ¬p → q (“không p thì q”) là đúng, tức là :” không p thì sai” là
đúng. Khi đó ¬p phải là sai. Do đó p là đúng. Chứng minh kiểu này được dùng
khi có thể tìm được mâu thuẫn dạng “r và không r”, sao cho có thể chứng minh
được mệnh đề kéo theo ¬p → (r ˄ ¬r) (“không p kéo theo r và không r”) là
đúng. Đó là cách chứng minh phản chứng.
Ví dụ 1: Chứng minh phản chứng định lí:”Nếu (5n + 2 ) là một số lẻ thì n 14
cũng là số lẻ”.
Giả sử (5n + 2) là số lẻ và n không lẻ tức n chẵn. Ở ví dụ trên ta chứng
minh được n chẵn thì (5n + 2) cũng chẵn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết (5n +
2) là một số lẻ. Định lí đã được chứng minh.
Chứng minh gián tiếp mệnh đề kéo theo cũng có thể làm như chứng minh
bằng phản chứng. Trong chứng minh gián tiếp ta chứng tỏ rằng p → q là đúng
bằng cách chứng minh trực tiếp ¬q → ¬p (“không q kéo theo không p”). Tức là
trong chứng minh gián tiếp của p → q, ta giả sử rằng ¬q là đúng và chứng minh
rằng ¬p cũng phải đúng. Để viết lại chứng minh gián tiếp mệnh đề p → q như

Giả sử chỉ có một số hữu hạn các số nguyên tố, cụ thể là p
1
, p
2
,…, p
n
.
Giả sử
Q = p
1
.p
2
…p
n
+ 1
Theo định lí cơ bản của số học, thì Q là số nguyên tố hoặc nó có thể viết 15
dưới dạng tích của hai hay nhiều số nguyên tố. Tuy nhiên, Q không chia hết bất
kì số nguyên tố nào trong các số nguyên tố p
i
, vì nếu Q chia hết cho p
i
thì
Q - p
1

. Vì vế trái chia hết cho 2, nên
vế phải cũng phải chia hết cho 2 (vì chúng bằng nhau và đều là số nguyên). Do
đó a
2
là số chẵn, có nghĩa là a cũng phải là số chẵn. Dẫn đến ta có thể viết
a = 2c, trong đó c cũng là số nguyên. Thay vào phương trình ban đầu cho ra
2b
2
= (2c)
2
= 4c
2
. Chia hai vế cho 2 ta được b
2
= 2c
2
.
Nhưng khi đó, tương tự như trên, b
2
chia hết cho 2, nên b phải là số chẵn.
Nhưng nếu a và b đều là số chẵn, chúng sẽ có chung một ước số là 2. Điều này
trái với giả thuyết (không p là đúng), do đó mà chúng ta buộc phải kết luận rằng
2
là số vô tỷ.
4.1.4. Chứng minh bằng quy nạp toán học
Giả sử chúng ta cần tính tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên. Với n = 1, 2, 3,
4, 5 ta được:
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9

mọi người trong hàng đều biết điều bí mật đó.
Trong cách chứng minh bằng quy nạp toán học, đầu tiên "trường hợp cơ
sở" sẽ được chứng minh, sau đó sẽ dùng một "luật quy nạp" để chứng minh
(thường là vô tận) các trường hợp khác. Vì trường hợp cơ sở là đúng, tất cả các
trường hợp khác cũng phải đúng, thậm chí nếu ta không thể chứng minh trực
tiếp tất cả chúng là đúng vì số lượng vô tận của nó. Nguyên tắc quy nạp toán học
như sau: Cho N = { 1, 2, 3, 4, } là tập các số tự nhiên và P(n) là một phát biểu
toán học liên quan tới một số tự nhiên n thuộc N sao cho
 Bước cơ sở: P(1) là đúng, tức là, P(n) là đúng khi n = 1
 Bước quy nạp: Chứng minh mệnh đề kéo theo P(k) →P(k + 1) là đúng với 17
mọi số dương k.
Khi đó P(n) là đúng với mọi số tự nhiên n.
Ví dụ 1: Chứng minh tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên là n
2
.
Gọi P(n) là mệnh đề: “tổng n số nguyên dương đầu tiên là n
2
”
Bước cơ sở:
P(1) phát biểu rằng tổng của số nguyên dương lẻ đầu tiên là 1
2
. Điều này
hiển nhiên đúng, vì tổng của số nguyên dương đầu tiên là 1.
Bước quy nạp:

3
– k
chia hết cho 3. Ta cần chứng minh P(k + 1) là đúng, với giả thiết P(k) đúng, tức
là ta cần chứng minh: (k + 1)
3
– (k + 1) chia hết cho 3. Chú ý rằng:
(k + 1)
3
– (k + 1) = (k
3
+ 3k
2
+ 3k + 1) – (k + 1)
= (k
3
– k) + 3(k
2
+ k)
Vì hai số hạng đều chia hết cho 3 (số hạng thứ nhất chia hết cho 3 theo giả 18
thiết quy nạp, số hạng thứ hai bằng 3 lần một số nguyên) suy ra (k + 1)
3
– (k +
1) chia hết cho 3. Bước quy nạp đã hoàn thành. Như vậy, theo nguyên lí quy nạp
toán học n

”
Bước cơ sở:
P(0) phát biểu rằng
0
1
2
0
11
2
HH   
. Điều này hiển nhiên đúng.
Bước quy nạp:
Giả sử P(k) là đúng, tức là ta có
2
1
2
k
k
H 
. Để chứng minh P(k + 1)
đúng , ta thực hiện các phép biến đổi sau:

1
1
2
1
2
1
1
1 1 1 1






      

   


    




  


  


19
Đó là điều cần chứng minh.
4.1.5. Chứng minh xây dựng (chứng minh tồn tại)

chất rằng: với mọi số nguyên dương n, tồn tại các số nguyên p và q với q > 1 và
sao cho

Một số Liouville do đó có thể xấp xỉ rất sát bởi một dãy số hữu tỉ. Năm
1844, Joseph Liouville chỉ ra rằng tất cả các số Liouville là số siêu việt, nhờ đó
đã thiết lập lần đầu tiên sự tồn tại của các số siêu việt. 20
4.1.6. Chứng minh không xây dựng
Một chứng minh không xây dựng (nonconstructive proof) sẽ chứng minh
một đối tượng toán học nào đó phải tồn tại (ví dụ "X nào đó thỏa mãn f(X)"), mà
không giải thích làm thế nào để tìm đối tượng đó. Thông thường, nó có dạng
như chứng minh phản chứng trong đó người ta chứng minh việc không tồn tại
một đối tượng là không xảy ra. Ngược lại, một chứng minh xây dựng (chứng
minh tồn tại) chứng minh rằng một đối tượng nào đó tồn tại bằng cách đưa ra
phương pháp tìm nó.
Một ví dụ nổi tiếng về chứng minh không xây dựng là chứng minh tồn tại
hai số vô tỷ a và b sao cho a
b
là số hữu tỷ:
Hoặc
2
2
là một số hữu tỷ và như vậy đã chứng minh xong (với a = b =
2
), hoặc
F

H


˅ … ˅ p
n
) tương đương với p, tức là (p
1
˅ p
2
˅…˅ p
n
) → p.
Trong chứng minh vét cạn, kết luận sẽ có được bằng cách chia nhỏ nó ra thành
một số trường hợp hữu hạn và chứng minh mỗi trường hợp một cách riêng rẽ.
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng |xy| = |x|.|y|, trong đó x và y là các số thực.
Giả sử p là kí hiệu “x và y là các số thực” và q kí hiệu “|xy| = |x|.|y|”. Khi
đó p tương đương với (p
1
˅ p
2
˅ p
3
˅ p
4
), trong đó p
1
là “x ≥ 0 ˄ y ≥ 0”, p
2
là “x
≥ 0 ˄ y < 0”, p
3
là “x < 0 ˄ y ≥ 0”, p
4

là một số nguyên tùy ý.
Ta viết f(n) = n(n
2
+ 2) với n là số nguyên tùy ý. Khi đó có hai trường hợp
xảy ra:
Trường hợp 1: n chia hết cho 3. Khi đó rõ ràng f(n) chia hết cho 3.
Trường hợp 2: n không chia hết cho 3. Khi đó ta có thể viết n = 3k ± 1 với 22
một số nguyên k nào đó. Ta có
n
2
+ 2 = (3k ± 1)
2
+ 2
= 9k
2
± 6k + 3
= 3(3k
2
± 2k + 1)
Suy ra f(n) = n(n
2
+ 2) cũng chia hết cho 3. Như vậy trong mọi trường hợp
f(n) chia hết cho 3. Đó là điều cần chứng minh.
Số trường hợp đôi khi rất lớn. Ví dụ như, cách chứng minh định lý bốn

ta có thể thấy nó cách xa một chứng minh đúng nghĩa như thế nào. Ta bắt đầu
bằng một số bất kỳ. Nếu số đó chẵn, bạn chia số đó cho 2. Nếu số đó là số lẻ,
nhân số đó với 3 rồi cộng thêm 1. Cứ thế mà lặp lại nhiều lần, thì sau cùng, bạn
sẽ nhận thấy điều gì lạ xảy ra? Nếu bạn tiếp tục đủ lâu, thì sau cùng bạn sẽ nhận
được số 1, và nếu bạn vẫn tiếp tục, thì ba số 4, 2, 1 sẽ tiếp tục xuất hiện đi xuất
hiện lại một cách tuần hoàn.
Lấy vài thí dụ:
N = 3; 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
N = 4; 2, 1, 4, 2, 1, …
N = 5; 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
N = 6; 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
N = 7; 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
Nhà toán học tên Lothar Collatz đã nhận thấy tính chất đó từ năm 1937.
Ông nhận thấy rằng dù bạn bắt đầu bằng số nào, thì sau cùng bạn cũng nhận
được số 1, nhưng ông không chứng minh được tính chất đó.
Chứng minh xác suất, cũng như chứng minh bằng dẫn chứng, là một trong
nhiều cách chứng minh định lý sự tồn tại.
4.1.10. Chứng minh tính duy nhất
Một số định lí khẳng định sự tồn tại duy nhất của một phần tử có một tính
chất cụ thể nào đó. Nói cách khác, những định lí này khẳng định rằng tồn tại
đúng một phần tử có tính chất đó. Để chứng minh một mệnh đề loại này, chúng
ta cần chứng tỏ rằng một phần tử có tính chất đó tồn tại và không còn phần tử
nào khác cũng có tính chất đó. Như vậy, chứng minh tính duy nhất có hai phần:
Tồn tại: chúng ta cần phải chứng minh rằng tồn tại phần tử x có tính chất
mong muốn.
Duy nhất: chúng ta cần phải chứng minh rằng nếu y ≠ x thì y không có
tính chất mong muốn. 24

,…, p
k
là các số nguyên tố và α
1
, α
2
,…, α
k
là các số tự nhiên
dương.
Tuy nhiên do tính giao hoán của phép nhân các số tự nhiên, tính duy nhất
bỏ qua các sai khác về thứ tự các thừa số. Vế phải của đẳng thức này được gọi
là dạng phân tích tiêu chuẩn của n.
Chẳng hạn Chứng minh gồm hai phần. Phần một chứng minh mọi số có thể viết dưới
dạng tích của một hoặc nhiều số nguyên tố. Phần thứ hai chứng tỏ rằng biểu diễn
đó là duy nhất.
Phân tích các số
Trước hết, mỗi số nguyên tố là tích của một thừa số là chính nó. Giả sử 25
rằng có các số nguyên dương lớn hơn 1 không biểu diễn được thành tích các số
nguyên tố. Khi đó gọi n là số nhỏ nhất trong các số đó. Số n này khác 1 và là
hợp số. Do đó

q
2
…q
n
suy ra tồn tại q
j
mà p
1
chia hết q
j
.
Từ đó ta có p
1
= q
j
, bỏ 2 số nguyên tố ra khỏi đẳng thức ta được 2 vế là 2
khai triển khác nhau của số s chia cho p
1
, mà theo giả thuyết s là số nhỏ nhất
như vậy, mâu thuẩn này chứng tỏ giả thiết là sai.
Vậy mỗi số nguyên lớn hơn một chỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng
tích thừa số nguyên tố (không kể đến thứ tự các thừa số).
4.1.11. Chứng minh hai cột
Một dạng cụ thể của chứng minh sử dụng hai cột song song thường dùng
trong các lớp hình học cơ bản. Chứng minh được viết theo dạng một loạt hàng
phân thành hai cột. Tại mỗi dòng, cột bên trái chứa các mệnh đề ( đôi khi gọi là
phát biểu), còn cột bên phải là lời giải thích ngắn gọn mệnh đề đó là gì, một tiên
đề, giả thuyết, hay có được từ dòng trên (hoặc đôi khi chỉ gọi là "suy diễn").
4.1.12. Chứng minh rỗng và chứng minh tầm thường
Giả sử rằng giả thiết p của mệnh đề kéo theo p → q là sai. Khi đó mệnh