CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN SO SÁNH HAI LUỸ THỪA
1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.
2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu
của phép nhân.
(a<b thì a.c<b.c với c>0).
Ví dụ: So sánh 32
10
và 16
15
, số nào lớn hơn.
Hướng dẫn:
Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách đưa 32
10
và 16
15

về luỹ thừa cùng cơ số 2.
32
10
= (2
5
)
10

7
c) 5
36
và 11
24
d) 3
2n
và 2
3n
(n  N
*
)
Hướng dẫn:
a) Đưa về cùng cơ số 3. b) Đưa về cùng cơ số 5.
c) Đưa về cùng số mũ 12. d) Đưa về cùng số mũ n
Bài 2: a) 5
23
và 6.5
22
b) 7.2
13
và 2
16
c) 21
15
và 27
5
.49
8


60
. 5
40
.
2003
15
> 2000
15
= (2.10
3
)
15
= (2
4
. 5
3
)
15
=
2
60
.5
45

b) 3
39
<3
40
= (3
2

44
=72
44
(72-1)=72
44
.71.
Bài 5: 2
7
và 7
2

Ta có: 2
7
= 128 ; 7
2
= 49
Vì 128 > 49 nên 2
7
> 7
2

Bài 6 a) 9
5
và 27
3
b) 3
200
và 2
300


2
)
100
= 9
100

2
300
= (2
3
)
100
= 8
100

Vì 9
100
> 8
100 ;
nên 3
200
> 2
300

c, 3
500
và 7
300

3


Vì 243
100
< 343
100
=> 3
500
< 7
300

d, 8
5
và 3 . 4
7
. 8
5
= (2
3
)+5 = 2
15
<3.2
14
=
3.4
7

=> 8
5
< 3 . 4
7

2
=>
303
2
< 202
3
303
2
= 3
3
. 101
2
= 9.101
2

vậy 303
202
< 2002
303

f, 3
21
và 2
31

3
21
= 3 . 3
20
= 3. 9

)
660
= 1369
660
Vì 1369
660
> 1331
660
=> 37
1320
> 11
1979

Bài 7: So sách các cặp số sau:
a/ A = 27
5
và B = 243
3
Ta có A = 27
5
= (3
3
)
5
= 3
15

và B = (3
5
)

11
và 17
14

Ta thấy 31
11
< 32
11
= (2
5
)
11
= 2
55
(1)
17
14
> 16
14 =
(2
4
)
14
= 2
56
(2)
Từ (1) và (2) 3
11
< 2
55

300
5
và
453
3

Bài 2: So sánh các số sau
a)
217
5
và
72
119
b)
100
2
và
9
1024

c)
12
9
và
7
27
d)
80
125
và

c)
2
3
n
và
3
2
n

*
( )
n N
 d)
23
5
và
22
6.5

Bài 4: So sánh các số sau
a)
13
7.2
và
16
2
b)
15
21
và

11
31
và
14
17

d)
24680
3 và
37020
2
e)
1050
2
và
450
5
g)
2
5
n
và
5
2 ;( )
n
n N

Bài 6: So sánh các số sau
a)
500

1979
11
và
1320
37

h)
10
10
và
5
48.50
i)
10 9
1990 1990
 và
10
1991

Bài 7: So sánh các số sau
a)
50
107
và
75
73
b)
91
2
và

Ta có: 2
100
= (2
10
)
10
= 1024
10

10
30
= (10
3
)
10
= 1000
10

Vì 1024
10
> 1000
10

nên 2
100
> 10
30
(*)
* So sánh 2
100

. 4
3
(1)
10
31
= 2
31
. 5
31
= 2
31
. 5
28
. 5
3
= 2
31
(5
4
)
7
. 5
3

= 2
31
. 625
7
. 5
3

Số có 31 chữ số nhỏ nhất Số có 32 chữ số nhỏ nhất
Nên 2
100
có 31 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân.
Bài 10: So sánh A và B biết.
a) A =
519
519
31
30


; B =
519
519
32
31



b)
32
32
20
18


; B =
32
32

519
)519.(19
31
30


=
519
9519
31
31


= 1 +
519
90
31


B =
519
519
32
31


nên 19B =
519
)519.(19
32

31

> 1 +
519
90
32

Hay 19A > 19B Nên A > B
b) A =
32
32
20
18


nên 2
2
. A =
32
)32.(2
22
182


=
32
122
20
20


= 1-
32
9
22


Vì
32
9
20

>
32
9
22

Suy ra 1 -
32
9
20

< 1-
32
9
22

Hay 2
2
A < 2
2


Tương tự B = )2(43
3 331
1
82


Từ (1) và (2) Ta có
A =
82
5 551
1

+ 5 > 5 > 4 >
82
3 331
1

+ 3 =B nên A > B

Bài tập 10: Cho A = 1 + 2 + 2
2
+ +2
30

Viết A + 1 dưới dạng một lũy thừa
Bài 4: Tìm x  N biết
a) 1
3
+ 2

= ( x +1)
2

55 = x +1
x = 55- 1
x = 54
b) 1 + 3 + 5 + + 99 = ( x -2)
2

2
1
2
199








= ( x - 2)
2

50
2
= ( x -2 )
2

50 = x -2

) - (1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + 6
3
) = x
2
- y
2

(1+ 2 + 3 + + 7)
2
- (1 + 2 + 3 + + 6)
2
= x
2
- y
2

28
2
- 21
2
= x
2
- y
2

*)Nếu x = 0 ta có:
35
0
+ 9 = 2.5
y

10 = 2.5
y

5
y
= 5
y =1
*) Nếu x >0
+ Nếu y = 0 ta có: 35
x
+ 9 = 2.5
0

35
x
+ 9 = 2 ( vô lý)
+ Nếu y > 0 ta thấy:
35
x
+ 9  5 vì ( 35
x
 5 ; 9  5 )
Mà 2. 5
y

+ + 2
101

=> 2A - A = (2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
101
) – (1 +2 + 2
2
+ +2
100
)
Vậy A = 2
101
- 1
B = 3 - 3
2
- 3
3
- 3
100

=> 3B = 3
2
- 3
3
+ 3
4

2 2 2
 
;
2 3 4
2 2 2 2
  

b) Chứng minh rằng:
2 3 2004
2 2 2 2
A      chia hết cho 3; 7 và 15.
Bài 3: a) Viết tổng sau thành một tích
4 5 6 7
3 3 3 3
  

b) Chứng minh rằng:
2 99
1 3 3 3 40
B     
M

Bài 4: Chứng minh rằng:
a)
2 3 2004
1
5 5 5 5 6;31;156
S      M
b)
2 3 100

Bài 6 Cho
2 3 200
1 2 2 2 2
A       . Hãy viết A+1 dưới dạng một luỹ thừa.
Bài 7 Cho
2 3 2005
3 3 3 3
B      . CMR: 2B+3 là luỹ thừa của 3.
Bài 8 Cho
2 3 2005
4 2 2 2
C      . CMR: C là một luỹ thừa của 2.
Bài 9: Chứng minh rằng:
a)
5 4 3
5 5 5 7
 
M
b)
6 5 4
7 7 7 11
 
M
c)
9 8 7
10 10 10 222
  M
e)
6 7
10 5 59

+ + 2
62
+ 2
63

b. S = 1 + 3 +3
2
+ 3
3
+ + 3
20

c. S = 1 + 4 + 4
2
+ 4
3
+ + 4
49

Bài 11 Tính tổng
a) A = 1 + 5
2
+ 5
4
+ 5
6
+ + 5
200

b) B = 7 - 7

17
3
304



Bài 3: Tính
A =
7
1
+
2
7
1
+
3
7
1
+ +
100
7
1

B =
5
4
 +
2
5
4

2
7
1
+ +
99
7
1

=> 7A - A = 1 -
100
7
1
A =







100
7
1
1 : 6
B =
5
4
 +
2
5






200
5
4
4 : 6
Bài 3: Tính
A =
125 252525
125 252525
2262830
4202428



Bài giải:
Biến đổi mẫu số ta có:
25
30
+ 25
28
+ 25
26
+ +25
2
+ 1
= (25

28
+ 25
24
+ 25
20
+ +1) . (1 + 25
2
)
Vậy A =
2
251
1

=
626
1

Bài tập 11: Viết 2
100
là một số có bao nhiêu chữ số khi tính giá trị của nó.
Bài tập 13: Tìm số tự nhiên
abc
biết (a + b + c)
3
=
abc
(a  b  c)
Bài tập 14: Có hay không số tự nhiên
abcd