Robot Công Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Sĩ Dũng
ĐỀ TÀI TIỂU LUẬN
Cho tay máy như hình sau :
1. Vẽ sơ đồ nguyên lý của tay máy, xây dựng hệ trục và bảng động học.
2. Giải bài toán vận tốc tay gắp.
3. Giải bài toán động lực học.
I. XÂY DỰNG HỆ TRỤC VÀ BẢNG DH
1. Xây dựng hệ trục:
Page 1
Robot Công Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Sĩ Dũng
2. Bảng DH :
DL
Khâu
i
γ

i
α

a
i
d
i
1
1
β

90
o

0 h

β
 
 
 
=
 
 
 
 
&
&
&
&
&
và J là ma trận Jacobi nên ta có phương trình vận tốc
tay máy như sau:
[ ]
0
0
0
0
0
0
3
4
1
2
1 2 3

x

 
 
 
 
 



&
&
&
&
&

Trong đó :
0 0
4
1
0
z p
J
z
 
×
=
 
 

( ) ( )
( )

( )
3 0
4
0
z
J
 
=
 
 
 Tìm
( ) ( ) ( )
1 0 2 0 3 0
0
, , ,z z z z
. Sử dụng kí hiệu s = sin, c = cos, ta có :
•
0
0
0
1
z
 
 
=
 
 
 
•
1 1

β β
β β
 
 
⇒ = −
 
 
 
( )
1
1 0
0
1 1
0
0
1 0
s
z R c
β
β
   
   
⇒ = × = −
   
   
   

Page 3
Robot Công Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Sĩ Dũng
•

. .
. .
0
c c c s s
R s c s s c
s c
β β β β β
β β β β β
β β
−
 
 
⇒ = − −
 
 
 

( )
1
2 0
0
2 1
0
0
1 0
s
z R c
β
β
   

.
. .
c s c c c h
s c s c c h
A A A A
c
s c
c
h
s
s h
s
β β β β β β β β β
β β β β β β β β β
β β β β β
+ +
+
 
 
−
 
= =
 
− +

+

+
+


−

 
+ +


( )
1 2 3
0
3
2 3
0
3
3
1 2
0 . ( )
0 . ( )
1 ( )
c s
R s sz
c
β β β
β β β
β β
+
   
   
× = +
   
   

0
)
0
0
(
c s
r
h h
s s h h
c h h
p R r p
h h
β β β
β β β
β β
+ +
 
 
= + +
 
 
− +
 
 
= ⇒ = × + =
 


+


β β β
β β β
β β
+ +
 
 
+ +
 
 
− + +

 
 
= ⇒ = × + =
 



 
Page 4
Robot Công Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Sĩ Dũng
•
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 2 2 3 3
1 2 2 2 3 3
2 2
1 0 2 0

+ 
 
 
+ + + 
 
 
 
− + +
 
 
+ =
 
 
 
•
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 2 2 3 3
1 2
1 0
0 0 0
1 4 2 2 3 3
1 2 2 2
1
1
3 3
4
. . .

 
 
 
 Tính J
i
:
•
( ) ( )
( ) ( )
1 2 2 2 3 3
1 2 2 2 3 3
1
. . .
. . .
0
0
0
1
s h c s h h
c h c s h h
J
β β β β
β β β β
 
− + + + 
 
 
+ + + 
 
 

 
− − + + 
 
 
− − + + 
 
 
 
+ + +
 
=
 
 
 
 
 

•
( )
( )
( ) ( )
1 2 3 3
2 3 3
2 3 3
3
. .( )
.( )
.
0
0

.
.
0
0
0
c s
s s
c
J
β β β
β β β
β β
 + 
 
+
 
 
− +
=
 
 
 
 
 
 

Page 5
Robot Công Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Sĩ Dũng
Vậy:
( ) ( )

y
z
v
v
v
x
s h c s h h c h s c h h
c c h h
c h
c h c s h h s h s c h h
h c s h h
ω
ω
ω
β β β β β β β β
β β β
β β
β β β β β β β β
β β β
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 

s h h c
d
β β β
β β β
β β β β
β
β
β
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
×
 
 
 
 
+
+ +
+ + − +
&

1 0 2 0
0 1
1 2 1 2 2
2 2
.
. .0
.
c c
c c h
p R r p s s h
s h
β β
β β
β
+
 
 
= = +



=

+



•
( )
2 2

2 0 3 0
0 2
2 3
0
0
. 0
0
c c
p R r p
 
 
= + =


 
=



•
( ) ( )
3 3
1 2 2
1 0 2 0
0 1
1 2 1 2 2
2 2
. .
. . .
.

β β
β β
β
 
 
= + =
 
 
+
 

•
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4 4
1 2 3 3
3 0 4 0
0 3
3 4 1 2 3 3
2 3 3
. .
. .
.
0 .
c c
c s h h
p R r p s s h h

p R r p s s h h
c h h
β β β
β β β
β β
+ +
 
 
= + = + +
 
 
− + +
 

•
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4 4
1 2 2 2 3 3
1 0 2 0
0 1
1 2 1 2 2 2 3 3
2 2 2 3 3
.[ . . ]
. .[ . . ]
. .
c c
c c h s h h

p R r p s c h s h h
s h c h h h
β β β β
β β β β
β β β
+ + +
 
 
= + = + + +
 
 
− + + +
 

2.Tính ma trận quán tính:
•
2
1 1 1
0 1 0 2
1 1 1 1 1 1 1 1
. 0
1
. .( ) . 0
48
0 0 1
T
s s c
I R I R m s c c
β β β
β β β

•
33
0 3 0
3 3
(I3 . . )
T
R I RI = =

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 2 3
2 2 2 2
3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 2 3
2
2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3
. . . . .
3
. . . . .
400
. . . .
s c s s c c c s c
m s c c c s s s s c
c c s c s s c
β β β β β β β β β β β β β
β β β β β β β β β β β β β
β β β β β β β β β β β β
 
+ + − + − + +

β β β β β β β β β β β β
β β β β β β β β β β β β
β β β β β β β β β β β β
 
+ + + +
 
= + + + +
 
 
+ + + + +
 
3. Tính vận tốc khối tâm của từng khâu:
3.1.Tính ma trận Jacobi của từng khối tâm:
 Khâu 1: Vì là khớp quay nên ta có:
•
( )
1
1
1
0 0
0
0
0
c
v c
J z p
 
 
= × =
 

J
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 

 Khâu 2: Vì là khớp quay nên ta có:
Page 8
Robot Công Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Sĩ Dũng
•
( )
2
2
1 2 2
1
0 0
1 2 2
.
.
0
c
v c
s c h
J z p c c h

2
2
1 2 2
2 1 0 1 0
1 2 2
2 2 1 1
. .
. .
. .( )
c
v c
c s h
J z p s s h
c h s c
β β
β β
β β β
−
 
 
= × = −
 
 
+
 

•
( ) ( )
2
1

c
s c h c s h
c c h s s h
c h s c
J
s
c
β β β β
β β β β
β β β
β
β
− − −
 
 
+ −
 
 
+
=
 
 
 
−
 
 

 Khâu 3: Vì là khớp quay nên ta có:
•
( ) ( ) ( )

 
 
= = −
 
 
 

•
( ) ( ) ( )
3
3
1 2 2
2 1 0 1 0
1 2 2
2 2
. .
. .
.
c
v c
c s h
J z p s s h
c h
β β
β β
β
−
 
 
= × = −

1 1 2
1
0 0
1 2 2
. .
. .
0
c
v c
s c h
J z p c c h
β β
β β
−
 
 
= × = −
 
 
 

•
( )
3
1
0
0
0
1
c

β β β β
β
β β
β β
− −
 
 
−
 
 
=
 
 
 
− −
 
 

 Khâu 4: Vì là khớp trượt nên ta có:
•
( ) ( ) ( )
4
4
3 04 3 0
0
0
0
v c
c
J z p

= = +
 
 
− +
 

•
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4
4
1 1 2 3 3
3 2 0 2 0
1 1 2 3 3
. . .
. . .
0
c
v c
s c s h h
J z p s c s h h
β β β β
β β β β
+ + 
 
= × = − + +
 
 
 

0
0
. . . .( )
c
v c
J z p
s h h s c c s
β β β β β β
 
 
= × =
 
 
+ + −
 

•
( ) ( )
4
1
1
2 1 0
0
c
s
J z c
ω
β
β
 

 
 
 

•
( )
4
1
0
0
0
1
c
J z
ω
 
 
= =
 
 
 

Suy ra:
4
c
J
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

 
+ + + − + +
 
 
+ + −
 
 
+
 
− − +
 
 
−
 

+

 
3.2. Vận tốc khối tâm cuả cả cơ cấu tay máy 4 khâu:
• Khâu 1:
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1

β β
β β
ω
β β
ω
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
×
 
 

 
 
   
 
   
= =
 
   
 
   
 
 

0
1 2 2 1 2 2
1 2 2 1 2 2
2 2 1 1
1
2 2
3
1
1
1
3
. . . 0 0
. . . 0 0
0 . .( ) 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0 0
x
y
z
x
y
z
c
c
c
c
c
c
c

  
 
 
= =

− − −
 
 
+ −
 
 
+
×


 
 
 
 
 
  
 
 




 

 

3 3
1 1 2 1 2 2
1 2 2 1 2 2
2 2
1 1
1 1
. . . . 0 0
. . . . 0 0
0 . 0 0
0 0
0 0
1 0 0 0
x
y
z
x
y
z
c
c
c
c
c
c
c
s c h c s h
c c h s s
V
V
V

 
  
  
 

− −
 
 
−
 
 
×
 
 
 
− −
 
 

 
 
& &
& &
& &
& &






c
V
V
V
J
d
β
β
ω
β
ω
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 

s s c s
c c s s
c
β β β β β β β β
β β β β β β β β
β β β β β β
β β β β
β
β
β β β β β
β β
β
β
=
 
− + + + + +
 
 
 
+ + + − + +
 
 
+ + −
 
 
+
 
− − +
 
 

i
c c
M J m J J I J
ω ω
=
 
= +
 
 
∑

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
1 1 1 1 2 2 2 2
3 3 3 3 4 4 4 4
1 1 2 2
3 3 4 4
. . . . . . . .
. . . . . . . .
T T T T
v v v v
c c c c c c c c
T T
T T
v v v v
c c c c c c c c
J m J J I J J m J J I J
J m J

 
+ =
 
 
 
 
=

•
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
. . . .
T T
v v
c c c c
J m J J I JB
ω ω
+=2 2 2
1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1
2
1 1
1 1 2 2
2
( . ) ( . ) . . . .( ) 0 0

 
 
 
−
 
 
+
 
 
 
0 0 0 0
. 0 0 0 0
1 1 0 0
   
   
   
   
   
•
( ) ( )
3 3 3 3
3 3
. . . .
T T
v v
c c c c
C J m J J I J
ω ω
= +


c s h s s h c h
m c c h s s h
c h
s c
m
s c
s c s
β β β β
β β β β
β β β β β
β β β β
β
β β
β β
β β β β
−
 
− −
 
 
− −
 
 
= × × −
 
 
 
 
 
 

s c c c s s s s c
c c s c s s c
s s
c c
β β β β β β β β β
β β β β β β β β β β β β β
β β β β β β β β β β β β
β β
β β
 
+ − + +
 
− + − + + − + +
 
 
− + + − + + +
 
 
 
× − −
 
 
 
( ) ( )
4 4 4 4
4 4
. . . .
T T
v v
c c c c

 
 

 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 2 2 3 3 1 1 2 3 3
4 1 2 2 2 3 3 1 1 2 3 3
2 3 3 1 1 1 1
. . . 0 . . . 0
. . . 0 . . . 0
0 . . . .( ) 0 0
s c h s h h s c s h h
m c c h s h h s c s h h
s h h s c c s
β β β β β β β β
β β β β β β β β
β β β β β β
 
− + + + + +
 
 
 
× + + + − + + 
 
 
 
+ + −
 

Page 14
Robot Công Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Sĩ Dũng
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 2 3
2 2 2
1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3
2
2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3
. . . . .
. . . . .
. . . .
c s s c s c s c
s c s s s s s c
c c s c s s c
β β β β β β β β β β β β
β β β β β β β β β β β β
β β β β β β β β β β β β
 
+ + − + +
 
× + + − + +
 
 
− + + − + + +
 
5. Tính các vector V
i

∂
∂
=
1 1
)
2
1
(
V
1
=
V
2
=
V
3
=
V
4
=
5.2. Tính G
i
:
( )
2
1
n
T i
i j v
j

 
∂ ∂
− =
 ÷
∂ ∂
 
⇔ + + =
∑
& &
&
Lực suy rộng :
T
c r
Q J F f
τ
= + −
Bỏ qua lực ma sát tại các khớp :
0
r
f
=
Vậy lực suy rộng sẽ là :
1
1 1
2 2
2
3 3
3
F
Q

∑
&
IV. CHỌN ĐỘNG CƠ CHO ROBOT:
Do yêu cầu điều khiển chính xác điểm tác động cuối của robot ta chọn động cơ cho
các khớp quay là động cơ servo.
Để phù hợp với tay máy ta chọn động cơ servo có momen xoắn 130 oz-in, thời gian
vận chuyển (vận tốc) 0.21s/60
o
.
1. Giới thiệu về động cơ servo:
Động cơ servo đươc thiết kế cho những hệ thống hồi tiếp vòng kín. Tính hiệu
ra của động cơ được nối với một mạch điều khiển. Khi động cơ quay vị trí và vận tốc
sẽ được hồi tiếp về mạch điều khiển này. Nếu có bất cứ lý do gì cản trở chuyển động
quay của động cơ, cơ cấu hồi tiếp sẽ nhận tín hiệu ra chưa đạt được vị trí mong
muốn. Mạch điều khiển tiếp tục chỉnh sai lệch cho động cơ đạt được điểm chính xác.
Page 16
Robot Công Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Sĩ Dũng
Các động cơ servo điều khiển bằng liên lạc vô tuyến được gọi là động cơ
servo R/C (radio-controlled). Trong thực tế bản thân động cơ servo không phải được
điều khiển bằng vô tuyến, nó chỉ nối với máy thu vô tuyến trên máy bay, xe hơi.
Động cơ Servo nhận tín hiệu từ máy thu này. Như vậy có nghĩa là ta không cần phải
điều khiển robot bằng tín hiệu vô tuyến bằng cách sử dụng một động cơ servo, trừ
khi ta muốn thế. Ta có thể điều khiển động cơ servo bằng máy tính, một mạch vi xử
lý hay thậm chí một mạch điện tử cơ bản dùng IC555.
Mô hình động cơ Servo
Bên trong của một động cơ servo R/C bao gồm một động cơ, một chuỗi các
bánh răng giảm tốc, một mạch điều khiển và một vôn kế.
Động cơ và vôn kế nối với mạch điều khiển, tạo thành mạch hồi tiếp kín. Cả
mạch điều khiển và động cơ đều được cấp nguồn DC (thường từ 4,8 – 7,2V).
Để quay động cơ, tín hiệu đó được gởi tới mạch điều khiển. Tín hiệu này khởi

o
trong
vòng ¼ - ½ giây.
Vì độ dài xung có thể thay đổi tuỳ theo hãng chế tạo nên ta phải trọn servo và
máy thu vô tuyến thuộc cùng một hãng đẻ đảm bảo độ tương thích. Đối với robot ta
phải làm một vài thí nghiệm để xác định xung tối ưu.
3. Vai trò của vôn kế:
Page 18
Robot Công Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Sĩ Dũng
Vôn kế trong Servo giữ vai trò chính trong việc định vị trí của các trục ra. Vôn
kế được gắn vào trục ra (trong một vài servo,Vôn kế chính là trục ra).Bằng cách này,
vị trí của vôn kế phản ánh chính xác vị trí của truc ra của servo.Vôn kế hoạt động
nhờ cung cấp một điện áp biến thiên cho mach điều khiển.Khi cần chạy bên trong
Vôn kế điều khiển, điện thế sẽ thay đổi.
Mạch điều khiển trong servo so sánh này với độ dài các xung số đưa vào và
phát “tín hiệu sai số” nếu điện thế không đúng.Tín hiệu sai số này tỷ lệ với độ chênh
lệch giữa vị trí của vôn kế và độ dài tín hiệu vào.Mạch điều khiển sẽ kết hợp tín hiệu
sai số này để quay động cơ.Khi điện thế của vôn kế và độ dài các xung số bằng nhau,
tín hiệu sai số được loại bỏ và động cơ ngừng.
4. Các giới hạn quay:
Các servo khác nhau ở góc qua được với cùng tín hiệu 1 – 2ms (hoặc
bất kỳ) được cung cấp.Các servo chuẩn được thiết kế quay tới và lui từ 90
o
-180
o
khi
được cung cấp toàn bộ chiều dài xung.
Nếu ta cố điều khiển các servo vượt quá giới hạn cơ học của nó, trục ra
của động cơ sẽ đụng vật cản bên trong, dẫn đến các bánh răng bị mài mòn hay bị rơ.
Hiên tượng này kéo dài hơn 10 giây sẽ làm cho bánh răng của động cơ bị phá huỷ.

Page 20
Robot Công Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Sĩ Dũng
Một phương pháp phổ biến dùng IC555 để điều khiền servo
Khi hoạt động, IC555 sinh ra một tín hiệu xung có chu kỳ nhiệm vụ khác nhau
để điều khiển hoạt động của servo. Chỉnh Vôn kế để định vị servo.Vì IC555 có thể
dễ dàng tạo xung rất dài và rất ngắn nên servo có thể hoạt động ngoài vị trí biên
thông thường. Khi servo gặp vật cản ta phải ngắt nguồn lập tức, nếu không các bánh
răng bên trong động cơ bị trờn.
b. Dùng bộ xử lý chuyên nghiệp:
Các máy thu R/C được thiết kế tối đa với 8 servo. Máy thu nhận xung
số từ máy phát, bắt đầu bằng một xung dài đồng bộ, sau đó là các xung của 8 servo,
mỗi xung dành cho một servo. 8 xung cộng với xung đồng bộ mất khoảng 20 ms.
Điều này có nghĩa là dãy xung có thể lập lại 50 lần/giây.Ta gọi đó là tỷ lệ lặp lại
(refresh rate). Khi tỉ lệ này giảm các servo cập nhật không đủ nhanh và sẽ bị mất vị
trí.
Trừ khi mạch điện tử ta dung có thể cung cấp xung đồng thời cho nhiều servo
(đa nhiệm vụ - multi tasking), mạch điều khiển không thể cung cấp xung lập lại đủ
nhanh. Vì vậy ta có thể dùng bộ xử lý servo chuyên nghiệp. Bộ này có thể điều khiển
5, 8 động cơ hay nhiều hơn một cách độc lập, sẽ làm giảm bớt chương trình tổng
cộng của máy tính hay bộ vi xử lý mà ta đang dùng.
Ưu điểm của bộ vi xử lý servo chuyên nghiệp là ta có thể điều khiển đồng thời
nhiều servo ngay cả khi máy tính, bộ vi xử lý không đa nhiệm vụ.
Ví dụ: giả sử robot cần 24 servo, có thể là một robot dùng nhện 8 chân, mỗi
chân có 3 servo, mỗi servo điều khiể một bậc tự do của chân. Phương pháp ta sử
dụng là phân chia công việc cho 3 bộ xử lý servo, mỗi bộ có thể điểu khiển 8 servo.
Mỗi bộ chịu trách nhiệm xử lý cho một loại bậc tự do: một cho hoạt động quay của 8
chân, một cho “độ linh hoạt” của các chân và một cho độ quay đốt cuối của chân.
Page 21
Robot Công Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Sĩ Dũng
Các bộ xử lý servo chuyên nghiệp phải được dung với máy tính hoặc bộ vi xử

o
trong khoảng 1000s thì dải
chết 5 chỉ chiếm 1/200. Ta không cần lưu ý tới ảnh hưởng của dải chết nếu mạch
điều khiển có độ phân giải thấp hơn dải chết.
Tuy nhiên nếu mạch điều khiển có đọ phân giải cao hơn dải chết, một sự thay
đổi nhỏ về giá trị độ rộng xung có thể không ảnh hưởng. Ví dụ nếu bộ vi xử lý có độ
phân giải là 2s và nếu servo có dải chết 5s thì sự thay đổi một trong hai giá trị- Tức là
2-4s trong bề rộng xung sẽ không ảnh hưởng lên servo.
Như vậy ta lên chọn servo có dải chết hẹp nếu ta cần độ chính xác và mạch
điều khiển hay môi trường lập trình có độ phân giải đủ lớn. Ngược lại ta cần lưu ý tới
dải chết.
e. Dải xung lớn hơn 1-2s:
Servo điển hình có tín hiệu đáp ứng từ 1-2s. Trong thực tế nhiều servo có thể
được cung cấp bởi xung ngắn hay dài hơn để tối đa hóa giới hạn quay. Dải 1-2s thật
ra có thể quay servo theo hai hướng nhưng không thể quay toàn bộ theo cả hai
hướng. Tuy nhiên ta không biết rõ giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của servo cho đến khi ta
chạy thử.
Nếu ta chỉ cần quay servo đến giá trị max, hãy chọn lực mạch điều khiển. Bắt
đầu bằng cách thay đồi một lượng nhỏ bề rộng xung hơn 1s, có thể là 10s. Sau mỗi
lần thay đổi, dung chương trình điều khiển đẩy servo trở lại vị trí giữa (vị trí trung
hòa). Khi nghe thấy servo gặp vật cản bên trong ( tiếng lạch cạch), lúc đó ta đã tìm
được giá trị biên dưới của servo, lập lại quá trình để tìm giá trị biên trên. Có những
servo có cận dưới là 250s, cận trện là 2200s. Tuy nhiên các servo khác bị hạn chế đến
nỗi thậm chí chúng không thể hoạt động trong dải 1-2ms. Các giá trị biên này cũng
khác nhau đối với từng loại và từng nhãn hiệu khác nhau.
V. HÀM TRUYỀN CHUYỂN ĐỘNG CỦA MỖI KHỚP
Nội dung phần này là trình bày phương pháp xây dựng với trường hợp chuyển
động 1 bậc tự do, mỗi khớp thường được điều khiển bằng một hệ truyền động
riêng.Phổ biến nhất là dòng điện 1 chiều
Page 23

Tải quy về trục động cơ.
Khi đó ta có phương trình M(t)=M
m
(t)+ M
L
*
(t)
Kí hiệu: J
m
: Momen quán tính của động cơ
J
L
: Momen quán tính phụ tải
Ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m m
L L L L L
M t J t f t
M t J t f t
θ θ
θ θ
= +
= +
&& &
&& &

Trong đó f
m
và f

M t nM t
t
M t n J t f t
M t J n J t f n f t
M t J t f t
θ
θ
θ θ
θ θ
θ θ
= =
 
⇔ = +
 
⇔ = + +
⇒ = +
&& &
&& &
&& &

Trong đó:
J = J
m
+ n
2
J
L
: Momen quán tính tổng hiệu dụng
f = f
m