MỤC LỤC
1. Lời cảm ơn
2. Lời cam đoan
3. Ghi chú chữ viết tắt
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Cấu trúc khóa luận
PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian metric, không gian metric đầy đủ
1.2. Tô pô trong không gian metric
1.3. Ánh xạ liên tục
1.4 .Tập hợp compact và bị chặn
1.5. Không gian vectơ
1.6. Không gian định chuẩn không gian Banch
1.7. Tính lồi
1.8. Không gian định chuẩn hữu hạn chiều
1.9. Phương trình vi phân thường
CHƯƠNG 2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG
2.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach
2.2. Điểm bất động của ánh xạ không giãn
2.3. Định lý điểm bất động Brouwer
2.4. Định lý điểm bất động Schauder

CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA ĐIỂM BẤT ĐỘNG
3.1. Áp dụng vào phương trình vi phân thường
3.2. Áp dụng vào phương trình tích phân
3.3. Áp dụng vào đại số giải tích

M.
Việc nghiên cứu vấn đề trên góp phần đắc lực cho việc giải quyết hàng loạt các bài toán trong toán
học nói riêng và trong khoa học kĩ thuật nói chung. Điều này dẫn tới một hướng nghiên cứu mới trong toán
học và đã hình thành nên lý thuyết điểm bất động.
Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực quan trọng của giải tích hàm phi tuyến. Ngay
đầu thế kỉ 20, các nhà toán học đã quan tâm đến vấn đề này và cho tới nay có thể khẳng định lý thuyết điểm
bất động đã phát triển hết sức sâu rộng, trở thành công cụ không thể thiếu để giải quyết những bài toán khác
nhau do thực tế đặt ra.
Sự phát triển của lĩnh vực này gắn liền với tên tuổi các nhà toán học lớn trên thế giới như: Banach,
Brouwer, Schauder nhưng kết quả kinh điển của lý thuyết điểm bất động đồng thời cũng là những công trình
khởi đầu cho lĩnh vực này đó là nguyên lý ánh xạ co Banach, nguyên lý điểm bất động Brouwer được áp dụng
ở nhưng lĩnh vực của toán học hiện đại như: phương trình vi phân, phương trình tích phân, lý thuyết điều
khiển, lý thuyết tối ưu hóa…
Trên cơ sở các nguyên lý cơ bản trên điểm bất động được phát triển theo hai hướng chính:
Hướng thứ nhất là nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ liên tục, mở đầu là nguyên lý điểm bất
động Brouwer.
Hướng thứ hai là nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ dạng co, mở đầu là nguyên lý ánh xạ co
Banach.
Vào những năm 60 của thế kỉ 20 một hướng mới có thể xem là trung gian của hai hướng trên đó là
việc nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach.
Tất cả kết quả của những nghiên cứu trên đã mang lại nhưng ứng dụng rất hiệu quả cho ngành toán
học hiện đại.
Vì các lý do đó mà em đã lựa chọn đề tài:
“Điểm bất động và ứng dụng
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Nghiên cứu một số vấn đề cơ bản về điểm bất động và việc áp dụng nó vào ngành toán học hiện đại.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số định lý điểm bất động trong không gian Banach, không gian định chuẩn hữu hạn
chiều và không gian lồi địa phương.

≠

∅
,
∀
x,y
∈
X
d(x,y) =
0 khi x y
1 khix y
=


≠

.
Chứng minh d là metric trong X và (X,d) được gọi là không gian metric _ không gian metric rời rạc ( d còn
được gọi là metric rời rạc )
 Ta có mỗi cặp (x,y) ∈ X×X có duy nhất d(x,y) ∈
¡
Ta kiểm tra ánh xạ thỏa mãn các tiên đề metric
Tiên đề 1 : d(x,y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X , d(x,y) = 0 nếu x ≠ y thì d(x,y) = 1 (trái giả
thiết) ⇒ x = y ∀x, y ∈ X
Tiên đề 2 : Nếu x = y thì y = x do đó d(x,y) = d(y,x) = 0 ∀ x, y ∈ X
Nếu x ≠ y thì y ≠ x do đó d(x,y) = d(y,x) = 1 ∀ x, y ∈ X
Tiên đề 3 : ∀ x, y, z ∈ X
Nếu x = y thì d(x,y) = 0
Ta có 0≤ d(x,z) + d(z,y) = d(x,y)
Nếu x ≠ y thì

) trong không gian metric (X,d)
Dãy cơ bản : dãy x
n
⊂ X gọi là dãy cơ bản ( dãy Cauchy ) ⇔ (∀ ε > 0) (∃ n
0
∈
¥
*
): (∀m, n ≥ n
0
) thì
d(x
n
, x
m
) < ε ⇔ (∀ ε > 0) (∃ n
0
∈
¥
*
): (∀ n ≥ n
0
) (∀ p ∈
¥
*
) thì d(x
n + p
, x
n
) < ε hay x

, X vừa là tập đóng vừa là tập mở
Định lý 1.2.1: Trong không gian metric hình cầu đóng là tập đóng hình cầu mở là tập mở
Định lý 1.2.2: Cho không gian metric (X,d), F ⊂ X
F là tập đóng ⇔ ∀ {x
n
} ⊂ F và x
n
→ x thì x ∈ F
Định lý 1.2.3: Cho (X,d) là không gian metric thì:
a) Hợp của một họ tùy ý cac tập mở la tập mở:
G
α
mở ∀ α∈
∧
⇒
G
α
α∈∧
U
là tập mở
b) Giao của hữu hạn các tập mở là tập mở:
G
i
là tập mở ∀ i =
1,n
⇒
n
i
i 1
G

X
) vào không gian metric (Y,d
Y
) được gọi là liên tục tại x
0
nếu (∀ ε > 0), (∃ δ > 0) (∀ x ∈ X): d
X
(x, x
0
) < δ thì d
Y
(f(x),f(x
0
)) < ε
Ánh xạ liên tục tại mọi điểm thuộc A ⊂ X thì ta nói f liên tục trên A ⊂ X
Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X
Định nghĩa 1.3.2:
Ánh xạ f: X → Y từ không gian metric (X,d
X
) vào không gian metric (Y,d
Y
) được gọi là liên tục đều
trên A ⊂ X nếu (∀ ε > 0), (∃ δ > 0) (∀ x, x’ ∈ X):
d
X
(x, x’) < δ thì d
Y
(f(x),f(x’)) < ε
Hiển nhiên ánh xạ f liên tục đều thì liên tục
1.4. Tập hợp compact và bị chặn.

Ánh xạ lien tục f: X → Y từ không gian metric (X,d
X
) vào không gian metric (Y,d
Y
). K là tập compact
trong X thế thì:
1. f liên tục đều trên K
2. f(K) là tập compact trong Y
Định nghĩa 1.4.2:
Tập hợp bị chặn: Cho A là tập hợp tùy ý trong không gian metric (X,d). Số δ(A) =
x,y A
supd(x,y)
∈
được
gọi là đường kính của tập A, nó có thể là số hữu hạn hoặc vô hạn. Nếu δ(A) < ∞ thì A được gọi là tập hợp bị
chặn
Từ đó suy ra:
A bị chặn ⇔ ∃ B(a,R): A ⊂ B(a,R).
Tập hoàn toàn bị chặn: A được gọi là tập hoàn toàn bị chặn nếu ∀ ε > 0, ∃ x
j
∈ X (j =
1,n
) sao cho A
⊂
n
j
j 1
B(x , )
=
ε

θ
kí hiệu: x – x’ =
θ
5) ∀ x∈ X, ∀ α, β∈ K: α(β(x)) = (αβ)x
6) ∀ x, y ∈ X, α∈ K: α(x + y) = αx + αy
7) ∀ x∈ X, ∀ α, β∈ K: (α + β)x = αx + βx
8) ∀ x∈ X, α∈ K: αx =
θ
⇔
x
α =θ


=θ


Khi đó X được gọi là không gian vectơ trên trường K
Ví dụ:
[a ,b
C
]
= { x(t) liên tục trên [a,b] } được trang bị hai phép toán
a)
∀
x, y
∈
[a ,b
C
]
: x + y = x(t) + y(t)

]
,
Xθ∈
: x +
θ
= x(t) +
θ
= x(t) = x
4) ∀ x∈
[a ,b
C
]
, ∃ -x∈
[a ,b
C
]
: x + (-x) = x(t) + (-x(t)) = x – x =
θ
5) ∀ x∈
[a ,b
C
]
, ∀ α, β∈
¡
:
( x) ( x(t)) ( )x(t) ( )xα β =α β = αβ = αβ

6) ∀ x, y ∈
[a ,b
C

Định nghĩa 1.6.1:
Không gian định chuẩn:
Giả sử X là không gian vectơ (không gian tuyến tính), ánh xạ
. :X
x x
→¡
a
thỏa mãn các tính chất sau:
a) x X : x 0, x 0 x 0
b) x X : K: x x
c) x, y X : x y x y
∀ ∈ ≥ = ⇔ =
∀ ∈ ∀α∈ α = α
∀ ∈ + ≤ +

Khi đó ánh xạ
.
được gọi là một chuẩn xác định trên không gian vectơ X. Không gian X cùng với
một chuẩn xác định trên nó là một không gian định chuẩn. Kí hiệu là:
( X, . )
,
x
là chuẩn của x∈ X
Định nghĩa 1.6.2:
Sự hội tụ:
Dãy điểm {x
n
} hội tụ đến a trong không gian định chuẩn X
n
n

⇔ (∀ε > 0) (∃ n
0
∈
¥
*
): (∀ n ≥ n
0
) (∀ p = 1,2… thì
n p n
x x
+
− <ε

Định nghĩa 1.6.4:
Không gian Banach:
Không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ
Định lý 1.6.1:
Cho không gian định chuẩn X. Với mọi x,y
∈
X thì:
a)
x y x y− ≤ −

b) Đặt
d(x, y) x y= −
thì d là metric trong X gọi là metric sinh bởi (hay metric tương thích với) chuẩn.
 a) Ta có:
Từ (1) và (2) ta có:
x y x y− ≤ −
b) ∀x, y, z ∈ X ta có: d(x+z, y+z) = d(x,y)

x y x y (1)
y (y x) x y x x
x y x y (2)
= − + ≤ − +
⇔ − ≤ −
= − + ≤ − +
⇔ − ≥− −
Toán tử A: M → Y được gọi là liên tục theo dãy điểm nếu với mỗi dãy {x
n
}⊂ M,
n = 1, 2… sao cho:
n
n
n
n
lim x x M
suy ra lim Ax Ax
→∞
→∞
= ∈
=
1.7. Tính lồi
 Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.7.1:
Giả sử X là một không gian tuyến tính,
¡
là tập các số thực. Tập A ⊂ X được gọi là lồi nếu:
∀x
1,
x

α
(∀α∈ I)
∀α∈ I, do A
α
là lồi nên:
1 2
x (1 )x A ( I)
α
λ + − λ ∈ ∀α∈
⇒
1 2
x (1 )x Aλ + − λ ∈
(∀
λ
∈
¡
:
0 1
≤ λ ≤
)
Mệnh đề 1.7.2.
Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính, T: X → Y là toán tử tuyến tính, khi đó
a) A ⊂ X lồi suy ra T(A) lồi
b) B ⊂ Y lồi suy ra nghịch ảnh T
-1
(B) của ảnh B là tập lồi
Định lý 1.7.1: Giả sử A ⊂ X lồi, x
1
, x
2

Mệnh đề 1.7.4: Cho X và Y là các không gian định chuẩn trên cùng trường K, cho
A : M ⊆ X → Y là toán tử tuyến tính liên tục trên tập compact khác rỗng M của X, khi đó A liên tục đều trên
M.
Định nghĩa 1.7.5:
Toán tử compact: Cho X, Y là các không gian định chuẩn
Toán tử tuyến tính A: X → Y được gọi là toán tử compact nếu A biến tập bị chặn bất kỳ trong X thành
tập compact tương đối trong Y.
Định lý 1.7.2. Cho A, B là các toán tử compact: X → Y (X, Y là các không gian định chuẩn) thì ∀ p, q ta có
pA + qB là toán tử compact
 Giả sử E là tập bị chặn trong X, {y
n
} là dãy tùy ý các phần tử của tập
(pA + qB)(E) ⇒ ∃{x
n
} ⊂ X: y
n
= (pA + qB)x
n
, n = 1, 2…
Vì A là toán tử compact nên tồn tại dãy con
k
n n
) ( )(Ax Ax⊂
hội tụ trong Y
Vì B là toán tử compact nên tồn tại dãy con
k k
j
n n
) (B )(Bx x⊂
hội tụ trong Y

n
(M) ⊆ CoA(M)
1.8. Không gian định chuẩn hữu hạn chiều
Định nghĩa 1.8.1
Cho X là không gian định chuẩn n_chiều trên trường K, n = 1,2,…,m. Một cơ sở {e
1
,…,e
n
} của X ta
hiểu là tập hợp các phần tử e
1
,…,e
n
của X sao cho ∀u ∈ X đều có thể biểu diễn dưới dạng
u =
1 1 n n
e eα + + α

Với
1 n
, ,α α
∈
¡
, xác định duy nhất bởi u. Các số
1 n
, ,α α
được gọi là các phần tử của u
Mệnh đề 1.8.1
Cho (u
n

(n)
=ϕ
(n)
(x) vào
(1.4) thì (1.4) trở thành đồng nhất thức.
Hàm số y = ϕ(x,c) thỏa mãn (1.4) khi (x,y) chạy khắp D, với mọi c ∈R
1.9.2. Một số phương trình vi phân đã biết cách giải:
a) Phương trình vi phân có biến số phân li:

dx
dy
= f(x) ⇒ y=
∫
dxxf )(
+c

dx
dy
= f(y) ⇒
∫
)(yf
dy
= x+c
M
1
(x) N
1
(y) dx + M
2
(x) N

, sau đó đưa về việc giải
phương trình vi phân có biến số phân li.
c) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Dạng tổng quát: y’ + P(x) y = Q(x)
+) Q(x) ≠ 0 thì gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 1
+) Q(x) ≡ 0 thì gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là:
y= e
∫
− dxxP )(






+
∫
∫
cdxexQ
dxxP )(
)(
d) Phương trình Bernoulli:
Dạng tổng quát: y’ + P(x) .y = Q(x) .y
α
+) α=1: phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1
+) α=0: phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 1
+) α≠0, α≠1: ta chia cả 2 vế của phương trình cho y
α
Sau đó, đặt z=y

0
),(
=
∫
x
x
dxyxP
0
),(
+
∫
y
y
dyyxQ
0
),(
0
f) Phương trình vi phân đưa được về dạng phương trình thuần nhất cấp 1.

dx
dy
= f









, (α, β_const)
CHƯƠNG 2: ĐIỂM BẤT ĐỘNG
2.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach
Định nghĩa 2.1.1:
Ánh xạ co: Ánh xạ f: X → Y từ không gian metric (X,d
X
) vào không gian metric (Y,d
Y
) được gọi là
ánh xạ co nếu ∃ α ∈[0,1) sao cho ∀x, x’∈ X ta đều có
d
y
((f (x),f(x’)) ≤ αd
x
(x,x’)
Hiển nhiên, một ánh xạ co là liên tục đều
Định lý 2.1.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach
Một ánh xạ co f: X
→
X từ không gian metric đủ (X,d
X
) vào chính nó thì có duy nhất một điểm bất
động nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm
x
∈
X sao cho
( ) =f x x

,x
0
)
d(x
3
,x
2
) = d(f(x
2
),f(x
1
)) ≤ αd(x
2
,x
1
) ≤
2
α
d(f(x
0
,x
0
)
………………
d(x
n+1
,x
n
) = d(f(x
n

n
)
≤
1 2
( )
+ − + −
+ + +
n p n p n
α α α
d(f(x
0
,x
0
) =
1
1
−
−
p
n
α
α
α
d(f(x
0
,x
0
)
<
1−

:lim
→∞
∃ ∈ = ∈
n
n
x X x x X

Do đó:
1
1
0 ( ( ), ) ( ( ), ) ( , ) ( ( ), ( )) ( , )
( , ) ( , ) 0 ( )
−
−
≤ ≤ + = +
≤ + → → ∞
n n n n
n n
d f x x d f x x d x x d f x f x d x x
d x x d x x n
α

⇒
( ( ), ) 0 ( )= ⇔ = ∈d f x x f x x X

Vậy f có điểm bất động
x

∗ Giả sử x
*

Ví dụ 2.1.1
Cho ánh xạ f ánh xạ nửa khoảng [1+
∞
) vào chính nó xác định bằng công thức f(x) = x +
1
x

f có phải là ánh xạ co không?
f có điểm bất động không?Vì sao?
Giải: Ta có [1+∞) là tập con đóng của
¡
với metric d(x,y) =
−x y

Do đó [1+∞) cùng với metric trên lập thành một không gian metric đầy.
Xét ánh xạ f: [1+∞)
a
[1+∞)
x
a
f(x) = x +
1
x

Giả sử f là ánh xạ co ⇒ f có điểm bất động duy nhất hay ∃!x
0
∈ [1+∞) sao cho
f(x
0
) = x

M (*) với k cố định, k
∈
[0,1)
Khi đó các kết quả sau là đúng:
i) Tồn tại và duy nhất nghiệm x của phương trình x = Ax (**)
ii) Với mỗi x
0

∈
M dãy {x
n
} tạo bởi x
n+1
= Ax
n
, (
∀
n = 0, 1, 2…) hội tụ đến nghiệm duy nhất x của
phương trình (**)
 Ta chứng minh ii)
Trước hết, ta chỉ ra rằng {x
n
} là một dãy Cauchy. Thật vậy, với mỗi
n = 1, 2… sử dụng (*) ta có:
1 1
1 1 2
2
1 2 1 0
Ax Ax
Ax Ax

n n n m
n m
n
x x x x x x x x
x x x x x x
k k k x x
k k k k x x
k x x
k
+ + + + + − +
+ + + + − +
+ + −
−
− = − + − + + −
≤ − + − + + −
≤ + + + −
≤ + + + + −
< −
−

Vì k ∈ [0,1) nên
lim 0
n
n
k
→∞
=
.Vậy dãy {x
n
} là dãy Cauchy do X là không gian Banach nên dãy {x

ta có x = Ax.
2.2. Định lý điểm bất động Brouwer.
Định lý điểm bất động Brouwer là định lý trung tâm của lý thuyết điểm bất động,đó cũng là một trong
những nguyên lý cơ bản của giải tích phi tuyến.Định lý này được Brouwer chứng minh năm 1910 dựa vào
công cụ tôpô là lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục. Trước tiên ta sẽ nhắc lại một vài định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.1.1
Cho X là một không gian tuyến tính, tập hợp S trong X được gọi là n-đơn hình nếu S = Co{u
0
,
u
1
, ,u
n
} với u
0
, u
1
, ,u
n
∈ X và các vectơ u
1
-u
0
, u
2
-u
0
, ,u
n
-u

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo số chiều
* n = 1
Đơn hình là đoạn u
0
u
1
, đỉnh u
0
được gán số 0, đỉnh u
1
được gán số 1, các đỉnh còn lại của các đơn hình
con nhận các số 0 hoặc 1
Gọi k là số đỉnh (của các đơn hình con) nhận giá trị 0 (nếu là đỉnh chung được tính hai lần). Ta có k là
số lẻ vì chỉ có một đỉnh nhận số 0 ở đầu mút, còn các đỉnh nhận số 0 thuộc phần trong thì được tính hai lần
Gọi h là đỉnh nhận số 0 mà đỉnh còn lại (của đơn hình con chứa đỉnh đó) cũng nhận số 0
Số đơn hình tốt bằng k-h là số lẻ. Vậy bổ đề đúng với n = 1
* Giả sử bổ đề đúng với n = m. Ta đi chứng minh bổ đề đúng với n = m+1
Gọi k là số các m-diện (diện m chiều), mà các đỉnh được gán các số 0, 1, ,m (gọi tắt là diện tốt) của
(m+1)-đơn hình con. Khi đó k = k
1
+ k
2
trong đó:
k
1
: số diện tốt nằm trên biên của đơn hình gốc S
k
2
: số các diện tốt thuộc phần trong của S
Vì biên của S chứa các diện tốt chính là m-diện Co{u

được gọi là trọng tâm của hình S
Định nghĩa 2.2.3 Một phép chia nhỏ bởi trọng tâm của 1-đơn hình S = Co{u
0
,u
1
} là tập hợp của hai 1-đơn
hình S
0
= Co{b,u
0
} và S
1
= {b,u
1
} ở đây b là trọng tâm của S.
Tổng quát, phép chia nhỏ bởi tất cả các n-đơn hình Co{b,v
1
, ,v
n-1
} ở đây v
1
, ,v
n-1
là các đỉnh của (n-1)-đơn
hình bất kì thu được từ phép chia nhỏ bởi trọng tâm của
(n-1)-diện của S.
Định nghĩa 2.2.4 Cho một đơn hình S = Co{u
0
, ,u
n