Khóa luận tốt nghiệp Ts. Nguyễn Văn Hùng
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành bản khóa luận tốt nghiệp này, trước hết em xin chân thành
cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ giải tích đã tạo điều
kiện, giúp đỡ em trong thời gian vừa qua.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Tiến sĩ
Nguyễn Văn Hùng đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo cho em trong suốt quá trình
nghiên cứu khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2013
Sinh viên
Trần Hồng Hạnh
Trần Hồng Hạnh –K35G SP Toán 1
Khóa luận tốt nghiệp Ts. Nguyễn Văn Hùng
LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng em.
Trong khi nghiên cứu, em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các
nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì công trình
nào khác.
Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2013
Sinh viên
Trần Hồng Hạnh
Trần Hồng Hạnh –K35G SP Toán 2
Khóa luận tốt nghiệp Ts. Nguyễn Văn Hùng
LỜI NÓI ĐẦU
Thoạt đầu, toán học được phát sinh do nhu cầu giải quyết các bài toán có
nguồn gốc thực tiễn. Cùng với sự phát triển của nội tại toán học và các ngành khoa
học khác, toán học chia thành hai lĩnh vực : toán học lí thuyết và toán học ứng
dụng.
Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán liên quan

Trần Hồng Hạnh –K35G SP Toán 4
Khóa luận tốt nghiệp Ts. Nguyễn Văn Hùng
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN…………………………………………………………………….1
LỜI CAM ĐOAN……………………………………………………………… 2
LỜI NÓI ĐẦU……………………………………………………………… 3
CHƯƠNG 1 : CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ………………………………… 6
§1: Số gần đúng và sai số……………………………………………………… 6
§2: Sai phân………………………………………………………………………11
§3:Phương trình vi phân thường…………………………………………………14
CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN…………………………………………………………………………19
§1:Phương pháp Euler và Euler cải tiến………………………………………….19
§2: Phương pháp Runge –Kutta………………………………………………….23
CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG…………………………………………… 37
KẾT LUẬN………………………………………………………………………49
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………… 50
Trần Hồng Hạnh –K35G SP Toán 5
Khóa luận tốt nghiệp Ts. Nguyễn Văn Hùng
CHƯƠNG 1 :CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
§1 : SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ
1 . Khái niệm về số gần đúng,sai số tuyệt đối, sai số tương đối.
a , Số gần đúng, sai số tuyệt đối và sai số tương đối:
Trong thực tế tính toán, ta thường không biết số đúng a
*
mà chỉ biết số gần đúng
của a
*
là a. Đại lượng ∆ = a
*

δa =
100
5,0
=
200
1
; δb =
6000
20
=
300
1
Phép đo B chính xác hơn phép đo A.
Vậy độ chính xác của phép đo phản ánh qua sai số tương đối.
b , Sự thu gọn các số, sai số thu gọn:
Trần Hồng Hạnh –K35G SP Toán 6
Khóa luận tốt nghiệp Ts. Nguyễn Văn Hùng
Giả sử a được biểu diễn dưới dạng thập phân :
a = ± (β
p
. 10
p
+ β
p-1
. 10
p-1
+ …+ β
p-q
. 10
p-q

gọn hơn nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết.
Quy ước : nếu chữ số đầu tiên bỏ đi tính từ bên phải qua có giá trị lớn hơn hoặc
bằng 5 thì khi thu gọn ta tăng thêm vào chữ số cuối cùng giữ lại 1 đơn vị, nếu nhỏ
hơn 5 thì giữ nguyên. Trong trường hợp chữ số đầu tiên bỏ đi đúng bằng 5 và các
chữ số tiếp theo toàn là chữ số 0 thì chữ số cuối cùng giữ lại để nguyên nếu nó là
số chẵn và tăng thêm 1 đơn vị nếu là số lẻ (tính toán với số chẵn thuận lợi hơn).
Ví dụ 3: Thu gọn đến 2 chữ số sau dấu phẩy với các số sau:
a = 57,96564 ;
a
= 57,97
a = 65,752648 ;
a
= 65,75
a = 903,28500 ;
a
= 903,28
a = 423,23500 ;
a
= 423,24
c , Cách viết các số gần đúng:
Ta thường viết số gần đúng kèm theo sai số (tuyệt đối hoặc tương đối).
Chẳng hạn : a= 16,52









1
,
… ,x
n
) ; y=f(x).
Giả sử ∆x
i
(i=1,…,n) ; δx
i
(i=1, … ,n) là các sai số tuyệt đối và tương đối tương đối
tương ứng của các đối số. Khi đó : sai số của hàm y =f(x
1
, … ,x
n
) được gọi là sai số
tính toán.
Giả sử hàm f là hàm số khả vi liên tục theo tất cả các biến x
i
thì:
∆y =
*
yy −
=
), ,(), ,(
**
11 nn
xxfxxf −
=
∑
=

xx −
khá bé nên:
∆y =
∑
=
n
i
x
xf
i
1
)('
. ∆x
i
với x =(x
1
, … ,x
n
)
Vậy δy =
y
y∆
=
∑
=
∂
∂
n
i
i

i
1
)('
. ∆x
i
=∆x
1
+…+ ∆x
n
=
∑
=
∆
n
i
i
x
1
; (1.3)
Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng.
b , Sai số của một tích:
Trần Hồng Hạnh –K35G SP Toán 8
Khóa luận tốt nghiệp Ts. Nguyễn Văn Hùng
y = x
1
.x
2
…x
n


1
+ … +δx
n
∆y =
y
. δy
Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của các số hạng thành
phần.
c , Sai số của một thương:
y=
2
1
x
x
y’
x
1
=
2
1
x
; y’
x
2
=
2
2
1
x
x−

∂
∂
n
i
i
x
f
1
. ∆x
i
≤ ɛ
⇔ ∆x
i
≤
i
x
fn '.
ε
Nếu các biến x
i
có vai trò “đều nhau” thì ta có thể lấy ∆x
i
≤
i
x
fn '.
ε
khi đó: ∆y ≤ ɛ

Trần Hồng Hạnh –K35G SP Toán 10

i
∆fx
i
∆
2
fx
i
∆
3
fx
i
∆
4
fx
i
∆
5
fx
i
∆
6
fx
i
x
-3
f
-3
x
-2
f

1
∆f
0
∆
2
f
-1
∆
3
f
-2
∆
4
f
-3
x
2
f
2
∆f
1
∆
2
f
0
∆
3
f
-1
∆

6
f
-3
Nhận xét: bắt đầu từ cột 3 mỗi phần tử bằng hiệu của 2 phần tử dòng dưới và dòng
trên của cột liền trước.
Chẳng hạn : ∆f
-3
= f
-2
– f
-3
Trần Hồng Hạnh –K35G SP Toán 11
Khóa luận tốt nghiệp Ts. Nguyễn Văn Hùng
b ,Các tính chất:
+) ∆
k
(f±g)= ∆
k
f ± ∆
k
g
+) ∆
k
(αf)= α.∆
k
f
+) ∆
n
(P
n

n
i
hinxfC
1
)).((.)1(
2 . Một số công thức nội suy sử dụng sai phân:
Giả sử hàm y=f(x) dưới dạng bảng y
i
=f(x
i
) tại các mốc x
i
cách đều:
x
i+1
– x
i
=h=const (i≥0)
Mốc nội suy được sắp xếp theo thứ tự : x
0
<x
1
<…<x
n
Ta tìm đa thức nội suy dưới dạng:
P(x)= a
0
+ a
1
(x-x

Đặt x = x
i
⇒ a
i
=
i
i
hi
y
!
0
∆
Đổi biến t =
h
xx
0
−
⇒x = x
0
+th , ta có:
F(x
0
+ th) = y
0
+
!1
t
.∆y
0
+

Đây là công thức nội suy Newtơn tiến.
Mốc nội suy sắp theo thứ tự x
n
>x
n-1
>…>x
0
Đặt t =
h
xx
n
−
⇒ x=x
n
+ th
Đa thức nội suy Newtơn lùi tìm dưới dạng:
P(x)= a
0
+ a
1
(x-x
n
) + a
2
(x-x
n
)(x-x
n-1
) + … + a
n

i
⇒ a
i
=
i
in
i
hi
y
!
−
∆
;(i=(0,…,n))
Như vậy, công thức Newtơn lùi sẽ có dạng:
f(x
n
+th) = y
n
+
!1
t
∆y
n-1
+
!2
)1( +tt
∆
2
y
n-2

(n)
) =0 ; (1.4)
Trong đó : x là biến độc lập, y là hàm số cần tìm
y’,y”,…,y
(n)
là các đạo hàm của hàm số y (y là hàm số của x).
Cấp của phương trình là đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong phương trình.
Hàm số y=ϕ(x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.4) nếu thay y = ϕ(x)
,y’=ϕ’(x),…, y
(n)
=ϕ
(n)
(x) vào (1.4) thì (1.4) trở thành đồng nhất thức.
Hàm số y=ϕ(x,c) thỏa mãn (1.4) khi (x,y) chạy khắp D, với mọi c ∈R
2 . Một số phương trình vi phân đã biết cách giải:
a , Phương trình vi phân có biến số phân li:

dx
dy
= f(x) ⇒ y=
∫
dxxf )(
+c

dx
dy
= f(y) ⇒
∫
)(yf
dy

y’=f(
x
y
). Giả thiết hàm số xác định với mọi x ≠0.Để giải phương trình này ta đặt
u=
x
y
, sau đó đưa về việc giải phương trình vi phân có biến số phân li.
Trần Hồng Hạnh –K35G SP Toán 14
Khóa luận tốt nghiệp Ts. Nguyễn Văn Hùng
c . Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Dạng tổng quát : y’ + P(x) y = Q(x)
+) Q(x) ≠ 0 thì gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 1.
+) Q(x) ≡ 0 thì gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1.
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là:
y= e
∫
− dxxP )(






+
∫
∫
cdxexQ
dxxP )(
)(

0
0
∫
+
∫
y
y
dyyxQ
0
),(
=
∫
x
x
dxyxP
0
),(
+
∫
y
y
dyyxQ
0
),(
0
f , Phương trình vi phân đưa được về dạng phương trình thuần nhất cấp 1.

dx
dy
= f



+=
+=
β
α
1
1
yy
xx
, (α,β _const).
3 . Định lí Pica – Lindolov (định lí tồn tại và duy nhất nghiệm)
Giả sử hàm f(x,y) xác định và liên tục trong miền G:
G =
{
}
byyaxxyx ≤−≤−
00
,:),(

đồng thời thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y. Khi đó, tồn tại một dãy nghiệm
gần đúng của phương trình
dx
dy
=f(x,y) trên đoạn [x
0
-h, x
0
+h] và dãy nghiệm này là
các hàm liên tục hội tụ đều đến nghiệm duy nhất của phương trình đã cho và thỏa

x
x
dtttf
0
))(,(
0
ϕ

ϕ
2
(x)=y
0
+
∫
x
x
dtttf
0
))(,(
1
ϕ
; (1.7)
…….

ϕ
n
(x)=y
0
+
∫

n
(x)=
)()( xx
n
ϕϕ
−
, ta có:
ϕ(x) - ϕ
n
(x)=
[ ]
dtttfttf
x
x
n
∫
−
−
0
))(,())(,(
1
ϕϕ
Từ đó, ta có: ω
n
(x)=
)()( xx
n
ϕϕ
−
≤

x
n
dtt
0
)(
1
ω
; (1.8)
(L là hằng số Lipsit của hàm số f)
Với n=0, ta có : ω
0
(x)=
)()(
0
xx
ϕϕ
−
= (x-x
0
).
)('
ξϕ
; (x
0
<
ξ
<x
0
+h)
Vì

−
=L.M.
2
)(
2
0
xx −
ω
2
(x) ≤ L
∫
x
x
dtt
0
)(
1
ω
≤ L
2
.M
dt
xt
x
x
∫
−
0
2
)(

n
(x) →0 và ϕ
n
(x)→ϕ(x) trên đoạn [x
0
, x
0
+h].
Ta chứng minh ϕ(x) là duy nhất. Giả sử có 2 hàm ϕ(x) & ψ(x) là nghiệm của
phương trình đã cho và thỏa mãn điều kiện ban đầu cho trước. Xét:
Trần Hồng Hạnh –K35G SP Toán 17
Khóa luận tốt nghiệp Ts. Nguyễn Văn Hùng
ϕ(x) = y
0
+
∫
x
x
dtttf
0
))(,(
ϕ
ψ(x) = y
0 +
∫
x
x
dtttf
0
))(,(

ψϕ
−
.a ; (
0
xx −
≤a)
⇒
)()( xx
ψϕ
−
≤ L.a.
)()(sup xx
x
ψϕ
−
;
∀
x
⇒
)()(sup xx
x
ψϕ
−
≤ L.a.
)()(sup xx
x
ψϕ
−
⇔ (1-La) .
)()(sup xx

∂
∂
=
ϕϕ
Trần Hồng Hạnh –K35G SP Toán 18
Khóa luận tốt nghiệp Ts. Nguyễn Văn Hùng
Vì dy = y’dx = pdx thì phương trình :

));,(,(
),(.
cxxy
cxp
dx
dp
px
pdp
p
dx
x
pdx
ωϕ
ω
ϕϕϕϕ
=⇒
=⇒
∂
∂
+
∂
∂

dp
pyp
dp
p
dy
yp
dy
ωϕω
ϕϕϕϕ
=⇒=⇒
∂
∂
+
∂
∂
=⇒
∂
∂
+
∂
∂
=
*) Phương trình Lagrăng: y = x.ϕ(y’) + ψ(y’) ; (1.11)
Đặt y’ = p ⇒ y = x.ϕ(p) + ψ(p) ; (1.12)
Ta vi phân hai vế của (1.11): dy = ϕ(p) dx + [ x.ϕ’(p) + ψ’(p) ] dp
Thay : dy = y’dx = pdx ⇒ pdx = ϕ(p)dx + [ x.ϕ’(p) + ψ’(p) ] dp
⇔ [ p-ϕ(p) ]dx = [ x.ϕ’(p) + ψ’(p) ] dp ; (1.13)
+ Nếu p - ϕ(p) = 0, giả sử p
0
là nghiệm của phương trình này thì nghiệm của

dp
dx
pp
ppx
dp
dx
ϕ
ψ
ϕ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ
ϕ
ϕ
ψϕ
−
=+⇔
−
+
−
=⇔
−
+
=⇔

Tích phân phương trình (1.14) ta được nghiệm tổng quát dạng tham số của phương
trình (1.11):
Trần Hồng Hạnh –K35G SP Toán 19
Khóa luận tốt nghiệp Ts. Nguyễn Văn Hùng


=+
=
⇒
)(0)('
0
xp
cp
px
dp
ωψ
Thay vào (1.16)



+=
+=
⇒
))(()(
)(
xxxy
ccxy
ωψω
ψ
5. Cách giải một số phương trình vi phân cấp cao
a, Một số phương trình cấp cao đơn giản:
*) Phương trình chỉ chứa biến số độc lập và đạo hàm cấp cao nhất:
F(x,y
(m)
) = 0 ; (1.18)

)(
01
)1(
0
1
0 0 0
nn
n
x
x
x
x
x
x
cxxcxx
n
c
dxxf +−++−
−
+
−
−
∫ ∫ ∫
Trường hợp 2: Biểu diễn x, y
(n)
theo tham số t:





(t,c
1
,c
2
) ⇒ y = ψ
n
(t,c
1
,c
2
,…,c
n
)
Vậy nghiệm tổng quát của (1.18) là :



=
=
), ,,(
)(
1 nn
ccty
tx
ψ
ϕ
*) Phương trình chỉ chứa đạo hàm cấp n và cấp n-1 :
F(y
(n)
,y

ϕ
+ Trường hợp 2: Giả sử từ (1.19), ta có thể biểu diễn y
(n-1)
, y
(n)
theo tham số t có
phương trình dạng:






=
=
−
)(
)(
)(
)1(
ty
ty
n
n
ψ
ϕ
Vì dy = y’dx ⇒ dy
(n-1)
= y
(n)

ϕ
ψ
ϕ
ψ
ϕ
=+=⇒
==⇒
∫
),(
)(
)(')(
)(
)('
.)(
22
)2(
2
)2()1()2(
cty
cdt
t
tt
ydt
t
t
tdxydy
n
nnn
ϕ
ψ


=
=
−
), ,,(
),(
21
11
nn
ccty
ctx
ψ
ϕ
*) Phương trình chỉ chứa đạo hàm cấp n và cấp (n-2):
F(y
(n-2)
,y
(n)
) = 0 ; (1.21)
+ Trường hợp 1: Từ (1.21) ta giải được y
(n)
theo y
(n-2)
: y
(n)
= f(y
(n-2)
)
Đặt y
(n-2)

+=⇒
cdzzf
dz
cx
cdzzf
dz
dx
cdzzf
dx
dz
cdzzfz
cdzzfz
Giải (1.22) sau đó thay z = y
(n-2)
, ta đưa phương trình (1.22) về trường hợp đã giải ở
trên.
Trần Hồng Hạnh –K35G SP Toán 22
Khóa luận tốt nghiệp Ts. Nguyễn Văn Hùng
+ Trường hợp 2: Từ (1.21), ta có thể biểu diễn:





=
=
−
)(
)(
)2(

)()1(
nn
nn
nn
nn
dydxy
dxydy
dxydy
dxydy
Ta nhân hai vế của hai phương trình ta được:

),()(')('2
)(')(2][2][
22
111
)1(
1
2)1()2()(2)1(
)2()()1()1()2()()1()1(
ctcdttty
cdtttydyyyd
dyydyydyydyy
n
nnnn
nnnnnnnn
ψϕψ
ϕψ
=+±=⇒
+=⇒=⇒
=⇒=

,y
(k+1)
,… ,y
(n)
) = 0 ; (k ≤ n) ; (1.23)
Đặt z = y
(k)
, ta có phương trình: F(x,z,z’,…,z
(n-k)
) = 0 ; (1.24)
Giả sử (1.24) có nghiệm: z = ω(x,c
1
,…,c
n-k
) ⇒ z = y
(k)
= ω(x,c
1
,…,c
n-k
)
⇒ y
(k)
= ω(x,c
1
,…,c
n-k
) ; (đưa nó về dạng phương trình chỉ chứa biến số
độc lập và đạo hàm cấp cao nhất);
Nếu từ (1.24) ta tìm được tích phân tổng quát: ϕ(x,z,c

Tương tự:
Trần Hồng Hạnh –K35G SP Toán 23
Khóa luận tốt nghiệp Ts. Nguyễn Văn Hùng









=








+














=








==
−
−
)1(
)1(
)(
2
2
2
''
'
, ,,

]).[('''
'''
''

zd
dx
dy
dz
zd
dx
dy
y
ω
Thay vào phương trình đầu ta được phương trình vi phân cấp (n-1):

;0, ,,,
)1(
)1(
=








−
−
n
n
dy
zd
dy

tức
k∃
sao cho: F(x,ty,ty’,…,ty
(n)
) = t
k
F(x,y,y’,…,y
(n)
) ; ∀t, (t ∈ N)
Cách giải:
Đặt y’= yz ⇒ y’’ = (yz)
’
= y’z + yz’ = yz
2
+ yz’ = y(z
2
+z’)
y’’’ = (y(z
2
+z’))
2
= y’(z
2
+z’) + y(2zz’+z’’)
= yz(z
2
+z’) + y(2zz’+z’’) = y[z
3
+z’’+3zz’]
…

nn
nn
), ,,(), ,,(
), ,,(
'
), ,,(
111111
111111
−−
−−
=⇒=
=⇔=
φφ
φφ

Vậy
∫
=
dx
n
ecy
1
φ
; c
n
≠ 0
Nếu k > 0 thì y = 0 là nghiệm của (1.26) ứng với c
n
= 0;