Trang 1
Chương 3: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
3.1. Khái niệm
3.1.1. Định nghĩa
1. Định nghĩa. Cho V,W là hai không gian vectơ tùy ý. Ánh xạ f:V W
được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu thỏa hai tính chất sau đây:
(i) f(x+y) = f(x) + f(y) , x,y V
(ii) f(kx) = kf(x) , x V , k R
2. Ví dụ. Cho ánh xạ f : R
3
R
2
xác định bởi
f(x
1
,x
2
,x
3
) = (2x
1
,x
2
-x
3
), (x
1
,x
2
,x
n
x
n
) =
1
f(x
1
) +
2
f(x
2
) +… +
n
f(x
n
)
Cho V, W là các không gian véctơ và f,g là các ánh xạ tuyến tính:
Ta định nghĩa:
a) (f+g)(x) = f(x) +g(x)
b) (kf) (x) = kf(x)
WVgWVf :,:
Trang 2 Các ánh xạ f+g, kf cũng là ánh xạ tuyến tính
Cho ánh xạ tuyến tính
:W; :WZfV g
Giả sử (u) và (v) là cơ sở của V và W:
(u) = { u
1
,u
2
,…,u
n
} , (v) = { v
1
,v
2
,…,v
m
}
Cho ánh xạ tuyến tính f: V W
x y =f(x)
Tọa độ của x đối với cơ sở (u) trong V:
x/
(u)
= (x
1
,x
2
,…,x
n
)
Trang 3
]
…
[f(u
3
)/
(v)
]
]
Trường hợp riêng
V = R
n
, W=R
m
có các cơ sở chính tắc tương ứng là : (e) ={e
1
, e
2
,…,e
n
},
(e’)={e’
1
, e’
2
,…,e’
m
}. Ma trận của ánh xạ tuyến tính : f: R
n
R
-x
2
). Tìm ma trận chính tắc .
Ghi chú. Ma trận A có các hàng tương ứng là các hệ số của các tọa độ
véctơ f(x
1,
x
2
) .
Ví dụ 2 Cho ánh xạ tuyến tính f : R
4
R
3
xác định bởi
f(x
1
,x
2,
x
3
,x
4
) = (x
1
- x
2
+x
3
+x
4
u
3
= (1,1,1,0) , u
4
= (1,1,1,1) và R
3
có cơ sở chính tắc.
Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính .
Ví dụ 3 Cho ánh xạ tuyến tính f : R
2
R
3
xác định bởi
f(x
1
,x
2
) = (2x
1,
x
1+
x
2
, x
1
-2x
2
)
R
2
,x
3
) = (x
1+
2x
2
+x
3
,x
1+
5x
2
+ x
3
).
Trang 4
Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính đối với cơ sở (u) ={ u
1
, u
2
, u
3
} trong
R
3
và (v) ={v
1
,v
2
} trong R
2
, v
3
} . Ma trận chuyển cơ sở từ (u) sang (v) là:
P= [[v
1
/
(u)
][v
2
/
(u)
]…[v
n
/
(u)
]]
Định lý. Cho ánh xạ tuyến tính f : V V (toán tử tuyến tính) , V là
không gian véc tơ dim V = n. Giả sử V có 2 cơ sở là (u) và (v). Nếu A là ma trận
của f đối với cơ sở (u) và A’ là ma trận của f đối với cơ sở (v) thì ta có :
A’=P
-1
AP trong đó P là ma trận chuyển cơ sở từ (u) sang (v) ( Ta thấy A’ đồng
dạng với A)
Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R
2
R
2
xác định bởi
f(x
Nếu A là ma trận của ánh xạ tuyế
n tính thì số thực
được gọi là
giá trị riêng của A nếu tồn tại vector n chiều
0x
sao cho:
A
xx
.
Trang 5
Nhận xét. Từ phương trình
()0Ax x A I x
có nghiệm 0x
. Ta được các giá trị riêng:
12
,,
.
Bươc 3: Thay từng giá trị riêng
k
vào phương trình
.0AIx
.
Nghiệm của hệ phương trình là vector riêng của A ứng với GTR
k
.
Ví dụ 1 Tìm giá trị riêng và vector riêng của ma trận
13
02
A
Với
1
1
, giải hệ phương trình
11
1
22
03
.0 . 0 ; \{0}
03 0
xx
AIx R
xx
xx
.
Ví dụ 2 Tìm giá trị riêng và vector riêng của các ma trận
a.
200
022
022
A
b.
13 1
212
D
Giải
a. Ma trận A
Trang 6
Ma trận đặc trưng:
200
02 2
022
AI
.
Với
1
0
, giải hệ phương trình
11
122
33
0
200
.0022. 0 ; \{0}
022
xx
AIx x x R
xx
020
0
xx
AIx x x R
xx
.
Vậy vector riêng ứng với GTR
2
2
là: ( ;0;0), \{0}xR
.
Vậy vector riêng ứng với GTR
3
4
là:
(0; ; ), \{0}xR
.
b. Ma trận B
Ma trận đặc trưng:
320
23 0
005
BI
1
(5 ) (1 ) 0
5 (bôi 2)
.
Với
1
1
, giải hệ phương trình
11
122
33
220
. 0 2 2 0 . 0 ; \{0}
003
0
xx
BIx x x R
xx
5
, giải hệ phương trình
11
222
33
220
.0 220. 0
000
xx
BIx x x
xx
.
Phương trình đặc trưng:
2
125
0 (bôi 2)
002 40 (4)0
4
101
CI
Vậy vector riêng ứng với GTR
1
0
là: (;2; ), \{0}xR
Trang 8
Với
2
4
, giải hệ phương trình
11
222
33
2
2
là: (3 ;2 ; ), \{0}xR
d. Ma trận D
Ma trận đặc trưng:
10
44 0
212
DI
210
xx
DIx x x R
xx
Vậy vector riêng ứng với GTR
2
.
Vấn đề. Đưa một ma trận vuông bất kì về dạng đường chéo như thế nào?
1. Định nghĩa
Ma trận vuông cấp n A được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận
vuông cấp n không suy biến T và ma trận đường chéo
D
sao cho
1
TAT D
.
Khi đó ta nói T là ma trận làm chéo hóa A hay A được chéo hóa bởi ma trận T và
D
là ma trận đồng dạng với A.
Trang 9
thì
1
TAT D
vì
1
11
21
T
.
2. Điều kiện chéo hóa ma trận
Nếu ma trận A có n giá trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được.
Ngược lại A chéo hóa được khi và chỉ khi A có n giá trị riêng kể cả bội và
số chiều của tất cả các không gian con riêng bằng số bội của giá trị riêng tương
và ma trận đường chéo
D
, trong đó phần tử nằm trên đường chéo và cột i là
i
.
Ví dụ. Hãy chéo hóa các ma trận A, B, C, D trong ví dụ ở phần 3.5.2
a. Ma trận A
Với
1
0
, ta có: W(0) {(0; ;- )| R}
.
Khi đó:
W(0) (0; ; ) (0;1; 1)xx
. Ta chọn một cơ sở của W(0)
là:
1
(0;1; 1)u .
Với
2
2
101
101
T
và
000
020
004
D
b. Ma trận B
Với
. Ta chọn hai cơ sở
của
W(5) là:
2
(1;1;0)u và
3
(0;0;1)u
.
Vậy ma trận B chéo hóa được với:
110
110
001
T
và
100
050
(bội 2), ta có: W(2) {(3 ;2 ; )| }
R
.
Ta chọn một cơ sở của
W(2) là:
2
(3;2;1)u
Vì
dim (0) dim (2) 2 3WWn nên C không chéo hóa được.
d. Tương tự ma trận D không chéo hóa được vì
dim (2) 2 3Wn
.
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
1. Cho ánh xạ f : R
2
R
2
xác định bởi f(x
1
,x
2
) = (x
3
) = (2x
1
+x
2
-x
3
,x
1
+x
2
-3x
3
)
a. Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính .
b. Tìm ma trận chính tắc của f .
c. Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cơ sở (u) = {u
1
,u
2
, u
3
} với
u
1
=(1,1,1) , u
2
=(1,1,0), u
3
=(1,0,0) trong R
3
,x
1
+5x
2
+x
3
)
a. Tìm ma trận chính tắc của f .
Trang 11
b. Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cơ sở (u) = {u
1
,u
2
, u
3
} với
u
1
=(1,1,1) , u
2
=(1,1,0), u
3
=(1,0,0) trong R
3
và (v) ={v
1
,v
2
} với
5. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của các ma trận :
a. A =
332
11 2
310
b. B =
21 0
01 1
02 4
b. B =
500
150
015
c. C =
010
440
112
121
112
8. Cho ánh xạ tuyến tính f : R
3
R
3
với f(x
1
,x
2
,x
3
) = (x
1
+x
2
+x
3
Copyright: Tài liệu đại học ©