1
Chương 3 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

3.1. Tích phân bất định
3.1.1. Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định
1. Nguyên hàm
a. Định nghĩa: F(x) là nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a,b)
 F(x) = f(x) , x  (a,b)
b. Định Lý : Mọi hàm số f(x) liên tục trên (a,b) đều có nguyên hàm trên
khoảng đó
Ví dụ. Cho
() cos
f
xx , dễ thấy () sinxFx

là một nguyên hàm của ()
f
x trên
R. Ngoài ra nó còn có nguyên hàm dạng
sinx+C , với C là hằng số tùy ý.
c. Định Lý 2
 Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trên (a,b) thì F(x) + C ( C : hằng số)
cũng là nguyên hàm của f(x).
 Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a,b) đều có dạng F(x) + C
2. Tích phân bất định
a. Định nghĩa. Dạng tổng quát của nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a,b), kí
hiệu là

dxxf )( , được gọi là tích phân bất định của hàm f(x) trên khoảng đó.






1
1



(9) Ctgx
x
dx


2
cos (4)
Cx
x
dx


ln (10) Cgx
x
dx


cot
sin

x
dx



2
1

2
Ví dụ. Tính các nguyên hàm
a.
53 7 5 3
1
2
222 2 2 2
242
(1) ( 2 )
753
x
xdxx xxdxx x xC   


b.
2
1os2 sin2
sin
224
cx x x
x
dx dx C



Đặt
222
4422tx tx tdtxdx . Từ đó:
23
3
22
(4)
4
33
x
t
I
xx dx tdt C C

 

.
b) Tính
22
I
axdx

, (a > 0)
Đặt
cos a sin
x
atdx tdt
. Từ đó:

cos)(,sin)(,)(
Dùng phương pháp trên với phép đặt
ax
()
, os(ax ),sin(ax )
b
uPx
dv e c b b dx






.




arctgxdxxPxdxxPxdxxP )(,arcsin)(,ln)(
3
Dùng phương pháp trên với phép đặt
ln , arcsin , ar
()
ux xctgx
dv P x dx











.
Suy ra:

222 22
22 2
11(1)111
ar ar ar 1
221221 221
x x dx x x dx x
I
ctgx ctgx ctgx dx
xx x


 

 

 2
1
ar ar

.
Suy ra:
2
sinx 2 sin
I
xxxdx


Tính
sinKxxdx


Đặt
sin osx
ux dudx
dv xdx v c






.
Suy ra:
osx os cos sinxKxc cxdxxx C    


Vậy
22
cos sinx 2 cos 2sin

ax
A
kk








1
)(
1
.
1
)(

4
III / I = dx
qpxx
NMx



2

Dạng I =



 44
2
x
x
dx

o


k
u
du
2
Ví Dụ : I =

 42
2
x
x
dx

o


22
k
u
du
Ví Dụ : I =





qpxx
dxMp
Nqpxx
M
2
2
)
2
(ln
2

Ví dụ
a) Tính
2
(1)( 1)
dx
I
xx




Ta có:
22 2
11
(1)( 1)(1)(1) 1(1) 1
ABC

1
20
2
1
1
4
A
AC
BC B
ABC
C








 


 






Vậy






Ta có:
2
22 2
32 ( 2)( )(3)
(3)( 2) 3 2 3 2
xABxCAxBxCx
xx x x x x
    
  
    2
2
()(3)23
(3)( 2)
x
AB xBC A C
xx
  



Suy ra:
01


2. Tích phân hàm lượng giác
a. Dạng

dxxxR )sin,(cos trong đó R(u,v) là biểu thức hữu tỉ theo cosx,sinx
Phương pháp chung : Đặt t =
2
x
tg

Khi đó : sin x =
2
1
2
t
t

, cosx =
22
2
1
2
,
1
1
t
dt
dx
t
t



 


  




b) Tính
4sin cos 5
dx
I
xx




Đặt t =
2
x
tg thì
2
2
22
22
2
1
2


.

b. Dạng



bxdxaxbxdxaxbxdxax sincos,sinsin,coscos
Biến đổi tích thành tổng :
6
Nhớ công thức : coscos  =

)cos()cos(
2
1


sinsin  =

)cos()cos(
2
1



sincos  =

)sin()sin(
2
1

Ví Dụ
a) Tính
3
4
cos
sin
x
I
dx
x



Đặt t =
sinx cosdt xdx thì
22
44423 3
cos cos 1 1 1 1 1 1 1
sin 3 3sin sinx
xx t
I
dx dt dt C C
xttttt x










Đặt t =
2
os
dx
tgx dt
cx

thì
22 53
22
6222
sin sin 1
.(1)
os os os os 5 3
xxdx tgxtgx
I
dx t t dt C
cx cxcxcx
 
 3. Tích phân hàm vô tỉ
Phương pháp chung để tính tích phân các hàm vô tỉ là tìm cách đưa về tích phân
hàm hữu tỷ. Trong một vài trường hợp ta chuyển về dùng các tích phân cơ bản của hàm
vô tỷ sau:
1.
22



4.
22 2
1
ln
22
k
x
kdx x x k x x k C  


Dạng 1
: Tính (, ax )
n
I
fx bdx


Cách giải: Đặt
1
1
ax ax
n
nn
n
nt dt
t b t b nt dt adx dx
a


x




Đặt
43
4tx tdtdx 
. Từ đó:
23 5 2 3 3
2
33 3 3
44(1)
44 4.
11 1 331
ttdt tdt t t dt
Itdt
tt t t




  

 




33 3 3















Đặt
2
2
4
;
4
bbac
ux k
aa

 
. Suy ra:
2
2
2
2

aa
dx dx
ax bx c ax bx c

 




 
2
22
(ax )
22
Ad bxc Ab dx
B
aa
ax bx c ax bx c





 

.
Ví dụ Tính

22
(2 1) 2 1 (2 1)
ttdt
I
dt
tt t t t








33
2ln ln 2 1
22(21)
tt C
t
  

.

3.2. Tích phân xác định
3.2.1. Khái niệm về tích phân xác định
1. Định nghĩa. Giả sử hàm số f(x) xác định trên đoạn [a,b] .
a) Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm : x
o
= a <x
1

I
0
lim

tồn tại không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a,b] và các cách
chọn điểm ξ
i
thì nó được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a,b]
Ký hiệu
: I =
n
b
a
d
Idxxf



0
lim)( ( d =max (x
i
-x
i-1
) với 1  i  n )
Ghi chú
:
 Hàm số có tích phân xác định trên đoạn [a,b] thì gọi là khả tích trên đoạn [a,b]
 I
n
: tổng tích phân của f(x) trên đoạn [a,b]


1
0
2
dxx b) I =


2
1

9
Ghi chú :
6
)12)(1(
,
2
)1(
1
2
1






nnn
i
nn
i

b
a
duufdttfdxxf )()()(

3. Các tính chất
(1)


b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

(2)


b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()(
( k : hằng số )
(3)


b
c

 Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì c [a,b] :

b
a
dxxf )( = f (c) (b-a)
Chứng Minh:

f(x) liên tục trên [a,b] ==> m = y
min
và M = y
max
: m  f(x)  M , x  [a,b].
Theo tính chất (6) :
m (b-a) 
Mdxxf
ab
mabMdxxf
b
a
b
a




)(
1
)()(
f(x) liên tục trên [a,b] nên đạt được mọi giá trị trung gian giữa m và M :
c [a,b] : f(c) =








Chứng Minh:
 x (a,b) , cho xố gia

x, ta có :



xx
x
x
a
xx
a
x
a
x
a
xx
x
dttfxxx )()()(
Theo đl giá trị trung bình c (x+x+

x) sao cho :

Ví Dụ Tính đạo hàm hàm số :
)sin(sin)('
2
'
0
2
xdttx
x










Mở rộng :


v
u
uufvvfxdttfx ').(').()(')()(
Ví Dụ Tính đạo hàm các hàm số :
(a) dttx
x


0


x
a
dttf )( = F(x) + C

Cho x =a

a
a
dttf )( = F(a)+C = 0 ==> C =-F(a)
Cho x =b

b
a
dttf )(
= F(b)+C = F(b)-F(a)
Vậy
)()()( aFbFdxxf
b
a



Bổ sung :
 Có những hàm số bị chặn nhưng không khả tích. Chẳng hạn :

11
f(x) =




1
0
1
ln
x
xx

Hướng dẫn : f(x) liên tục ==> khả tích.
Ví Dụ : a) I =


2
1
2
dxx b) I =

4
6
2
cos


x
dx

c) I =
dxx








Ví Dụ Tính I =
dxx


1
0
2
1

Đặt x = cost với t 






2
,0

: x = 0  t =
2


dx = -sintdt x = 1  t = 0
I =

Khi 0 < x < 1
Khi x = 0
Khi x = 1
12
=
42
1
2
1
2
0









 sìntt

b. Định Lý 2. Xét tích phân xác định

b
a
dxxf )( với f(x) liên tục trên [a,b]. Giả
sử u = (x) thỏa các điều kiện :
(1) (x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên [a,b].
(2) f(x)dx trở thành g(u)du trong đó g(u) liên tục trên [(a),(b)]

2
-1
x =1 ==> u =
2
x = 3 ==> u =2

2
2
222
2
222
2
222
2
22 2 2 1
22ln
11121
uu du u
I udu du u
uuu u


 
121
422ln ln
3
21

dv dx
vx














Suy ra:
1
11
11
2
2
00
00
0
1
ar ar ar ln(1 )
12
xdx
I


Ví dụ:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x
2
và đường thẳng y = x + 2

1
1
23
2
2
2
9
(2 ) 2
23 2
xx
Sxxdxx


  

.
2. Tính độ dài cung
Giả sử cung AB là đồ thị của hàm số
()
y
fx

trên [a,b] . Khi đó:


a
lxtytdt




Ví dụ Tính chu vi đường tròn tâm O bán kính R = 2.
Tham số hóa:
2cos
, 0 t 2
2sin
xt
yt







.
Do đó
22
22
00
4cos 4sin 2 4
AB
lttdtdt



2
[()]
d
c
Vgydy



.
3.3. Tích phân suy rộng
3.3.1. Tích phân suy rộng có cận vô hạn
Định nghĩa. Nếu f(x) xác định trên [a,


) và f(x) khả tích trên [a,t] với t > a .
Tích phân suy rộng của f(x) trên [a,


) là :





t
aa
t
dxxfdxxf )(lim)(
Nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn ,ta nói tích phân suy rộng hội tụ , ngược lại là
phân kỳ

dx
x



b.
1
,
dx
R
x






Giải:

a.
2
0
0
ar lim ar ar 0
12
x
dx
ctgx ctgx ctg
x


11
1
1
0, >1
11 1
.lim
, <1
1
x
dx
xx x
 














.
KL:
1
,





a
b
a
b
dxxfdxxf )(lim)(

2. Ví dụ. Tính các tích phân suy rộng:
a)


1
0
1x
dx
b)


1
0
2
1 x
dxBÀI TẬP CHƯƠNG 3


x
dx 15
3.2 a. dx
x
x
x



1
1
2
b.




dx
x
x
x
54
23
2
c. dx
x
x

x
dxx


6
2
1
d.

1
4
x
xdx3.4 a.

x
x
dx
5
ln
b.

 xx
dx
ln1
c. dxex
x


1
2
2
d.

dxx
x
2
5

3.6 a.
dxx

5
sin b.

3
3
cos
sin
x
xdx
c.

xdxx 5cos.7cos d. xdxtg

53.7 a.

b.

xarctgxdx c.

dxx)sin(ln d. xdx

2
ln

3.9 a.

x
e
xdx
b.sin cos
x
xxdx

c.

dx
x
x
2
arcsin
d. dx
x
x

3

54xx
dx
d.


0
4
cos xdx3.11 a.


1
0
3
2
9
dx
x
x
b.


1
0
2
23xx
xdx
c.

12xx
dx
c.
dx
x
arctgx


1
0
2
1
d.


8ln
3ln
1
x
e
dx3.13 a.

2
0
cos

xdxe



0
cos xdx b.



0
2
1 x
dx
c.



2
2
2xx
dx
d.


e
xx
dx
2
ln3.15 a.
Ứng dụng tích phân xác định

3.16 Tính diện tích giới hạn bởi các đường
a. y = cosx và trục Ox với 0

x


.
b. y = 2 – x
2
và y = x .
c. y = x
2
và x = y
2

d. y = 2
x
, y = 2 và x =0 .

3.17 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay các miền phẳng giới hạn bởi các
đường cong sau đây
a. y = tgx , y = 0 và x =
3

quanh trục ox
b.