1
CHƯƠNG 5 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

5.1.1. Tích phân kép
5.1.1. Khái niệm tích phân kép
1. Định nghĩa
Cho hàm số f(x,y) xác định trên miền đóng, bị chặn D.
 Chia miền D một cách tùy ý thành n mảnh nhỏ có diện tích
),1( niS
i

 Trong mỗi mảnh, lấy 1 điểm tùy ý M
i
(x
i
,y
i
) ),1( ni 
 Tổng I
n
=
i
n
i
ii
Syxf 


),(
1
được gọi là TỔNG TÍCH PHÂN của hàm số


D
dxdyyxf ),(2. Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trong miền bị đóng và bị chặn D thì f(x,y)
khả tích trên miền D
3. Tính chất:
(1)
  

DDD
dxdyyxgdxdyyxfdxdyyxgyxf ),(),()],(),([

(2)
 

DD
dxdyyxfkdxdyyxkf ),(),(
(3) Nếu D có thể chia thành 2 miền D
1
và D
2
thì :
2

 

12
),(),(),(

).,(),(


với S là diện tích của miền D.
5.1.2. Cách tính tích phân kép
1. Trong tọa độ ĐềCác
a. Miền lấy tích phân l hình chữ nhật có các cạnh song song với các
trục tọa độ
Tính I =

D
dxdyyxf ),(
với D =


dycbxaRyx  ,/),(
2

I=








d
c
b

xy
dyyxfdx
)(
)(
2
1
),(

Ví dụ 1:
2
D
I
xydxdy

, trong đó D giới hạn bởi parapol x = y
2
và đường
thẳng y = x.
 Tìm giao điểm:
22
0
0
x
xy yy
y
yx yx




1
11
34
22
00
0
1
()
34 12
x
x
xx
xy dx x x x dx





.
Ví dụ 2:

(1 2 )
D
I
xdxdy

, trong đó D giới hạn bởi parapol x = y
2




hoặc
4
2
x
y





.
 Suy ra
14
012
(1 2 ) (1 2 )
xx
x
x
I
x dydx x dydx


 
 11

189
10

.

 D=


)()(,/),(
21
2
yxxyxdycRyx  với x
1
(y) và x
2
(y) liên tục
trên [c,d]
I =

b
a
xy
xy
dyyxfdx
)(
)(
2

I
xdxdy x x dy



 
 22
224 4
11
2(2) 65
189
10
y
yy ydy yydy


 




Ví dụ 4:
Tính tích phân ở VD1 theo miền nằm ngang đơn giản
2
2
12
yxy

()()
12
yy y dy y y dy

.
 D giới hạn trong hình chữ nhật có các cạnh xác định bởi a  x  b , c 
y  d .

PNM

: y = y
1
(x) , PQM

: y = y
2
(x)

QMN

: x= x
1
(y) , QPN

: x = x
2
(y)

I =


b
a
d
c
dyygdxxfdyygxfdx )()()().(
c. Đổi biến số trong tích phân kép

Cho tích phân kép

D
dxdyyxf .),(
Giả sử tồn tại hàm 2 biến x = x(u,v) và
y=y(u,v) có các đạo hàm riêng liên tục trên miền D’ của mpO’uv sao cho
tương ứng (u,v)
 (x,y) là một song ánh từ D’ đến D và định thức Jacobi:
(, )
0
(,)
xx
Dxy
uv
J
yy
Duv
uv


 



thì: J =
1
3

và


(,):1 2;1 3
uv
Duvu v

 

Vậy:
23
11
12
dud
33
D
Idxdy v 
  
.
5
r

M

sincos


r
r
r

 I =
 

DD
rdrdrrfdxdyyxf
'
)sin,cos(),(
Nếu D’ được xác định bởi      và r
1
( )  r  r
2
( ), ta có:

I =
  

D


(, ):0 ;0 2
r
Dr rR




Do đó:
22 2
2
00
drd (1 )
r
R
rr R
D
Iedrd e e



 

  
.
Chú ý: Nếu dùng phép đổi biến sang tọa độ cưc suy rộng:

os
sin
xarc

I
x y dx dy
R



R là miền cho bởi:
222 2
4xy



Giải: Chuyển sang tọa độ cực

os 0 2
:
sin 2
xrc
RR
yr r











dx dy
R
ab



D là miền cho bởi:
22
1( 0, 0)
22
xy
ab
ab


Giải: Chuyển sang tọa độ cực suy rộng

os 0 2
;:
sin 0 1
xarc
J abr R R
ybr r








Ví dụ 4 Tính diện tích miền giới hạn bởi Lemnixcat

222 222
()2()(0)xy axy a  

Giải: Ta có: Diện tích A
dxdy
R



Chuyển sang tọa độ cực phương trình của Lemnixcat là:

4222 2 22
2 (cos sin ) 2 cos 2rar ra



Do tính đối xứng của miền cần tìm diện tích nên.

2os2
2os2
444
222
4rdr2 22os2d2
0
00 0 0
ac
ac
Ad r d ac a

nằm trong mặt cầu x
2
+y
2
+z
2
= 4.
Ví dụ 2
: Tính thể tích V của phần hình trụ giới hạn bởi mặt x
2
+ y
2
= 2x
nằm trong mặt cầu x
2
+y
2
+z
2
= 4.

b. Tính diện tích hình phẳng

S =

D
dxdy

Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x
2


Ví dụ
: Tính diện tích phần của mặt cầu x
2
+ y
2
+ z
2
= 4 nằm bên trên
mp Oxy .
2. Ứng dụng cơ học
a. Tính khối lượng của một bản phẳng không đồng chất

m =

D
dxdyyx ),(


 (x,y ) : khối lượng riêng của bản phẳng tại M(x,y)
8

Ví dụ
: Tính khối lượng của bản phẳng choán miền D xác định bởi:
x
2
+ y





Ví dụ
1 : Tính moment quán tính đối với gốc O của miền tròn D xác định
bởi x
2
+y
2
-2Rx  0, biết khối lượng riêng (x,y) =
22
yx 

Ví dụ
2: Tính moment quán tính đối với trục 0y của miền D xác định bởi
1
2
2
2
2

b
y
a
x
biết rằng (x,y)  1
c. Trọng tâm của bản phẳng
Nếu bản phẳng D có khối lượng riêng là hàm liên tục (x,y) thì tọa độ trọng
tâm :


D
xdxdy
S
1
, y
G
=

D
ydxdy
S
1 ( S là diện tích của miền D ).
5.2. Tích phân bội ba
5.2.1. Khái niệm tích phân bội ba
1. Định nghĩa
Cho hàm số f(x, y, z) xác định trong miền đóng, giới nội V của không
gian Oxyz.
Chia miền V một cách tuỳ ý thành n miền nhỏ có thể tích là V
i
(i =
n,1
)
Trong mỗi miền nhỏ  V
i
lấy một điểm tuỳ ý M
i

i
thì nó được goi là TÍCH PHÂN BỘI BA của hàm f(x, y, z)
trên miền V.

Ký hiệu:

V
dVzyxf ),,(
Ghi chú :

Nếu tích phân bội ba tồn tại, ta nói hàm f(x, y, z) khả tích trên miền
V.
Nếu chia miền V bằng những họ mặt phẳng song song với các mặt
phẳng tọa độ thì dV = dxdydz nên ta có:

 

vV
dxdydzzyxfdVzyxf ),,(),,(

Tích phân bội ba cũng có các tính chất tương tự như tích phân kép.
2. Định lý. Nếu f(x, y, z) liên tục trên miền đóng, bị chặn V thì khả tích
trên miền đó .
5.2.2. Cách tính tích phân bội ba
1. Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề Các 
V
dxdydzzyxf ),,(

2
(x) trong đó
y
1
, y
2
là những hàm liên tục trên đoạn [a, b] thì ta có :

I =

)(
)(
),(
),(
2
1
2
1
),,(
xy
xy
yxz
yxz
b
a
dzzyxfdydx

10

Ví dụ 1 Xác định cận của tích phân:

xy
x
I
dx dy f x y z dz



 
.
Ví dụ 2 Tính tích phân:
,
I
xdxdydz



, với

giới hạn bởi các mặt:
z = x
2
+ y
2
, z = 4, x = 0, y = 0.
Hình chiếu
 xuống Oxy


2
(, ):0 2;0 4Dxy x y x.

24
32
00
64
4
15
x
dx x x xy dy



.

2. Đổi biến số trong tích bội ba
I =

V
dxdydzzyxf ),,(

trong đó
(,, )
(,, )
(,, )
x
xuvw
yyuvw
zzuvw




y
u
y
w
x
v
x
u
x


















 0 trong miền V’ trừ một số hữu hạn điểm.
Khi đó ta có công thức đổi biến số :



I =

'V
f(r cos , rsin , z) r drddz
Ví dụ 1 Tính tích phân:
22
(),
I
x y dxdydz



với

giới hạn bởi các mặt:
z = x
2
+ y
2
, z = 4.
Hình chiếu
 xuống Oxy là hình tròn:
22
4xy

 .
Chuyển sang tọa độ trụ:
cos , sin ,
x


 
.

Ví dụ 2 Tính I =

V
(x
2
+ y
2
)z dxdydz trong đó V giới hạn bởi mặt trụ
x
2
+ y
2
= 1 và 2 mặt phẳng z = 0 và z = 2.

4. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu
Tọa độ cầu của điểm M(x, y, z) trong không gian Oxyz là bộ ba số (r, , )
trong đó r = OM,  =
)',( OMOx
,  =
),( OMOz
, M’ l hình chiếu vuơng góc của M
lên mặt phẳng Oxy.
r  0, 0    2, 0    
Công thức liên hệ giữa tọa độ Đề các và tọa độ cầu :




I =

V
f(r sin cos, r sin sin, r cos) r
2
sin drdd

Ví dụ 1 Tính tích phân:
222
(),
I
xyzdxdydz



với

giới hạn bởi các
mặt: x
2
+ y
2
+ z
2
= 1, x
2
+ y
2
+ z


với

giới hạn bởi các
mặt:
222
x
yzz.
Chuyển sang hệ tọa độ cầu ta có:
Miền
 giới hạn bởi: 1os,0 ,02
2
rc



    .
13
Vậy:
2os
2
3
00 0
sin
10
c
Iddr dr




.
Vậy:
2
23
000
4
() sin
3
R
VddrdrR



 

.

Ví dụ 2 Tính thể tích của khối giới hạn bởi các mặt parabolôit z

= x
2

+ y
2
,z=0 ,z=2 và nằm trong góc phần tám thứ nhất của không gian tọa độ
Oxyz .

2. Ứng dụng cơ học
a. Khối lượng của vật thể V:
m =

1
),,(
1
),,(
1


14
Nếu vật thể đồng chất thì  không đổi, ta có : 





V
G
V
G
V
G
zdxdydz
V
z
ydxdydz

1.


D
ydxdyxI ln với miền D là hình chữ nhật :
40


x
,41 

y
2.



D
dxdyyxI )sincos(
22
với miền D là hình vuông :
4
0

 x
,
4
0

 y
.




D
xdxdyyI ln
với miền D xác định bởi các đường : xy = 1, y = x , x = 2 .
6.



D
dxdyyxI )( với miền D xác định bởi các đường : y = 2 - x
2
, y = 2x - 1 .
7.



D
dxdyyxI )3( với miền D xác định bởi các bất đẳng thức
15
x
2
+y
2


9 , y 
3
2

22
với miền D xác định bởi các bất đẳng thức :
x
2
+y
2
 a
2
, x  0 ( a>0 ) .
12.



D
dxdyyxI )ln(
22
với miền D xác định bởi các đường : x
2
+y
2
= e
2
, x
2
+y
2
=
e
4
.


14.



D
dxdyyxI
22
4
với miền D xác định bởi đường : x
2
+y
2
-2x  0 .
15.
2
()
D
I
x y dxdy

với D là miền giới hạn bởi các đường:
2
0, , 2yyxxy


16.
2
()
D

4
x
y



5.2 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi (các) đường

16
1. Elip:
22
22
1
xy
ab

2.

22
1, 4, , 4
x
yxy yxy x  

5.3
Tính thể tích của khối giới hạn bởi các mặt y = 1+x
2
, z = 3x , y = 5 , z = 0 và nằm
trong góc phần tám thứ nhất .

5.4

= 4x . 5.7
Tính diện tích của phần mặt nón z=
22
yx 
nằm bên trong hình trụ x
2
+y
2
= 2x .

5.8
Tính diện tích của phần mặt cầu x
2
+y
2
+z
2
= 4

nằm bên trong hình trụ x
2
+y
2
= 2x .

5.9 Tính các tích phân bội ba sau


dxdydzyx )(
22
với V là vật thể giới hạn bởi các mặt
x
2
+ y
2
= 1, z = 0 , z = 1.
6. Tính

v
xyzdxdydz với V là vật thể giới hạn bởi các mặt
x
2
+ y
2
+z
2
=1, x 0 , y 0,z  0.
7. Tính

v
zdxdydz với V là vật thể giới hạn bởi các mặt x
2
+ y
2
+z
2
= 2,
z =

+ y
2
+z
2
= 1

5.13 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi : a
2

x
2
+ y
2
+z
2

4a
2
và z 0.

5.14 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt nón z =
22
yx  và mặt z=x
2
+y
2
.