SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG PHẦN MỀM
MATHCAD VÀ GEOGEBRA
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH
GIẢI TÍCH

1
SKKN : ỨNG DỤNG PHẦN MỀM
MATHCAD VÀ GEOGEBRA
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH GIẢI TÍCH PHẦN MỞ ĐẦU
I. Bối cảnh của đề tài :
Trong các năm học gần đây Bộ Giáo dục và Đào tạo đã phát động và khuyến
khích việc đổi mới phương pháp giảng dạy theo hướng phát huy tính tích cực của
học sinh, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy, do đó mỗi thầy cô
giáo cả nước đang cố gắng làm và phát huy việc ứng dụng công nghệ thông tin để hỗ
trợ cho việc dạy và học. Mỗi giáo viên cần ph
ảI có những biện pháp, phương tiện
thích hợp để cảI tiến việc dạy và học sao cho kết quả đạt được ngày càng nhiều hơn,
ít tốn thời gian hơn, và học sinh ham thích học tập hơn. Hoà vào xu thế đó , tôi cố
gắng ứng dụng công nghệ thông tin vào việc giải toán là nghiên cứu dùng các phần
mềm toán học Mathcad, GeoGebra để giải một số bài toán một cách tự động, tạo ra
các bài toán tương tự có th
ể dùng làm các đề trắc nghiệm khác nhau nhưng có chất

- Đề tài cũng quan tâm đến vấn đề tạo bài tập tương tự bằng các phép biến
hình. Việc này cũng rất cần thiết cho giáo viên tự tạo ra các bài toán có độ khó
tương đương nhằm tạo nguồn bài tập cho học sinh thực hành, tạo thư viện bài
toán cho học sinh ki
ểm tra trắc nghiệm với các bài toán tương đương . Việc này
giúp giáo viên hạn chế được sự sao chép bài làm kiểm tra lẫn nhau giữa các học
sinh , góp phần phản ánh đúng trình độ học sinh hơn
V. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu :
- Ứng dụng được phần mềm Mathcad, GeoGebra để giải quyết bài toán hình
học giải tích nói chung và lớp bài toán về đường phân giác, trung tuyến, đường cao
trong tam giác trong tam giác nói riêng đối với một số bài toán thi đại học, thi học
sinh giỏi máy tính cầm tay.
-Ứng dụng được phần mềm Mathcad , GeoGebra sáng tạo được các bài toán
mới, nhanh chóng, hiệu quả và cho kết quả chính xác.

PHẦN NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ :
I.1.Thực trạng của vấn đề : Xin nêu ra một số bài toán hình giải tích
có liên quan đến đường phân giác trong tam giác trong một số đề thi đại học :
Bài 1 :
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy,
cho biết đỉnh C(4;3), đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ một
đỉnh của tam giác có phương trình lần lượt là :
x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y – 10 = 0 .
(Trích đề thi đại học Huế 2001)
Bài 2 :
Trong mặt phẳng cho ba điểm A(-1;7), B(4; -3), C(- 4;1).
Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
( Trích đề thi đại học Ngoại Ngữ Hà Nội 2001)
Bài 3 :

và có tâm K thuộc đường tròn
()C
.
( Trích đề thi đại học khối B 2009)
Bài 5 :
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A,
có đỉnh C(− 4; 1), phân giác trong góc A có phương trình
x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam
giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
(Trích đề thi ĐH khối B _2010)

3
Thc t ging dy nu giỏo viờn khụng ụn tp cho hc sinh mt cỏch cú h
thng cỏc kin thc v phng trỡnh ng thng lp 10 thỡ cỏc em s khụng gii
c nhng bi toỏn dng trờn. Nhng bi toỏn ny phi vn dng linh hot cỏc kin
thc ó hc lp 10 m a s hc sinh lp 12 ó quờn hoc ch nh m h . Do ú
vic dnh thi gian nh
t nh ụn tp cho cỏc em l rt cn thit.

I.2.C s lý lun :

Hc sinh cn ụn tp li cỏc kin thc v phng trỡnh ng thng trong mt phng
v mt s kin thc sau :
a) Tớnh cht ca ng phõn giỏc trong tam giỏc : AD laứ phaõn giaực trong, AE laứ phaõn giaực ngoaứi goực A ca tam giỏc ABC thỡ


== =

ax by c ax by c
ab ab
++ ++
=
++

d) V trớ tng i ca hai im i vi mt ng thng :
Trong mp Oxy cho ng thng
:0dax byc
+
+=
v hai im
(;),(;)
M
MNN
Mx y Nx y
.
M v N nm khỏc phớa i vi d


().()0
MM NN
ax by c ax by c
+
+++<

M v N nm cựng phớa i vi d


().()0

AC

• Tìm phương trình đường phân giác góc tạo bởi hai đường thẳng :

Một số trường hợp :
• Xác định phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
12
,ΔΔ
:
Dùng công thức
111222
22 22
11 2 2
ax by c ax by c
ab ab
+
+++
=±
++

ta tìm được phương trình hai đường phân giác là d1 và d2.
• Xác định phân giác góc nhọn, phân giác góc tù của góc tạo bởi hai
đường thẳng
12
,ΔΔ
: có nhiều phương pháp , ở đây chỉ nêu một phương
pháp chẳng hạn : ta tìm phương trình hai đường phân giác là d1 và d2
sau đó tính số đo góc giữa
1
Δ

J
JJG
là véc tơ chỉ phương của đường phân
giác trong d1 ( nếu
.0AB AC >
JJJG JJJG
thì góc
n
B
AC là góc nhọn ), còn
CB
JJJG
là véc tơ
chỉ phương của đường phân giác d2.
Từ đó viết được phương trình của d1 và d2.
• Đối với bài toán phải xác định phương trình đường tròn nội tiếp
tam giác :
Cách 1
: có thể tìm phương trình phân giác trong AD, phương
trình phân giác trong BK của tam giác ABC , tâm đường tròn nội
tiếp là giao điểm của AD và BK. Bán kính đường tròn nội tiếp là
khoảng cách từ I đến BC.

Cách 2:
có thể tìm tọa độ điểm D, gọi I là tâm đường tròn nội
tiếp thì I là chân đường phân giác trong kẻ từ B của tam giác
ABD nên ta có

=−
J

Bây giờ ta dùng phần mềm Mathcad để giải bài toán. 7

Ta có thể dùng phép tịnh tiến và đối xứng để biến đổi số liệu của bài toán ban đầu thành
bài toán khác có độ khó ngang bằng với bài toán ban đầu. Cách làm này cho ta tạo ra nhiều
bài tập trắc nghiệm với kết quả tương tự giúp giáo viên tạo nhiều đề khác nhau có chất
lượng ngang nhau.Bài 2 :
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(0;5), B(-1; 4),
C(3; 2) . Tìm toạ độ điểm D và điểm E chân đường phân giác trong và ngoài góc A
của tam giác ABC. Tìm phương trình phân giác trong AD và phân giác ngoài AE. Có thể kiểm tra lại kết quả bằng GeoGebra bằng cách nhập toạ độ A, B, C . Dùng
công cụ vẽ đường phân giác ta có kết quả như sau :
Tương tự ta có các bài toán sau :

8
Bài 3 :

10
Vaán ñeà 2 : Tìm phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tù

Bài 1 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng 1, 2ΔΔ có
phương trình 3x +4y +5 = 0, 4x+3y + 3 = 0. Tìm phương trình các đường phân giác
của góc tạo bởi
1, 2ΔΔ
. Chỉ rõ phương trình phân giác góc nhọn.

Ta giải kết hợp với Mathcad như sau : Trên hình vẽ ta thấy d1 là phân giác góc tù, d2 là phân giác góc nhọn.

Thay đổi a1, b1, c1, a2, b2, c2 ta có kết quả do Mathcad giải ra như sau :
11
Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng 1, 2ΔΔ có
phương trình 2x - y +1 = 0, 2x - 4y + 3 = 0. Tìm phương trình các đường phân giác
của góc tạo bởi 1, 2ΔΔ. Chỉ rõ phương trình phân giác góc nhọn.
13
Bài 4 :

Xác định rõ phân giác góc nhọn, góc tù
Baøi 1 :
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng cắt nhau có phương
trình :

12
12
2
332
1: 1 4 2: 5
112
xt x t
dy t d y t
zzt
==+
⎧⎧
⎪⎪
=− − =− −
⎨⎨
⎪⎪
==+
⎩⎩

PT phân giác góc tù :
3
57
110
xn
yn
zn
=−
⎧
⎪
=− −
⎨
⎪
=−
⎩Baøi 2 :
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng cắt nhau có phương
trình :

12
12
2
23 52
1: 1 4 2: 5
222
xt xt
dy t d y t
zzt

xn
yn
zn
=−
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
=−
⎩

Vaán ñeà 3 : Tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
Phương pháp giải có 2 cách đã trình bày ở phần trên, bây giờ sẽ sử dụng cách 2 để giải .
Cách 2: tìm tọa độ điểm D là chân đường phân giác trong
AD của tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp thì I
là chân đường phân giác trong kẻ từ B của tam giác ABD nên
ta có

=−
JJG JJG
BD
DA
I
I
BA

từ đây suy ra tọa độ điểm I và bán kính r .

15

B(1;-12), C(5;-4) . Tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Kết quả :
22
(6)(7)5xy−++=Với phép đối xứng trục qua đường thẳng x + y - 4 = 0 . Ta có bài toán :
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(0;4),
B(10; 9), C(6; 1) . Tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Kết quả :
22
(5)(4)5xy−+−=

Ta xét bài toán tương tự là cho phương trình 3 cạnh của tam giác, hãy
tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác .
Bài 1:
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác có phương trình 3 cạnh
là
1: 3 4 6 0xyΔ+−=
,
2:4 3 1 0xyΔ+−=
,
3: 0y
Δ
=
. Tìm phương trình đường tròn nội
tiếp tam giác ABC.

17


Bài toán ngược :
Ở phần trên cho 3 đường thẳng tạo thành tam giác, yêu cầu tìm phương trình
đường tròn nội tiếp. Bây giờ ta xét ngược lại , cho đường tròn tiếp xúc với 2 đường
thẳng còn tâm của nó lại thuộc về một đường thẳng hoặc một đường tròn.
a) Tâm thuộc đường thẳng :
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho ba đường thẳng có phương trình
1: 2 1 0Δ++=xy , 2: 2 0Δ+=xy , 3: 2 1 0Δ−+=xy . Tìm phương trình đường tròn tiếp xúc
với
1Δ
,
2Δ
và có tâm thuộc
3Δ
.

Thử lại bằng GeoGebra

19

Kết quả hoà toàn chính xác.
Ta có bài tập tương tự

5
−+=xy
và hai
đường thẳng
1: 7 0Δ−=xy
,
2: 0Δ−=xy
.Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính đường
tròn
1
()C
; biết đường tròn
1
()C
tiếp xúc với các đường
1
Δ
,
2
Δ
và có tâm K thuộc đường
tròn ()C .
( Trích đề thi đại học khối B 2009 )
Ta lập kịch bản giải bài toán như sau :

20
Hệ vô nghiệm.


và hai đường thẳng 1: 2 3 0Δ+=xy , 2:3 2 0
Δ
+=xy .Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính
đường tròn
1
()C
; biết đường tròn
1
()C
tiếp xúc với các đường
1
Δ
,
2
Δ
và có tâm K thuộc
đường tròn ()C .

21
Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) :
22
16 4 48 0
+
−−+=xy xy
và hai đường thẳng 1: 2 3 0Δ+=xy , 2:3 2 0
Δ

22Phương trình đường thẳng BC là : 3x – 4y +16 = 0
Bài 2
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-2,1),phân giác
trong góc A có phương trình
50+−=xy
. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện
tích tam giác ABC bằng 9 và đỉnh A có hoành độ dương.
Phương trình đường thẳng BC là : x-2y+4 = 0
Bài 3
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-3; 1) ,phân giác
trong góc A có phương trình 20+−=xy . Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện
tích tam giác ABC bằng 21 là đỉnh A có hoành độ dương.
Phương trình đường thẳng BC là : 21x -8y +71 = 0
Bài 4
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy, cho biết đỉnh B(4;3),
đường phân giác trong AD và đường trung tuyến CM của tam giác có phương trình lần lượt
là : x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y – 10 = 0 .
( Đề thi đại học Huế 2001)
Ta lập chương trình giải như sau :

23

trên .
- Khi đã thông hiểu các em vận dụng ngày càng linh hoạt, sáng
tạo các kiến thức trên để giải quyết được nhiều bài toán về
đường thẳng, đường tròn trong các đề thi
đại học.
- Giữa 2 lớp 12A có ôn tập kỹ theo hệ thống trên và lớp 12H cho
học sinh tự ôn tập, hệ thống cách giải thì nhiều học sinh lớp 12H
không định hướng được cách giải quyết bài toán , hoặc có lời
giải quá dài dòng, phức tạp, mất nhiều thời gian.
PHẦN KẾT LUẬN
I. Những bài học kinh nghiệm :

- Sử dụng phần mềm MATHCAD hỗ trợ nghiên cứu giải và sáng
tạo bài toán mới rất nhanh chóng và chính xác. Tính chính xác và hiệu
quả cao hơn gấp nhiều lần khi sử dụng phần mềm Mathcad hỗ trợ để
tính toán và tạo lập bài toán tương tự. Với MATHCAD giáo viên sau khi
đã lập trình giải bài toán trên Mathcad xong thì kết quả có ngay lập tức.
Chỉ cần thay đổi số liệu ban đầ
u là giáo viên có ngay bài toán tương tự
với kết quả tức thì và rất chính xác vì vậy tạo được niều bài tập cho học
sinh thực tập.
II. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm :
Sáng kiến kinh nghiệm góp thêm một phần thiết thực vào việc ôn
thi đại học của học sinh. Nó giúp học sinh thấy được cách giải quyết vấn
đề nhanh chóng và hiệu quả khi đã nắm vững phương pháp.
III. Khả năng ứng dụ
ng, triển khai :