D. PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG
A. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng đồ thị và bằng phép
Tính
a.
2
2
y x
y x



  

b.
2
2 1
y x
y x



 

c.
2
2
y x
y x




2. (P)
2
y x

và (d)
2
y mx
 
(m ≠ 0) gọi A, B là giao điểm của (P)
2
y x

và (d). Tính
m? sao cho:
A 2( ) 1
y yB xA xB
   

3. (P)
2
y x

và (d)
2
3
y x m
 

a. CM: (d) và (P)
2

tại 2 điểm phân biệt A và B và
ΔAOB vuông.
5. (P)
2
2
y x
 và (d) 3
y x m
 
. Tính tổng bình phương hoành độ giao điểm (d) và (P)
2
2
y x
 theo m?
6. (P)
2
2
y x
 và (d) 2
y x m
 

a. Cho m >
1
2

thì CM: (d) cắt (P)
2
2
y x

OA.
8. Trong mặt phẳng
xoy
cho (P)
2
y x
 
và ĐT (d
1
)
2 8
y x
 
, (d
2
)
6
y x
 
. Chứng tỏ:
(d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm thuộc (P)
2
y x
 
e. (d) và (P)
2
y x

cắt nhau tại 2 điểm phân biệt nằm 2 bên trục tung?
- Gọi A là điểm bên trái, B là giao điểm bên phải. A
1
, B
1
là hình chiếu của A, B
lên trục hoành. So sánh:
1
OA
và
1
OB

2. (P)
2
y ax
 (a > 0), (d)
2
2
y x a
 
(0 < a < 1)
a. Tính a? để (P)
2
y ax
 và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B

. Tìm trên đồ thị những điểm có tung độ gấp đôi hoành độ
3. (P)
2
2
y x

a. Tìm trên (P)
2
2
y x
 các điểm cách đều 2 trục tọa độ.
Tìm trên (P)
2
2
y x
 các điểm có khoảng cách đến gốc tọa độ bằng
√
5

4. Cho HPT:
(1)
x 1(2)
x y m
m y
 


 

. Tính m? để 2 ĐT có PT (1) và (2) cắt nhau tại 1 điểm

   

2.
2
( 3) 1 6
y mx m x m
     . CM: Đồ thị luôn qua 2 điểm cố định với mọi m.
3. (P)
2
1
2
y x

. CM: ĐT
2 2
y mx n
  
luôn qua điểm cố định thuộc (P)
4. (P)
2
1
4
y x
 
và (d)
2 1
y mx m
  
. Chứng tỏ (d) luôn qua một điểm cố định thuộc (P)


và
2
2 0
mx x
  
. Tính m để PT có 1 nghiệm chung.

G. Áp dụng định lý viét

A. Tính nhẩm nghiệm PT bậc 2:
a.
2
7 9 2 0
x x
  

b.
2
23 9 32 0
x x
  

c.
2
6 8 0
x x
  

d.
2

    

h.
2
( 1) (2 1) ( 2) 0
m x x x m
     

i.
2
5 10 2 0
x x
   
(*)
j.
2
13 16 0
x x
  
(Không giải). Tính các giá trị của biểu thức sau:
A =
2 2
1 2
x x


B =
1 2
1 1
x x


B. Tính 2 số u, v trong mỗi trường hợp sau:
a. u + v = 14; u.v = 40
b. u + v = -7; u.v = 12
c. u + v = -5; u.v = -24
d. u + v = 4; u.v = 19
e. u – v = 10; u.v = 24
f. u
2
+ v
2
= 85; u.v = 18
g. u + v = 5;


+


=



h. u + v = -8; u
2
+ v
2
= 104
i. u – v = 10; u
2
+ v

√
5 e) x
1
= x
2
=
√
5 f) y
1
=
√
3 ; y
2
= 2
√
5
g) x
1
= 5 + 2
√
6; x
2
=
1
5 2 6

h) x
1
=




b.
1 2
1 2
2 5
3 3
x x
x x
 


 


Dạng 3: Cho PT bậc 2 (Thường có tham số), lập PT bậc 2 khác, có 2 nghiệm liên quan đến
2 nghiệm PT đã cho.
Cho PT:
2
3 0
x mx
  
có 2 nghiệm là x
1
và x
2
, lập PT bậc hai khác là 2 số được cho
trong mỗi trường hợp sau :
a.
1 2


(
1
)
ổ
(

)
(2)
íℎ
(

)
(3)

- So ĐK
Dạng 1: Chọn 2 PT không chứa tham số giải hệ PT.
1. Tính m? để: x
1
– x
2
= 4
2.
2
5 0
x x m
  
Tính m? để: 6x
1
+ x

16 24 0
x x m
  
Tính m để:
2 2
1 2
5
4
x x
 

3.
2
3 4 5 0
x x m
   
Tính m để:
1 2
1 1 4
7
x x
  

4.
2
4 1 0
x x m
   
Tính m để:
1 2

    

2 2
1 2
10
x x
 
. Tính m?

2.
2
7 0
x mx m
   

2 2
1 2
10
x x
 
. Tính m?

3.
2
6 4 0
mx x
  

1 2
1



2
1 2 2 3 0
m x m x m
     
Tính m? để




1 2
4 1 4 1 18
x x
  

2. Giải PT 3 ẩn:
a.


2
1 5 6 0
x m x m
    
Tính m để 4x
1
+ 3x
2
= 1
b.

+ x
2
3
= 9
2.


2
2 1 3 0
x m x m
    
Tính m để
3 3
1 2 1 2
x x x x
  

3.
2
0
x x m
  
Tính m để
3 3 2 2
1 2 1 2 2 1
. .
x x x x x x
  

Dạng 6: 1.

Tính m để x
1
= x
2
2

2.


2 3
2 8 8 0
x m x m
   
Tính m để x
1
= x
2
2

3.


2
2
2 3 0
x mx m
   
Tính m để x
1
= x

2
2 1 2 4 0
x m x m
    

a. Chứng tỏ PT luôn có 2 nghiệm phân biệt?
b. Tính m để tích 2 nghiệm bằng 5. Tính tổng 2 nghiệm?
3.


2 3
2 1 3 0
x m x m m
    

a. Tính m để PT có nghiệm?
b. Cho x
1
.x
1
= 4. Tính x
1
+ x
2
?
4.


2
1 2 1 0

2
< 2
2.


2
2 3 2 5 0
x m x m
    
Tính m để x
1
< 2 < x
2

3.


2
3 4 0
x m x m
    
Tính m để x
1
< 2 < x
2

Dạng 2: Lập tổng tích:
1.



2 2
2 5 5 4 0
x m x m m
     
. Tính m để 2 nghiệm đều lớn hơn 4
Dạng 4:


2 2
2 3 3 0
x m x m m
    
. Tính m để 1 < x
1
< x
2
< 6

H. Viết phương trình đường thẳng:

A. Viết cả phương trình đường thẳng.
1. Có hệ số góc là m ≠ 0 và qua A (-2l -4)
2. Có hệ số góc là m ≠ 0 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 3 (tung độ
là -2)
3. Qua A (-2 ; -1) và song song với y = -2x – 1 (// x – y = 3)
4. Qua A (-1 ; 2) // phân giác góc I
5. // y = x – 2 và đồng quy với 2 ĐT y = 2x + 1, x – y = 2
6. Có tung độ góc là 2 và qua giao điểm 2 ĐT y = x + 2 và y = 2x – 5
7. Có tung độ góc là -1 và vuông góc với y = 2x + 2
8. Qua A (-2 ; 4) và cắt ĐT y = -2x + 4 tại điểm nằm trên trục hoành (tung)

y a x
    
(d
1
) và


2 6 3
y a x a
   
(d
2
). Tính hệ số góc của (d
1
)
và (d
2
) để d
1
// d
2

- Tính m để ĐT
2 4
y x m
  
cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2
3. (d
1
)

(tù 135
0
)
d. (d) cắt ĐT
2 3
y x
 
tại điểm có hoành độ là 2 (tung độ là 4)
5.


1 4 4
y m x m
   
. Tính m để ĐT cắt trục hoành tại điểm x
o
< 0
6.


3 1
y m x m
   
(d
1
);


2
y m x m

(d
2
). Tính m? n? để:
a. (d
1
) cắt (d
2
) tại (2 ; 1)
b. (d
1
) // (d
2
)
c. (d
1
) trùng (d
2
)
d. (d
1
) cắt (d
2
)
3. Tìm m? n? để ĐT
8
mx y n
 
qua M (9 ; -6) và đồng quy vớ
i 2 ĐT
5y + 2x = 17; 4x – 10y = 14

1. Cho (P)
2
y x

và (d)
y x m
  
. Tính m để :
a. (d) cắt (P)
2
y x

tại 2 điểm phân biệt.
b. (d) tiếp xúc với (P)
2
y x

. Tính tọa độ tiếp điểm.
c. (d) và (P)
2
y x

không có điểm chung.
2. Viêt PTĐT (d) biết :
a. (d) // y = 2x + 1, tiếp xúc với (P)
2
y x


b. (d) ┴ y = x + 1, tiếp xúc với (P)


3. Cho (P)
2
1
4
y x
 , M thuộc (P) có x
M
= 4. Viết PTĐT (d) // với OM và tiếp xúc
với (P)
4. Cho (P)
2
2
y x
 , A, B thuộc (P)
2
2
y x
 ; x
A
= 1, x
B
= -2.
- Viết PTĐT AB
- Cho (d) y = mx + n biết (d) // AB và tiếp xúc với (P). Tính m, n?
5. (P)
2
y x

và (d) y = -x + 1. Viết PTĐT Δ // (d) và cắt (P) tại điểm có tung độ

a. Viết PTĐT (d) qua A có hệ số góc là -4
b. CM: A là tiếp điểm của (d) và (P)
10. (P)
2
y ax
 (a ≠ 0). Tính a ? để (P) tiếp xúc với ĐT (d) y = x – 1. Tính tọa
độ tiếp điểm?
11. (P)
2
y ax
 . Tính a để (P) cắt (d) y = -2x + 3 tại điểm có hoành độ là 1

I. PT Bậc 2 liên quan đến dấu của nghiệm :

A. Hai nghiệm cùng dấu :
Dạng 1 : Hai nghiệm cùng dấu : 
Δ≥0
> 0

1. Cho PT :


2
2 1 2 5 0
x m x m
    

a. Chứng tỏ PT luôn có nghiệm ?
b. Tính m để PT có 2 nghiệm cùng dấu ? Khi đó 2 nghiệm mang dấu gì ?
-

   

2.


2
3 4 2 1 0
x x m
   
.
a. Tính m để PT có 2 nghiệm ?
b. 2 nghiệm có cùng âm được không ?
c. Tính m để PT có 2 nghiệm cùng dương ?
3.


2 2
2 1 4 5 0
x m x m m
     
. Tính m để PT có 2 nghiệm phân biệt đều dương.
Dạng 3 : 2 nghiệm cùng dấu âm : 
Δ≥0;Δ> 0
> 0
< 0
dạng a – b +c = 0
1. (*)


2



2
2 2 0
mx m x m
   
. Tính m để PT có 2 nghiệm phân biệt đều âm ?
6.
2
5x 2 0
x m
   
. Tính m để PT có 2 nghiệm phân biệt ? Chứng tỏ PT không
thể có 2 nghiệm cùng âm ?
Dạng 4 : 2 nghiệm nghịch đảo : 
Δ≥0;Δ> 0
P = 0

1.


2
5 2 6 5 0
x m x m
    
. Tính m để PT có 2 nghiệm nghịch đảo nhau ?
2.


2 2



2 2
2 1 3 0
x m x m m
    
. Tính m để PT có 2 nghiệm trái dấu ?
4.


2 2
3 1 4 3 0
x m x m m
     
. Tính m để PT có 2 nghiệm trái dấu.
- (Tương tự) :


2 2
2 1 4 16 0
x m x m
    

5.


2 2
2 1 3 0
x m x m
    

2.


2
2 2 2 0
x m x m
    
.
a. Chứng tỏ PT luôn có nghiệm với mọi m ?
b. Tính m để PT có 2 nghiệm trái dấu và giá trị tuyệt đối nghiệm âm nhỏ hơn
giá trị tuyệt đối nghiệm dương.
3.
2 2
3 2 5 0
x x m
   
.
a. Chứng tỏ PT có 2 nghiệm trái dấu với mọi m ?
b. Nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?
Dạng 4 : 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối (2 nghiệm đối nhau) : 
< 0
=0

1.


2
2 3 1 8 1 0
x m x m
    




2
1 2 1 0
x m x m
    
. Tính m để x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất, Tính giá trị
nhỏ nhất đó.
2.
2
2 0
x ax a
   
. Tính a để x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất, Tính giá trị nhỏ nhất
đó.
3.
2

1
A x x
  

2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a.
2
4 3
A x x
  

b.
2
B x x
 

c.
2
2 2 5
C x x
  K. Giải phương trình

1.


2
2 2 1 2 2 0

  

6.
2
1
0
4
x x
  

7.
2
2 3 1 0
x x
  

8.








1 2 3 4 24
x x x x
    

9.


PT bậc 2 (*) vô nghiệm (Δ, Δ’ <0)
2. PT bậc 2 (*) có 2 nghiệm âm (Δ
≥
0, P > 0, S < 0)
3. PT bậc 2 (*) có nghiệm kép âm (Δ = 0, P > 0, S < 0)
2. Để PT trùng phương có 2 nghiệm phân biệt: Có 2 trường hợp:
1.

PT bậc 2 (*) có 1 nghiệm dương (a, c trái dấu; P < 0)
2. PT bậc 2 (*) có nghiệm kép dương (Δ = 0, P > 0, S > 0)
VD: Tính m để
4 2
6 1 0
x x m
   

3. Để PT trùng phương có 4 nghiệm: PT bậc 2 (*) có 2 nghiệm phân biệt đều dương.

Δ> 0
> 0
> 0- Tính m để
4 2
6 1 0
x x m
   
có 4 nghiệm.

Dạng 1: Biêt 2 nghiệm: Lập tổng – tích: Tính m? n?
1.


2
3 3
x m x n
   
có 2 nghiệm là x
1
= 1; x
2
= -1
2.


2
. 1 0
mx m n x n
   
(m ≠ 0) Có nghiệm kép = ½
3.
2
0
x mx n
  
(m, n ≠ 0) nhận m, n làm nghiệm.
4.




2.
2
0
x mx n
  
có 2 nghiệm thỏa hệ thức:
1 2
2 2
1 2
1
7
x x
x x
 



 



1 2
3 3
1 2
5
35
x x
x x
 

1
2
3
2 3
3 2
2
y x
y x
y Kx
 


 


 

b.
 
2 3
3 2 3
2 1 7
x y
x y
a x y a

 

 


2. A (-2 ; 1) ; B (2 ; 5) ; C (-1 ; 2). CM: với mọi giá trị của m thì ĐT
2
mx y m
   

đồng quy AB, OC.

K. Hàm số bậc nhất
Dạng 1 : Xác định a, b của hàm số bậc I, xét biến thiên của hàm số :
1.




3 2 1
y x
  

2.


2 1
y x x
  

3.
3 2 1
x y
 


y x
m
 


Dạng 3 : Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biên :
a.


1 2
y m x
  

b.
3 3
y mx x
   

c.


2
2 1 3
y m m x
   

d.


2


H. Hàm số bậc 2

1. Tính m để hàm số là hàm số bậc 2 :
a.


2
3
y m x
 
b.
2 2
2
y x mx
 
2. Tính m để hàm số đồng biến, nghịch biên :


2
2 1
y m x
 
nếu x > 0
3. Xét biến thiên của hàm số sau :
2
2
y x
  ;
2

2
α .tg
2
α
2. (Sin α + cos α)
2
+ (sin α – cos α)
2

3. Sin
4
α + cos
4
α + 2sin
2
α .cos
2
α
4. Cos
4
α + sin
2
α . cos
2
α + sin
2
α
5. Sin
6
α + cos

2
α – 1)
12. Sin
2
α (1 + cotg
2
α)
13. Cos
4
α – sin
4
α +2 sin
2
α
14. 2(sin
6
α + cos
6
α) – 3(sin
4
α +cos
4
α)
15. (tg α +cotg α)
2
– (tg α – cotg α)
2

16. Sin
6


20.




2 2
1 cos 1 cos
1 sin cos
 
 
 
 

21. (Sin
4
α + cos
4
α – 1)(tg
2
α + cotg
2
α + 2)
22.
2 2 2 2
2 2
cos sin
sin cos
tg cotg
   


.
Tính
cos α, sin α, tg α ?
Dạng 3: So sánh:
1. Sin 25
0
và sin 50
0

2. tg 38
0
và sin 38
0

3. cotg 73
0
và sin 17
0

4. tg 34
0
vaf cos 50
0

5. cos 71
0
và cos 50
0


sin32
. cotg58
0
+ sin
2
56
0
-
0
0
cos25
cos65
.tg 25
0