Dạng 1: Cho hàm số
( , )y f x m=
có tập xác định D. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn
điệu trên D
Cách giải
• Hàm số đồng biến trên D
'
0,y x D⇔ ≥ ∀ ∈
• Hàm số nghịch biến trên D
'
0,y x D⇔ ≤ ∀ ∈
Chú ý:
Nếu
' 2
y ax bx c= + +
thì:
'
0
0,
0
a
y
>

≥ ∀∈ ⇔

∆ ≤

¡
và
'

( ), ( ; ) min ( )
a b
m f x x a b m f x≤ ∀ ∈ ⇔ ≤
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
3 2
( , )y f x m ax bx cx d= = + + +
đơn điệu trên
một khoảng có độ dài bằng k cho trước.
Cách giải
• Ta có:
' 2
3 2y ax bx c= + +
• Hàm số đồng biến trên khoảng
1 2
( ; )x x ⇔
PT:
'
0y =
có hai nghiệm phân biệt
1
x
và
2
x

0
0
a ≠

⇔

3 2 0y ax bx c= + + =
có hai
nghiệm phân biệt
• Đối với hàm số:
2
ax bx c
y
mx n
+ +
=
+
. Khi đó, ta có:
2
'
2 2
2 ( ) ( )
( ) ( )
amx anx bn cm g x
y
mx n mx n
+ + −
= =
+ +
Hàm số có cực trị
⇔
Hàm số có CĐ và CT

⇔
PT:
( ) 0g x =

y x

=

⇔

<


• Hàm số
( , )y f x m=
đạt cực tiểu tại điểm
'
0
0
''
0
( ) 0
( ) 0
y x
x
y x

=

⇔

>



Cách giải
• Tìm điều kiện của m để hàm số có cực trị (*)
• Vận dụng định lý Viet, ta có hệ thức liên hệ giữa
1
x
và
2
x
• Biến đổi hệ thức (I) đã cho và vận dụng định lý Viet để tìm được m
• Kết hợp với điều kiện (*) đưa ra kết quả
Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số
( )y f x=
Cách giải
• Đối với hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
:
 Thực hiện phép chia đa thức
y
cho
'
y
và viết hàm số dưới dạng:
'
( ).y u x y Mx N= + +
 Gọi
1 1 2 2
( ; ), ( ; )A x y B x y
là hai điểm cực trị. Khi đó:
1 1


=


≠


thì
'
0
0
'
0
( )
( )
( )
u x
y x
v x
=
Thật vậy, ta có:
' '
'
2
( ). ( ) ( ). ( )
( )
u x v x u x v x
y
v x
−

2
2
2ax b
y
m
+
=
 Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng:
2a b
y x
m m
= +
Trang 2
Dạng 8: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số
( , )y f x m=
có các điểm cực trị nằm về
hai phía đối với trục tung
Cách giải
• Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị
1
x
và
2
x
(1)
• Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa
1
x
và
2

2
y
(tính giống như ở Dạng 7)
• Các điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục
1 2
0Oy y y⇔ <
(sử dụng hệ thức (2))
• Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Dạng 10: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số
( , )y f x m=
có các điểm cực trị nằm về
hai phía đối với đường thẳng
: 0d Ax By C+ + =
cho trước
Cách giải
• Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị
1
x
và
2
x
(1)
• Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa
1
x
và
2
x
(2)
• Tính các giá trị

và
2
x
(1)
• Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa
1
x
và
2
x
(2)
• Tính các giá trị
1
y
và
2
y
(tính giống như ở Dạng 7)
⇒
Tọa độ các điểm cực trị:
1 1
( ; )A x y
,
2 2
( ; )B x y
• A và B đối xứng với nhau qua
AB d
d
I d
⊥

1
x
và
2
x
(2)
• Tính các giá trị
1
y
và
2
y
(tính giống như ở Dạng 7)
⇒
Tọa độ các điểm cực trị:
1 1
( ; )A x y
,
2 2
( ; )B x y
• A và B cách đều đường thẳng
/ /AB d
I d

⇔

∈


⇒

y
(tính giống như ở Dạng 7)
⇒
Tọa độ các điểm cực trị:
1 1
( ; )A x y
,
2 2
( ; )B x y
• Từ hệ thức liên hệ giữa các điểm A, B ta tìm được giá trị của m
Dạng 14: Tìm điểm M thuộc đường thẳng
: 0d Ax By C+ + =
sao cho tổng khoảng cách từ điểm
M đến hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
( )y f x=
là nhỏ nhất
Cách giải
• Tìm các điểm cực trị
1 1
( ; )A x y
và
2 2
( ; )B x y
của ĐTHS
( )y f x=
• Viết phương trình đường thẳng AB
• Kiểm tra xem A va B nằm về cùng một phía hay nằm về hai phía đối với đường thẳng
d
+ Nếu:
1 1 2 2

A, B nằm về hai phía
A, B nằm về cùng một phía
Dạng 15: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số
( , )y f x m=
có các điểm CĐ, CT và
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng
: 0d Ax By C+ + =
một góc bằng
α
Cách giải
• Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị (1)
• Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua hai điểm cực trị
• Khi đó:
. 1
α tan
1
d
d
d
d
d k k
d k k
k k
k k
α
∆
∆
∆

• Khi đó:
ABC∆
vuông cân
. 0OA OB⇔ = ⇒
uur uuur
giá trị của m
• Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Chú ý: ĐTHS trùng phương có trục đối xứng là trục Oy và ĐTHS có các điểm CĐ, CT
⇔
ĐTHS
có ba điểm cực trị (trong đó có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua trục Oy)
Dạng 17: Tìm giá trị của m để tiệm cận xiên của ĐTHS
2
ax bx c
y
mx n
+ +
=
+
chắn trên hai trục tọa độ
một tam giác có diện tích bằng k.
Cách giải
• Tìm đường tiệm cận xiên của ĐTHS
• Tìm tọa độ giao điểm
( ;0)
A
A x
và
(0; )
B

cx d
= +
+

Trang 5
B
A
x
y
O
• Gọi
; ( )
q
M m p C
cm d
 
+ ∈
 ÷
+
 
. Tính khoảng cách từ điểm M đến các đường tiệm cận
• Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm
⇒
kết quả
Chú ý:
- Khoảng cách từ
0 0
( ; )M x y
đến đường thẳng
: 0Ax By C∆ + + =

( ; )M x y
Cách giải
• Xác định
0
x
và
0
y
• Tính
'
y
. Từ đó suy ra:
'
0
( )y x
• Phương trình tiếp tuyến cần tìm:
'
0 0 0
( )( )y y x x x y= − +
Dạng 20: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( ) : ( )C y f x=
biết tiếp tuyến đó có hệ số góc
bằng k
Cách giải
• Xác định k
• Tính
'
( )f x
và GPT
'

•
∆
là tiếp tuyến của (C)
⇔
HPT:
'
( ) ( ) (1)
( ) (2)
A A
f x k x x y
k f x
= − +


=

có nghiệm
• Thay k từ (2) vào (1) ta được:
'
( ) ( )( ) (3)
A A
f x f x x x y= − +
• Giải phương trình (3) ta được
x k⇒
(thay vào (2))
⇒
PT tiếp tuyến cần tìm (thay vào (*))
Dạng 22: Tìm các điểm M sao cho từ điểm M có thể kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị
( ) : ( )C y f x=
Cách giải

• Khi đó, từ M kẻ được n tiếp tuyến đến (C)
⇔
PT (3) có n nghiệm phân biệt
⇒
kết quả
Dạng 23: Tìm các điểm M sao cho từ điểm M có thể kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị
( ) : ( )C y f x=
và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Cách giải
• Giả sử:
0 0
( ; )M x y
. Phương trình đường thẳng
∆
qua M và có hệ số góc k có dạng:
0 0
( )y k x x y= − +
•
∆
là tiếp tuyến của (C)
⇔
HPT:
0 0
'
( ) ( ) (1)
( ) (2)
f x k x x y
k f x
= − +


<

coù 2 nghieäm phaân bieät
Dạng 24: Tìm các giá trị của m để đồ thị
1
( ) : ( , )C y f x m=
cắt đồ thị
2
( ) : ( )C y g x=
tại n điểm
phân biệt
Cách giải
•
1
( )C
cắt
2
( )C
tại n điểm phân biệt
⇔
PT:
( , ) ( )f x m g x=
có n nghiệm phân biệt
• Tìm m bằng một số cách: dựa vào điều kiện có nghiệm của PT bậc hai, dựa vào bảng biến
thiên, dựa vào đồ thị …
⇒
kết quả
Dạng 25: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
( , ) 0F x m =
Cách giải

•
d
cắt
( )C
tại hai điểm phân biệt
⇔
PT:
ax b
px q
cx d
+
= +
+
có hai nghiệm phân biệt
⇔
PT:
2
0Ax Bx C+ + =
(1) có 2 nghiệm p.biệt khác
d
c
−
⇒
điều kiện của m (*)
Trang 7
• Khi đó,
d
cắt
( )C
tại hai điểm phân biệt

ta thay
1
x
và
2
x
vào phương trình của đường thẳng
d
-
OMN
∆
vuông
1 2 1 2
. 0 0OM ON x x y y⇔ = ⇔ + =
uuur uuur
- Đối với đồ thị của hàm số
2
( ) :
ax bx c
C y
mx n
+ +
=
+
cách làm hoàn toàn tương tự
Dạng 27: Tìm giá trị của m để đường thẳng
:d y px q= +
cắt đồ thị
( ) :
ax b

−
và nằm về cùng một phía với TCĐ
⇒
kết quả của m (vận dụng điều kiện để hai điểm nằm cùng một phía đối với đường thẳng)
Dạng 28: Tìm giá trị của m để đường thẳng đồ thị
3 2
( ) :C y ax bx cx d= + + +
cắt trục Ox tại 3
điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Cách giải
• Điều kiện cần:
 Hoành độ các giao điểm
1 2 3
, ,x x x
là nghiệm của PT:
3 2
0ax bx cx d+ + + =
(1)
 Theo định lý Viet, ta có:
1 2 3
b
x x x
a
+ + = −
(2)
 Do
1 2 3
, ,x x x
lập thành một cấp số cộng, nên:
1 3 2

a
= −
(2)
Trang 8
 Do
1 2 3
, ,x x x
lập thành một cấp số nhân, nên:
2
1 3 2
x x x=
. Thay vào (2):
3
2
d
x
a
= −
 Thay vào (1), ta được giá trị của m
• Điều kiện đủ: Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem PT đã cho có 3 nghiệm hay
không
• Kết luận: Đưa ra giá trị của m
Dạng 30: Cho họ đường cong
( ): ( , )
m
C y f x m=
, với m là tham số. Tìm điểm cố định mà họ
đường cong trên đi qua với mọi giá trị của m.
Cách giải
• Gọi

luôn đi qua
Dạng 31: Cho họ đường cong
( ): ( , )
m
C y f x m=
, với m là tham số. Tìm các điểm mà họ đường
cong trên không đi qua với mọi giá trị của m.
Cách giải
• Gọi
0 0
( ; )A x y
là điểm mà họ
( )
m
C
không đi qua
m
∀
.
• Khi đó phương trình ẩn m:
0 0
( , )y f x m=
vô nghiệm
⇒
điều kiện của
0
x
và
0
y

Cách giải
• Vẽ đồ thị của hàm số
( ) : ( )C y f x=
• Ta có:
( )
( )
( )
f x
y f x
f x

= =

−

• Do đó, đồ thị của hàm số
( )y f x=
là hợp của hai phần:
 Phần 1: là phần của đồ thị (C) bên trên trục Ox
 Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị (C) ở bên dưới trục Ox qua trục Ox
Trang 9
nếu
nếu
nếu
nếu
Dạng 34: Cho đồ thị
( ) : ( )C y f x=
. Vẽ đồ thị của hàm số
( )y f x=
Cách giải

. Vẽ đồ thị của hàm số
( ) ( ) . ( )y f x u x v x= =
Cách giải
• Vẽ đồ thị của hàm số
( ) : ( )C y f x=
Ta có:
( ). ( )
( ). ( )
u x v x
y
u x v x

=

−

• Do đó, đồ thị của hàm số
( ) ( ) . ( )y f x u x v x= =
là hợp của hai phần:
 Phần 1: là phần của đồ (C) trên miền
( ) 0u x ≥
 Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị (C) trên miền
( ) 0u x <
qua trục Ox
Trang 10
nếu
nếu