Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý
http://book.key.to 2
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
C©u 1 Cho hàm số
1
1
x
y
x
(1) ,có đồ thò là (C)
1. Khảo sát hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C),biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1).
3.
0 0
( , )M x y
la ømột điểm bất kỳ thuộc (C) .Tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm
cận đứng và đường tiệm cận ngang của(C) theo thứ tự tại A và B .Gọi I là giao điểm của
hai đường tiệm cận của (C) .Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không phụ thuộc
vào vò trí của điểm M.
C
©u 2: (2 điểm) Cho hàm số:
2
1
x
y
( )C
không phụ thuộc vào m
C©u 4: (2 điểm) Cho hàm số:
2
2 2
1
x mx
y
x
với m là tham số.
1) Xác đònh m để tam giác tạo bởi 2 trục toạ độ và đường tiệm cận xiên của hàm số
trên có diện tích bằng 4.
2) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số trên khi m= -3.
C
©u 5: (2 điểm) Cho hàm số:
4 2 2
( 10) 9y x m x
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số ứng với m=0
2.Chứng minh rằng với mọi
0m
,đồ thò của hàm số luôn cắt trục hoành tại 4 điểm phân
biệt .Chứng minh rằng trong số các giao điểm đó có hai điểm nằm trong khoảng (-3,3)
và có hai điểm nằm ngoài khoảng (-3,3)
C
©u 6: (2 điểm) Cho hàm số
3 2
http://book.key.to 3
C©u 8: (2 điểm) Cho hàm số
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x
(1)
a) Khảo sát hàm số (1) khi m=1
b) Chứng minh rằng,
m
hàm số(1) luôn đạt cực trò tại
1
x
,
2
x
với
1 2
x x
không phụ thuộc
m
C
©u 9: (2 điểm)
a) Khảo sát hàm số:
2
5 4y x x
b) Cho 2 parabol:
2
5 6y x x
và
( )
m
C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò(C
1
) của hàm số khi m=1
C©u
13: (2 điểm) Cho hàm số
3 2
7 3y x mx x
(1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số (1) với m= 5
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu. Lập phương trình đường thẳng qua
điểm cực đại và cực tiểu đó.
C©u 14: (2 điểm) Cho hàm số
4 2
2y x x
1a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số
1b. Dựa vào đồ thò (C) ,hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình :
4 2
2 0x x m
C©u 15: (2 điểm)
a. Khảo sát hàm số (C) có phương trình:
2
4 8
2
. Xác đònh tập
hợp những điểm mà không có đồ thò nào trong họ (C
m
) đi qua.
C©u 16:
1. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò(C) hàm số: y = -(x + 1)
2
(x+4).
2. Dùng đồ thò (C) để biện luận theo số nghiệm của phương trình : (x + 1)
2
(x+4) =
(m+1)
2
(m+4)
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý
http://book.key.to 4
C©u 17: ( 3 điểm) Cho hàmsố
2
( 1)( )y x x mx m
(1), với m là tham số thực
1.Khảo sát hàm số (1) ứng với m= -2
2.Tìm các giá trò của m để đồ thò của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành .Xác đònh tọa
độ của tiếp điểm tương ứng trong mỗi trường hợp của m.
C©u 18: ( 3 điểm) Cho hàm số
1
1
x
y
x
2
( ) (4 4)
9
CD CT
y y m
C©u 20: ( 2 điểm)
1. Khảo sát hàm số
1
1
y x
x
.Gọi (C) là đồ thò của hàm số.
2. Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) kẻ từ điểm A=(0;3)
CÂU 21: ( 4 điểm) Cho hàm số
3 2
( ) 2 2y f x x x x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò(C) của hàm số trên.
b. Biện luận theo k số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng (D
1
) : y=kx+2
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò (C) ,trục hoành và đường thẳng(D
2
) : y =
- x +1
CÂU 22:( 2 điểm)
Cho hàm số
1. Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số khi m= 0
2. Tìm các giá trò của m sao cho đồ thò
( )
m
C
chỉ có hai điểm chung với trục Ox
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý
http://book.key.to 5
3. Chứng minh rằng với mọi giá trò của m tam giác có 3 đỉnh là ba điểm cực trò của
đồ thò
( )
m
C
là một tam giác vuông cân
CAU 25
1. Khảo sát hàm số :
4 2
5 4y x x
2. Hãy tìm tất cả các giá trò a sao cho đồ thò hàm số
4 2
5 4y x x
tiếp xúc với đồ
thò hàm số
2
y x a
Khi đó hãy tìm tọa độ của tất cả các tiếp điểm
CÂU 26: Cho hàm số
3 2 2
CÂU 28: Cho hàm số :
3
1
3
y x x m
(1) , m là tham số
1. Khảo sát hàm số (1) khi
2
3
m
2. Tìm các giá trò của tham số m để đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân
biệt.
CÂU 29:
Cho hàm số :
2
2
x x
y
x
(C)
1. Khảo sát hàm số (C)
2. Đường thẳng
( )
đi qua điểm B(0,b) và song song với tiếp tuyến của (C) tại
điểm O(0,0) .Xác đònh b để đường thẳng
( )
3
2
6 9 3 0x x x m
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý
http://book.key.to 6
Câu 32 :( 2,5 điểm) 1. Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
a. Khảo sát hàm số đã cho.
b. Xác đònh điểm
1 1
( ; )A x y
( với
1
1x
) thuộc đồ thò của hàm số trên sao cho khoảng
cách từ A đến giao điểm của 2 tiệm cận của đồ thò là nhỏ nhất.
2. Tìm tập giá trò của hàm số
2
3
Tìm các giá trò của m để tiệm cận xiên của đồ thò của hàm số đã cho cắt trục toạ
độ tại hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 18.
Câu 35 :
Cho hàm số
3 2
3( 1) 3(2 1) 4y x m x m x
( m là tham số )
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số với m=1
2. Tìm giá trò của m để đồ thò hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu và hai điểm
đó đối xứng qua điểm I(0,4)
Câu 36: Cho hàm số
2
2 (6 )
2
x m x
y
mx
1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
2. Khảo sát hàm số khi m=1 (C).
3. Chứng minh rằng tại mọi điểm của đồ thò (C) tiếp tuyến luôn luôn cắt hai tiệm
cận một tam giác có diện tích không đổi.
Câu 37:
1. Cho hàm số
y
x
với
trục hoành ,biết rằng các tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y=x+2001.
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý
http://book.key.to 7
Câu 39: Cho hàm số :
2 3 2
( 1) 2 ( 2)m x mx m m
y
x m
( )
m
C
trong đó m là tham số.
1. Khảo sát hàm số đã cho với m= 0
2. Xác đònh tất cả các giá trò của m sao cho hàm số
( )
m
C
luôn luôn nghòch biến trên
các khoảng xác đònh của nó.
3y x x
(1)
1. Khảo sát hàm số (1)
2. Chứng minh rằng khi m thay đổi ,đường thẳng cho bởi phương trình
y=m(x+1)+2 luôn cắt đồ thò (1) tại một điểm A cố đònh.
Hãy xác đònh các gía trò của m để đường thẳng cắt đồ thò hàm số (1) tại 3 điểm
A,B,C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thò tại B vàC vuông góc với nhau.
Câu 43:
Cho hàm số :
2 2
2
2
x x m
y
x
1. Tìm giá trò của m sao cho
2y
với mọi
2x
2. Khảo sát hàm số với m=1
Câu 44 :
Cho hàm số :
2
8
http://book.key.to 8
1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số :
3 1
3
x
y
x
(1)
2. Tìm một hàm số mà đồ thò của nó đối xứng với đồ thò hàm số (1) qua đường thẳng
x + y – 3 = 0 .
3. C là điểm bất kỳ trên đồ thò hàm số (1) .tiếp tuyến với đố thò hàm số (1) tại C cắt
tiệm cận đứng và ngang tại A và B .Chứng minh rằng C là trung điểm của AB và tam
giác tạo bởi tiếp tuyến đó với hai tiệm cận có diện tích không đổi.
CÂU 47 :
Cho hàm số :
4 2
4y x x m
(C).
1. Khảo sát hàm số với m = 3
2. Giả sử đồ thò cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt .Hãy xác đònh m sao cho hình
phẳng giới hạn bởi đồ thò (c) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới
trục hoành bằng nhau .
Câu 48: Cho hàm số :
3 2
1
1
3
Câu 51:
1. Cho hàm số :
3 2
3( 1) 3 ( 2) 1y x a x a a x
trong đó a là tham số .
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số khi a= 0.
b.Với các giá trò nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trò của x
sao cho :
1 2x
2. Tìm tất cả các giá trò của tham số m để đồ thò hàm số :
2
3 3
m
y x x
x
có ba
điểm cực trò .Khi đó chứng minh rằng cả ba điểm cực trò này đều nằm trên đường
cong:
2
3( 1)y x
Câu 52 :
Cho hàm số :
2
1
1
x x
y
2. Tìm m để trên đồ thò có hai điểm phân biệt A,B sao cho :
5 3 0,
A A
x y
;
5 3 0
B B
x y
Tìm m để hai điểm A,B đó đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) có phương trình:
x + 5y + 9 = 0.
Câu 55: Cho hàm số :
3 2
2y x x x
1. Khảo sát hàm số đã cho .
2. Tìm diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thò vừa vẽ và đường thẳng y= 4x
Câu 56
: Cho hàm số:
2
2 3
2 1
x x m
y
x
2
3
1
x
y
x
(1)
1. Khảo sát hàm số (1)
2. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm
2
2,
5
M
sao cho d cắt đồ thò hàm
số (1) tại hai điểm phân biệt A ,B và M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
CÂU 60:
Cho hàm số :
3 2 2
3y x x m x m
1. Khảo sát (xét sự biến thiên, vẽ đồ thò ) hàm số ứng với m= 0
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý
http://book.key.to 10
.Gọi đồ thò là (C)
2.Tìm trên đường thẳng y=4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể kẻ tới đồ thò
(C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc
45
CÂU 63: Cho hàm số
3 2
2 3( - 3) 11- 3y x m x m
(
m
C
)
1) Cho m=2 . Tìm phương trình các đường thẳng qua
19
( , 4)
12
A
và tiếp xúc
với đồ thò (
2
C
) của hàm số .
2) Tìm m để hàm số có hai cực trò. Gọi
1
M
và
2
M
là các điểm cực trò ,tìm
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý
http://book.key.to 11 Chuyªn ®Ị kh¶o s¸t hµm sè: Híng dÉn vµ ®¸p ¸n
Bài 1:
1) Khảo sát hàm số:
1
1
x
y
x
(C) TXĐ: D = R \ (1)
2
2
2
x+1
= k(x-3) + 1 (1)
x-1
-2
= k (2)
(x-1)
có nghiệm
Thay (2) vào (1) :
2
1 -2(x-3)
1
1 (x-1)
x
x
2 2
1 2( 3) ( 1) 4 8 2x x x x x
)
1 ( 1) ( 1)
-3
(
( -1)
x x x
x x
x x x
y x
x
Giao điểm với tiệm cận đứng x =1.
0 0
0 0
4 4
1 1,
1 1
x x
x y A
x x
Giao điểm với tiệm cận ngang y = 1.
0
0
5 21 5 25
. 1 hằng số
2 1 3 6
x
x
Vậy:
IAB
S
không phụ thuộc vào vò trí điểm M.
A
B
M
O
x
y
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý
http://book.key.to 12 C©u 2: (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số:
2
1
x
y
x
Đồ thò:
2) Xác đònh a để từ A(0,a) kẻ được 2 tiếp tuyến đến
(C)
sao cho 2 tiếp điểm đến nằm về 2 phía của 0x.
Gọi
( ; ) ( )
0 0
M x y C
2
0
0
1
0
x
y
x
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:
'
( )( )
0 0 0
y f x x x y
2
2 4 2
2
( 1) 2( 2) 2 0
0 0
a x a x a
(1)
(vì
0
x
=1 không là nghiệm)
Điều kiện để có 2 tiếp tuyến kẻ từ A là:
1 0
1
,
2
0
a
a
a
y
x
Điều kiện 2 tiếp điểm nằm về 2 phía
Ox.
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý
http://book.key.to 13
2 2( ) 4
2
0 0 1 0 1
1
0 . 0 0
0 1
1 1
1
0 1
0 1 0 1
2 4( 2)
4
9 6 2
1 1
0 0 3 2 0
2 2( 2)
3 3
1
1 1
a a
a
2
3
a
và
1a
ĐS:
2
, 1
3
a a
C©u 3: (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số:
2
2 1
1
Tiệm cận đứng: x= -1 vì
lim
1
y
x
Ta có:
2
2 1
1
y x
x
Tiệm cận xiên: y = 2x - 1 vì
2
lim 0
1x
x
1
1
m
m
Tiệm cận xiên: 2x – y – 1 = 0 (D2) d
2
(M,D2) =
2
2 2 1 1
2
1
5 5 1
m m
m
m
Suy ra d
1
.d
2
=
2 2
1
Với
0m
thì TCX: y = 2x + m + 2 vì
lim 0
1
m
x
x
Giao điểm TCX và Ox: y = 0
0,
2
2
2
2 m
A
m
x
2
2 3 2
(C)
1
x x
y
x
TXĐ: D = R\ {1}
0
)1(
542
'
2
2
x
xx
y
1x
Suy ra hàm số tăng trên từng khoảng xác đònh.
4
– 10x
2
+ 9
TXD: D = R
3 2
' 4 20 4 ( 5)y x x x x
0
' 0
5
x
y
x
5 44
2
'' 12 20 '' 0
3 9
y x y x y
2) Chứng minh rằng với
0m
, (C
m
) luôn luôn cắt Ox
tại 4 điểm phân biệt trong đó có hai điểm nằm
(-3,3)
và 2 điểm nằm ngoài (-3,3).
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và Ox.
4 2 2
( 10) 9 0x m x
(1) Đặt
2
( 0)t x t
(1) có 4 nghiệm phân biệt
2 1 1 2
x x x x
Đặt f(t) =
2 2
( 10) 9t m t
Ta có: af(9)=
2 2
81 9 90 9 9 0, 0m m m
0 9
1 2
t t
2
9 ( 3;3)
1 1
3 3
2 1 1 2
2 ( 3;3)
9
2
2
x x
x x x x
x
x
Hàm số có CĐ, CT
(1) có 2 nghiệm phân biệt.
2 2
' 0 ( 3) 9 0 6 0 6 0m m m m m
Chia f(x) cho f’(x) ta được :
1 1 2 1
2
'( ) ( 3) ( 6 ) 5
3 9 9 3
y f x x m m m x m
Vậy phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò là:
2 1
2
( 6 ) 5
9 3
y m m x m
.
2) Tìm m để
( ) 3f x x
với mọi
1x
Ta có:
4
g x x g x x
x x
+) BBT:
min ( ) 0
1
g x
x
Vậy:
0m
C©u 7: (2 điểm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò
2
6 9
( )
2
x x
y C
x
TXĐ: D = R\ {2}
2
1
4
2
y x
x
TCX: y = - x + 4 vì
1
lim 0
2x
x
BBT:
Đồ thò:
Cho x = 0
9
2
y
b) Tìm M
Oy sao cho tiếp tuyến kẻ từ M đến (C)
song song với đường thẳng y=
3
x
co ù nghiệm
(2)
2
4 0 0 4x x x x
Thay vào (1):
9 5
0 ; 4
2 2
x b x b
Vậy :
9 5
điểm uốn I
BBT:
Đồ thò:
b) Chứng minh rằng
m hàm số (1) luôn đạt cực trò
tại x
1
, x
2
với x
1
- x
2
không phụ thuộc m.
2 1
x x
không phụ thuộc m.
Bµi 9: (2 điểm)
a) Khảo sát hàm số:
2
5 4y x x
.
Tập xác đònh: D = R
y’= 2x – 5
BBT:
Đồ thò: b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai parapol:
2
( ) : 5 6
1
P y x x
và
2
( ) : 5 11
2
P y x x
(5 ) 6 0
2
(5 ) 11 0
2
0
10 4 1 0 3 3
1
0 2 10 5
10 4 19 0
2
x a x b
x a x b
a a b a a
b b
a a b
'' 6 6y x
'' 0 1 2y x y Điểm uốn I(-1, 2)
+) BBT:
Đồ thò:
Cho x = -3, y = 0
x = 1, y = 4 b) Tìm điểm M trên Ox sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)
trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc nhau.
Gọi
M(a,0) Ox
, đường thẳng (d) qua M và có hệ số góc K là:
y = k( x - a)
(d) tiếp xúc (C)
2
3 ( ) (1)
2
3 6 (2)
x x k x a
x x k
3 3 2
2
2
Với x = 0
k = 0
1 tiếp tuyến là y = 0.
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý
http://book.key.to 19
+) Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau
(3) có 2 nghiệm phân biệt
, 0
1 2
x x
và
1
1 2
k k
.
0
0
2
0 9( 1) 48 0
2 2 2
và a 0
và a 0
-27a
1
27
a
x
y
x
1 1 1 1
2
'' 36 12 '' 0 , ,
3 3 3
3
y x y x y
1 1
điểm uốn -
3 3
BBT:
0 1
3 3 2
' 12 12 1 12 12 1 ' 0 1
4 3
2 1
x y m
y x m x mx x x m x m y x y m
x m y m m m
x - -1 0 1
+
y’ - 0 + 0 - 0 +
y + 2 +
CĐ
-1 -1
loại
loại
0 ( )
1 ( )
1 5
( )
2
1 5
( )
2
m
m
m
m
3 2 2 ( )y x x m x m C
m
1) Khảo sát và vẽ đồ thò
( )
1
C
khi m = 1.
3 2
3 3 2 ( )
1
y x x x C
TXĐ: D = R
2
2
' 3 6 3 3 1 0y x x x
suy ra hàm số luôn tăng trên R
' 0 1 ; '' 6 6y x y x
;
'' 0 1 1y x y
điểm uốn I(-1, 1).
BBT:
Đồ thò:
Cho x = 0, y = 2
x = -2, y = 0
( )
m
C
cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ âm
(2) có 2 nghiệm âm phân biệt khác -2.
2 2
2
0 1 4 0
1 1
0
0 0
4 4
0
0 1 0
m m
m
m
m m
P m
m
S
y’= 3x
2
+10x + 7
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý
http://book.key.to 21
1 0
5 16
' 0 ; '' 6 10 '' 0
7 32
3 27
3 27
x y
y y x y x y
x y
điểm uốn
5 16
,
3 27
Chia y cho y’ ta được :
2
1 2(21 ) 27 7
'( )
3 9 9 9
m m m
y f x x
Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và điểm cực tiểu là:
2
2(21 ) 27 7
9 9
m m
y
C©u 14: (2 điểm)
4 2
2y x x
1a) Khảo sát và vẽ:
TXĐ:
2 0x x m
4 2
2x x m
Dựa vào đồ thò (C) ta kết luận :
m< -1: vô nghiệm. ; m= -1: 2 nghiệm.
-1< m < 0: 4 nghiệm. ; m= 0: 3 nghiệm. ; m> 0: 2 nghiệm.
Copyright: Tài liệu đại học ©