MỤC LỤC
MỤC LỤC 1
CHƯƠNG I 2
TỔNG QUAN MAPLE 2
CHƯƠNG II 12
ỨNG DỤNG CỦA MAPLE VÀO CÁC BÀI TOÁN 12
KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ TÍCH PHÂN 12
CHƯƠNG III 22
KẾT LUẬN 22
TÀI LIỆU THAM KHẢO 23
LỜI NÓI ĐẦU
Maple là một hệ thông tính toán trên các biểu thức đại số và minh họa toán
học mạnh mẽ của công ty Warterloo Maple Inc. ().
Maple ra đời năm 1991 đến nay đã phát triển đến phiên bản 12. Maple có cách
cài đặt đơn giản, chạy đươc trên nhiêu hệ điều hành, có cấu trúc linh hoạt dễ sử
dụng tôi ưu cấu hình máy và có trình trợ giúp (help) rất dễ sử dụng. Từ phiên
bản 7, Maple cung cấp ngày càng nhiều các công cụ trực quan, các gói lệnh tự
học gắn liền với toán học phổ thông và đại học. Ưu điểm đó làm cho nhiều nước
trên thế giới lựa chọn sử dụng Maple cùng các phần mềm toán học khác trong
dậy học toán trước đòi hỏi của thực tiễn và sự phát triển của giáo dục. Trong quá
trình tiếp cận và nghiên cứu Maple, em nhận thấy rằng ngoài các tính năng tính
toán và minh họa rất mạnh mẽ bằng các câu lệnh riêng biệt (thường chỉ cho ta
kết quả cuôi cùng), Maple còn là một ngôn ngữ lập trình hướng thủ tục
(procedure). Thủ tục là một dãy các lệnh của Maple theo thứ tự mà người lập
trình định sẵn để xử lí một công việc nào đó, khi thực hiện thủ tục này Maple sẽ
tự động thực hiện các lệnh có trong thủ tục đó một cách tuần tự và sau đó trả lại
kết quả cuối cùng. Trong khuôn khổ bài luận văn này, em xin trình bầy một vài
kết quả đạt được trong việc sử dụng Maple để lập thủ tục giải các bài toán khảo
sát hàm số và tích phân ở chương trình toán Trung học phổ thông.
Em xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn, giảng viên môn học
lập trình Symbolic đã truyền đạt những kiến thức vô cùng quý báu, em cũng xin

Maple tiếp tục diễn ra tại những phòng thí nghiệm trường đại học, bao gồm:
Phòng thí nghiệm tính toán hình thức tại Đại học Waterloo; Trung tâm nghiên
cứu tính toán hình thức Ontario tại Đại học Tây Ontario; và những phòng thí
nghiệm khắp nơi trên thế giới.
Vào năm 1989 giao diện đồ họa người dùng đầu tiên của Maple được phát
triển và bao gồm trong bản 4.3 dành cho Macintosh. Những phiên bản trước của
Maple chỉ gồm giao diện dòng lệnh với ngõ ra hai chiều. Bản X11 và Windows
với giao diện mới tiếp bước vào năm 1980 với Maple V.
Vào năm 1999 với việc phát hành Maple 6, Maple đã đưa một số thư viện
số học NAG, đựơc mở rộng chính xác ngẫu nhiên.
Vào năm 2003 giao diện “chuẩn” hiện nay được giới thiệu trong Maple 9.
Giao diện này được viết chủ yếu băng Java (mặc dù có nhiều phần, nhưng luật
cho việc gõ công thức toán học đựơc viết bằng ngôn ngữ Maple). Giao diện
Java bị phê phán là chậm; những sự phát triển được thực hiện trong các bản sau,
mặc dù tài liệu Maple11 documentation khuyến cáo giao diện (“cổ điển”) trước
đây dành cho với bộ nhớ vật lý ít hơn 500MB. Giao diện cổ điển này không còn
được bảo trì.
Giữa năm 1995 và 2005 Maple đã mất khá nhiều thị phần vào tay đối thủ
do giao diện ngừơi dùng yếu hơn. Những năm 2005, Maple giới thiệu “chế độ
văn bản” mới, như một phần giao diện chuẩn. Tính năng của chế độ này là phép
toán được đưa vào bằng ngõ nhập hai chiều, do đó nó xuất hiện tương tự như
công thức trong sách.
3
Vào năm 2008 Maple 12 đã có thêm những tính năng người dùng giống
như mathematica gồm có những kiểu trình bầy theo mục đích đặc biệt, quản lý
phần đầu và cuối trang, so trùng mở đóng ngoặc, vùng thực hiện tự động khởi
tạo, mẫu hoàn thành lệnh, kiểm tra cú pháp và vùng tự động khởi tạo. Những
tính năng khác được thêm để làm cho Maple dễ dùng hơn như một hộp công cụ
Maple.
II. Tìm hiểu về phần mềm Maple

- Gói lệnh con:
Precalculus1: là gói lệnh quan trọng nhất của Student. Nó chứa các công cụ
hỗ trợ từ hướng dẫn thực hiện các phép tính vi phân cho đến khảo sát và vẽ đồ
thị hàm; từ việc minh họa vẽ tiếp tuyến đừng cong cho đến việc tính diện tích,
thể tích mặt tròn xoay…
- Sử dụng các Tutor trong các gói của Student và các hỗ trợ tính toán từng
bước
Ví dụ: Tính tích phân
>With (Student[Precalculus1]:
IntTutor()
Sau khi nhấn Enter, một cửa sổ Maple hiện ra, cho phép ta nhập hàm và
các khoảng cần tính tích phân (nếu ta tính tích phân xác định).
2.2. Gói Plots và Plottools
Gói Plots chứa các lệnh cho phép vẽ hình trong không gian 2 và 3 chiều,
gói Plotsttools công cụ chứa các lệnh cho phép làm việc với các đối tượng hình
ảnh:
a. Sự vận động của đồ thị
animate3d(ham_co_tham_so,x=gt_dau gt_cuoi,y=gt_dau gt_cuoi,y=gt
_dau gt_cuoi,tham_so=gt_dau gt_cuoi);
Ý nghĩa: Hiển thị sự biến đổi, vận động của đồ thị khi tham số thay đổi
trong khoảng cho trước
b. Lệnh plots[display]()
5
Cú pháp:
plots [display](a,b,c…insequence=true(fase),options;
plots [display] (L…insequence=true(fase),options;
plots [display] (A, options);
plots [display] (P, options);
Các tham số: a, b, c…là các đồ thị riêng biệt
L: dẫy (list) các đồ thị (ví dụ L:=a, b, c;)

độ mới (a,b)
Cú pháp:
plottools [translate](p,a,b); “dịch chuyển tịnh tiến trong 2D”
plottools [translate](q,a,b,c); “dịch chuyển tịnh tiến trong 3D”
Các tham số:
p,q: cấu trúc đồ thị cần dịch chuyển tịnh tiến
a,b,c: là các tham số thực (chính tọa độ mới)
đ. Đưa chữ vào chuyển động
Trong cả hình vẽ 2 và 3 chiều bằng gói plot chúng ta đều có thể đưa tiêu
đề của hình vẽ vào bằng lựa chọn options: title= “text”. Trong đó “text” là một
xâu ký tự.
Chúng ta cũng có thể chỉ định phông chữ và cỡ chữ cho tiêu đề đó bằng
options: titlefont
Mặc định thì title chỉ hiển thị trên một dòng, điều đó sẽ khó khăn nếu title
quá dài. Để title có thể trải trên 2 hay nhiều dòng, chúng ta có thể thêm lệnh \n
vào trong “text” để đưa đoạn text tiếp theo xuống dòng mới.
2.3 Một số lệnh
2.3.1 Cấu Trúc Dữ liệu dẫy
Lệnh tạo dẫy
seq(f(i),i=low hight);
Khai báo này sẽ tạo ra một dẫy bằng cách thay thế giá trị i trong f(i) bởi
các số nguyên liên tiếp nằm trong giới hạn từ low đến hight seq (f(x),
x=expression;
7
Khai báo này sẽ tạo ra một dẫy mà mỗi thành phần của nó đựợc sinh ra
bằng cách cho hàm f tác dụng lên một thành phần (operand) của biểu thức
expression. Giá trị của expression thường là một tập hợp hay danh sách nào đó,
và cũng có thể là bất cứ cấu trúc dữ liệu nào khác mà op có thể áp dụng đựơc,
chẳng hạn như tổng hay tích.
Dẫy (senquence) là một nhóm những đối tựơng của Maple được sắp xếp

trước x:
2.3.2 Vòng lặp for
Vòng lặp là cấu trúc được ứng dụng rộng dãi. Trong phần này chúng ta
quan tâm tới các sử dụng nó để tạo dẫy cấu trúc đồ thị để hiển thị như hình ảnh
trong sản xuất hoạt ảnh. Vòng lặp rất hữu ích khi cấu trúc của dẫy là đủ phức tạp
mà các thủ tục seq không thể biểu diễn rõ ràng . Vòng lặp for cung cấp một cấu
trúc lặp lại việc thực hiện một nhóm các câu lệnh. Một trong các dạng của nó là
số lần lặp đựơc chỉ ra bằng một biến có quy luật như số đếm.
Cú pháp chung là:
Statement1;
Statement2;
…
Statementk;
End
Giả thiết rằng j là số dương và biến lặp i được khởi tạo từ m, nếu i<=n thì
các câu lệnh từ 1 tới k trong thân vòng lặp đựơc thực hiện. Sau đó i được tăng
lên bởi j và nếu i<=n thì dẫy các câu lệnh trong thân vòng lặp được thực hiện
một lần nữa. Nó còn đựợc tiến hành tới khi kiểm tra i<=n là sai, tại điểm đó thân
vòng lặp không đựợc thực hiện nữa và phép lặp kết thúc. Bất kỳ một giá trị mà
có thể được yêu cầu để xác định n chỉ được thực hiện một lần khi bắt đầu vòng
lặp, và không thay đổi sau mỗi lần lặp. Chỉ số mặc định lặp là 1 j=1 và có thể bỏ
qua đặc tả by j. Thực tế m được mặc định là 1 cũng khá nhiều, khi đó đặc tả
from m cũng có thể bỏ qua trường hợp này. Nếu j là một số âm thì i sẽ đếm
ngược từ m đến n và kiểm tra để cho vào vòng lặp mỗi lần i>=n.
9
Thông thường bản chất của việc lặp của một vòng lặp là sử dụng j giá trị
tích lũy của cái gì đó hoặc của đối tượng.
Ví dụ:
Trong phương pháp tương tự ta có thể sử dụng vòng lặp để sinh ra một
dẫy. Một dạng khác của vòng lặp for là thực hiện vòng lặp thân vòng lặp với mỗi

1. Giới thiệu bài toán
Bài toán khảo sát hàm số là một trong những bài toán cơ bản trong
chương trình toán ở Trung học phổ thông, luôn có trong các đề thi tốt nghiệp và
Trung học phổ thông tuyển sinh ĐH – CĐ hàng năm.
Các bước để khảo sát hàm số y = f(x):
1) Tìm tập xác định của hàm số.
2) Xét sự biến thiên của hàm số:
a) Chiều biến thiên: Tính đạo hàm y’, xét dấu y’ để suy ra chiều biến thiên
đồ thị hàm số.
b) Cực trị: Dựa vào chiều biến thiên tìm các điểm cực trị (nêu có) của đồ
thị hàm số.
c) Tính lồi, lõm và điểm uốn: Tính đạo hàm y’’ và xét dấu y’’ để tìm điểm
uốn của đồ thị hàm số (nêu có).
d) Giới hạn: Tính các giới hạn của hàm số. Tìm các tiệm cận của đồ thị
hàm số (nếu có).
3) Vẽ đồ thị hàm số:
- Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
- Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị hàm số: cực trị, các giao điểm của
đồ thị với các trục tọa độ (nếu có).
- Vẽ đồ thị hàm số.
Dựa vào các bước để khảo sát hàm số trên, bằng cách sử dụng các lệnh
cho sẵn của Maple chúng tôi đã lập được thủ tục giải bài toán khảo sát hàm số
đối với các hàm số:
12
y = ax
3
+bx
2
+cx +d; y = ax
4

+ val: giá trị biến đưa vào biểu thức
3. Chương trình
Sau đây là đoạn chương trình trong Maple thể hiện thủ tục khảo sát hàm
số bậc ba:
13
y = ax
3
+bx
2
+cx +d.
> #Hàm số bậc ba: y=ax
3
+bx
2
+cx+d#
#Nhập các giá trị a,b,c, d#
a:=-1:b:=-3:c:=0:d:=4:
(`* Khảo sát hàm số: `); y:=a*x^3+b*x^2+c*x+d;
(`1) Tập xác định: R`);
(`2) Sự biến thiên:`); dh1:=diff(y,x):
print(`a) Chiều biến thiên: y' `=dh1);
if ({fsolve(diff(y,x)=0)}={}and a>0)then (`y > 0 với mọi x.`);(`Hàm số
luôn đồng biến.`); end if;
if ({fsolve(diff(y,x)=0)}={}and a<0) then (`y < 0 với mọi x.`);(`Hàm số
luôn nghịch biến.`); end if;
if ({fsolve(diff(y,x)=0)}<>{}and a>0 and max(solve(diff(y,x)=0))=
min(solve(diff(y,x)=0))) then
(`Đạo hàm y' = 0 tại x`= min(solve(diff(y,x)=0)));
(`y >= 0 với mọi x.`);(`Hàm số luôn đồng biến.`);
end if;

(`Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu:`);
(` Điểm cực đại: `) (min(solve(diff(y,x)=0)),
simplify(eval(y,x=min(solve(diff(y,x)=0)))));
(`Điểm cực tiểu: `) (max(solve(diff(y,x)=0)),
simplify(eval(y,x=max(solve(diff(y,x)=0)))));
end if;
if ({fsolve(diff(y,x)=0)}<>{}and a<0 and max(solve(diff(y,x)=0))<>
min(solve(diff(y,x)=0)))then
(`Hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại:`);
(` Điểm cực tiểu: `) (min(solve(diff(y,x)=0)),
simplify(eval(y,x=min(solve(diff(y,x)=0)))));
(`Điểm cực đại: `) (max(solve(diff(y,x)=0)),
simplify(eval(y,x=max(solve(diff(y,x)=0)))))
end if;
15
(`c) Giới hạn:`);
Limit(y,x=-infinity)=limit(y,x=-infinity);
Limit(y,x=+infinity)=limit(y,x=+infinity);
(`Đồ thị không có tiệm cận.`);
(`d) Tính lồi, lõm và điểm uốn:`);
(`y''`=diff(diff(y,x),x));
(`Điểmuốn:U`)
(solve(diff(diff(y,x),x)),simplify(eval(y,x=solve(diff(diff(y,x),x)))));
if(a>0)then (`Hàmsố lồi trong khoảng:`)(-infinity,solve(diff(diff(y,x),x)));
(`Hàm số lõm trong khoảng:`)(solve(diff(diff(y,x),x)),infinity)
else (`Hàm số lõm trong khoảng:`)(-infinity,solve(diff(diff(y,x),x)));
(`Hàm số lồi trong khoảng:`)(solve(diff(diff(y,x),x)),infinity)
end if;
(`3) Đồ thị: Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn.`);
(`Đồ thị cắt trục Ox tại các điểm có hoành độ: ` (fsolve(y=0)));

Hàm số đồng biến trong khoảng (-2, 0)
b) Cực trị:
Hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại:
Điểm cực tiểu: (-2,0)
Điểm cực đại: (0,4)
c) Giới hạn:
Đồ thị không có tiệm cận.
d) Tính lồi, lõm và điểm uốn:
y’’ = -6x – 6
Điểm uốn: U(-1,2)
Hàm số lõm trong khoảng: (-∞,-1)
Hàm số lồi trong khoảng: (-1, ∞)
3) Đồ thị: Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn.
Đồ thị cắt trục Ox tại các điểm (-2,0) và (1,0)
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0,4).
Đồ thị hàm số được vẽ như sau
17
II. Tính một số dạng tích phân
Trong chương trình toán THPT và CĐSP chúng ta gặp nhiều dạng tích
phân mà khi tính toán có một thuật toán (đổi biến, tích phân từng phần,…) có
sẵn. Vì vậy, bằng việc sử dụng Maple, chúng tôi đã lập được qui trình tính một
số tích phân như thế, cụ thể là các dạng sau:
Dạng Phương pháp giải
b
∫
P(x) sin(kx)dx
a
Tích phân từng phần:
u = P(x); dv = sin(kx)dx
b

a
b
∫
P(x)e
kx
dx
a
Tích phân từng phần:
u = P(x); dv = e
kx
dx
b
∫
P arctan(kx)dx
a
Tích phân từng phần:
u = arctan(kx); dv = P(x)dx
b
∫
P(x) arcsin(kx)dx
a
Tích phân từng phần:
u = arcsin(kx); dv = P(x)dx
b
∫

Q(x)
P(x)
dx
a

(`và làm tương tự như trên bằng phương pháp tích phân từng phần, cho đến khi
du = const.`);
(`Kết quả:`(Int(P1*sin(a*x),x=c1 c2)=int(P1*sin(a*x),x=c1 c2)));
end if;
if (degree(diff(P1,x))=0 and degree(P1)<>0) then
(`Ta sẽ tính tích phân này bằng phương pháp tích phân từng phần:`);
(`Đặt: u = `(P1)); (` dv = ` (sin(a*x)*dx));
(`Ta có: `); du:=diff(P1,x) ;v:=int(sin(a*x),x);
Int(P1*sin(a*x),x=c1 c2)= Eval(u*v,x=[c1,c2]) + Int(-v*du,x=c1 c2);(`= `
(value(eval(u*v,x=c2)) -value(Eval(u*v,x=c1))+ Eval(int(-v*du,x),x=[c1,c2])));
print(`= `( eval(u*v,x=c2)-eval(u*v,x=c1) + int(-v*du,x=c1 c2)))
end if;
Với việc nhập các giá trị như trên, ta có kết quả:
Tính tích phân với hàm dưới dấu tích phân dạng: P(x)sin(ax);
Với P(x) là một đa thức.
• Tính tích phân:
20
Ta sẽ tính tích phân này bằng phương pháp tích phân từng phần:
Đặt: u=(5x
2
)
dv = (sin(4x)dx)
Ta có du = 10xdx
v = - cos(4x)
=
x=[0, ]
+
=
Để tính tích phân
Ta đặt u = [

[2] M.B. monagan, K.O. Geddes, G. Labahn, S.M. Vorkoetter, J.
Maccarron, P. Demarco. Maple 9 – advanced Programming Guide. Waterloo
Maple Inc. (2003).
[3] Heck .A, Introduction to Maple,Springer -Verlag, New York, Inc. 1996.
[4] Hoàng Kiếm, Giáo trình Các hệ Cơ sở Tri thức, NXB ĐHQG, 2006.
[5] Stuart Russell & Peter Norvig, Artificial Intelligence – A modern
approach (second edition), Prentice Hall, 2003.
Nhon Van Do, Model for Knowledge Bases of Computational Objects,
IJCSI International Journal of Computer Science Issues, Vol. 7, Issue 3, No 8,
May 2010
[6] Phạm Huy Điển, Tính toán, lập trình và giảng dậy toán học trên Maple
– NXB KH và KT, 2002.
[7] Nguyễn Chánh Tú, Ứng dụng Maple trong đổii mới phương pháp học
tap và giảng dạy toán học.
[8] Cácwebsite: ;

23