Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

52

0
0
1
2
1
2 .
2 2
x
x


  
= hằng số
3) Tìm trên mỗi nhánh của (C) 1 điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất:
Gọi
1
(2 ,5 )A a a
a
  
( a > 0) và
1
(2 ,5 )B b b
b
  
(b > 0) là hai điểm thuộc 2 nhánh của
(C).
Ta có:

4
2 2(1 2)
min( ) 2 2(1 2)
4 1
8
2
1 1
2
2
AB
AB
a b a b
ab
a b
ab
a b a b
  
  
 
 
 

 


 

     

Vậy:

x 1



 TXĐ: D = R\{1}

2
2
x 2x
y'
(x 1)
x 0
y' 0
x 2





 




 Tiệm cận đứng:
x = 1 vì
1
lim y
x
 

đến (C) và song song Ox  tiếp tuyến thứ hai tạo với Ox 1 góc bằng ± 45
0

 Hệ số góc tiếp tuyến tại M
0
(x
0
, y
0
)  (C) là f’(x
0
) = ± 1

2
0 0
0
2
0
2
0 0
0
2
0
0
2
0 0
0
0
0
x 2x

 



 




 



Phương trình tiếp tuyến tại M
0
là:
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

54

0 0
1
2
y (x x ) y
y x 3 2 2 (d )
y x 3 2 2 (d )
   

   

1
1
y'=0
x
x





y”=6x
y”=0
 x=0 =>y=0
=> điểm uốn O(0, 0)
BBT:

Đồ thò: 2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng y = m(x + 1) + 2 luôn cắt đồ thò (1)
tại 1 điểm cố đònh A:
* Đường thẳng (d): y = m(x + 1) + 2 luôn đi qua điểm cố đònh A(-1, 2).
Thay A(-1, 2) vào (1) thoả =>A

đồ thò (1).



(2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1.

0
( 1) 0g

 
 


1 4 (2 ) 0
0
m
m

  


9
4
0
m
m







-3)(3
2
C
x
- 3) = -1

9
2
B
x
2
C
x
- 9(
2
B
x
+
2
C
x
) + 9 = -1

9
2
P
-9(
2
S
- 2P) +10 = 0

m




 
 
(loại)
So với điều kiện: m > -
9
4
và m

-1+
2
. Câu43:

Cho hàm số: y=
2 2
2
2
x x m
x
 


1) Tìm giá trò của m sao cho

2
4 4
( 2)
x x m
x
  


y’= 0
2 2
4 4 0x x m    


( 0)
1 2
2 2
m
x m
x m
 
 
 

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

56
( 0)
'( )
1
2 2

2
min 2
2
y
x
y
x









2 2 2
2 2 2
m
m




  
  

0
2 2
m

y
x
 



' 0
3
1
y
x
x

 





 Tiệm cận đứng:
x = -2 vì
2
lim
x
y

 

 Tiệm cận xiên:
y = x vì

(1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số (1) với m = 1:
y=
2
8
8( 1)
x x
x



 TXĐ: D = R\{-1}
y’=
2
2
8 16 64
64( 1)
x x
x
 

=
2
2
2 8
8( 1)
x x
x
 


8( 1)x 

 Tiệm cận xiên:
y=
1
8
x-
9
8
vì
9
lim 0
8( 1)
x
x




 BBT:

 Đồ thò:
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

58
2) Tìm m sao cho hàm số (1) đồng biến trên [1,


' 0, [1; )y x    2
2 8 0, [1; )x mx m x      
2
' 0 8 0
1 0
1 1
m m
m
m m


   
    

  



Hay

' 0
1
' 0
'(1) 0 0

1) Khảo sát hàm số :

2
( 1) ( 2)y x x  
(C)

3
3 2y x x  

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

59
 TXĐ: D = R
2
' 3 3y x 

y’=0
1
1
x
x







y”=6x
y”= 0

1
C
)
Ta có:
 
1
y f x

Đây là hàm số chẵn nên đồ thò (
1
C
) nhận Oy làm trục đối xứng.
Đồ thò (
1
C
) suy từ ( C) như sau:
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

60

- Phần của (C) bên phải Oy giữ nguyên, bỏ phần của (C) bên trái Oy và lấy phần đối
xứng của phần bên phải của (C) qua Oy.
Xét đưòng thẳng
( )
1
d
qua 2 điểm M(2, 0) và I(0, -2)

Hệ số góc
2

Nếu
( )
qua M và nằm giữa
( )
1
d
và
2
( )d
thì
( )
cắt
1
( )C
tại 4 điểm phân biệt.
4
1
3
k  

Câu 46:

1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số :

3 1
3
x
y
x


x
y



 BBT:

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

61
 Điểm đặc biệt: 2) Tìm hàm số mà đồ thò của nó đối xứng của (C) qua đường thẳng x + y – 3 = 0.
Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C)
 I(3, 3)
Gọi () : x + y –3 = 0
Ta có: I và O đối xứng qua ().
Đổi trục bằng tònh tiến theo vectơ
(3,3)OI 
3
3
x X
y Y

y
x


3) C(a,b) là 1 điểm tuỳ ý trên (C). Tiếp tuyến tại C cắt 2 đường tiệm cận tại A và B.
Chứng minh rằng C là trung điểm của AB và diện tích
IAB
không đổi.
Ta có đối với hệ trục mới:

'
2
10 10
Y= (C) Y = -
X
X


Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

62
10
( , )C a b C b
a
  

Tiếp tuyến tại C có phương trình:

2
2

2
10
2
B a
X X
A B
a X
C
Y Y
A B
Y
C
a









 


 


Mặt khác:


0
0
2
12 8
2 7
0
3 9
'
'
''
''
   


 

 

 
     
y x x x x
x
y
x
y x
y x y

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

63

(C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt
4 2
4 0 (1)x x m   

có 4 nghiệm phân biệt
2
4 0 (2)t t m   

(với
2
0t x 
) có 2 nghiệm phân biệt.

0 4 0
0 0 0 4
0 4 0
m
P m m
S

   
 
 
      
 
 
 
 
5 3
4
0
5 3
4
0 ( 0) (1)
5 3
  
   
    
x x
F x mx
b b
mb
b b
m bMà điểm
4 2
2 4
( , 0) ( ) 4 0 (2)
4
    
  
b C b b m
m b bThay vào (1)

y x mx x m    

1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số ứng với m = 0

1
3
1 ( )
3
y x x C  

 TXĐ : D = R

2
' 1
1
' 0
1
'' 2
'' 0 0 1
y x
x
y
x
y x
y x y
 
 

 


1
3
y x x  2
' 1
'' 2
y x
y x
 


BXD: min ' 1y
R
  
tại x = 0, y = 1  I(0, 1)
Vậy : Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn I là nhỏ nhất.
Phương trình tiếp tuyến tại I là:

2
2
' 2 1
' 0 2 1 0 (1)
y x mx
y x mx
  

ta chia f(x) cho f ’(x) :

2
1 1 2 2
f '( ). ( 1) 1
3 3 3 3
y x x m m x m
 
     
 
 

Vì f ’(x
1
) = 0, f ’(x
2
) = 0
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

66

2
1
2
2
2 2 2 2 2
1 2 2 1 2 1
2 2 2
2 1
2 2

 
 
 

 
  
 
 
 
 
 2
1 2
52
min
9
M M 
khi m = 0

1 2
2 3
min
3
M M 
khi m = 0
Câu 49 :
1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số :


" 0 2 2y x y     
điểm uốn (2,2)
 BBT :

 Đồ thò :

4
3
2
1
O
X
Y
2
4
(C)

2.a.Từ đồ thò (C) hãy suy ra đồ thò
1
( )C
của hàm số :

3
2
1
6 9y x x x  

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

67

2
6 9 3 0
6 9 3
x x x m
x x x m
    
    

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của
1
( )C
và đường thẳng d : y = 3 – m . Số
giao điểm của
1
( )C
và d là số nghiệm của phương trình .
Biện luận :

3 0 3m m   
:vô nghiệm

3 0 3m m   
: 3 nghiệm

0 3 4 1 3m m      
: 6 nghiệm

3 4 1m m    
: 4 nghiệm


m
m
m m
   
 
 
 
    
 
 

 


 
 
  
   




Vậy hàm số có CĐ, CT khi:
- 3 < m < 1 và m
 -2
2) Khảo sát hàm số ứng với m = 0
y = 2x
3
+ 3x
2