Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
Chuyên đề
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Mở đầu.
1.1 Lý do chọn chuyên đề.
Trong chương trình toán lớp 12, phần phương trình mặt phẳng là kiến thức
khá khó đối với học sinh lớp 12, do học sinh rất e ngại học môn hình học không
gian vì các em nghĩ rằng môn hình học không gian rất trừu tượng. Phần này luôn
có trong các đề thi tốt nghiệp THPT – Bổ túc THPT, các đề thi Đại học và Cao
Đẳng hàng năm, phần phương trình mặt phẳng về lý thuyết tuy không nhiều nhưng
bài tập rất đa dạng các em thường gặp khó khăn khi viết các dạng phương trình
mặt phẳng. Từ đó tôi chọn chuyên đề về phương trình mặt phẳng với mục đích
nhằm khắc phục các hạn chế mà các em đã gặp và cũng nhằm nâng cao kết quả
trong các kì thi.
1.2 Mục tiêu của chuyên đề.
Chuyên đề đưa ra các dạng toán về phương trình mặt phẳng và đề ra các
phương pháp nhằm giúp học sinh học nắm thật tốt các dạng phương trình mặt
phẳng. Chuyên đề nhằm giúp học sinh rèn luyện các dạng phương trình mặt phẳng.
1.3 Giới hạn của chuyên đề.
Chuyên đề áp dụng cho học sinh trung học phổ thông.
2. Nội dung.
2.1 Tóm tắt lý thuyết.
2.1.1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Vectơ
0n ≠
r r
được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nếu giá của
vectơ
n
r
vuông góc với mặt phẳng (P).

- Nếu mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax+By+Cz+D=0 thì
mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là
( )
; ;n A B C=
r
.
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
với vectơ pháp tuyến
( )
; ;n A B C=
r
có phương trình là:
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.

1
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
2.1.3 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Nếu mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) thì
phương trình mặt phẳng (P) là:
1
x y z
a b c
+ + =
với

- Mặt phẳng (P) đi qua điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
.
- Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) có
vectơ pháp tuyến là
=
uur uur
P d
n a
.
- Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
b. Bài tập áp dụng
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mp(P) qua điểm
M(2;2;-1) và vuông góc với đường thẳng d có phương trình tham số
x 1 2t
y 3t
z 2
= +


= −


=


I 2;2;2⇒
.
- Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2).

2
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
( )
P
n AB 2;2;2= =
uur uuur
.
- Phương trình mặt phẳng
( ) ( ) ( )
− + − + − =
0 0 0
(P): A x x B y y C z z 0

( ) ( ) ( )
⇒ 2 − + − + − =
⇔
x 2 2 y 2 2 z 2 0
x+y+z-6=0
c. Bài tập luyện tập
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua điểm A(0;2;-1) và vuông góc với đường thẳng d có phương trình chính tắc là
x 1 y 2 z
1 2 2
− +
= =

; ;M x y z
.
- Do mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp
tuyến là:
=
uur uur
P Q
n n
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua điểm A(1;2;3) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát là:
2x+2y+z=0.
Bài giải
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3).
- Do mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có vectơ
pháp tuyến là:
( )
P Q
n n 2;2;1= =
uur uur
.
- Phương trình mặt phẳng
( ) ( ) ( )
− + − + − =

= − = −
uuur uuur
AB 1;1;0 , AC 1;0;1 .
- Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến là:
( )
 
= =
 
uuuur uuur uuur
ABC
n AB,AC 1;1;1
.
- Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (P) có
vectơ pháp tuyến là:
( )
 
= =
 
uur uuur uuur
P
n AB,AC 1;1;1
.
- Phương trình mặt phẳng
( ) ( ) ( )
− + − + − =
0 0 0
(P): A x x B y y C z z 0

( ) ( ) ( )
⇒1 − + − + − =

.
- Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.

4
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1).
Bài giải
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
P
n AB,AC
 
=
 
uur uuur uuur
.
Với
( )
( )

= −


= −

- Do ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) nằm trên ba trục tọa độ nên mặt
phẳng (P) có phương trình là:
o
1 1 x+y+z-1=0
1 1 1
x y z x y z
a b c
+ + = ⇒ + + = ⇔
.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
+ + + + + =
2 2 2
x y z 2x 4y z 0
. Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm (khác gốc tọa độ) của
mặt cầu (S) với các trục Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua ba
điểm A, B, C.
Bài giải
• Tìm A.
- Vì
( )
Ox A x;0;0A∈ ⇒
.
- Do
( ) ( )
2
0
S 2 0 2;0;0


.
• Tìm C.
- Vì
( )
C Oz C 0;0;z∈ ⇒
.
- Do
( ) ( )
2
0
C S z 0 C 0;0; 1
1
z
z
z
=

∈ ⇒ + = ⇔ ⇒ −

= −

.

5
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
• Do ba điểm A(-2;0;0), B(0;-4;0), C(0;0;-1) nằm trên ba trục tọa độ nên mặt
phẳng (P) có phương trình là:

1

và mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát:
x+y-2z-4=0. Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương
trình mặt phẳng (OHK).
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;-3;4). Gọi A, B, C lần
lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục tọa độ. Viết phương trình mặt
phẳng (ABC).
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của điểm M(2;3;-5) lên các mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình mặt
phẳng đi qua ba điểm I, J, K.
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(-7;9;1),
B(2;-3;2), C(5;0;4), D(6;2;5). Gọi G là trọng tâm tứ diện và I là điểm cách đều các
đỉnh của tứ diện. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm B, G, I.
• Dạng 4
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d
không đi qua A.
a. Phương pháp.
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A.
- Chọn một điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
thuộc đường thẳng d.
- Do mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d nên mặt phẳng (P)
có vectơ pháp tuyến là:
 
=
 
uur uuuur uur
P d
n MA,a

- Đường thẳng d đi điểm M(1;0;2) và có vectơ chỉ phương là
( )
1;2;1
d
a =
uur
.
- Ta có
( )
0;3;0MA =
uuur
.
- Do mặt phẳng (P) đi qua A và chứa đường thẳng d nên mặt phẳng (P) có
vectơ pháp tuyến là:
( )
 
= = −
 
uur uuuur uur
P d
n MA,a 3;0; 3
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
( ) ( ) ( )
3 1 0 3 3 2 0
3 3 3 6 0

=


=


uuur
r
.
- Suy ra:
( )
 
= = −
 
uur uuur r
P
n OA,i 0;1; 1
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
( ) ( ) ( )
x 1 0 1 0 0
0
y z
y z
⇒ 0 −0 + − − − =
⇔ − =

n AB,n
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua hai điểm A(3;-2;5), B(1;-1;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x-3y+2z+4=0.
Bài giải
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(3;-2;5).
- Do mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên
mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
 
=
 
uur uuur uur
P Q
n AB,n
.
- Với
( )
( )
2;1; 2
1; 3;2
Q
AB
n


⇒ − − + + + − =
⇔ − + + + + − =
⇔ − − + =
c. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua hai điểm A(2;-1;4), B(3;2;-1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+y+2z-3=0.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi
qua hai điểm M(2;1;1), N(3;2;2) và vuông góc với mặt phẳng (
β
): x+2y-5z-3=0.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q) đi
qua hai điểm E(1;-2;2), F(-3;1;2) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x+y-z+6=0.

8
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
• Dạng 6
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc
với mặt phẳng (Q).
a. Phương pháp.
- Chọn một điểm M(
0 0 0
; ;x y z
) thuộc đường thẳng d.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên
mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
 
=
 

- Chọn điểm M(1;0;2) thuộc đường thẳng d.
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
( )
1;2;1
d
a =
uur
.
- Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là:
( )
2; 1;0
Q
n = −
uur
.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q)
nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
( )
 
= = −
 
uur uur uur
P d Q
n a ,n 1;2; 5
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.

n =
uur
.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q)
nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
( )
 
= = −
 
uur uur uur
P d Q
n a ,n 1;0; 1
.

9
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.

( ) ( ) ( )
1 1 0 0 1 1 0.
2 0.
x y z
x z
⇒ − + − − + =
⇔ − − =
c. Bài tập luyện tập.

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q)
chứa trục Oz và vuông góc với mặt phẳng (P): 5x-3y-2z+7=0.
• Dạng 7
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song
với đường thẳng d’.
a. Phương pháp.
- Chọn một điểm M(
0 0 0
; ;x y z
) thuộc đường thẳng d.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và và song song với đường thẳng d’
nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
 
=
 
uur uur uur
P d d'
n a ,a
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
tham số là:
3
1
2 2

10
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.
Bài giải
- Chọn điểm M(3;1;2) thuộc đường thẳng d.
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
( )
1; 1;2
d
a = −
uur
.
- Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là:
( )
'
1;3;2
d
a = −
uur
.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’
nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
( )
 
= = − −
 
uur uur uur
P d d'
n a ,a 8; 4;2
.
- Phương trình mặt phẳng (P):

= −


= − +


=

. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và
song song với đường thẳng d’.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
chính tắc là:
1 2
2 1 1
x y z− −
= =
−
và đường thẳng d’ có phương trình chính tắc là :
5 4
2 3 1
x y z+ −
= =
− −
. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
d và song song với đường thẳng d’.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0),
C(0;0;1), D(1;1;1).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với
đường thẳng CD.
2. Viết phương trình mặt phẳng

tham số là:
1 2
2
1 3
x t
y t
z t
= +


= +


= − +

và đường thẳng d’ có phương trình tham số là:
2 '
1 2 '
1 '
x t
y t
z t
= +


= +


= +


- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.

( ) ( ) ( )
1 1 2 3 1 0.
x+y+3z+6=0.
x y z⇒ −5 − + − + + =
⇔ −5
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
tham số là:
1 2
2
x t
y t
z t
= +


=


= +

và đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
1 4 '
1 2 '
2 '

uur
.
- Nhận thấy
'
2
d d
a a=
uur uur
và điểm A thuộc d nhưng không thuộc d’ nên đường
thẳng d song song với đường thẳng d’.
- Tính
( )
0;1; 2AB = −
uuur
.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’ nên mặt phẳng
(P) có vectơ pháp tuyến là:
( )
 
= = − −
 
uur uuur uur
P d
n AB,a 3; 4; 2
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.

và đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
2 2 '
1
0
x t
y
z
= − +


=


=

.
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường
thẳng d’.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình
chính tắc là:
1 2 4
2 1 3
x y z− + −
= =
−
và đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
1
2 3
x t
y t

x t
y t
z t
=


= +


= − +

.
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường
thẳng d’.
• Dạng 9
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với
mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R).
a. Phương pháp.
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm M.
- Do mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R) nên mặt
phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
 
=
 
uur uur uur
P Q R
n n ,n
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )

 
= = −
 
uur uur uur
P Q R
n n ,n 1;2; 3
- Phương trình mặt phẳng (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.

( ) ( ) ( )
1 1 2 2 3 1 0.
2 3 2 0.
x y z
x y z
⇒ − + − − − =
⇔ + − − =
c. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) có phương trình
tổng quát là 2x+y+z+1=0, mặt phẳng (R) có phương trình tổng quát là x-2y+z+4=0
và điểm M(1;0;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc
với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R).
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0),
C(0;0;2) và mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát là x+2z+10=0. Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-2;1;-3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) và
mp(ABC).
• Dạng 10
Viết phương trình mặt phẳng (P) thỏa điều kiện cho trước và tiếp xúc

(P) có dạng 2x+2y+z+D=0 với D
≠
-1.
- Mặt khác, do mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:
( )
( )
,
2.1 2.2 3
3 9 9
9
9 9 0
9 9 18
d I P R
D
D
D D
D D
=
+ + +
⇔ = ⇔ + =
+ = =
 
⇔ ⇔
 
+ = − = −
 14
Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng.

0A B C+ + ≠
.
- Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) có
vectơ pháp tuyến là
( )
2;1;2
P d
n a= =
uur uur
.
- Phương trình mặt phẳng (P) có dạng 2x+y+2z+D=0.
- Mặt khác, do mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:
( )
( )
,
2.1 1 2.1
3
9
5 9 4
5 9
5 9 14
d I P R
D
D D
D
D D
=
+ + +
⇔ =
+ = =



= −


= +

và mặt cầu (S)
2 2 2
x y z 2x 4y 6z 2 0+ + − − − − =
. Viết phương
trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp
xúc với mặt cầu (S):
2 2 2
10 2 26 170 0x y z x y z+ + − + + + =
và song song với hai đường
thẳng d:
5 2 x=-7+3t'
1 3 , d': y=-1-2t'
13 2 z=8
x t
y t
z t
= − +
 
 
= −
 
 

( )
0 0 0 0
; ;M x y z
và song song với mặt phẳng (Q).
3
5
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C
không thẳng hàng.
4
6
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa
đường thẳng d không đi qua A.
6
7
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua qua hai điểm A,
B và vuông góc với mặt phẳng (Q).
8
8
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và
vuông góc với mặt phẳng (Q).
9
9
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và
song song với đường thẳng d’.
10
10
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và
đường thẳng d’.
11
1117