Luận văn
Nhóm Lie phương trình vi
phân
Mục lục
Mục lục 1
Lời cảm ơn 3
Lời mở đầu 4
1 Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Nhóm 6
1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Nhóm các phép biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số . . . . . . 10
1.2.3 Biến đổi vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4 Định lý Lie cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.5 Toán tử sinh vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.6 Hàmbấtbiến 23
1.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 Địnhnghĩa 24
1.3.2 Toán tử sinh vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.3 ĐạisốLie 32
1.3.4 Đại số Lie giải đ-ợc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1
www.VNMATH.com
Mục lục 2
2 ứng dụng tính đối xứng vào việc giải ph-ơng trình vi phân 37
2.1
ứng dụng nhóm Lie một tham số vào giải ph-ơng trình vi
phâncấpI 37

ĐHQGHN đã giảng dạy, dìu dắt tôi trong suốt 4 năm qua. Khóa luận cũng
đ-ợc hoàn thành với sự động viên tinh thần của gia đình và bạn bè.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất về tất cả sự giúp đỡ
quý báu đó!
Hà Nội, ngày 21 tháng 5 năm 2009
Sinh viên: Nguyễn Thị Hồng Xuân
3
www.VNMATH.com
Lời mở đầu 4
Lời mở đầu
Trong toán học, một nhóm Lie, đ-ợc đặt tên theo nhà toán học ng-ời
Na Uy là Sophus Lie, là một nhóm cũng là một đa tạp trơn (differentiable
manifold), với tính chất là các toán tử nhóm t-ơng thích với cấu trúc trơn.
Nhóm Lie đại diện cho lý thuyết phát triển của các đối xứng liên tục của
các cấu trúc toán học. Điều này đã làm nhóm Lie là công cụ cho gần nh-
tất cả các ngành toán hiện đại, và vật lý lý thuyết hiện đại, đặc biệt là
trong vật lý hạt.
Bởi vì các nhóm Lie là các đa tạp, chúng có thể đ-ợc nghiên cứu sử
dụng giải tích vi phân (differential calculus), t-ơng phản với tr-ờng hợp
các nhóm tôpô tổng quát hơn. Một trong những ý t-ởng chính trong lý
thuyết về nhóm Lie, đề ra bởi Sophus Lie là thay thế cấu trúc toàn cục,
nhóm, với phiên bản mang tính địa ph-ơng của nó hay còn gọi là phiên
bản đã đ-ợc làm tuyến tính hoá, mà Lie gọi là một nhóm cực nhỏ mà bây
giờ đ-ợc biết đến nh- là đại số Lie.
Nhóm Lie đã cung cấp một ph-ơng tiện tự nhiên để phân tích các đối
xứng liên tục của các ph-ơng trình vi phân (lý thuyết Picard-Vessiot),
trong một cách thức nh- các nhóm hoán vị (permutation group) đ-ợc sử
dụng trong lý thuyết Galois để phân tích các đối xứng rời rạc của các
ph-ơng trình đại số.
Trong bài khoá luận này, tác giả xin trình bày một số nghiên cứu cơ bản

5
www.VNMATH.com
Ch-ơng 1
Kiến thức chuẩn bị
Chúng ta bắt đầu với việc định nghĩa nhóm, xét đến nhóm các phép biến
đổi và đặc biệt là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số. Trong tr-ờng
hợp này các phép biến đổi đều thực hiện trên R
2
.
1.1 Nhóm
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp G cùng với phép toán : G ì G G.
(G, ) đ-ợc gọi là một nhóm nếu thoả mãn các tiên đề
1) Tính đóng: Nếu a, b G thì (a, b) G.
2) Tính kết hợp: Với mọi phần tử a, b, c G bất kỳ thì
(a, (b, c)) = ((a, b),c).
3) Phần tử đơn vị: Tồn tại duy nhất phần tử đơn vị e G sao cho với
mọi phần tử a G: (a, e)=(e, a)=a.
4) Phần tử nghịch đảo: Với phần tử a bất kỳ thuộc G, tồn tại duy nhất
phần tử nghịch đảo a
1
G sao cho (a, a
1
)=(a
1
,a)=e.
6
www.VNMATH.com
1.1. Nhóm 7
Định nghĩa 1.1.2. Nhóm (G, ) đ-ợc gọi là nhóm Abel nếu
(a, b)=(b, a), với mọi phần tử a, b G.

i)
ánh xạ : R
+
ì R
+
R
+
vì tích a.b là số thực d-ơng khi a, b là các
số thực d-ơng.
7
www.VNMATH.com
1.1. Nhóm 8
ii) Với các phần tử a, b, c R
+
bất kỳ, ta có
((a, b),c)=(a.b).c = a.(b.c)=(a, (b, c)).
iii) Tồn tại phần tử đơn vị e =1thoả mãn a.1=1.a = a, với mọi phần
tử a R
+
.
iv) Với mọi phần tử a R
+
bất kỳ, tồn tại phần tử nghịch đảo a
1
=
1
a
thoả mãn a.
1
a

1
,)= +
1
+
1
=0.
8
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 9
Suy ra
1
=

1+
(1, +). Vậy (S, ) là một nhóm.
Vì (, )= + + = + + = (, ) nên (S, ) là nhóm Abel.
Ví dụ 1.1.7. Cho G = R
2
với phép toán =(, )=(
1
+
1
,e

1

2
+
2
),

2
) R
2
vì , R
2
.
ii) Với các phần tử ,, bất kỳ, ta có
((, ),)=((
1
+
1
,e

1

2
+
2
),)
=(
1
+
1
+
1
,e

1
(e


= (, (, )).
iii) Phần tử đơn vị e =(0, 0) thoả mãn
(, e)=(
1
+0,e
0

2
+0)=(
1
,
2
)=.
iv) Với mọi phần tử R
2
, ta xác định phần tử nghịch đảo
1
Ta có: (,
1
)=e nên suy ra (
1
+
1
1
,e

1
1

2

2
) =(
1
+
1
,e

1

2
+
2
)=(, ) nên (R
2
,)
không là nhóm Abel.
1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số
1.2.1 Nhóm các phép biến đổi
Định nghĩa 1.2.1. Cho D R
2
,S R,
(S, ) là một nhóm có phần tử đơn vị e S.
9
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 10
Xét ánh xạ X : D ì S D.
Tập hợp

X(., )


2) X(., 0) = Id
D
.
3) X(X(x,),)=X(x,(, )), với mọi , S.
10
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 11
Ví dụ 1.2.3 (Nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng). Cho nhóm các
phép biến đổi
x

= x + ,
y

= y, R.
với phép toán (, )= + .
Nh- vậy, nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng đ-ợc cho bởi D = R
2
,
(S, ) là nhóm cộng và ánh xạ
X : R
2
ì R R
2
((x, y),) (x

,y

)=(x + , y).
Ta chứng minh nhóm {X(., )}

) thoả mãn
x = x
1
+ ,
y = y
1
.
Suy ra (x
1
,y
1
)=(x , y) R
2
. Tức là ImX R
2
.
Vậy X : R
2
R
2
là song ánh.
2) X((x, y),)=(x + , y ) khả vi vô hạn theo (x, y) do ta có
X
x
=(1, 0),
X
y
=(0, 1),

2

),
y = y.
Vì X((x, y),.) có khai triển Taylor tại
0
và hội tụ tại
0
nên nó giải
tích theo .
4) Ta có


=1,


=1,

2


2
=

2


2
=0,

2


x

= x,
y

=
2
y, 0 <<+.
12
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 13
Và phép toán giữa các tham số (, )=.
Vì phần tử đơn vị là =1nên nhóm các phép biến đổi này đ-ợc tham
số hoá lại với số hạng = 1 nên =1+. Khi đó,
x

=(1+)x,
y

=(1+)
2
y; 1 <<+.
Nhóm Scaling đ-ợc cho bởi D = R
2
,S =(1, +) với phép toán
: S ì S S
(, ) + + ,
và ánh xạ
X : R
2

X : R
2
R
2
là đơn ánh.
Giả sử có (x, y) bất kỳ R
2
ta luôn tìm đ-ợc (x
1
,y
1
) R
2
thoả mãn
(1 + )x
1
= x,
(1 + )
2
y = y.
Suy ra (x
1
,y
1
)=

1
1+
,
1

X
y
2
=

2
X
xy
=

2
X
yx
=(0, 0).
13
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 14
3) Với (x, y) cố định R
2
, ta có biểu diễn
(1 + )x =(1+
0
)x +(
0
)x,
(1 + )
2
y =(1+
0
)

0

0

0
=
0
+
0
+
0

0
+(
0
)+(
0
)
+(
0
)(
0
)+
0
+
0

0

0

Ta thấy (, ) khai triển đ-ợc d-ới dạng khai triển Taylor và hội tụ
tại điểm (
0
,
0
),dođó(, ) là hàm giải tích theo , .
5) X((x, y), 0) = ((1 + 0)x, (1 + 0)
2
y)=(x, y).
6) Cuối cùng ta chứng minh với , bất kỳ, ta có
X(X(x, y),),) = (((1 + )x, (1 + )
2
y),)
= ((1 + )(1 + )x, (1 + )
2
(1 + )
2
y)
= ((1 + + + )x, (1 + + + )
2
y)
= X((x, y),(, )).
Vậy X((x, y),) là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số.
14
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 15
1.2.3 Biến đổi vi phân
Cho nhóm Lie các phép biến đổi một tham số
X


+
= x +

X(x,




=0

+ O(
2
).
(1.2)
Đặt
(x)=
X(x; )




=0
. (1.3)
Phép biến đổi x + (x) đ-ợc gọi là biến đổi vi phân của nhóm Lie các
phép biến đổi (1.1). Các thành phần của (x) đ-ợc gọi là vi phân của phép
biến đổi (1.1).
Một vấn đề đặt ra là nếu chỉ cho biết (x) thì liệu rằng ta có thể biết đ-ợc
biến đổi X(x; ) hay không? Chúng ta cùng tìm hiểu về Định lý Lie cơ
bản thứ nhất để giải quyết vấn đề này.
1.2.4 Định lý Lie cơ bản thứ nhất

), (1.5)
với điều kiện ban đầu
x

= x,khi=0. (1.6)
Trong đó:
Phép tham số hoá
()=


0
(

)d

. (1.7)
Với
()=
(a, b)
b



(a,b)=(
1
,)
, (1.8)
và
(0) = 1. (1.9)
Chứng minh: Tr-ớc hết ta chỉ ra (1.1) dẫn đến (1.5) - (1.6) và (1.7) - (1.8).





(
1
,)

+ O(()
2
).
(1.11)
Đặt
(
1
; )




(
1
,)
=().
Ta dẫn đến
(
1
,+)=() + O(()
2
). (1.12)

của hệ ph-ơng trình vi phân
dx

d
=()(x

). (1.14)
và giá trị ban đầu
x

= x, khi =0. (1.15)
Từ (1.2) và (0) = 1 phép tham số hoá ()=


0
(

)d

ta suy ra đ-ợc
hệ (1.5) - (1.6). Vì
(x)
x
1
,
(x)
x
2
liên tục nên theo định lý tồn tại và duy
nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ ph-ơng trình vi phân (1.5) - (1.6),



=0
=(1, 0).
Bây giờ, giả sử ta chỉ có (x)=(1, 0). Khi đó từ hệ (1.5) - (1.6) ta sẽ xây
dựng trở lại nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng. Thật vậy,
dx

d
=1,
dy

d
=0, (1.17)
và điều kiện ban đầu
x

= x, y

= y, khi =0. (1.18)
Giải hệ (1.17) - (1.18), ta có
x

= + C
1
,
y

= C
2

với phép toán giữa các tham số là (a, b)=a + b + ab, và có phần tử
nghịch đảo
1
=

1+
. Do đó,
(a, b)
b
=1+a.
Suy ra ()=
(a, b)
b



(a,b)=(
1
,)
=1+
1
=
1
1+
.
Cho x =(x, y). Hệ (1.19) trở thành
X =(x; )=((1+)x, (1 + )
2
y)
nên ta có

= x, y

= y, khi =0.
(1.20)
Giải hệ (1.20) ta thu đ-ợc hệ (1.19) Thực hiện phép tham số hoá
=


0
(

)d

=


0
1
1+

d

=ln|1+|.
Nhóm (1.19) trở thành
x

= e

x,
y

với điều kiện ban đầu
x

= x khi =0. (1.23)
Định nghĩa 1.2.9. Toán tử sinh vi phân của nhóm Lie các phép biến đổi
một tham số là toán tử
X = X(x)=(x). =
1
(x)

x
1
+
2
(x)

x
2
. (1.24)
với là toán tử gradient:
=


x
1
,

x
2


(x)
x
1
x
2
,
1
(x)
x
2
x
1
+
2
(x)
x
2
x
2

=((x
1
),(x
2
))(x).
Theo định lý Lie thứ nhất từ nhóm Lie các phép biến đổi một tham số ta
xác định đ-ợc toán tử sinh vi phân. Định lý d-ới đây chỉ ra rằng bằng
việc sử dụng toán tử sinh vi phân (1.23) ta dẫn đến thuật toán tìm nghiệm
t-ờng minh của bài toán Cauchy.
Định lý 1.2.10. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số t-ơng đ-ơng với

x
i
.
và toán tử X
k
= X
k
(x) k =1, 2, Trong đó toán tử X
k
F (x) đ-ợc từ
toán tử X trong X
k1
F (x),k=1, 2, , với X
0
F (x) F (x).
20
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 21
Chứng minh: Cho
X = X(x)=
1
(x)

x
1
+
2
(x)

x


=


k=0

k
k!

X(x; )

k



=0

=


k=0

k
k!

d
k
x

d

dx

2
d
=
1
(x

)
F(x

)
x

1
+
2
(x

)
F(x

)
x

2
= X(x

)F (X



)x

= X(x

)X(x

)x

= X
2
(x

)x

.
(1.30)
Tổng quát
d
k
x
d
k
= X
k
(x

)x

,k=1, 2, (1.31)


k
k!
X
k
x.
21
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 22
Hệ quả 1.2.11. Nếu F (x) là hàm khả vi vô hạn thì nhóm Lie các phép biến
đổi một tham số x

= X(x; ) với toán tử sinh vi phân
X(x)=(x)


x
1
+

x
2

, ta có
F (x

)=F(e
X
.x)=e
X

F (x

)
d
2
= X
2
(x

)F (x

),dođó
d
k
F (x

)
d
k
= X
k
(x

)F (x

).
Vì
d
k
F (x

Ví dụ 1.2.12. Ta xét ví dụ cho nhóm phép quay
x

= x cos + y sin ,
y

= x sin + y cos .
(1.33)
Phép biến đổi vi phân của hệ (1.33)
(x

)=(
1
(x, y);
2
(x, y)) =

dx

d



=0
,
dy

d



y). Khi đó,
Xx = y
x
x
x
x
y
= y, Xy = y
y
x
x
y
y
= x.
22
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 23
Ta tính các X
k
x; X
k
y với k =1, 2,
X
2
x = XXx = Xy = x, X
3
x = X
2
Xx = X
2

2
y = y.
Do đó,
X
4n
x = x; X
4n1
x = y; X
4n2
x = x; X
4n3
x = y; n =1, 2, ,
X
4n
y = y; X
4n1
y = x; X
4n2
y = y; X
4n3
y = x; n =1, 2,
Bởi vậy (x

,y

) đ-ợc viết lại d-ới dạng
x

= e
X

y
= x cos + y sin .
T-ơng tự: y

= e
X
y = x sin + y cos .
1.2.6 Hàm bất biến
Định nghĩa 1.2.13. Cho F : D D và F (x) là hàm khả vi vô hạn. Khi
đó F đ-ợc gọi là bất biến qua nhóm Lie các phép biến đổi (1.1) nếu và chỉ
nếu
F (X(x,)) = F (x). (1.35)
Định lý 1.2.14. F(x) là bất biến qua nhóm Lie các phép biến đổi (1.1) nếu
và chỉ nếu
XF(x) 0.
Chứng minh:
F (x

) e
X
F (x)


k=0

k
k!
X
k
F (x) F(x)+XF (x)+

Do đó, XF(x) 1.
Ng-ợc lại, nếu ta cho F (x) thoả mãn XF(x) 1. Khi đó X
n
F (x) 0,
với n =2, 3, Do vậy,
F (x

) e
X
F (x) F (x)+XF (x) F (x)+.
1.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số
1.3.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.3.1. Cho D R
2
, x =(x
1
,x
2
) D,
S =(S
1
,S
2
), và phần tử =(
1
,
2
) S.
(S,) là nhóm có phần tử đơn vị e =(0, 0).
Phép toán