TT GDTX Chu Văn An Tài liệu Toán 10 – HKI
§
1. MỆNH ĐỀ
1. Định nghĩa: Mệnh đề là một câu khẳng định Đ hoặc S. Một mđề khơng thể vừa đúng hoặc vừa sai
2. Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Khơng phải P ” gọi là mệnh đề phủ định của P. Ký hiệu là
P
. Nếu P đúng thì
P
sai, nếu P sai thì
P
đúng
3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo: Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo
theo. Ký hiệu là P ⇒ Q. Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng Q sai
Cho mệnh đề P ⇒ Q. Khi đó mệnh đề Q ⇒ P gọi là mệnh đề đảo của P ⇒ Q
4. Mệnh đề tương đương: Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” gọi là mệnh đề tương
đương, ký hiệu P ⇔ Q. Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả P và Q cùng đúng
5. Ký hiệu ∀ , ∃ :
Phủ định của mệnh đề “ ∀x∈ X, P(x) ” là mệnh đề “∃x∈X,
P(x)
”
Phủ định của mệnh đề “ ∃x∈ X, P(x) ” là mệnh đề “∀x∈X,
P(x)
”

Bài 1. Câu nào trong các câu sau là một mệnh đề? là một mệnh đề chứa biến?
a. 2 + 2 = 5 ; b. 4 – 3x = 5 ; c.
2
là một số hữu tỉ ; d.
π
có phải là số vơ tỉ khơng?
Bài 2. Với mỗi mệnh đề chứa biến sau, hãy tìm hai giá trị thực của x để được một mđề đúng và một mđề sai.

a. Lập mệnh đề
P Q⇒
và xét tính đúng sai của nó .
b. Lập mệnh đề đảo của mệnh đề
P Q⇒
. Chỉ ra một trường hợp của n mà mệnh đề đảo sai.
Bài 6. Cho phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (1). Xét các mệnh đề sau:
a. Nếu biệt thức của phương trình (1) dương thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b. Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm bằng – 1.
c. Nếu phương trình (1) có một nghiệm bằng 1 thì phương trình (1) có một nghiệm bằng
c
a
.
Lập mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên, xét tính đúng sai của chúng. Viết mệnh đề đã cho và mệnh đề đảo của
nó dưới dạng cần và đủ.
Bài 7. Xét các mđ: A = “
2
: 1 0x x∀ ∈ + >¡
”; B = “
:2x x x∀ ∈ >¡
”; C = “
:x n n∃ ∈ = −¢
”; D = “
:2x x∃ ∈ ∈¤ ¥
”
a. Mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai? b. Phát biểu các mệnh đề đã cho bằng lời.
c. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề đã cho.
Bài 8. Xét hai mđ sau: A: “Mọi số thực đều lớn hơn số đối của nó”, B: “Có một số thực bằng nghịch đảo của nó”.

b) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau
c) Số ngun dương a chia hết cho 24 thì chia hết cho 4 và 6
d) Nếu tứ giác ABCD là hình vng thì 4 cạnh bằng nhau
Bài 15. Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
a) Nếu a ≠ b ≠ c thì a
2
+ b
2
+ c
2
> ab + bc + ca
b) Nếu a.b chia hết cho 7 thì a hoặc b chia hết cho 7
c) Nếu x
2
+ y
2
= 0 thì x = 0 và y = 0
d) Nếu a + b < 4 thì một trong hai số a, b nhỏ hơn 2
e) Nếu
1
1
a
b
 <


<


thì

c/ Nếu x
2
+ y
2
= 0 thì x = 0 và y = 0 d/ Nếu x = 1 hay y =
2
1
thì x + 2y − 2xy − 1 = 0
d/ Nếu x ≠ −
2
1
và y ≠ −
2
1
thì x + y + 2xy ≠ −
2
1
e/ Nếu x.y chia hết cho 2 thì x hay y chia hết cho 2.
e) Nếu d
1
// d
2
và d
1
// d
3
thì d
2
// d
3

∈
T
1
.
Bài 2. Liệt kê các phần tử của tập hợp sau :
a.
{ }
3 10A x N x= ∈ + ≤
; b. B = {
x N x∈
là ước của 18};
c. C = {
x N x∈
M
3 và 3 < x
≤
21}; d. D = Tập các ước chung của 20 và 45 ;
e.
{ }
2
1 ,1 10E n n Z n= − ∈ ≤ ≤
; f.
{ }
2
10F x Z x= ∈ ≤
.
Bài 3. Trong hai tập hợp A, B dưới đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại?
a. A là tập hợp các hình bình hành. B là tập hợp các hình chữ nhật.
b. A là tập hợp các hình tam giác. B là tập hợp các hình tứ giác.
c. A là tập hợp các tam giác cân. B là tập hợp các tam giác đều.

Bài 8. Cho A = {x / x là ước ngun dương của 12} B = {x ∈ N / x < 5}
C = {1, 2, 3} D = {x ∈ N / (x + 1)(x − 2)(x − 4) = 0}
a/ Liệt kê tất cả các tập có quan hệ ⊂ b/ Tìm tất cả các tập X sao cho D ⊂ X ⊂ A
c/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C ⊂ Y ⊂ B

§
3. CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP
Bài 1. Kí hiệu là tập hợp các số tự nhiên khơng vượt q 50 và là bội của 4, B là tập hợp các số tự nhiên khơng vượt
q 50 và là bội của 6.
a. Hãy liệt kê các ptử của A và B. b. Xác định các tập hợp
, , \ , \A B A B A B B A∩ ∪
.
Bài 2. Cho A là một tập con của tập B. Hãy xác định các tập hợp sau :
a.
A B∩
; b.
A B∪
; c. A \ B
Bài 3. Cho các tập hợp U = {a, b, c, d, e}, V = {a, b, e}, T = {b, c, d}. Hãy xác định các tập hợp sau :
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên totoanhd.hnsv.com Trang 3
TT GDTX Chu Văn An Tài liệu Toán 10 – HKI
a.
V T∩
; b.
V T
∪
; c. U \ V ; d. U \ {a}.
Bài 4. Xác định các tập hợp
, , \ , \A B A B A B B A∩ ∪
trong các trường hợp sau:

( ) ( )
{ }
2 2
/ 3 4 4 0x R x x x∈ − − − =
D =
{ }
/ 1 4n Z n∈ − ≤
A ∩ B; B ∪ C; C ∩ D; A ∪ D; B \ C; B ∩ C; (A ∩ B) ∪ D; A ∪ C; (A ∪ B) \ D
§
4. CÁC TẬP HỢP SỐ
Bài 1. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số:
a.
(
]
(2;5) 3;7∩
b.
[
)
1
;2 1;1
2
 
− ∪ −
 
 
c.
( 4;13) (4; )− ∪ +∞
d. (–3 ; 1] \ (2; 4).
Bài 2. Xác định các tập hợp
, , \ , \A B A B A B B A∩ ∪

/ 2 , / 7A x R x B x R x= ∈ ≤ = ∈ >
;
e.
{ } { }
/ 1 2 , / 0 7A x R x B x R x= ∈ − < ≤ = ∈ ≤ <
.
Bài 5. Xác định các tập hợp sau:
a.
\ ( ;2)R −∞
; b.
[
)
\ 1;R − +∞
; c.
\ (2;2)R
; d.
[
)
\ 2;2R −
.
Bài 6. Xác định các tập hợp A \ B với
a. A = (–5 ; 3), B = (2 ; 7) b. A = (–5 ; 3), B = (–7; 0]; c. A = (–5 ; 3), B = [–2 ; 1).
Bài 7. Cho a, b, c, d
R∈
, a , b < c < d. Xác định các tập hợp sau :
a. (a ; d)
∩
[b ; c) ; b. (a ; c)
∪
(b ; d) c. (a ; d) \ [b ; c) d. (a ; c] \ (b ; d) .

có A
U
Y = A
I
X
Bài 6. Cho hai tập A và B. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
• x
∉
A
U
B khi chỉ khi x
∉
A hoặc x
∉
B
• x
∉
A
I
B khi và chỉ khi x
∉
A hoặc x
∉
B
• x
∉
A\B khi và chỉ khi x
∉
A hoặc x
∈

∈ (a; b).
 Tính k =
1 2
1 2
( ) ( )f x f x
x x
−
−
o Nếu k > 0: Hàm số tăng (đồng biến) trên (a; b).
o Nếu k < 0: Hsố giảm (nghịch biến) trên (a; b).
Vấn đề 3. Tính chẵn lẻ của hàm số:
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.
 Xét xem D có phải là tập đối xứng khơng, nếu khơng
thì KL hs khơng chẵn khơng lẻ. Chú y: Tập D đối xứng khi
∀x ∈ D ⇒ – x ∈ D
 Nếu f(– x) = f(x): Hàm số chẵn
 Nếu f(– x) = – f(x): Hàm số lẻ
§
2. HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax + b (a ≠ 0)
 Tập xác định D = R.
 Khi a > 0: hàm số đồng biến trên R
 Khi a < 0: hàm số nghịch biến trên R
Đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng có hệ số góc
bằng a.
Cho hai đường thẳng d: y = ax + b và d’: y = a’x + b’
 d // d’ ⇔ a = a’ và b ≠ b’
 d cắt d’ ⇔ a ≠ a’
 d ≡ d’ ⇔ a = a’ và b = b’
 d ⊥ d’ ⇔ a.a’ = – 1
§

x
– ∞
2
b
a
−
+ ∞
Y

4a
∆
−

– ∞ – ∞
y
+ ∞ + ∞

4a
∆
−

a < 0 a > 0
* ĐĐB: Ta lấy mỗi bên của
2
b
a
−
hai điểm ĐB có hồnh độ ngun
* Đồ thị:
 Dạng 2 : Tìm các hệ số a, b, c

m
a
A P

− =

⇔


∈

Bài 1. Tìm tập xc định của các hàm số sau:
2
2 3
1/ 1 4 2 / 2 5 1 7 3 / 2 3
2 11 21 1
x x
y x y x x y x
x x x
−
= − + = − + − = − − −
+ − +
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên totoanhd.hnsv.com Trang 5
CHƯƠNG II. HÀM SỐ
CHƯƠNG II. HÀM SỐ
TT GDTX Chu Văn An Tài liệu Toán 10 – HKI
( )
2 2
2
2

x x
x x x
y y x
x
x x
− + − −
= + = − − + =
+ − − +
− − + − + −
= = =
− − + − + −
−
− − −
= = + − − = − −
−
+ +
+ −
= − = − − +
− −
2
2
2 5 18 1
3 1 3 1
x x x
y
x x
− − − −
=
− −
Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

x x x
x x x
− − −
= − − + = = = − −
− − + +
− − +
Bài 3. Tìm m để hàm số sau xác định trên
(
]
1;3D =
:
2 2
1
/ / 3 2
2
a y b y m x m x
x m
= = + −
−
Bài 4. Tìm m để hàm số
2
2
( 2) 1
4
m
y x m x= − + + −
có tập xác định là R.
Bài 5. Khảo st tính chẵn lẻ của cc hm số sau:
1/ y = x
6

15/
1y x= +
16/
3
y x x= +
Bài 6. Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau trên khoảng đ chỉ ra:
1/ y = – 3x + 1 2/ y = 2x
2
trn (0 , +
∞
) 3/ y = 3(x – 1) – x + 2
4/ y = x
2
– 2x + 3 trn (2 , +
∞
). 5/ y = – x
2
– 4x + 5 trn (– ∞; – 2)
6/ y = 3x
2
+ 6x – 1 trn (– 1; + ∞) 7/ y = x
2
+ 3x – 2 trn
3
;
2
 
−∞ −
 ÷
 

y
x
−
=
+
trn
( )
2;− +∞
11/
1
3
y
x
=
−
trn
( )
;3−∞
13/
2y x x= +
14/
2 3
7 5 3y x x x= − + −
15/
1
1
x
y
x
+

2
– 3x 4/y = – 2x
2
+ x – 1
5/ y = 3x
2
+ 1 6/ y = x
2
– 4x + 1 7/ y = x
2
+ 3x + 2 8/y = – 2x
2
+ 4x + 1
9/ y = x
2
+ 5x +4 10/ y = 2x
2
– 3x – 5 11/ y = – x
2
+ 4x 12/ y = 3x
2
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên totoanhd.hnsv.com Trang 6
TT GDTX Chu Văn An Tài liệu Toán 10 – HKI
Bài 10. Tìm tập xc định, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
3 1 2 0
2 1 0
/ ( ) / ( ) 2 0 1
1 0
2 1 1 2
x x

2
– 3x 3/y = – 2x
2
+ x – 1 4/y = x
2
+ x
5/ y = 3x
2
+ 1 6/ y = x
2
– 4x + 1 7/ y = x
2
+ 3x + 2 8/y = – 2x
2
+ 4x + 1
Bài 12. a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x
2
– 2x + 3
b/ Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ với parabol trên đường thẳng d: y = x – 1
c/ Tìm giao điểm của hai đường trên.
Bài 13. a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = – x
2
– 2x + 2
b/ Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ với parabol trên đường thẳng d: y = – x + 4
c/ Tìm giao điểm của hai đường trên.
Bài 14. Tìm parabol (P): y = ax
2
+ bx + 2 biết rằng:
a/ Parabol đi qua 2 điểm A(1; 5) , B(–2; 8). b/ Đỉnh S(– 1; 0)
c/ Trục đối xứng x = 2, parabol đi qua điểm M(2; 1) d/ Đỉnh của (P) là I(1; 3)

3 11
;
4 8
 
 ÷
 
c/ Trục đối xứng x =
1
2
, đi qua điểm M(– 3; 27) d/ Đỉnh của (P) là S
1 9
;
4 8
 
− −
 ÷
 
Bài 17. Tìm phương trình của parabol: y = ax
2
+ bx + c biết rằng:
a/ Parabol đi qua 3 điểm A(0; –1), B(1; –1), C(–1; 1). b/ Parabol đi qua M(0 , 1) và có đỉnh S(–2 , 5).
Bài 18. Tìm parabol (P): y = ax
2
+ bx + 2 biết rằng
a/ Parabol đi qua 2 điểm A(1; 5) , B(–2; 8). b/ Đỉnh S(– 1; 0)
c/ Trục đối xứng x = 2, parabol đi qua điểm M(2; 1) d/ Đỉnh của (P) là I(1; 3)
Bài 19. Tìm parabol (P): y = ax
2
– 2x + c biết rằng
a/ (P) đi qua 2 điểm M(– 1; 3) , N(2; 8). b/ Đỉnh S

 ÷
 
c/ Trục đối xứng x =
1
2
, đi qua điểm M(– 3; 27) d/ Đỉnh của (P) là S
1 9
;
4 8
 
− −
 ÷
 
Bài 21. Tìm phương trình của parabol: y = ax
2
+ bx + c biết rằng:
a/ Parabol đi qua 3 điểm A(0; –1), B(1; –1), C(–1; 1). b/ Parabol đi qua M(0 , 1) và đỉnh S(–2 , 5).
Bài 22. Cho parabol (P): y = ax
2
+ bx + c. Xác định a, b, c biết:
a. (P) đi qua A(1; 2); B(– 1; 6), C
2
; .
3
 
 ÷
 
1
3
KS và vẽ (P). b. (P) đi qua M(2; – 1), Đỉnh S

//∆
m
?
b. Cmr các đường thẳng d
m
(khi m thay đổi) ln đồng quy tại một điểm cố định trong khi đường thẳng ∆
m
khơng đi qua điểm cố định nào cả.
Bài 27. Cho parabol (P) có phương trình y = ax
2
+ bx + c ln tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 2x + 1 tại A(1 ;3).
a. Tính b, c theo a.
b. Tìm quỹ tích đỉnh của (P) khi a thay đổi.
c. Tìm các điểm trong (Oxy) mà (P) khơng thể đi qua .
Bài 28. Cho hàm số y = f(x) = x
2
– 2
1
m
m
 
+
 ÷
 
+ m trong đó m là tham số khác 0. Giả sử
[ ]
1
1;1
min ( )
x



=


− + + > −


Bài 30. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2 2
2 4 12 9y x x x x= − + − +
Bài 31. Viết phương trình parabol biết
a. Parabol đi qua A(0; 2),B( – 1; 7),C(1; 1)
b. Parabol có đỉnh toạ độ I(2; 5) và đi qua A(1; 4)
c. Parabol đi qua A(2;0) B( – 2; – 8) và đạt cực trị bằng 1.
d. Parabol có đỉnh A(1; – 2) và chắn đường thẳng (d): y = x + 1 một dây cung MN =
34
Bài 32. Tìm các điểm cố định của họ đường cong y = m
2
x
2
+ 2(m – 1)x + m
2
– 1 theo 2 cách.
Bài 33. Cmr tất cả các đường thẳng thuộc họ (d
m
) cho bởi phương trình y = 2mx – m
2
+ 2m đều tiếp xúc với một
parabol cố định có trục đối xứng // với trục tung.

* b = 0: (1) ⇔ 0x = 0: VSN
2. Phương trình vơ tỉ:
* Dạng 1:
(1)A B=
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên totoanhd.hnsv.com Trang 8
CHƯƠNG III. PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
CHƯƠNG III. PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TT GDTX Chu Văn An Tài liệu Toán 10 – HKI
* Nếu a ≠ 0: (1) ⇔ x =
b
a
* Nếu a = 0: (1) ⇔ 0x = b
ĐK: B ≥ 0
(1) ⇔ A = B
2
* Dạng 2:
(1)A B=
ĐK: B ≥ 0
(1) ⇔
A B
A B
=


= −

* Dạng 3:
A B
A B
A B

2
x + (x + 1)m – 2(3x – 1) = 0
10/
2 1
3
2
mx m
m
x
+ −
= +
−
11/
3 2
2 1
1
m mx
m
x
− +
= −
−
12/
4 3
1 3
2
m x
m
x
− +

7/
( )
1 3 2
2 1
3
m x m
m
x
+ − +
= −
+
có nghiệm. 8/
2 3 3
4 1
1
mx m
m
x
− +
= −
−
vơ nghiệm
Bài 3. Tìm m để các phương trình sau có một nghiệm duy nhất:
1/ 2(mx – 1) – 3(x – m) = 0 2/
3 2 3
2 5
2
mx m
m
x

Bài 10. Tìm m để phương trình 3x
2
+ 4(m – 1)x + m
2
– 4m + 1 = 0 có 2 nghiệm x
1
,x
2
thỏa mãn
( )
1 2
2 1
1 1 1
2
x x
x x
+ = +
Bài 12. Tìm m để phương trình x
2
– (m + 2) + m
2
+ 1 = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
2 2
1 2 1 2
2 3 .x x x x+ =
Bài 13. Tìm hệ thức độc lập với m liên hệ với các nghiệm của mỗi phương trình sau:

13 / 4 2 1 2 3 14 / 1 12 15 / 3 1 16 / 3 11
3 1
x x
x x x x x x x x x
x x
+ −
− − = + + − = + = − = +
− +
2
2 2
2 3 7
17 / 1 18 / 3 12 0 19 / 2 6 4 1 20 / 2 1 9 1
2 1
x x
x x x x x x x x x
x
− +
= + − − − = + − = − − − − =
−
2
2 2
2 27
21/ 3 2 3 3 1 22 / 2 1 2 3 4 0 23/ 2 24 / 3 10 3 3
2 3
x x
x x x x x x x x
x
+ −
− + = − − − + + = = + + + =
−

x x x
− +
− = + = − + = + − +
− + −
5/
2 4
2
1
mx m
x
− +
=
+
6/
4 2
3
5
a
a
x
−
= +
−
7/
1 2 3mx x m+ = − −
8/
2
2
1 ( 1)
1 1 1

6
9 / 9 5 3 10 / 1 16 17 1 8 23
3
x x
x x x x x x x x
x
x x x x x x x x x x
x x x x x x
x
+ −
− + = − + + + = = − − + + =
−
− = − − + + − = + − − = − − − =
− = − + − + = − −
−
2
11/ 1 3 2 5 12 / 3 3 2 1 1 13 / 8 3 1 1 14 / 3 5 3 7
14
15 / 2 5 1 1 2 5 16 / 5 3 17 / 3 4 1 8 6 1 5
5 5
x x x x x x x x x
x
x x x x x x x
x
− + = − + − = + − + = − = −
−
− − = − − − − = + + − + + − − =
+ −
Bài 18. Giải các phương trình sau:
1/

+
+ − + − − =
9/
3
4 1 3 2
5
x
x x
+
+ − − =
10/
( ) ( )
3
3 2 2
1 2 1x x x x+ − = −
11/
2
35
12
1
x
x
x
+ =
−
12/
2
2 2 2 4 2 2x x x x− − + = − − +
13/
2 3

1 4 1 4x x x x m+ + − + + − =
a. Giải phương trình khi m = 5 b. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 20. Tìm m để phương trình
( ) ( )
1 8 1 8x x x x m+ + − + + − =
có nghiệm thuộc đoạn
[ ]
0;4
Bài 21. Cho phương trình
2 4 2
3 1 1x x m x x− + = + +
tìm tập hợp các gía trị của m để phương trình có lẻ số nghiệm .
Bài 22. Giải và biện luận phương trình với tham số a
32 2 2 2
3 3
( ) ( ) ( 1)x a m x a m x a+ + − = + −
Bài 23. Tìm m bpt
( ) ( )
2
3 7 4x x x x m+ − ≤ − +
nghiệm đúng
[ ]
3;7x∀ ∈ −
Bài 24. Tìm m để bpt
2 2
2 1x x m m m+ − + + ≤
có nghiệm .
Bài 25. Định m để phương trình sau vơ nghiệm:
1 2
2

1 1
x
m x
x m x
− + =
− −
( * ). Định m để (*) vơ nghiệm.
Bài 29. Giải các phương trình sau:
1/
2
( 1).( 4) 3 5 2x x x x+ + − + +
= 6 2/
1
2 3
1
x x
x x
+
− =
+
3/
2 2
3 2 15 3 2 8 7x x x x− + − − + =
4/
2 2
3 5 8 3 5 1 1x x x x+ + − + + =
5/
2 2 2
3 6 16 2 2 4x x x x x x+ + + + = + +
6/

2
2 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x+ + + = + + + −
17/
2 2
(4 1) 1 2 2 1x x x x− + = + +
18/
2 2
5 5x x+ + =
19/
2
2 4 6 11x x x x− + − = + −
20/
2
2 17 2 8 22x x x x+ + − = − +
21/
2
3 1 ( 3) 1x x x x+ + = + +
22/
2
4 1 4 1 1x x− + − =
23/
2 2
2 8 6 1 2 2x x x x+ + + − = +
24/
1 4 ( 1).(4 ) 5x x x x+ + − − + − =
25/
2 2
4 2 3 4x x x x+ − = + −
26/
3

2 2
( 3) 10 12x x x x+ − = − −
35/
2 2
2(1 ) 2 1 2x x x x x− + − = −
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên totoanhd.hnsv.com Trang 11
TT GDTX Chu Văn An Tài liệu Toán 10 – HKI
36/
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +
37/
2 2
3 2 1x x x x− + − + − =

38/
2
2 3 5 2 4 6 0x x x x− − − − + − =
39/
2
4 9
7 7
28
x
x x
+
+ =
Vấn đề 2: PTRÌNH BẬC HAI: ax
2
+ bx + c = 0(1)
1. Cơng thức nghiệm: ∆ = b

; x
2
. Ta có:
* x
1
+ x
2
= S =
b
a
−
; x
1
.x
2
= P =
c
a
CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP:
* Dạng 1: Tìm m để pt có 1 nghiệm x = x
0
. Tìm nghiệm còn
lại.
Cách giải: Thế x = x
0
vào (1), giải tìm m. Sau đó sử dụng CT:
x
1
+ x
2

+
+ = − + =
Bài 1. Cho phương trình: 2x
2
+ 2(2m – 3)x + 2m
2
– m = 0 (1).
a/ Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = 3. Tính nghiệm còn lại.
b/ Tìm m để (1) có hai n
0
x
1
; x
2
thỏa:
( )
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 1 1 10
1/ 39 2 / 2 3 3/
2 3
x x x x x x
x x
+ = + = − + =
Bài 2. Cho phương trình: (m – 1)x
2
– 4x + 3 = 0
a/ Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = – 2. Tính nghiệm còn lại.
b/ Tìm m để (1) có hai n

2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1/ . 109 2 / 3 3 3 / 4 1 4 1 19x x x x x x x x x x− − = − + − = − + + = −
c/ Tìm m để phương trình có 1 nghiệm bằng 5 lần nghiệm kia. Tính các nghiệm đó.
Bài 4. Cho phương trình: x
2
– 2(m + 1)x + m
2
– 4m + 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa:
a/ Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = – 2. Tính nghiệm còn lại.
b/ Tìm m để (1) có hai n
0
x
1
; x
2
thỏa: 1/ x
1
+ x
2
=

2x
1
.x
2

b. Tìm những giá trị của k để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
c. Gọi x
1
, x
2
là nghệm của phương trình (1) .Tìm k để : x
1
3
+ x
2
3
> 0
Bài 7. Cho phương trình : x
2
– 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)
a/ Giải phương trình (1) với m = – 5
b/ Chứng minh rằng phương trình (1) ln có hai nghiệm x
1
, x
2
phân biệt với mọi m
c/ Tìm m để
21
xx −
đạt giá trị nhỏ nhất (x
1
, x
2

là hai nghiệm của phương trình (1))

+ 2cx + a = 0 và cx
2
+ 2ax + b = 0.
Bài 10. Tìm a để phương trình
2
4 2 2 0x x x a a+ − − + − =
có đúng 2 nghiệm phân biệt .
Bài 12. Tìm a để phương trình
2 1 0x x a a+ + − =
có một nghiệm duy nhất.
Bài 13. Tìm a để phương trình (a + 1)x
2
– (8a + 1)x + 6a=0 có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng (0;1)
Bài 14. Cho m
1≥ −
. Tìm nghiệm lớn của phương trình x
2
+ (2m – 6)x + m – 11 = 0.
Bài 15. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x
2
+ 2x + 3 trên D =
[ ]
3;0−
; E =
[ ]
0;3
Bài 16. Giả sử x, y là nghiệm của hpt
2
1
7 14

2
4 2 3
1
x x
x
+ +
+
Bài 20. Tìm a, b để Q =
2
1
ax b
x
+
+
đạt giá trị lớn nhất = 4, giá trị nhỏ nhất = – 1
Bài 21. Chứng minh rằng
,x y R∀ ∈
ln có Q
0≥
với:
a. Q =x
2
+ 2xy + 3y
2
+ 2x + 6y + 3 b. Q =4x
2
+ 13y
2
– 12xy – 4y + 1
Bài 22. Tìm m để Q = x

2
= 0. Chứng minh rằng:

2 2
3 5 3 5
2 2
x y
− +
≤ + ≤
Bài 26. Cho x, y, z thoả mãn
2 2 2
8
4
x y z
xy yz zx

+ + =

+ + =

chứng minh
8 8
, ,
3 3
x y z− ≤ ≤
Bài 27. Cho a + b + c = 6, chứng minh rằng a
2
+ b
2
+ c

x y x y
x y S PS
y x x y
+
+ = − + = =
+
+ = + = −
đưa về hệ chứa S = x + y; P = x.y. Giải hệ tìm S, P. Khi
đó x, y là hai nghiệm của phương trình: t
2
– St + P = 0
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
2 2 2 2 2 2
2 . 3 3 3
1 . 10 . 7
1/ 2 / 3/ 4/
1 1 5
. 7 29 10
6
x y x y
x y x y x y x y
x x y y x y x y
x y
− − = −

+ = = − + + =
  

   
+ =

y x
x y
x y x y x y
x y
y x
x y
x y x y x y
x y
x y
x y
x y x y x y x x y y
y x
+ =
 
+ =
+ =
 
+ − =
 
   
+ = −
+ = + − =
 
 
+ =
 
=

− − = − =
  

+ =
+ = + + =
 


Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
( )
2 2
2 5 6 2 2
2 3
5
3
2 2
1/ 2 / 3/ 4 /
3 1 17 3 4
3 0
3 2
1
10 2 2
3
x y
x y
x x y x y x y
x y
x xy y x y
x y
x x y x y x y
x y
+
 

2( 2) 3( 1) 1
2 1 3
x y
x y x y
x xy y
x x y y xy
x xy y
x y
y x


+ − =
+ + − = + + =

− + =

 
   
+ + + + =
+ − =
+ − − = −


+ − =




2 2
2 2

( )
2 2
2
2 1
4
x y a
x y

+ = +


+ =


a. Giải hệ với a = 2
b. Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.
Bài 4. Cho phương trình:
1
2
mx y m
x my
+ = +


+ =

. Tìm hệ thức giữa x và y độc lập đối với m
Bài 5. Cho hệ phương trình :
2
1



Bài 8. Cho hệ phương trình với tham số m:
2 1
2 2 1
mx y m
x my m
+ = +


+ = −

xác định những giá trị ngun của tham số m để hệ
phương trình có nghiệm ngun?
Bài 9. Cho (x; y) là nghiệm của hệ:
6 (2 ) 9
( 1) 4
mx m y
m x my
+ − =


− − =

. Lập hệ thức độc lập giữa x và y với m.
Bài 10. Cho hệ phương trình
2 4
2 3 3
x y m
x y m



+ = +

a. Chứng minh với mọi m thì hệ phương trình có nghiệm .
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 13. Cho hệ phương trình
2
2
( ) 2
( ) 2
y x y m
x x y m

− + =

− + =

a. Giải hệ phương trình khi m = 0
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 14. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
2 2
2( 1)
2 2( 2)
x y xy m
xy x y m

+ = +

+ + = +

3
1 1
2 1
x y
x y
y x

− = −



= +

b.
2 2
2 2 2
6
1 5
y xy x
x y x

+ =

+ =

Bài 18. Giải hệ phương trình sau:
1)




22
yx
xyyx
4)





=++−
=−++
752
725
yx
yx
5)





=++−
=−++
417
471
yx
yx
6)



22
3
x
y
y
x
xyyx
9)





=+
+=+
6
).(3)(2
3
3
3
2
3
2
yx
xyyxyx

10)






=+
=+++
ayx
ayyx
3
2
có nghiệm.
Bài 20. Cho hệ PT:





=++−
=+++
myx
myyx
12
2
a) Giải hệ phương trình khi m=9. b)Xác định m để hệ có nghiệm.
Bài 21. Cho hệ PT:





=+++++++
=+++

11
mxy
myx
có nghiệm duy nhất.
Bài 24. Xác định m để hệ phương trình:





=++
=++
mxy
myx
2
2
2
2
có nghiệm duy nhất.
Bài 25. Tìm m để hệ phương trình:





=++
=++
mxy
myx
1

; a
2
; a
3
; … ; a
n
. Ta ln có:
1 2 3
1 2 3

. .
n
n
n
a a a a
a a a a
n
+ + + +
≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= a
3
= … = a
n

2. Ứng dụng của bất đẳng thức Cơ – si (Cauchy): Cho
hai số khơng âm a, b:

nếu
nếu
4 /
a b
a c b d
c d
>

⇒ + > +

>

0
5 /
0
0
6 /
n n
a b
ac bd
c d
a b
a b
n N
≥ ≥

⇒ ≥

≥ ≥


1 1 1
9a b c
a b c
 
+ + + + ≥
 ÷
 
. (a, b, c > 0)
3/ (a
2
+ b
2
) (b
2
+ c
2
) (c
2
+ a
2
) ≥ 8a
2
.b
2
.c
2
(∀a, b, c) 4/
1 1 1 8
a b c
b c a

(a, b ≥ 0) 8/ 3a
2
+ 7b
2
≥ 9ab
2
(a, b ≥ 0)
9/ Với a,b,c
≥
0, CMR
3
3
a b c
abc
+ +
≥
10/
( )
2
3
3a b c abc a b+ + ≥ + −
(a, b, c
≥
0)
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên totoanhd.hnsv.com Trang 16
TT GDTX Chu Văn An Tài liệu Toán 10 – HKI
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )

Bài 3. Với a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện
1.
a b c
b c a
+ + =
Chứng minh rằng
1
b c a
a b c
+ + ≤
Bài 4. Với a, b, c, d > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = 1. Cminh rằng
4
1 1 1 1
1 1 1 1 5
a b c d
    
+ + + + ≥
 ÷ ÷ ÷ ÷
    
Bài 5. Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng
( )
2
1 1 1a b c
a b c
b c a a b c
   
+ + ≥ + + + +
 ÷  ÷
   
Bài 6. Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng

2 2 2
b c a
a b c
a a b b b c c c a
 
+ + ≥ + +
 ÷
+ + +
 
Bài 9. Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng
( )
3 3 3
2
1
2 2 2 9
a b c
a b c
b c c a a b
+ + ≥ + +
+ + +
Bài 10. Với a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca=3. Chứng minh rằng:
6 6 6 6 6 6
1 1 1 3 3a b b c c a+ + + + + + + + ≥
2. Phương pháp biến đổi tương đương để đưa về tổng các bình phương:
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1/ x
3
+ y
3
≥ x

2
b
2
– 2a b
3
+ b
4
≥ 0 (∀a, b ∈ R) 6/ a
4
+ a
3
b + a b
3
+ b
4
≥ 0 (∀a, b ∈ R)
7/ 8 + a
3
≥ 4a + 2a
2
(∀a ∈ R) 8/ a
2
+ b
2
+ 25 ≥ 5a + 5b + ab (∀a, b ∈ R)
9/ a
2
+ b
2
+ 9 ≥ ab – 3a – 3b (∀a, b ∈ R) 10/ (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab (a, b ≥ 0)

0
( ) ( )
0
a c
c a c c b c ab
b c
> >

− + − ≤ ∀

> >

3/
30 ( 1)( 1) 4 ( 1)( 1) 1994 ( 1)( 1) 1012 17 999a b b c c a a b c+ − + + − + + − < + +
(a, b, c > 1)
Bài 5. Chứng minh các BĐT sau:
1/
2
2 2
a
b c ab bc ca
3
+ + > + +
với
abc 1=
và
3
a 36>
2/
2 2 2

Bài 10. Với a, b, c > 0, chứng minh rằng
2 2
a b
a b
b a
+ ≥ +
Bài 11. Với a, b, c > 0, chứng minh rằng
3 3 3 3
3ab cb ac+ + ≤
Bài 12. Với a, b, c > 0 và a.b.c = 1, chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1
2
ab bc ca
a b c b a c c b a
+ +
+ + ≥
+ + +
Bài 13. Với a, b, c > 0, chứng minh
2
3 2
2 2
1
c b
a b c ac ab
b ac
+ + ≥ + +
Bài 14. Cho a, b > 0, chứng minh bất đẳng thức: a/
2 2

(ĐH Khối A – 2004)
Bài 16. Tìm giá trị lớn nhất (max), giá trị nhỏ nhất (min) của các hàm số sau (nếu có):
1/ y =
1
2x
x
+
trên (0; + ∞) 2/ y =
4
3 1
3 1
x
x
− +
−
trên
1
;
3
 
+∞
 ÷
 
3/ y =
9
3 2
3 2
x
x
− +

2 2
x≤ ≤
8/ y = – 9x
2
– 3x + 2 biết
2 1
3 3
x− ≤ ≤
9/ y = – x
2
– 5x + 14 biết – 7 ≤ x ≤ 2
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên totoanhd.hnsv.com Trang 18
TT GDTX Chu Văn An Tài liệu Toán 10 – HKI
Vấn đề 1: VÉC TƠ – PHÉP CỘNG TRỪ VÉC TƠ.
a) Tổng của hai vectơ
• Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có:
AB BC AC+ =
uuur uuur uuur
.
• Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có:
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
.
• Tính chất:
a b b a+ = +
r r
r r
;
( ) ( )
a b c a b c+ + = + +

0
r
.
•
( )
a b a b− = + −
r r
r r
.
• Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có:
OB OA AB− =
uuur uuur uuur
.
Bài 1. Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng:
/ / / /a AB CD AD CB b AB CD CB DA c BC AD BA DC d BC BA CD DA+ − = + = − − = + = − −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 2. Cho 5 điểm A, B, C, D, E, chứng minh rằng:
/ /a AC DE DC CE CB AB b AB CB EA DC DE+ − − + = − + = −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 3. Cho lục giác ABCDEF, chứng minh rằng:
/ EF / EFa AB CD CB ED AF b BC ED FA BA CD+ + = + + − + = − −
uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là một điểm bất kỳ trên đường chéo AC. Qua O kẻ các đường thẳng song
song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt AB và DC lần lượt tại M và N, cắt AD và BC lần lượt
tại E và F. Chứng minh rằng:
/ / FNa OA OC OB OD b BD ME+ = + = +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 5. Cho 3 điểm O, A, B khơng thẳng hàng. Với điều kiện nào thì vectơ
OA OB+
uuur uuur

nếu k
≥
0,
ka
r
ngược hướng với
a
r
nếu k < 0.
+
.ka k a=
r r
.
• Tính chất:
( )
k a b ka kb+ = +
r r
r r
;
( )k l a ka la+ = +
r r r
;
( )
( )k la kl a=
r r
0ka =
r
r
⇔ k = 0 hoặc
0a =

Khi đó ∃! m, n
∈
R:
x ma nb= +
r
r r
.
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên totoanhd.hnsv.com Trang 19
CHƯƠNG I. VÉC – TƠ
CHƯƠNG I. VÉC – TƠ
TT GDTX Chu Văn An Tài liệu Toán 10 – HKI
Chú ý:
• Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: M là trung điểm AB ⇔
0MA MB+ =
uuur uuur
r
⇔
2OA OB OM+ =
uuur uuur uuuur
(O tuỳ ý).
• Hệ thức trọng tâm ∆: G là trọng tâm ∆ABC ⇔
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur
r
⇔
3OA OB OC OG+ + =
uuur uuur uuur uuur
(O tuỳ ý)
Bài 1. Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác.
a/ Biểu diễn

IB
, J là điểm trên
BC sao cho
JB
= x
JC
.
a/ Biểu diễn
CI
,
CJ
theo
CA
,
CB
. b/ Biểu diễn
IJ
theo
CA
,
CB
.
c/ Tìm x để IJ // CG .
Bài 3. Cho tam giác ABC và điểm I sao cho
IA
+ 2
IB
=
O
, J là điểm trên BC sao cho

Bài 4. Cho tam giác ABC đều cạnh a, G là trọng tâm tam giác. Tính độ dài của các véctơ sau:
a/
AB
+
AC
b/
AB
–
AC
c/
AB
–
CA
d/
AB
–
BC
e/
GB
+
GC
Bài 5. Cho tam giác ABC vng tại A và AB = 3, AC = 4. Tính độ dài của các véctơ sau:
a/
AB
+
AC
b/
AB
–
AC

GB
+
GC

f/
2AB
uuur
+
AC
g/
2AB
uuur
–
AC
h/
CA
–
HC
Bài 7. Cho bốn điểm M, N, P, Q bất kì. CM các đẳng thức sau:
a/
PQ
+
NP
+
MN
=
MQ
b/
NP
+

=
AD
+
CB
Bài 9. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm là G và G. CMR:
a/ 3
'GG
=
'AA
+
'BB
+
'CC
b/ 3
'GG
=
'AB
+
'BC
+
'CA
c/ 3
'GG
=
'AC
+
'BA
+
'CB
Bài 10. Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm, M là trung điểm của BC và H là điểm đối xứng với B qua G.

5
AB
Bài 11. Cho tam giác ABC.
a/ Gọi P là điểm đối xứng của B qua C. Tính
AP
theo
AB
,
AC
b/ Gọi Q và R là hai điểm xác định bởi :
AQ
=
2
1
AC
và
AR
=
3
1
AB
. Tính
RP
,
RQ
theo
AB
,
AC
c/CMR: P, Q, R thẳng hàng.

AK
uuur
theo
àABv AC
uuur uuur
.
Bài 15. Cho hbh ABCD tâm O. Chứng minh rằng với điểm M bất kỳ ta ln có:
4MOMA MB MC MD+ + + =
uuur uuur uuuur uuuur uuuur
Bài 16. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm hai đường chéo AC và BD. Cm:
2IJAB CD+ =
uuur uuur ur
Bài 17. Cho tam giác ABC.
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên totoanhd.hnsv.com Trang 20
TT GDTX Chu Văn An Tài liệu Toán 10 – HKI
a/ Tìm điểm K sao cho
2KA KB CB+ =
uuur uuur uuur
b/ Tìm điểm m sao cho
2 0MA MB MC+ + =
uuur uuur uuuur r
Bài 18. Cho ∆ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm, D là điểm đối xứng với A qua O.
a/ Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.
b/ Chứng minh:
2 ; 2 ;HA HD HO HA HB HC HO OA OB OC OH+ = + + = + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 19. Cho tam giác ABC. Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện
0MA MB MC− + =
uuur uuur uuuur r
Bài 20. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng

hệ thức
1
2
PB CP= −
uuur uuur
. Phn tích các véctơ
; ;AP BM CN
uuur uuuur uuur
theo
àBCv CA
uuur uuur
.
Bài 24. Cho tam gic ABC, dựng
' ; ' ; 'AB BC CA AB BC CA= = =
uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur
.
a/ Chứng minh rằng A là trung điểm của B’C’.
b/ Chứng minh các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy.
Bài 25. Cho tam gic ABC, điểm I trên cạnh AC sao cho CI =
1
4
CA, J là điểm thỏa hệ thức
1 2
2 3
BJ AC AB= −
uuur uuur uuur
.
a/ Chứng minh
3
4

+ + + =
.
Bài 28. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho:
2 3 0OA OB OC+ − =
uuur uuur uuur r
. Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng.
Bài 29. Cho ∆ABC với I, J , K lần lượt được xác định bởi:
1
2 , ,
2
IB IC JC JA KA KB= = − = −
uur uur uuur uur uuur uuur
a) Tính
, , ACIJ IK theo AB
uur uur uuur uuur
b) Chứng minh I, J, K thẳng hàng
Bài 30. Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho AD =
1
2
AF, AB =
1
2
AE.
Chứng minh:
a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành.
Bài 31. Cho ∆ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi:
3 0IA IC+ =
uur uur
r
,

Bài 34. Cho ∆ABC, vẽ các hình bình hành ABIJ , BCPQ , CARS. Chứng minh: ∆RIP và ∆JQS có cùng trọng tâm.
Bài 35. Cho tam giác ABC, A’ là điểm đối xứng của A qua B, B’ là điểm đối xứng của B qua C, C’ là điểm đối xứng
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên totoanhd.hnsv.com Trang 21
TT GDTX Chu Văn An Tài liệu Toán 10 – HKI
của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có chung trọng tâm.
Bài 36. Cho các tam giác ABC, A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của 2 tam giác. CMR:
' ' ' 3 'AA BB CC GG+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
. Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để 2 tam giác có cùng trọng tâm .
Bài 37. Cho ∆ABC. Gọi A′, B′, C′ là các điểm định bởi:
2 3 0A B A C
′ ′
+ =
uuur uuuur
r
,
2 3 0B C B A
′ ′
+ =
uuuur uuur
r
,
2 3 0C A C B
′ ′
+ =
uuur uuur
r
. Chứng
minh các tam giác ABC và A′B′C′ có cùng trọng tâm.
Bài 38. Cho lục giác ABCDEF. M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, EF, FA. Chứng minh ∆MPR

. CMR:
ABC
∆
và
' ' 'A B C
∆
cùng trọng tâm
Bài 41. Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G. Gọi G
1
, G
2
, G
3,
G
4
lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, BCD, CDA,
DAB. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tứ giác G
1
G
2
G
3
G
4
Bài 42. Trên các cạnh AB, BC, CA của ∆ABC lấy các điểm A′, B′, C′ sao cho:
AA BB CC
AB BC AC
′ ′ ′
= =
. CMR: các tam giác

1 1
3 3
MN BN CM= −
uuuur uuur uuuur
Bài 45. Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ
BC
uuur
và
BD
uuur
theo các vectơ
AF
uuur
và
AB
uuur
.
Bài 46. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a)
MA MB MA MB+ = −
uuur uuur uuur uuur
b)
2 2MA MB MA MB+ = +
uuur uuur uuur uuur
Bài 47. Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a)
3
2
MA MB MC MB MC+ + = +
uuur uuur uuuur uuur uuuur

c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
3 2 2MA MB MC MA MB MC+ − = − −
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
.
Vấn đề 3: HỆ TỌA ĐỘ.
• Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ:
u x y u x i y j( ; ) . .= ⇔ = +
r r
r r
.
• Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ:
M x y OM x i y j( ; ) . .⇔ = +
uuur
r r
.
• Tính chất: Cho
a x y b x y k R( ; ), ( ; ),
′ ′
= = ∈
r
r
,
A A B B C C
A x y B x y C x y( ; ), ( ; ), ( ; )
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên totoanhd.hnsv.com Trang 22
TT GDTX Chu Văn An Tài liệu Toán 10 – HKI
+
x x
a b

∈
R:
x kx và y ky
′ ′
= =
⇔
x y
x y
′ ′
=
(nếu x
≠
0, y
≠
0).
+
B A B A
AB x x y y( ; )= − −
uuur
.
+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:
A B A B
I I
x x y y
x y;
2 2
+ +
= =
.
+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

e/ Tìm tọa độ điểm Q thỏa
2AC BQ AB+ =
uuur uuur uuur
.
f/ Tìm k, l sao cho:
k AB l AC CB+ =
uuur uuur uuur
Bài 2. Cho tam giác ABC có A(4; 1); B(3; 1); C( – 2 ; 3).
a/ Tìm tọa độ trung điểm I, J, K của AB, AC và BC. Trọng tâm G của tam giác ABC.
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
c/ Cho M( – 1; y), tìm y sao cho B, C, M là ba điểm thẳng hàng.
d/ Tìm tọa độ giao điểm N, P của AB với trục Ox, Oy.
e/ Tìm tọa độ điểm Q thỏa
2AQ BC AB+ =
uuur uuur uuur
.
f/ Tìm k, l sao cho:
k AB lBC CA+ =
uuur uuur uuur
Bài 3. Cho M(2; 1); N(1; – 5); P(0; 2) lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC và BC của ∆ABC. Tìm A, B, C.
Bài 4. Cho ∆ABC đều ABC cạnh bằng a, dựng và tính độ lớn các véc tơ sau:
/ / / / /a AB BC b BA BC c AB CB d BC AB e BA AC+ + + − −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 5. Cho hình vng ABCD cạnh bằng 5cm, dựng và tính độ lớn các véc tơ sau:
/ / / / /a AC AB b BA DA c AD CD d DA BD e BA AD+ − + − −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 6. Cho A(3; – 1); B(2; 5)
a/ Cho C(6; – 19). Chứng tỏ A, B, C thẳng hàng. b/ Tìm m để C(3m + 2; 4 – 3m), A, B thẳng hàng.
c/ Tìm C ∈ Ox sao cho A, B, C thẳng hàng. d/ Tìm C ∈ Oy sao cho C nằm trên đường thẳng AB.
Bài 7. Cho hai điểm A(1; 3), B(– 2; 5). Tìm tọa độ điểm C nằm trên trục Ox sao cho:

TT GDTX Chu Văn An Tài liệu Toán 10 – HKI
Bài 10. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy I, K sao cho
2 3 0IA IC+ =
uur uur r
và
2 5 3 0KA KB KC+ + =
uuur uuur uuur r
. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm AB và BC. CMR: M, N, K thẳng hàng.
Bài 11. Trong mặt phẳng cho 3 điểm A(5; 1); B(4; 4); C(1; 3)
a/ Chứng minh 3 điểm A; B; C thẳng hàng.
b/ Gọi N là điểm thoả
3BN NA=
uuur uuur
. S là điểm thoả :
2SC SA=
uuur uur
và G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng
minh rằng S; N; G thẳng hàng.
Bài 12. Cho tam giác ABC có M, N, P là các điểm lần lượt chia đoạn AB, AC, MN theo tỉ số -2; -3; -4. Hãy biểu diễn
AI
uur
theo
;AB AC
uuur uuur
. AI cắt BC tại K. Tính tỉ số mà K chia đoạn BC.
Vấn đề 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC α
1. Các CT cơ bản:
2 2
0

α
α α α
≠
≠
≠
≠
≠
2. Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau:
cos(180
0
– α) = – cosα
sin(180
0
– α) = sinα
tan(180
0
– α) = – tanα
cot(180
0
– α) = – cotα
CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP:
* Dạng 1: Chứng minh đẳng thức lượng giác.
– Dùng phương pháp biến đổi tương đương để đưa
đẳng thức đã cho về 1 đẳng thức đúng.
– Dùng các CT lg cơ bản biến đổi 1 vế về vế còn
lại.
* Dạng 2: Cho 1 GTLG góc α, tính các GTLG còn lại.
– Biết sin hoặc cos: sử dụng các CT 1, 2, 6.
– Biết tan hoặc cot: sử dụng các CT 6, 3, 2.
Bài 1. Chứng minh rằng:

2
2
2 2 4 2 2
4 6
2 2 4 2 2
sin 1 cos 2 tan cot 1 1 cos 1 cos 4cot
4 / 5 / 1 6 /
1 cos sin sin 1 tan cot 1 cos 1 cos sin
sin cos 1 cos sin cos cos sin tan
7 / 8 / tan 9 / tan
sin cos 1 1 sin cos sin sin cos cot
x x x x x x x
x x x x x x x x
α α α α α α α α
α α
α α α α α α α α
+ − + −
+ = = − =
+ − − +
+ − − + −
= = =
− + + − + −
2
2 2
1 sin tan sin 1 1
10 / cos 11/ os 12 / 1
sin cot sin cot 1 tan 1 cot
c
α α α
α α

17/
sin cos 1 2cos
1 cos sin cos 1
α α α
α α α
+ −
=
− − +
18/ sin
2
x.tanx + cos
2
x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx 19/
2
2
sin cos 1 cot
sin cos sin cos 1 cot
x x x
x x x x x
+
+ =
+ − −
20/
2sin cos
sin cos 1
sin cos 1
x x
x x
x x
= + +

1
4
7/ tanα = – 4 8/ cotα =
7
3
Bài 3. Chứng minh các hằng đẳng thức:
a/ cos
2
α( cos
4
α + sin
2
α.cos
2
α + sin
2
α + tg
2
α) = 1 b/ 1 – (sin
6
α + cos
6
α) = 3sin
2
α cos
2
α
Bài 4. a/ Rút gọn biểu thức:
( )
2

6
x + 2sin
4
x.cos
2
x + 3sin
2
x.cos
4
x + sin
4
x
C = (tanx + cotgx)
2
– (cotx – tgx)
2
D =
2 cot 1
tan 1 cot 1
x
x x
+
+
− −
;
E =
4 2 4 2
sin 4cos cos 4sinx x x x+ + +
F = 2cos
4

x + cos
8
x)
I = 3(sin
8
x – cos
8
x) + 4(cos
6
x – 2sin
6
x) + 6sin
4
x J = sin
4
x + cos
4
x – sin
6
x – cos
6
x – sin
2
x.cos
2
x
K =
2
2
tan cot 1

− + − +
 

Bài 7. Rút gọn các biểu thức:
a/
4 2 2 2
sin sinA cos cos
α α α α
= + +
b/
B sin (tan cot )cos
α α α α
= +
c/
sin sin
1 1
C
cos cos
α α
α α
= +
− +
.
Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = sin
4
x – sin
2
x + cos
2
x.

= +
+
= =
+ +
r
r r
r r
r r
CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP:
* Dạng 1. Tính tích vơ hướng của hai vt: Đưa hai vt về cùng gốc và sử dụng CT
µ
. . .cosAB AC AB AC A=
uuur uuur
Bài 1. Cho tam giác đều ABC cạnh a trọng tâm G, tính:
. ; . ; . ; . ; .AB AC BC AC AC CB AG GC GB AG
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 2. Cho hình vng ABCD cạnh 2cm tâm O, tính:
. ; . ; . ; . ; . ; .BA BC AB AC BC AC AC CB AO OC OB AO
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên totoanhd.hnsv.com Trang 25