Nguyễn Văn Thông – Gv Trường THPT Chu Văn An CƠ HỌC
PHẦN - ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM
A. LÝ THUYẾT
CÁC ĐỊNH LUẬT VỀ CHUYỂN ĐỘNG
I. Lực – Cân bằng lực
- Khi vật chuyển động có gia tốc, ta nói có lực tác dụng lên vật.
- Lực là đại lượng vectơ. Vectơ lực có hướng của gia tốc do lực truyền cho vật.
- Khi các lực đồng thời tác dụng gây các gia tốc khử lẫn nhau, các lực gọi là cân bằng nhau.
II. Các định luật Niu-tơn (Newton)
1. Định luật I:
2. Định luật II:
Đơn vị:
m: (kg)
a: (m/s
2
)
F: (N)
3. Định luật III:
Ghi chú:
• Hệ quy chiếu trong đó các định luật Newton nghiệm đúng gọi là hệ quy chiếu
quán tính.
• Một cách gần đúng, hệ quy chiếu gắn với Trái Đất có thể coi là hệ quy chiếu
quán tính.
III. Khối lượng
- Đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật. Khối lượng là đại lượng vô hướng, dương, cộng
được và bất biến đối với mỗi vật (trong phạm vi cơ học cổ điển).
- Đo khối lượng bằng tương tác hay bằng phép cân.
- Khối lượng riêng:
(kg/m
3
)

m
D
V
=
1 2
2
.m m
F G
r
=
2
r
mM
GmgP ==
2
0
.
R
M
GG =
2
)( hR
M
Gg
+
=
xkF
r
r
−=

.q q
F F F k
r
ε
= = =
Nguyễn Văn Thông – Gv Trường THPT Chu Văn An CƠ HỌC
2. Trọng lực: (M: khối lượng Trái Đất)
Biểu thức của gia tốc trọng lực:
• Ở sát mặt đẩt:
• Ở độ cao h từ mặt đẩt:
(R: bán kính trái đất.)
II. Lực đàn hồi
Hoặc
(k: hệ số đàn hồi hay độ cứng;
lx ∆,
r
: độ biến dạng của vật đàn hồi)
III. Lực ma sát
1. Lực ma sát trượt (ma sát động):
2. Lực ma sát nghỉ (ma sát tĩnh):
(F
t
:

ngoại lực tiếp tuyến)
IV. Lực cản của môi trường
V. Lực điện
- Hai điện tích q
1,
q

- Biện luận kết quả (nếu cần).
• Đối với hệ quy chiếu phi quán tính (hệ quy chiếu có gia tốc):
- Chuyển động thẳng:
0q
F ma=
(
0
a
là gia tốc của hệ quy chiếu phi quán tính).
- Chuyển động tròn đều:
2
2
q
v
F m m R
R
ω
= =
.
Nguyễn Văn Thông – Gv Trường THPT Chu Văn An CƠ HỌC
- Một dây dẫn có chiều dài l, mang dòng điện có cường độ I đặt trong từ trường có cảm ứng từ
B
r
, góc hợp bởi
B
r
và chiều dòng điện là
α
. Lực từ tác dụng lên dây dẫn mang dòng điện có độ lớn:
- Chiều của lực từ được xác định bằng “quy tắc bàn tay trái”.

.
ĐS: a. a = 5 m/s
2
., b. a = 4 m/s
2
;
0,1
µ
=
.
2. Một buồng thang máy có khối lượng 1 tấn
a. Từ vị trí đứng yên ở dưới đất, thang máy được kéo lên theo phương thẳng đứng bằng một lực
F
ur
có độ lớn 12000N. Hỏi sau bao lâu thang máy đi lên được 25m? Lúc đó nó có vận tốc là bao nhiêu?
b. Ngay sau khi đi được 25m trên, ta phải thay đổi lực kéo thang máy thế nào để thang máy đi
lên được 20m nữa thì dừng lại? Lấy g = 10m/s
2
.
BDHSG Lưu hành nội bộ 3
sinF BIl
α
=
sinf q Bv
α
=
mv
R
q B
=

0
và có độ lớn là
2 2
N. Hệ số ma sát giữa sàn và vật là 0,2.
a. Tính quãng đường đi được của vật sau 10s nếu vật có vận tốc đều là 2m/s.
b. Với lực kéo trên thì hệ số ma sát giữa vật và sàn là bao nhiêu thì vật chuyển động thẳng đều.
Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: a. s = 40 m; b.
0,25
µ
=
.
6. Một người khối lượng m = 60kg đứng trên thang chuyển động lên trên gồm ba giai đoạn.
hãy tính lực nén lên thang trong mỗi giai đoạn:
a. Nhanh dần đều với gia tốc 0,2m/s
2
.
b. Đều
c. Chậm dần đều với gia tốc 0,2m/s
2
. Lấy g = 10m/s
2
ĐS: a. N = 612 N; b. N = 600 N; c. N = 588 N.
7. Một vật có khối lượng 60kg đặt trên sàn buồng thang máy. Tính áp lực của vật lên sàn trong các
trường hợp:
a. Thang chuyển động xuống nhanh dần đều với gia tốc 0,2m/s.
b. Thang chuyển động xuống chậm dần đều với gia tốc 0,2m/s
2.

b. Vận tốc của vật ở chân dốc.
ĐS: a. t = 1,79 s; b. v = 8,95 m/s.
11. Giải lại bài toán trên khi hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là k = 0,2.
ĐS: a. t = 2,2 s; b. v = 7,2 m/s.
12. Một vật trượt không vận tốc đầu từ đỉnh mặt phẳng nghiêng dài 5m, nghiêng góc 30
0
so với phương
ngang. Coi ma sát trên mặt nghiêng là không đáng kể. Đến chân mặt phẳng nghiêng, vật sẽ tiếp tục
chuyển động trên mặt phẳng ngang trong thời gian là bao nhiêu ? Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt
phẳng ngang là k = 0,2. Lấy g = 10m/s
2.
ĐS: t = 3,54 s.
13. Xe đang chuyển động với vận tốc 25m/s thì bắt đầu trượt lên dốc dài 50m, cao 14m. Hệ số ma sát
giữa xe và mặt dốc là 0,25.
BDHSG Lưu hành nội bộ 4
Nguyễn Văn Thông – Gv Trường THPT Chu Văn An CƠ HỌC
a. Tìm gia tốc của xe khi lên dốc.
b. Xe có lên dốc không ? Nếu xe lên được, tìm vận tốc xe ở đỉnh dốc và thời gian lên dốc.
ĐS: a. a = - 3m/s
2
; b. v = 18,02 m/s, t = 2,33 s.
14. Một vật có khối lượng m = 1kg trượt trên mặt phẳng nghiêng một góc
α
= 45
0
so với mặt phẳng
nằm ngang.
Cần phải ép lên một vật lực
F
r

= 10 m/s
2
.
a. Tính gia tốc của vật.
b. Tính quãng đường dài nhất vật chuyển động trên mặt phẳng nghiêng.
c. Sau bao lâu vật sẽ trở lại A? Lúc đó vật có vận tốc bao nhiêu?
ĐS: a. a = - 5 m/s
2
; b. s = 3,6 m; c. t = 2,4 s.
18. Tác dụng lục
F
r
có độ lớn 15N vào hệ ba vật như hình vẽ. Biết
m
1
= 3kg; m
2
= 2kg; m
3
= 1kg và hệ số ma sát giữa ba vật và mặt
phẳng ngang như nhau là k = 0,2. Tính gia tốc của hệ và lực căng
của các dây nối.
Xem dây nối có khối lượng và độ dã không đáng kể. lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: a = 0,5 m/s
2
T
1
= 7,5 N; T

22. Trong bài 20 biết lúc đầu cơ hệ đứng yên và m
1
cách đất 2m. Sau khi hệ chuyển động được 0,5 thì
dây đứt. Tính thời gian vật m
1
tiếp tục rơi và vận tốc của nó khi vừa chạm đất. Biết trước khi dây đứt thì
m
2
chưa chạm vào ròng rọc. Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: t = 0,5 s; v = 6 m/s.
23. Trong bài 20 nếu cung cấp cho m
2
một vận tốc
v
r
0
có độ lớn 0,8
m/s như hình vẽ. Mô tả chuyển động kế tiếp của cơ hệ (không xét đến
trường hợp m
1
hoặc m
2
có thể chạm vào ròng rọc.
BDHSG Lưu hành nội bộ 5
Nguyễn Văn Thông – Gv Trường THPT Chu Văn An CƠ HỌC
24. Người ta vắt qua một chiếc ròng rọc một đoạn dây, ở hai đầu có treo hai quả cân 1
và 2 có khối lượng lần lượt là m
1

2
.
ĐS: a = 0,83 m/s
2
; T = 1,83 N.
26. Cho hệ vật như hình vẽ: m
1
= 3kg, m
2
= 2kg,
α
= 30
0
. Bỏ qua ma sát, khối
lượng của dây và khối lượng ròng rọc. Lấy g = 10m/s
2
.
a. Tính gia tốc chuyển động của mỗi vật
b. Tính lực nén lên trục ròng rọc.
c. Sau bao lâu kể từ khi bắt đầu chuyển động từ trạng thái đứng yên
thì hai vật ở ngang. Biết lúc đầu m
1
ở vị trí thấp hơn m
2
0,75m.
ĐS: a. a =1 m/s; b. T = 31,2 N; c. t = 1 s.
27. Trên mặt phẳng nằm ngang có hai vật có khối lượng m
1
= 1kg và m
2

(như hình vẽ) để nó chuyển động với gia tốc a = 5m/s
2
. Biết hệ
số ma sát giữa hai vật m
1
và m
2
là k = 0,5. Lấy g = 10m/s
2
. Bỏ qua
ma sát với mặt bàn.
ĐS: F = 25 N.
29. Có thể đặt một lực F theo phương ngang lớn nhất là bao nhiêu lên
m
2
để m
1
đứng yên trên mặt m
2

khi m
2
chuyển động nhanh dần đều trên
mặt phẳng nằm ngang. Biết hệ số ma sát giữa m
1
và m
2
là k = 0,1; giữa
m
2

BDHSG Lưu hành nội bộ 6
Nguyễn Văn Thông – Gv Trường THPT Chu Văn An CƠ HỌC
b. Biết dây chịu được lực căng lớn nhất là 10N. Hỏi độ lớn cực đại của
F
r
tác dụng vào m
1
hoặc
m
2
.
ĐS: a. a = 2 m/s
2
, T = 0,6 N; b. F
max
= 25 N.
31. Có hệ vật như hình vẽ, m
1
= 3kg, m
2
= 2kg, m = 5kg. Bỏ qua ma sát và độ
giãn dây treo. Khối lượng của các ròng rọc và của dây treo. Khối lượng của các
ròng rọc và của dây treo không đáng kể. Lấy g = 10m/s
2
. Tính gia tốc chuyển
động của m và lực căng dây nối m với ròng rọc động
ĐS: a = 0,2 m/s
2
; T = 49 N.
32. Muốn kéo một vật có trọng lượng P = 1000N chuyển động đều lên một mặt phẳng nghiêng góc 60

.
a. Tính hệ số ma sát giữa vật và mặt ngang.
b. Để cho vật có thể chuyển động thẳng đều thì
F
r
có độ lớn là bao nhiêu?
ĐS: a.
0,18
µ
=
; b. F = 2,63 N.
34. Một vật khối lượng m
2
= 4kg được đặt trên bàn nhẵn. Ban đầu vật m
2
đứng yên cách sàn nhà 1m.
Tìm vận tốc vật m
1
khi vừa chạm sàn nhà. Lấy g = 10m/s
2
. Bỏ qua ma sát, khối lượng ròng rọc, khối
lượng và độ giãn của dây nối. “Biết cơ hệ như bài 20”.
ĐS: a = 2 m/s
2
; v = 2 m/s.
35. Một vật được ném thẳng đứng từ mặt đất lên với vận tốc ban đầu 20 m/s
2
. Bỏ qua sức cản không khí.
Lấy g = 10 m/s
2

= 30
0
so với phương nằm ngang điểm rơi B của vật trên sườn đồi cách A bao nhiêu ? Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS:
13,33AB m=
.
39. Từ đỉnh tháp cao 30m, ném một vật nhỏ theo phương ngang với vận tốc ban đầu v
0
= 20m/s.
a. Tính khoảng thời gian từ lúc ném đến khi vật chạm đất và khoảng cách từ điểm chạm đất đến
chân tháp.
b. Gọi M là một điểm trên quỹ đạo tại đó vectơ vận tốc hợp với phương thẳng đứng một góc
α
= 60
0
. Tính khoảng cách từ M tới mặt đất.
ĐS: a. x = 49 m, t = 2,45 s; b. h
M
= 23,33 m
40. Từ đỉnh A của một mặt bàn phẳng nghiêng người ta thả một vật có
khối lượng m = 0,2kg trượt không ma sát không vận tốc đầu. Cho AB =
50cm; BC = 100cm; AD = 130cm; g = 10m/s
2
.
a. Tính vận tốc của vật tại điểm B
b. Chứng minh rằng quỹ đạo của vật sau khi rời khỏi bàn là 1
parabol. Vật rơi cách chân bàn một đoạn CE bằng bao nhiêu? (Lấy gốc
toạ độ tại C)

do R tác dụng vào điểm O’. Bỏ qua khối lượng của lò xo R.
ĐS: l = 27 cm , F = 2,7 N.
42. Một đĩa phẳng tròn có bán kính R = 10cm, nằm ngang quay đều quanh trục thẳng đứng đi qua tâm
của đĩa.
a. Nếu mỗi giây đĩa quay được 1,5 vòng thì vận tốc dài của một điểm ở mép đĩa là bao nhiêu?
b. Trên mặt đĩa có đặt một vật có kích thước nhỏ, hệ số ma sát giữa vật và đĩa là
µ
= 0,1. Hỏi
với những giá trị nào của vận tốc góc
ω
của đãi thì vật đặt trên đĩa dù ở vị trí nào cũng không bị trượt ra
phía ngoài đĩa. Cho g = 10m/s
2
ĐS:
3,16 / .
g
rad s
R
µ
ω
≤ =
43. Có đĩa phẳng như bài 41 treo một con lắc đơn (gồm vật nặng M treo vào đầu một
sợi dây nhẹ) vào đầu thanh AB cắm thẳng đứng trên mặt đĩa, đầu B cắm vào đĩa tại
điểm cách tâm quay
2
R
. Cho AB = 2R.
a. Chứng minh rằng khi đĩa quay đều thì phương dây treo hợp với phương
thẳng đứng một góc
α

trong một vòng tròn nằm ngàng như hình vẽ. Dây tạo một góc
α
với phương
thẳng đứng. Hãy tính thời gian để quả cầu quay được một vòng. Biết gia tốc
trọng lực tại nơi quả cầu chuyển động là g.
ĐS:
2 cos
2
l
T
g
π α
π
ω
= =
.
46. Treo một con lắc trong một toa xe lửa. Biết xe chuyển động ngang với gia tốc
a
r
và dây treo con lắc
nghiêng góc
0
15
α
=
so với phương thẳng đứng. Tính a.
ĐS:
2
tan 2,6 /a g m s
α

đối với đất khi bàn chuyển động với gia tốc
0
a
r

sang trái.
ĐS:
2 2
0 0
( )
1
g a g a
a
µ
µ
+ − −
=
+
49. Một dây nhẹ không co dãn vắt qua một ròng rọc nhẹ gắn ở cạnh bàn
ngang, hai đầu dây buộc hai vật co khối lượng m
1
, m
2
(hình vẽ) hệ số ma
sát giữa m
1
và mặt bàn là
µ
. Bỏ qua ma sát ở trục ròng rọc. Tìm gia tốc
của m

1
1 2
'
1 0 2 1
2
1 2
1 2 0
1 2
2 ( )
2 ( )
2 ( )
m a m m g
a
m m
m a m m g
a
m m
m m g a g
T
m m
+ −
=
+
− −
=
+
+
=
+
51. Quả cầu khối lượng m được treo bởi hai dây nhẹ trên trần một toa xe

53. Nêm có khối lượng M, mặt AB dài l nghiêng một góc
α
so với phương ngang. Từ A thả vật khối
lượng m không vận tốc đầu. Bỏ qua ma sát giữa m với sàn và giữa m với M.
a. Tính gia tốc của M.
b. Tìm thời gian m đi từ A đến B.
ĐS: a.
α
αα
2
sin
cos.sin
mM
mg
a
+
=
; b.
)(sin
sin(22
2
mMg
mMl
a
l
t
+
+
==
α

.
55. Một nêm khối lượng M = 1 kg có mặt AB dài 1 m, góc nghiêng
0
30=
α
có thể trượt không ma sát
trên mặt phẳng nằm ngang. Từ A thả vật m = 1kg trượt xuống dốc AB. Hệ số ma sát trượt giữa m và mặt
AB là 0,2. Bỏ qua kích thước vật m. Tìm thời gian để m đến B. Trong thời gian đó nêm đi được đoạn
đường bao nhiêu ?. Cho g = 10 m/s
2
.
ĐS: t = 0,6 s; s = 0,43 m.
56. Chiếc nêm A có khối lượng m
1
= 5 kg, có góc nghiêng
0
30=
α
có thể chuyển động tịnh tiến không
ma sát trêm mặt bàn nhẵn nằm ngang. Một vật khối lượng m
2
= 1 kg, đặt trên
nêm được kéo bằng một sợi dây vắt qua ròng rọc cố định gắn chặt với nêm.
Lực kéo F phải có độ lớn bằng bao nhiêu để vật m
2
chuyển động lên
trên theo mặt nêm. Khi F = 10 N, gia tốc của vật và nêm bằng bao
nhiêu ? Bỏ qua ma sát, khối lượng dây và khối lượng ròng rọc.
Lấy g = 10 m/s
2

0
0
α
α
µ
−−
−
=
KlP
Kl
,
0,2
µ
≈
.
58. Một lò xo có chiều dài tự nhiên 1
0
= 24,3m và độ cứng k = 100
N
m
;
có đầu O gắn với một thanh cứng, nằm ngang T như hình vẽ. Đầu kia có
gắn với một vật nhỏ A, khối lượng m = 100g. Thanh T xuyên qua tâm
vật A và A có thể trượt không ma sát theo T. Lấy g = 10m/s
2
.
Cho thanh T quay đều quanh trục thẳng đứng Oy, với vận tốc góc
ω
=
10 rad/s. Tính độ dài của lò xo. Xác định phương, chiều và cường độ của

0
.
a. Tìm vị trí cân bằng của hòn bi và điều kiện để có cân bằng.
b. Cân bằng này là bền hay không bền.
ĐS: a.
0
2 2
cos
1
;
sin sin
kl mg
k
l
k m m
α
ω
ω α α
−
= <
−
; b. Cân bằng bền.
62. Đặt một vật nhỏ ở cách trục quay của một cái mâm 10 cm. Cho mâm quay từ trạng
thái nghỉ với gia tốc góc không đổi, sau thời gian 0,5 giây có vận tốc 30 vòng/phút. Tính hệ số ma sát
nhỏ nhất giữa vật và mâm để vật không bị trượt trong thời kỳ tăng tốc. Lấy g = 10 m/s
2
,
2
10
π

2
ĐS:
3,16 / .
g
rad s
R
µ
ω
≤ =
65. Một quả cầu khối lượng m, treo trên một sợ dây dài 1. Quả cầu quay đều trong một vòng tròn nằm
ngàng như hình vẽ. Dây tạo một góc
α
với phương thẳng đứng. Hãy tính thời gian để quả cầu quay
được một vòng. Biết gia tốc trọng lực tại nơi quả cầu chuyển động là g.
ĐS:
2 cos
2
l
T
g
π α
π
ω
= =
.
66. Có đĩa phẳng treo một con lắc đơn (gồm vật nặng M treo vào đầu một sợi dây
nhẹ) vào đầu thanh AB cắm thẳng đứng trên mặt đĩa, đầu B cắm vào đĩa tại điểm
cách tâm quay
2
R

ω
≈
68. Một người nằm trong một căn phòng hình trụ, trong không gian, cách xa các thiên thể. Tính số vòng
quay của phòng quanh trục trong một phút để phòng tạo cho người một trọng lượng bằng với trọng
lượng của người trên mặt đất. Biết bán kính của phòng R = 1,44 m.
ĐS: n = 25 vòng/phút.
69. Tìm vận tốc nhỏ nhất của một người đi môtô chuyển động tròn đều theo một đường tròn nằm ngang
ở mặt trong một hình trụ thẳng đứng bán kính 3 m, hệ số ma trượt là
0,3
µ
=
.
ĐS: 36 Km/h.
70. Vận tốc tối đa của người đi xe đạp trên một đường vòng có mặt đường nghiêng về phía tâm một góc
α
gấp mấy lần vận tốc tối đa của xe đi trên đường vòng đó nhưng mặt đường nằm ngang ? Coi các bánh
xe đều là bánh phát động.
ĐS:
2
1
sin os
( os sin )
v c
v c
α µ α
µ α µ α
+
=
−
.

2 2
(cot ) (cot )
4 (sin os ) 4 (sin os )
g g
L
n c n c
α µ α µ
π α µ α π α µ α
− +
≤ ≤
+ −
.
74. Đĩa nằm ngang quay quanh trục thẳng đứng với tần số n = 30 vòng/phút. Vật đặt trên đĩa cách trục
20 cm. Hệ số ma sát giữa đĩa và vật là bao nhiêu để vật không trượt trên đĩa ?
ĐS:
0,2
µ
≥
.
75. Ở mép dưới của một mặt nón đặt vật nhỏ khối lượng m. Góc nghiêng của mặt nón
là
α
(hình vẽ). Mặt nón quay xung quanh trục thẳng đứng đối xứng (
∆
) với vận tốc
góc
ω
không đổi. Khoảng cách từ trục đến vật là R. Tìm hệ số ma sát giữa vật và mặt
nón để vật đứng yên trên mặt nón và biện luận kết quả.
ĐS:

ω
<
.
76. Hai quả cầu m
1
= 2 m
2
nối với nhau bằng sợi dây dài l = 12 cm và có thể
chuyển động không ma sát trên một trục nằm ngang qua tâm hai quả cầu. Cho
BDHSG Lưu hành nội bộ 12
Nguyễn Văn Thông – Gv Trường THPT Chu Văn An CƠ HỌC
hệ quay quanh một trục thẳng đứng. Biết hai quả cầu đứng yên không trượt trên trục ngang. Tính
khoảng cách từ hai quả cầu đến trục quay.
ĐS: l
1
= 4 cm, l
2
= 8 cm.
77. Hai viên bi A và B có khối lượng M và m nối với nhau bằng một lò xo có độ
cứng k và chiều dài tự nhiên
0
l
. Luồn hệ thống M, m vào trục ngang xy như hình vẽ
và quay xung quanh trục Oz với vận tốc góc
ω
. Hai bi M, m trượt không ma sát
trên thanh xy. Tìm vị trí cân bằng của hai viên bi và khoảng cách giữa chúng.
ĐS:
0
1

+ −
.
78. Hai lò xo có độ cứng k = 250 N/m,
0
36l cm=
bố trí như hình vẽ. Hai vật co
khối lượng m kích thước nhỏ có thể trượt không ma sát trên trục nằm ngang. Quay
hệ quay trục thẳng đứng với tần số n = 2 vòng/s. Cho m = 200 g. Tính chiều dài mỗi
lò xo.
ĐS: 57 cm; 50 cm.
79. Đĩa tròn nhẵn cso thể xoay quanh trục thẳng đứng vuông góc với mặt đĩa. Vật
M đặt trên đĩa, cách trục khoảng R. Vật m đặt trên M, nối với trục băng một thanh
nhẹ. Vận tốc quay của đãi tăng chậm. Hệ số ma sát giữa M và m là
µ
. Tìm vận tốc
góc
ω
của đĩa để M bắt đầu trượt khỏi m.
ĐS:
mg
MR
µ
ω
=
.
80. Cho hệ như hình vẽ, m
A
= 300 g, m
B
= 200 g, m

2
đối với A là
µ
.
ĐS: a.
1 2
1 2
( )g m m
a
m m
µ
µ
+
>
−
, b.
2 1
1 2
( )g m m
a
m m
µ
µ
−
<
+
, c.
1 2 2 1
1 2 1 2
( ) ( )g m m g m m

0
v
r
bao nhiêu để m có thể rời khỏi M ?
0
2 (1 )
m
v gl
M
µ
> +
BDHSG Lưu hành nội bộ 13
Nguyễn Văn Thông – Gv Trường THPT Chu Văn An CƠ HỌC
84. Trong một toa tàu khối lượng M = 2000 kg đứng yên, có một hòn bi nằm yên trên mặt bàn nằm
ngang gắn với toa tàu và cao hơn sàn toa 1,25 m. Toa tàu bắt đầu chạy thì hòn bi lăn không ma sát trên
mặt bàn được 50 cm rồi rơi xuống sàn toa cách mép bàn theo phương ngang 78 cm. Tính lực kéo toa tàu.
Bỏ qua ma sát cản chuyển động của tàu.
ĐS: 2880 N
85. Nêm có tiết diện là tam giác ABC vuông tại A. Nêm chuyển động trêm mặt
phẳng ngang với gia tốc
0
a
r
không đổi. Hai vật nhỏ cùng khối lượng, cùng trượt
xuống từ đỉnh A dọc theo hai sườn AB và AC của nêm. Cho
·
0
; ( 45 )ABC
α α
= >

trường hợp:
a. Không có ma sát ở mép A.
b. Ở A có ma sát ngăn không cho quả cầu trượt mà chỉ có thể quay
quanh A.
ĐS: a.
(2 )g h R h
a
R h
−
=
−
; b.
(2 )g h R h
a
R h
−
≤
−
.
87. Một ô tô chuyển động nhanh dần đều từ trang thái nghỉ trên một đoạn đường nằm ngang có cung
tròn bán kính 100 m, góc ở tâm
0
30
α
=
. Ô tô có thể vận tốc tối đa nào ở cuối đoạn đường mà không bị
trượt ? Biết hệ số ma sát trượt
0,3
µ
=

g
R
α µ
ω
α α
−
=
+
.
89. Cho hệ như hình vẽ
1
8m kg=
;
2
2m kg=
. Hệ số ma sát giữa
1
m
và mặt
sàn nằm ngang là
1
0,3
µ
=
còn hệ số ma sát giữa hai vật là
2
0,5
µ
=
.

nghiêng của nêm hợp với mặt bàn một góc
α
, người ta đặt một quả cầu đồng chất
khối lượng m. Quả cầu bắt đầu lăn không trượt dọc theo đường dốc chính của mặt
BDHSG Lưu hành nội bộ 14
A. LÝ THUYẾT
1. Cân bằng chất điểm
Chất điểm cân bằng khi hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng 0 và hợp lực phải đồng quy tại
một điểm.
Điều kiện cân bằng:
1 2
0
hl n
F F F F= + + + =
r
r r r r
(1)
2. Cân bằng vật rắn đồng chất
Vật rắn cân bằng khi nó không chuyển động tịnh tiến và không quay tức là hợp lực tác dụng
lên chất điểm bằng 0 và hợp lực phải đồng quy tại một điểm và tổng đại mômen quay theo
một chiều nhất định phải bằng 0.
Điều kiện cân bằng:
1 2
0
hl n
F F F F= + + + =
r
r r r r
(2)
1 2

G
m m m
+ + +
=
+ + +
Chú ý: Có thể thay khối lượng m
1
, m
2
, …, m
n
bởi diện tích hình học tương ứng của nó.
- Toạ độ trọng tâm G:
2 2
x y
G G G= +
.
Nguyễn Văn Thông – Gv Trường THPT Chu Văn An CƠ HỌC
nghiêng của nêm. Bỏ qua ma sát giữa nêm và mặt bàn; ma sát lăn giữa quả cầu và nêm. Xác định gia tốc
của nêm.
ĐS:
0
2 2
5
sin os
7
2
(sin os )
7
mg c

lấy g = 10m/s
2
. Nếu kéo căng dây để nó chỉ hạ xuống 5cm thì lực căng
dây sẽ tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm ?
ĐS: T = 205,49 N;
99%
T
T
∆
≈
.
4. Vật có trong lượng P = 100N được treo bởi hai sợi dây OA và OB như hình vẽ.
Khi vật cân thì
ˆ
AOB
= 120
0
.
Tính lực căng của 2 dây OA và OB.
ĐS:
200
3
B
T N=
;
200
3
A
T N=
.

ĐS: h =
1
3
m
.
8. Một trụ điện chịu tác dụng của một lực F = 5000N và được giữ thẳng đứng
nhờ dây AC như hình. Tìm lực dây căng AC và lực nén lên trụ AB. Cho
α
= 30
0
.
ĐS: T = 10000 N; N =
500 3 N
.
9. Một quả cầu có khối lượng 10kg nằm trên hai mặt phẳng
nghiêng vuông góc với nhau. Tính lực nén của quả cầu lên mỗi
mặt phẳng nghiêng trong hai trường hợp:
a.
α
= 45
0
.
b.
α
= 60
0
. Lấy g = 10m/s
2
ĐS: a.
1 2

0
và
β
= 60
0
. Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: T = 300 N; N =
300 3 N
.
12. Một ròng rọc nhỏ, treo một vật A có khối lượng m = 4kg, được đỡ
bằng sợi dây BCDE, có phần DE thẳng đứng, còn phần BC nghiêng một
góc
α
= 30
0
so với đường thẳng đứung. Do tác dụng của lựu kéo
F
r
nằm
ngang (hình vẽ) ròng rọc cân bằng. Tính độ lớn của
F
r
và lực căng của
dây. Bỏ qua khối lượng của ròng rọc. Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS:
1 2

2
được nối với nhau qua ròng rọc như hình vẽ. Hệ số
ma sát giữa vật m
1
và mặt phẳng nghiêng là
µ
. Bỏ qua khối lượng ròng
rọc và dây nối. Dây nối không co dãn. Tính tỉ số giữa m
2
và m
1
để vật m
1
:
a. Đi lên thẳng đều.
b. Đi xuống thẳng đều
c. Đứng yên (lúc đầu vật đứng yên)
ĐS: a.
2
1
sin
m
cos
m
α µ α
= +
; b.
2
1
sin

2. Giả sử hệ số ma sát của vật với mặt phẳng nghiêng là k = 0,1 và lực kéo
F
s
song song với mặt
phẳng nghiêng.
Tìm độ lớn
F
r
khi vật được kéo lên đều và khi vật đứng yên trên mặt phẳng nghiêng. Lấy
g = 10m/s
2
.
ĐS: 1. a. F = 100 N, b. F = 115,47 N; 2. F = 117,32 N.
16. Một vật có trọng lượng P = 100N được giữ đứng yên trên mặt phẳng nghiêng góc
α
bằng lực
F
r
có phương nằm ngang như hình vẽ. Biết hệ số ma sát
µ
= 0,2. Tính giá
trị lực F lớn nhất và bé nhất. Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: F
max
= 77,77 N; F
min
= 27,27 N.
17. Người ta giữ cân bằng vật m

để m
1
cân bằng.
ĐS:
3
0,83 1,17kg m kg≤ ≤
.
19. Trong một hộp (đáy nằm ngang, cạnh thẳng đứng, nhẵn) có hai hình trụ đồng chất
cùng bán kính R, cùng trọng lượng P nằm chồng lên nhau như hình. Đường nối hai trục
O
1
O
2
nghiêng một góc
α
= 45
0
với phương ngang. Tìm lực nén của các hình trụ lên hộp
và lực ép tương hỗ giữa chúng.
ĐS: N
1
= N
2
= P.
BDHSG Lưu hành nội bộ 18
Nguyễn Văn Thông – Gv Trường THPT Chu Văn An CƠ HỌC
20. Tương tự bài 219. Trong trường hợp 3 khối trụ như hình. Tính lực nén của mỗi ống dưới lên đáy và
lên tường.
ĐS:
1 4

b. Dây BC thẳng đứng (
α
= 90
0
).
ĐS: a. T = 3 P,
7N P=
; b.
3
2
T P=
,
1
2
N P=
.
24. Hai lò xo L
1
và L
2
có độ cứng là K
1
và K
2
, chiều dài tự nhiên bằng nhau. đầu trên
của hai lò xo móc vào trần nhà nằm ngang, đầu dưới móc vào thanh AB = 1m, nhẹ
cứng sao cho hai lò xo luôn thẳng đứng. Tại O (OA = 40cm) ta móc quả cân khối
lượng m = 1kg thì thanh AB có vị trí cân bằng mới nằm ngang.
a. Tính lực đàn hồi của mỗi lò xo.
b. Biết K

hợp với AB các góc
α
,
β
. Tìm F
2
nếu:
a.
0
90
α β
= =
.
b.
0 0
30 ; 90
α β
= =
.
c.
0 0
30 ; 60
α β
= =
.
ĐS: a. 4 N; b. 2 N; c. 2,3 N.
BDHSG Lưu hành nội bộ 19
Nguyễn Văn Thông – Gv Trường THPT Chu Văn An CƠ HỌC
26. Thanh gỗ đồng chất AB, khối lượng 20 kg có thể quay quanh A. Ban đàu
thanh nằm ngang trên sàn. Tác dụng lên B lực nâng

= 30
0
(hình). Hãy xác
định lực căng dây và hướng, độ lớn của phản lực của tường lên đầu B. Lấy g =
10m/s
2
.
ĐS:
25 3T N=
;
52,6N N=
;
0
55
β
≈
.
29. Một thanh AB dài 2m khối lượng m = 3kg được giữ nghiêng một góc
α
trên mặt sàn nằm ngang
bằng một sợi dây nằm ngang BC dài 2m nối đầu B của thanh với một bức tường
đứng thẳng; đầu A của thanh tự lên mặt sàn. Hệ số ma sát giữa thanh và mặt sàn
bằng
3
2
.
a. Tìm các giá trị của
α
để thanh có thể cân bằng.
b. Tính các lực tác dụng lên thanh và khoảng cách AD từ đầu A của thanh đến góc tường khi

=
20 2
N.
a. Hỏi ta có thể treo vật nặng P
1
= 20N tại điểm B trên thanh xa bản lề O
nhất là bao nhiêu cm ?
b. Xác định giá trị và độ lớn của phản lực
Q
r
của thanh lên bản lề ứng với vị
trí B vừa tìm.
ĐS: a. (OB)
max
= 80 cm.; b. N = 21,54 N,
0
21 48'
β
≈
32. Người ta giữ cho một khúc AB hình trụ (có khối lượng m = 50kg) nghiêng một
góc
α
so với mặt sàn nằm ngang bằng cách tác dụng vào đầu A một lực
F
r
vuông
góc với trục AB của khúc gỗ và nằm trong mặt phẳng thẳng đứng (hình). Tìm độ lớn
của
F
r

0
thì
125F N=
;
150,69N N=
0
76 6'
β
≈
.
33. Một vật hình trụ bằng kim loại có khối lượng m = 100kg, bán kính tiết
diện R = 15cm. Buộc vào hình trụ một sợi dây ngang có phương đi qua trục
hình trụ để kéo hình trụ lên bậc thang cao O
1
O
2
= h.
a. Khi F = 500N, tìm chiều cao h để hình trụ có thể vượt qua được. Lấy g
= 10m/s
2
.
b. Khi h = 5cm, tìm lực F tối thiểu để kéo hình trụ vượt qua.
ĐS: a.
1,58h cm≤
; b.
894F N≥
.
34. Đẩy một chiếc bút chì sáu cạnh dọc theo mặt phẳng nằm ngang (hình vẽ).
Với các giá trị nào của hệ số ma sát
µ

α α
µ
α
− +
≥
; b.
0 ' 0
56 18 71 34'
α
≤ ≤
.
36. Một thanh đồng chất AB có trọng lực P; đầu B dựa vào mặt phẳng nằm
ngang, đầu A dựa vào mặt phẳng nghiêng góc
α
(hình vẽ). đặt vào đầu A một
lực F song song với mặt phẳng nghiêng. Tính F để thanh cân bằng. Bỏ qua ma sát
giữa các mặt phẳng và đầu thanh.
ĐS:
sin
2
P
F
α
=
.
37. Một thanh đồng chất có hai đầu A, B tì trên một máng hình tròn có mặt phẳng
thẳng đứng, chiều dài thanh bằng bán kính hình tròn (hình vẽ). Hệ số ma sát là
µ
.
Tìm góc cực đại

1
µ
= 0.
• Tường và sàn đều nhẵn:
1
µ
=
2
µ
= 0
ĐS: a.
1 2
1
1
tan
2
m
µ µ
α
µ
−
=
; b.
2
µ
= 0:
1
1
tan
2

trong hai trường hợp:
µ
= 0,2,
µ
= 0,5.
ĐS:
µ
= 0,2:
1,38h m=
;
µ
= 0,5:
3,46h m=
.
40. Giải lại bài toán 37 khi trọng lượng thang P
1
= 100N; trọng lượng người P = 500N.
ĐS:
µ
= 0,2:
1,26h m=
;
µ
= 0,5:
3,75h m=
.
41. Một chiếc thang có chiều dài AB = 1 và đầu A tựa vào sàn nhà nằm ngang, đầu B tựa vào tường
thẳng đứng. Khối tâm C của thang ở cách đầu
1
3

µ
min
= 0,18;
3. a. Thanh vẫn cân bằng, b. Thanh trượt.
42. Một thang AB khối lượng m = 20kg được dựa vào một bức tường thẳng đứng trơn nhẵn. Hệ số ma
sát giữa thang và sàn bằng 0,5.
a. Khi góc nghiêng giữa thang và sàn là
α
= 60
0
thang đưúng cân bằng. Tính độ lớn các lực tác
dụng lên thang đó.
b. Để cho thang đứng yên không trượt trên sàn thì góc
α
phải thoả mãn điều kiện gì? Lấy g =
10m/s
2
.
ĐS: a. N
1
= P = 200 N; F
ms
= N
2
= 57,7 N.
43. Một thanh đồng chất AB chiều dài l khối lượng m = 6kg có thể quay xung quanh bản lề A gắn vào
mặt cạnh bàn nằm ngang AE (AE = 1). Người ta treo vào đầu cảu hai thanh vật m
1
= 2kg và m
2

=
+
;
sin
1 cos
α
µ
α
≥
+
.
BDHSG Lưu hành nội bộ 22
Nguyễn Văn Thông – Gv Trường THPT Chu Văn An CƠ HỌC
45. Hai tấm ván mỏng, giống hệt nhau có mép được bao tròn, nhẵn và được đặt tựa vào nhay trên mặt
sàn. Góc tựa mặt phẳng đứng và mỗi tấm ván là
α
. Hỏi hệ số ma sát
µ
giữa mép dưới của các tấm ván
và mặt sàn phải bằng bao nhiêu để chúng không bị đổ ?
ĐS:
1
tan
2
µ α
≥
.
46. Một quả cầu bán kính R khối lượng m được đặt ở đáy phẳng không nhẵn của một chiếc hộp có đáy
nghiêng một góc
α

và
β
= 60
0
. Tính lực căng T của dây BC và phản lực N của sàn tại A
(hình vẽ). Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: T = 52 N; N = 30 N.
48. Một thanh đồng chất trọng lượng P =
2 3
N có thể quay quanh chốt ở đầu O. Đầu A của thanh được
nối bằng dây không giãn vắt qua ròng rọc S với một vật có trọng lượng P
1
= 1N. S ở cùng độ cao với O và OS = OA. Khối lượng của ròng rọc và dây
không đáng kể.
a. Tính góc
SOA
α
=
ứng với cân bằng của hệ thống và tìm phản lực
của chốt O.
b. Cân bằng này là bền hay không bền ?
ĐS: a.
0
60
α
=
, N =
7 N

.Áp dụng: m
1
= 800g; m
2
= 150g
ĐS:
2
1
8
tan
3
m
m
α
=
;
0
26,5
α
≈
.
BDHSG Lưu hành nội bộ 23
Nguyễn Văn Thông – Gv Trường THPT Chu Văn An CƠ HỌC
52. Một khung kim loại ABC với  = 90
0
,
ˆ
B
= 30
0

để khối gỗ trên cân bằng.
ĐS:
2
1 tan
P
F
µ
µ α
≤
−
và
F P≤
54. Một khối gỗ lập phương đặt trên sàn, kê một cạnh vào tường nhẵn. Mặt dới
hợp với sàn một góc
α
. Tìm điều kiện của góc
α
để khối gỗ cân bằng. Cho hệ
số ma sát giữa khối gỗ và sàn là
µ
.
ĐS:
1
tan
2 1
α
µ
≤
+
.

và
1
2
2 ( )m b a
m
a
−
≥
.
57. Khối lập phương gắn trên khối hộp chữ nhật M tại O như hình. Khối M
trượt không ma sát trên sàn.
Tìm giá trị của lực
F
ur
đặt vào khối M để khối M không bị lật.
ĐS:
( )F M m g≤ +
.
58. Hai quả cầu đồng chất, bán kính R
1
, R
2
(R
1
> R
2
) trọng lượng P
1
, P
2

3
tan
2
P
P P
α
=
+
.
59. Thanh AB, đầu B gắn vào bản lề và ép khối trụ tại C như hình. Cho trọng
lượng khối trụ là P;
α
= 60
0
; đầu A nằm trên đường thẳng đứng qua O. Tìm các
BDHSG Lưu hành nội bộ 24
Nguyễn Văn Thông – Gv Trường THPT Chu Văn An CƠ HỌC
phản lực ở trục B; phản lực của nền và tường; lực ép tại C. Cho lực tác dụng vào A là
F
r
, bỏ qua trọng
lượng của thanh AB.
ĐS:
3
C
N F=
;
3
2
D

α
=
+
.
61. Một cái chén có dạng nửa mặt cầu bán kính R đặt ngửa sao
cho trục đối xứng của nó trùng với phương thẳng đứng. Ngời ta
cho chén quay quanh trục với tần số f. Trong chén có một viên
bi nhỏ quay cùng với chén. Hãy xác định góc tạo bởi bán kính
mặt cầu vẽ qua hòn bi với phương thẳng đứng (
ϕ
) khi cân
bằng. Tính
ϕ
khi bi cân bằng. Cân bằng là cân bằng bền hay
không bền ?
ĐS:
2 2
4
g
cos
f R
α
π
=
.
62. Hình trụ khối lượng m, bán kính R đặt trên mặt nghiêng cân bằng nhờ vật cản
là hình hộp chữ nhật như hình vẽ. Biết OAB là tam giác đều Cho mặt nghiêng
chuyển động sang trái với gia tốc a.
a. Tính tỷ số hai lực nén của hình trụ lên B và A (khi hình trụ vẫn còn cân
bằng)

α
= =
ĐS: a.
0M ≠
; b.
2
P
T =
.
64. Cho thanh đồng chất ABC có AB = 2BC;
0
ˆ
60ABC =
, đầu C treo vào dây,
đầu A thả tự do. Khi cân bằng, dây treo thẳng đứng. Tìm góc
α
hợp bởi đoạn
AB và phương ngang.
ĐS:
0
19
α
≈
.
65. Một người cắt từ một thước dẹt, đồng chất, phẳng khối lượng 3m, thành hai
đoạn
2
CD
AB l= =
, sau đó ráp lại thành chữ T (hình vẽ), đầu D mang vật nhỏ khối