TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010

263
THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀN VỮNG CHO HỆ THỐNG
PHI TUYẾN BẬC HAI NHIỀU ĐẦU VÀO - NHIỀU ĐẦU RA VÀ
ỨNG DỤNG TRONG ĐIỀU KHIỂN TAY MÁY CÔNG NGHIỆP
DESIGN OF ROBUST PID CONROLLERS FOR MIMO SECOND-ORDER
NONLINEAR SYSTEMS AND APPLICATIONS IN CONTROL
OF INDUSRIAL MANIPULATORS Nguyễn Văn Minh Trí
Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng
Lê Văn Mạnh
Trường Đại học Công nghiệp
TP. Hồ Chí Minh TÓM TẮT
Bài báo nêu lên phương pháp thiết kế bộ điều khiển PID bền vững để áp dụng vào điều
khiển các hệ phi tuyến bậc hai nhiều đầu vào – nhiều đầu ra (MIMO) có các tham số và nhiễu
không xác định. Các tham số của bộ điều khiển PID được xác định bằng công thức mới sử
dụng ngưỡng thay đổi của các thành phần không xác định và nhiễu bên ngoài. Sự hội tụ của h
ệ
thống được chứng minh dựa vào tiêu chuẩn ổn định Lyapunov. Kết quả mô phỏng trên tay máy
hai bậc tự do chứng tỏ tín hiệu điều khiển không còn hiện tượng rung và sai lệch tĩnh của hệ
thống hội tụ về không.

ABSTRACT
This paper presents a design method of the robust PID controller for MIMO second-
order nonlinear systems with bounded uncertainties and disturbances. PID controller

khiển tương đương trong bộ điều khiển trượt trước đây [3]. Thêm vào đó các hệ số bộ
điều khiển PID thông thường [4] chỉ xác định tường minh khi đối tượng điều khiển là
tuyến tính. Trong phần II, lý thuyết về bộ điều khiển PID bền vững áp dụng cho đối
tượng phi tuyến được đưa ra. Các kết quả lý thuyết sau đó được áp dụng cho việc điều
khiển một tay máy công nghiệp hai bậc tự do, được trình bày ở phần III. Các kết luận
được nêu lên ở phần IV.

2. Thiết kế bộ điều khiển
Xét một hệ thống phi tuyến bậc hai MIMO biểu diễn phương trình trạng thái sau:

()
(
)
(
)
t,, duqqBqqaq
+
+
=

, (1)
trong đó
n
R∈u vectơ các tín hiệu điều khiển,
n
R∈q là vectơ các biến trạng thái hệ
thống,
n
R∈)qa(q,


qgqqq,CHqq,a
1
+=
−

với
()
n
R∈qqq,C

là vectơ lực coriolis và lực ly tâm,
(
)
n
R∈qg là vectơ lực trọng trường,
n
R∈d là vectơ nhiễu không xác định.
Giả thuyết rằng:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
≤=
≤
−
m

()
n1, ,i0;CR;C;C, ,C,Cdiag
iin21
=
>
∈
=C
Chọn
()
σKu sgn= , (3)
trong đó
()
n1, ,i0;KK;K, ,K,Kdiag
in21
=
>
=
=
K
(
)()
(
)
(
)
[]
T
n21
σsgn, ,σsgn,σsgnsgn =σ
Chứng minh: Đạo hàm của

2
1
3
≥= σσ
T
V ,
(
)
eeCσσ.σ



+==
TT
V
3

(
)
(
)
(
)
(
)
[]
() ( ) ()()()
[]
() () () ()
()

3

Rõ ràng 0
3
≤V

nếu
(
)
d
qeC

++++≥ ηK
mmm
dah với η là hằng số dương nhỏ
bất kỳ. Theo tiêu chuẩn ổn định Lyapunov thì:
0
2
1
3
≥= σσ
T
V có 0
3
≤V

, sẽ đảm bảo hệ
thống có σ → 0. Khi σ = 0 =
eCe


qeC

(4)
Từ đó ta có thể chọn
()
mmmm
hEdaK
+
+
+
=
η
là hằng số.
Ta có định lý sau với chứng minh ở trên:
Định lý 1: Cho hệ thống (1) với giả thiết (2), (4) thỏa mãn, u chọn theo (3), trong đó:
()
constmmmm
KhEdaK
=
+++=
η
, (5)
thì sai lệch bám của hệ thống e sẽ hội tụ về 0.
Nhận xét 1: Từ luật điều khiển (3), ta có thể xây dựng một luật điều khiển PID như sau:

[]
,u, ,u,u
T
n21
=u

i
i
ii
i
i
const
i
i
iiconst
iiconst
i

(6)
Giả thiết rằng: Với mọi
(
)
(
)
0lim,lim
=
=
∞→∞→
tt
d
t
constd
t
qqq

,

[
]
T
const
T
0,qqq, =

, là ổn định
toàn cục.
Chứng minh: Chúng ta sẽ chứng minh bằng 2 phần. Phần 1 sẽ chứng minh rằng với
tham số bộ điều khiển được chọn sẽ mang quỹ đạo hệ thống vào một vùng lân cận nhỏ
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010

266
bất kỳ quanh điểm cân bằng
[]
[
]
T
const
T
0,qqq, =

. Phần tiếp theo chúng ta chỉ ra rằng tham
số của bộ điều khiển được chọn sẽ đảm bảo sự ổn định toàn cục của điểm cân bằng.

* Chứng minh phần 1: Xét hệ thống nhỏ thứ i
- Khi
ii
φσ

=


Tồn tại một số M
i
sao cho M
i
.(-C
i
) + (-C
i
).M
i
= - 1 => M
i
=
i
C2
1
.
Chọn V
4
= M
i
.e
i
2
⇒
iiiiii
eMeCMV

2
4
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
i
i
i
C
eV
φ


Kết quả trạng thái hệ thống sẽ hội tụ trong vùng có
i
i
i
C
e
φ
≤
Suy ra
iiii

bao
quanh điểm cân bằng
()
0,0 == ee

, hay là điểm cân bằng
[
]
[
]
T
const
T
0,qqq, =


* Chứng minh phần 2: Xét hệ thống nhỏ thứ i
Đặt
∫
+= dtIs
iiii
σσ
, tính hiệu điều khiển (6) trở thành: u
i
= K
const
.sat(s
i
/φ
i

hoặc 0>
+
=
iiii
Is
σ
σ

khi 0<
i
σ
, ta cho thể
nhân hai vế của bất đẳng thức để được:
00
22
≤−<⇔<+
iiiiiiii
II
σσσσσσ


⇔
02
2
≤−=−<=
iiiiiii
VIIV
σσσ



f Nếu 0>
+
=
iiii
Is
σ
σ

khi 0>
i
σ
, điều này đồng nghĩa là hàm s
i
luôn tăng khi
s
i
>0. Do đó, sau một thời gian xác định, s
i
>φ
i
, và luật điều khiển (3) đảm bảo
0
3
≤V

,
e
i
→ 0 khi t→ ∞ như chứng minh ở định lý 1.
Giả thiết (7) suy ra rằng có tồn tại điểm cân bằng

i
V
5
, ta được:

iii
ssV


.
~
5
= =
()
iiiii
sssss

+−+−
22
~~
với
∫
+= dtIs
iiii
σσ
,
iiii
eeC

+

~~
22
5
22
5
22
5

()() ()
()
iidiiiiiiiiiiiiiii
sdtqqCIeeCIeCIICssV −−++++++++−≤
∫


1
~~
22
5
Vì
(
)
(
)
∞→→−−→→→
∫
tkhisdtqqCIeee
iidiiiiii
0,0,0,0


.

Hình 1. Hình chiếu bằng của tay máy
Hàm Lagrange của cánh tay robot được xác định bởi:
(
)()()
qPqqKqqL −
=

,,

(9),
trong đó, K, P là tổng động năng và tổng thế năng của hệ thống.
Phương trình Lagrange-Euler chính là lực tổng quát tác động lên khâu thứ i được
xác định bởi:
()
(
)
21;
,,
÷=
∂
∂
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

22
2
12
2
111
sinsin2cos
cos2
qqllmqqqllmqIqllmlm
qIIqllmlmlmlm
CCCC
CCC


−−+++
++++++=
τ
(11)
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010

268

()
[
]
[
]
()
2
1221222
2

quỹ đạo đặt là một đa thức bậc 3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
pgq q
Thoi gian [s]
u dieu khienu13
u12
u11

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.5
0
0.5
1
1.5
Thoi gian [s]
Sai lech e

và e
1i
, e
2i
(i = 1
÷
3)}
* Nhận xét: Ta thấy C
i
nhỏ sai lệch bám e
i
của các khâu bám chậm tiến về 0 so với C
i

lớn hơn. Nếu C
i
lớn thì sai lệch bám e
i
của các khâu nhanh tiến về 0 nhưng hệ có sự quá
điều chỉnh. Tóm lại giá trị C
i
quyết định chất lượng điều khiển của hệ thống.

b) Với C
i
, I
i
,
φ
I

nu13
u12
u11

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Thoi gian [s]
Sai l ech ee13
e12
e11

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-50
-40
-30

0.3
0.35
0.4
Thoi gian [s]
Sai l ech ee23
e22
e21

Hình 3. Tín hiệu điều khiển và sai lệch bám khớp 1 và 2 của tay máy {tương ứng với u
1i
, u
2i
và e
1i
, e
2i
(i = 1
÷
3)}
u di eu khi e
n
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-50
-40
-30
-20
-10

= 10, I
i
= 0,1 và
φ
I
= 0,5 với quỹ đạo đặt là một đa thức bậc 3, nguồn nhiễu bên ngoài d
1
= 0,1
và d
2
= 5.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Thoi gian [s]
nhi eud1
d2

Hình 4. Nguồn nhiễu bên ngoài d
1

0.8
1
1.2
1.4
1.6
Thoi gian [s]
S
a
i l
ec
h
ee1(d1)
e1(d2)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
Thoi gian [s]
u dieu khien


i
) và
e
1
(d
i
), e
2
(d
i
)

(i = 1
÷
2)}
* Nhận xét: Khi chọn tham số tối ưu là C
i
= 15, K
consti
= 10, I
i
= 0,1, φ
i
= 0,5 (i = 1
÷
2)
và tăng nguồn nhiễu lên 50 lần (d
1
= 0,1 và d
2

=
.
;
i
ii
Ii
IC
K
φ
.
=
;
i
consti
Di
K
K
φ
=

Từ kết quả mô phỏng trên và việc xác định các thông số của bộ điều khiển ta
tính được các hệ số K
Pi
, K
Ii
, K
Di
dễ dàng, kết quả này có được nhờ vào việc chứng minh
bộ điều khiển PID bền vững ở mục II. Đây là kết quả mang tính khoa học cao khi mà
các hệ số của bộ điều khiển PID cho đối tượng phi tuyến MIMO được xác định bằng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] A. Leva, “PID autotuning algorithm based on relay feedback,”IEE Porc-Control
Theory Appl., vol. 140, 1993, pp. 328-337.
[2]
Q. G. Wang, B. Zou, T. H. Lee, and Q. Bi, “Auto-tuning of multivariable PID
controller from decentralized relay feedback,” Automatica, vol. 33, 1997, pp. 319-
330.
[3]
Lê Tấn Duy, Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ tay máy robot, Tạp chí Khoa học
và Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, số 4/2003.
[4]
Vũ Tú Anh, Bộ điều khiển PID số cho động cơ DC ứng dụng ASIC, Tạp chí Khoa
học và Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, số 4/2008.
[5]
Mark W. Spong, Seth Hutchinson, and M. Vidyasagar, Robot Modeling and
Control, 2004.