BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ


o0o



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Giáo viên hướng dẫn:
ThS. HOÀNG ĐỖ NGỌC TRẦM
Sinh viên thực hiện:
TRƯƠNG MẠNH TUẤN
Xin cảm ơn gia ñình, người thân ñã hỗ trợ tinh thần tôi có thể hoàn thành khóa
luận này.
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn.
Trương Mạnh Tuấn
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 2

MỞ ĐẦU
Ngày nay với sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật, các hệ lượng tử
ñược xét ñến ngày càng ña dạng, trong ñó có nhiều bài toán chưa tìm ñược lời giải, từ
ñó phát sinh nhu cầu xây dựng và phát triển các phương pháp giải các bài toán cơ học
lượng tử - cụ thể là giải các phương trình Schrödinger. Một trong những phương pháp
mạnh và phổ biến có thể kể ñến là phương pháp lý thuyết nhiễu loạn. Ý tưởng chính
của lý thuyết nhiễu loạn là tách Hamiltonian của bài toán thành hai thành phần: một
phần có thể xác ñịnh ñược nghiệm chính xác, phần còn lại là “nhiễu loạn” sẽ ñóng góp
vào kết quả thông qua các bổ chính; trong ñó ñiều kiện áp dụng là thành phần “nhiễu
loạn” phải nhỏ so với thành phần chính. Đây cũng chính là hạn chế lớn của phương
pháp này, vì trong thực tế một số trường hợp thành phần tách ra không ñủ nhỏ ñể coi là
“nhiễu loạn”. Như vậy, việc xây dựng một phương pháp ñể giải các bài toán phi nhiễu
loạn là cần thiết.
Phương pháp toán tử (Operator Method, viết tắt là OM) ñược xây dựng từ thập
niên 80 của thế kỉ trước. Đây là một trong các phương pháp mạnh cho một dải rất rộng
các bài toán phi nhiễu loạn nêu trên [7].
Ý tưởng chính của OM [7] nằm trong bốn bước sau: (1) - Biểu diễn toán tử
Hamiltonian qua các toán tử sinh hủy:
ˆ ˆ

ω
+
là năng lượng gần ñúng bậc không; (4)- Xem
ˆ ˆ
( , , )
V a a
ω
+
là thành phần nhiễu loạn và tính các bổ chính bậc cao theo các sơ ñồ thích
hợp.
Qua nghiên cứu và ứng dụng trong một loạt các bài toán cụ thể về lý thuyết
trường, chất rắn, vật lý nguyên tử… OM ñã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó [7]
. Một số ưu ñiểm có thể kể ra như: (1) - Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận
phức tạp, ñưa về các phép biến ñổi thuần ñại số. Vì vậy có thể sử dụng các chương trình
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 3

tính toán trên biểu tượng như Matlab, Mathematica ñể tự ñộng hóa quá trình tính toán;
(2) - Cho phép xét các hệ lượng tử với trường ngoài có cường ñộ bất kì. Từ ñây có thể
tìm giá trị năng lượng và hàm sóng của hệ trong toàn miền thay ñổi của tham số trường
ngoài.

Một trong những khó khăn chung khi áp dụng OM là ña phần các bài toán có
toán tử Hamilton chứa các biến ñộng lực ở mẫu số hoặc trong trong dấu căn nên nếu
ñơn thuần chuyển sang biểu diễn các toán tử sinh hủy thì sẽ gây khó khăn khi tính toán.
Để giải quyết vấn ñề này, trong các công trình trước [2], [7] các tác giả ñã sử dụng mối


- Tìm hiểu về lý thuyết nhiễu loạn, cụ thể là nhiễu loạn dừng, tính lại sơ ñồ xác
ñịnh các bổ chính năng lượng, hàm sóng, áp dụng cho một bài toán phổ biến trong cơ
học lượng tử là bài toán dao ñộng tử phi ñiều hòa.
- Tìm hiểu về OM (sơ ñồ tính toán, các ưu ñiểm ) trên cơ sở ñối chiếu, so sánh
với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn thông qua việc giải bài toán dao ñộng tử phi ñiều
hòa.
- Hoàn thiện các kĩ năng tính toán: tính toán trên các toán tử sinh hủy, biến ñổi
giải tích.
- Bước ñầu làm quen với ngôn ngữ lập trình (FORTRAN 77, 90).
- Đưa ra lời giải cho bài toán exciton hai chiều bằng phương pháp toán tử, so sánh
với kết quả thu ñược bằng lời giải giải tích.
- Khảo sát tính hội tụ của phương pháp toán tử theo tham số
ω
.
Phương pháp nghiên cứu:
- Tính toán ñại số ñể tìm biểu thức giải tích.
- Sử dụng ngôn ngữ lập trình FORTRAN 77 ñể tìm nghiệm số.
- Đối chiếu, so sánh kết quả số thu ñược bằng lời giải giải tích và lời giải theo OM.
Bố cục của luận văn ñược tác giả chia làm 4 chương:
Chương 1: Giới thiệu phương pháp toán tử qua bài toán dao ñộng tử phi ñiều hòa
Tác giả giới thiệu OM thông qua ví dụ bài toán dao ñộng tử phi ñiều hòa, ñồng
thời ñối chiếu với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn truyền thống ñể thấy ñược tính
hiệu quả của phương pháp này. Trước hết tác giả viết lại sơ ñồ lý thuyết nhiễu loạn
Rayleigh-Schrödinger và áp dụng cho bài toán nêu trên. Sau ñó tác giả ñưa ra các bước
cơ bản của OM và áp dụng cho cùng một bài toán. Kết quả bằng số cho thấy phương
pháp nhiễu loạn chỉ áp dụng ñược cho trường hợp tham số phi ñiều hòa
0.1
λ
≪

với kết quả thu ñược từ phương pháp giải tích. Với việc khảo sát tham số
ω
trong bài
toán, ta ñã xác ñịnh ñược các giá trị
ω
ñặc biệt trong trường hợp mức năng lượng kích
thích. Hướng phát triển tiếp của ñề tài là: tiếp tục khảo sát
ω
ñể tìm ra quy luật tối ưu
hóa tốc ñộ tính toán, sử dụng các sơ ñồ khác nhau ñể tính toán nghiệm chính xác, chọn
ra ñược sơ ñồ tính toán phù hợp. Từ ñó ứng dụng OM cho bài toán exciton âm và
exciton dương trong từ trường…
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 6 CHƯƠNG 1

GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ QUA BÀI
TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA
Trong chương này ta sẽ giới thiệu các bước cơ bản của OM thông qua ví dụ bài
toán dao ñộng tử phi ñiều hòa. Để minh họa những ưu ñiểm của phương pháp mới này
ta sẽ trình bày song song với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn [1], [4] và so sánh các
kết quả bằng số của hai phương pháp.
1.1 Sơ ñồ Rayleigh- Schrödinger cho phương pháp nhiễu loạn dừng
Xét phương trình Schrödinger dừng:

ˆ
V
phải “nhỏ” so với
0
ˆ
H
,
0
ˆ ˆ
V H
<< , tham số nhiễu
loạn
β
(
1
β
<<
)
ñược thêm vào ñể chỉ thành phần
ˆ
V
là nhỏ . Khi ñó, nghiệm của
phương trình (1.3) sẽ gần với nghiệm của phương trình (1.1). Lúc này chúng ta xem
n
ε

và
n
ψ
là nghiệm gần ñúng bậc không của (1.1), các nghiệm gần ñúng bậc cao hơn sẽ

ε
, với
0,1,2,
n
=
.
Khi ñó, chúng ta tìm nghiệm của (1.1) dưới dạng khai triển theo các hàm riêng của
0
ˆ
H

như sau:

0
( ) ( )
k k
k
x C x
ψ
+∞
=
Ψ =
∑
.
Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết hàm sóng cho trạng thái
n
như sau:

0
( )

Nhân hai vế của (1.5) với
*
( )
n
x
ψ
rồi tích phân theo toàn miền biến số x ta ñược:
* *
0
0, 0,
ˆ ˆ
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n k k n n n k k
k k n k k n
x H V x C x x E x C x
ψ β ψ ψ ψ ψ ψ
+∞ +∞
= ≠ = ≠
   
+ + = +
   
   
∑ ∑
,
suy ra:

0 ( )
nn nn k nk n
k k n
H V C V E

,

suy ra:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 8 0
( )
n jj j jn k jk
k
k n
E H C V C V
β β
+∞
=
≠
− = +
∑
,
(
)
j n
≠
(1.7)
với ký hiệu các yếu tố ma trận:

C
, nghĩa là tìm ñược hàm sóng
( )
n
x
Ψ
qua công thức (1.4). Ta có thể sử dụng lý
thuyết nhiễu loạn cho hệ phương trình này bằng cách phân tích theo tham số nhiễu loạn
như sau:

(0) ( )
1
s s
n n
s
E E E
β
+∞
=
= + ∆
∑
, (1.9)

(0) ( )
1
,
s s
j j j
s
C C C j n

(1) (1)
(0)
, ( )
jn
n nn j
n jj
V
E V C j n
E H
∆ = ∆ = ≠
−
;
2:
s
≥

( ) ( 1)
0
s s
n nk k
k
k n
E V C
+∞
−
=
≠
∆ = ∆
∑
,

ơ

ñồ
lý thuy
ế
t nhi
ễ
u lo
ạ
n mà ta s
ẽ
s
ử
d
ụ
ng trong các ph
ầ
n sau.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 9

1.2. Phương pháp nhiễu loạn và dao ñộng tử phi ñiều hòa
Ta xét bài toán dao ñộng phi ñiều hòa với toán tử Hamilton có dạng sau:

2
2 4

ñ
o
ạ
n.
Ta s
ẽ
s
ử
d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp nhi
ễ
u lo
ạ
n
ñ
ã
ñề
c
ậ
p
ở
trên
ñể
gi
ả
i quy
ế

H x
dx
= − +
,

4
ˆ
V x
λ
=
. (1.13)
Toán t
ử
Hamilton g
ầ
n
ñ
úng
0
ˆ
H
có nghi
ệ
m riêng chính xác là các hàm sóng c
ủ
a
dao
ñộ
ng t
ử

c Hermit:
( )
2 2
( 1)
n
n x x
n
n
d
H x e e
dx
−
= −
.
Hàm sóng này
ứ
ng v
ớ
i tr
ị
riêng là n
ă
ng l
ượ
ng g
ầ
n
ñ
úng b
ậ

ố
(1.14) có th
ể

tính
ñượ
c nh
ư
sau ( xem ph
ụ
l
ụ
c 3):

1
2
nn
H n
= +

Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 10 , 4
( 4)( 3)( 2)( 1)

.
Kết quả: Trong các bảng sau chúng ta sẽ ñưa ra các số liệu thu ñược cho trường
hợp trạng thái cơ bản
0
n
=
và mộ
t tr
ạ
ng thái kích thích
4
n
=
.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n áp d
ụ
ng lý
thuy
ế
t nhi
ễ
u lo
ạ
n
0

+
→
+ +
≪
. (1.16)
V
ớ
i tr
ạ
ng thái c
ơ
b
ả
n:
0
n
=
thì
0.67
λ
→
≪
, ta s
ẽ
xét các tr
ườ
ng h
ợ
p
ứ

ng
ứ
ng
trong b
ả
ng 1.1.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 11

Bảng 1:1
Trạng thái cơ bản
0
n
=
thu ñượ
c b
ằ
ng lý thuy
ế
t nhi
ễ
u lo
ạ
n.
(2)
0
E

0.5072375000 0.5309375002 0.5487500013 4.8875000929
(
)
3
0
E

0.5072583125 0.5335390626 0.5695624993 1.0506874797
(
)
4
0
E

0.5072558996 0.5320310060 0.5454335949 -0.9037538228
(
)
5
0
E

0.5072562577 0.5331500624 0.5812433983 7.7980283886
(
)
6
0

0.5072562044 0.5311982288 -1.2786007173 -129950.4520395805

V
ớ
i tr
ạ
ng thái kích thích:
4
n
=

ñ
i
ề
u ki
ệ
n ta thu
ñượ
c là
0.146
λ
→
≪
. Ta s
ẽ
xét
các tr
ườ
ng h
ợ

ươ
ng
ứ
ng
ở
b
ả
ng 1.2.
Bảng 1.2
:
Tr
ạ
ng thái kích thích
4
n
=
thu
ñượ
c b
ằ
ng lý thuy
ế
t nhi
ễ
u lo
ạ
n.0.01

4
E

4.7668874959 5.0569874638 4.8829498552 3.5137495980
(
)
3
4
E

4.7775845596 5.3458081837 7.1935156144 14.2108132978
(
)
4
4
E

4.7738544635 5.0436703988 2.3593110572 -23.0901477918
(
)
5
4
E

4.7753851516 5.4156275988 14.2619414562 129.9786587800
(
)
6
4
E

(
)
10
4
E

4.7748899061 2.8703274765 -2901.9907584706

-526740.6987256789

Nhận xét:
Ta thấy ñối với trạng thái cơ bản (bảng 1.1) trong trường hợp
0.01,
λ
=
khá nhỏ so
với giới hạn của ñiều kiện nhiễu loạn, kết quả bổ chính bậc sáu cho chính xác tới sáu
chữ số sau dấu phẩy. Với trường hợp
0.05
λ
=
, mặ
c dù v
ẫ
n nh
ỏ
so v
ớ
i
ñ

C
ụ
th
ể

ñế
n giá tr
ị

0.1
λ
=
ta th
ấ
y k
ế
t qu
ả
phân kì, các b
ổ
chính b
ậ
c ba
ñ
ã cho k
ế
t qu
ả

không phù h

ng t
ự

ở
tr
ạ
ng thái kích thích
4
n
=
(b
ả
ng 1.2)
Nh
ư
v
ậ
y khi s
ử
d
ụ
ng s
ơ

ñồ
lý thuy
ế
t nhi
ễ
u lo

ñộ
h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a n
ă
ng
l
ượ
ng không cao và ch
ỉ
áp d
ụ
ng cho mi
ề
n
λ
nh
ỏ
.
1.3 Ph
ươ
ng pháp toán t
ử
cho bài toán dao
ñộ
ng t

m 1982 b
ở
i m
ộ
t nhóm các giáo s
ư

ở
tr
ườ
ng
Đạ
i h
ọ
c Belarus và
ñượ
c
ứ
ng d
ụ
ng thành công cho m
ộ
t nhóm r
ộ
ng rãi các bài toán nh
ư
các polaron,
bipolaron trong tr
ườ
ng

các boson trong trong lý thuy
ế
t tr
ườ
ng.
Ph
ươ
ng pháp này
ñượ
c phát tri
ể
n b
ở
i Fernandez, Meson và Castro, Gerryva Silverman,
Wistchel và nhi
ề
u tác gi
ả
khác [7].
Ta s
ẽ
trình bày các
ñ
i
ể
m chính c
ủ
a ph
ươ
ng pháp OM trên c

ễ
u
lo
ạ
n
ở
trên.
Xét ph
ươ
ng trình Schrödinger (1.1) cho dao
ñộ
ng t
ử
phi
ñ
i
ề
u hòa v
ớ
i toán t
ử

Hamilton không th
ứ
nguyên (1.14). Ta s
ẽ
gi
ả
i ph
ươ

1
ˆ ˆ ˆ
.
2 2
i d
a x p x
dx
i d
a x p x
dx
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
+
   
   
   
   
   
   
= + = +
= − = −
(1.17)
Ở ñây toán tử
ˆ
a
ñược gọi là “toán tử hủy” và
ˆ
a

2
1 1 3
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2 1 2 2 1
4 4
4
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
4 4 6 6 .
4
H a a a a a a a a
a a a a a a a a
ω ω λ
ω ω
ω
λ
ω
+ + + +
+ + + +
   
   
   
 
 
 
+ −
= + + + + + +
+ + + + + +
(1.19)
Bước hai: Tách Hamiltonian ở (1.19) thành hai thành phần như sau:

H a a a a a a
ω λ
ω ω
+ + +
 
 
 
+
= + + + +
. (1.20)
- Phần còn lại ta kí hiệu là
(
)
(
)
0
ˆ ˆ
ˆ ˆ
, ,
ˆ
ˆ ˆ
, , ,
OM
OM
H H a a
V a a
λ ω
λ ω
+
+

λ ω
+
ñược xem như thành
phần “nhiễu loạn” sẽ ñược ñiều chỉnh “ñủ nhỏ” ñể thỏa ñiều kiện của lý thuyết nhiễu
loạn thông qua việc chọn tham số
ω
.
Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc không bằng cách giải phương trình:

(
)
( ) ( ) ( )
0 0 0
0
ˆ
ˆ ˆ
, ,
OM
H a a E
λ ω ψ ψ
+
= . (1.21)
Ta thấy
(
)
0
ˆ
ˆ ˆ
, ,
OM

a
ω
= =
. (1.23)
Khi cần thiết chúng ta có thể sử dụng phương trình này ñể xác ñịnh dạng tường
minh của hàm sóng biểu diễn trạng thái chân không.
Từ các tính chất của toán tử sinh – hủy (1.18), ta dễ dàng kiểm chứng:

ˆ ˆ
;
a a n n n
+
=
(1.24)
ñiều này có nghĩa là trạng thái (1.23) là nghiệm riêng của toán tử
ˆ ˆ ˆ
n a a
+
=
, nghĩa là nó
cũng là nghiệm riêng của toán tử
(
)
0
ˆ
ˆ ˆ
, ,
H a a
λ ω
+

ω ω
ω λ
ω ω
+ + +
 
 
=
 
 
 
 
=
+
= + + + +
+
+ + + +
(1.25)
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 15

là năng lượng gần ñúng bậc không, phụ thuộc vào tham số
ω
(xem phụ lục 3). Như ñã
nói, ñây là tham số ñược ñưa vào ñể tối ưu hóa quá trình tính toán, ta xác ñịnh
ω
từ

2 1 2 1 6 2 2 1 0
n n n n
ω ω λ
+ − + − + + =
. (1.27)
Bước bốn: Phương pháp toán tử (OM) tìm nghiệm bằng số:
Đến ñây chúng ta có thể sử dụng sơ ñồ của lý thuyết nhiễu loạn (1.9)-(1.11) ñể
tính các bổ chính bậc cao. Ngoài ra, do tính hội tụ của OM rất cao và chúng ta có tham
số tự do
ω
ñể ñiều khiển tốc ñộ hội tụ, ta có thể sử dụng sơ ñồ vòng lặp ñể giải trực
tiếp hệ phương trình (1.6)-(1.7).
Hàm sóng có thể viết dưới dạng chuỗi của các vector trạng thái như sau:

( ) ( )
0
( )
n s
s s
n k
k
k n
n C k
+
=
≠
Ψ = +
∑
. (1.28)
Thế (1.28) vào phương trình (1.1) ta có:

0 0
( ) ( )
ˆ ˆ
( )
n s n s
s s
k n k
k k
k n k n
n H V n C k n E n C k
β
+ +
= =
≠ ≠
   
   
+ + = +
   
   
   
∑ ∑
,
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 16

suy ra:

k n k
k k
k n k n
j H V n C k j E n C k
β
+ +
= =
≠ ≠
   
   
+ + = +
   
   
   
∑ ∑
,
suy ra:

( ) ( 1) ( )
0
( )
n s
s s s
n jj j jn
k jk
k
k n
E H C V C V
+
+

và
(
)
1
n
s
ε
−
sai khác nhau rất ít. Nên ta có ñược sơ
ñồ vòng vòng lặp như sau:

( )
( )
0,
n s
s
s
n nn nn
k nk
k k n
E H V C V
+
= ≠
= + +
∑
,

( ) ( 1) ( )
0
( )

(
)
( )
,
s
s
n j
E C
tương ứng
với các bước lặp khác nhau chứ không phải là bổ chính.
Các yếu tố ma trận trong sơ ñồ trên cũng như trong sơ ñồ lý thuyết nhiễu loạn
ñược ñịnh nghĩa như (1.6), viết lại như sau:

0
ˆ
OM
kk
H k H k
=
,
ˆ
jk
V j V k
=
; (1.33)
các phần tử ma trận này có thể tính một cách dễ dàng bằng các biến ñổi thuần ñại số
dựa vào các tính chất (1.18), (1.23). Cụ thể là hai công thức sau :
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

2 1 2 2 1
4
4
1 3
2 1 2 2 1 ,
4
4
nn
nn
H H n a a a a a a n
n n n
ω λ
ω
ω
ω λ
ω
ω
+ + +
 
 
 
+
= = + + + +
+
= + + + +( )
( ) ( )( ) ( )
( )

ω λ
ω ω
+
+
−
= + + +
+
   
− −
= + + + + = + +
   
   
 
−
+ + + +
 
 ( )
( )( )( )( )
4
, 4
2 2 2
4 !
ˆ
4 4 3 2 1 ;
4 4 ! 4
n n
n

λ
=

0.05
λ
=

0.1
λ
=

0.3
λ
=

1.5
λ
=

(
)
0
0
E

0.5072875410 0.5477040816 0.574999999 0.6689058171 0.9727107180
(
)
1
0

)
6
0
E

0.5072620448 0.5326427790 0.559146278 0.6379914404 0.8847892918
(
)
7
0
E

0.5072620453 0.5326427553 0.559146329 0.6379917786 0.8847943659
(
)
8
0
E

0.5072620452 0.5326427551 0.559146328 0.6379918013 0.8847946861
(
)
9
0
E

0.5072620452 0.5326427553 0.559146327 0.6379917866 0.8847944336
(
)
10

λ
=

0.03
λ
=

0.06
λ
=

0.1
λ
=

1.5
λ
=

(
)
0
4
E

4.8092999999 5.2078603252 5.8694444444 6.2490740740 12.4453125000
(
)
1
4

)
6
4
E

4.7749129456 5.2051514395 5.7009480693 6.2203017742 12.3577769104
(
)
7
4
E

4.7749131151 5.2051511291 5.7010151586 6.2202996521 12.3574810758
(
)
8
4
E

4.7749131114 5.2051511437 5.7010178067 6.2203009392 12.3574842521
(
)
9
4
E

4.7749131114 5.2051511499 5.7010146470 6.2203009652 12.3575265919
(
)
10

ơ
b
ả
n n=0 (b
ả
ng 1.3)
và tr
ườ
ng h
ợ
p kích thích
ứ
ng v
ớ
i n = 4 (b
ả
ng 1.4)
ứ
ng v
ớ
i các giá tr
ị

λ
khác nhau, sau
b
ổ
chính b
ậ
c sáu c

ng pháp nhi
ễ
u lo
ạ
n
ñ
ã thu
ñượ
c
ở

b
ả
ng 1.1 và b
ả
ng 1.2 b
ằ
ng vi
ệ
c xét thêm tr
ườ
ng h
ợ
p
1.5
λ
=

ñố
i v

ợ
p
λ
có giá tr
ị
nh
ỏ
.
Nh
ư
v
ậ
y OM cho phép tìm giá tr
ị
n
ă
ng l
ượ
ng
ứ
ng v
ớ
i các giá tr
ị
tham s
ố
nhi
ễ
u
lo


2.1.1 Khái niệm
Trong chất bán dẫn thông thường, ñộ sai khác năng lượng
g
E
giữa dải dẫn và giải
hóa trị ở khoảng năng lượng kéo dài từ vùng hồng ngoại tới vùng ánh sáng khả kiến.
Một photon năng lượng
g
h E
ω
>
có thể kích thích một ñiện tử trong dải hóa trị nhảy lên
dải dẫn và ñể lại trong dải hóa trị một lỗ
trống thể hiện như một ñiện tích dương.
Một ñiện tử liên kết với một lỗ trống bởi
tương tác Coulomb sẽ cho ra một hệ
tương tự như nguyên tử hydro. Ở giới
hạn mật ñộ thấp, khi ñó ta bỏ qua hiệu
ứng nhiều hạt, cặp ñiện tử - lỗ trống
ñược coi như môt giả hạt tự do gọi là
exciton.
Hình 2.1- Các mức năng lượng của exciton [7]
2.1.2 Phân loại
Exciton ñược phân làm hai loại tùy thuộc vào tính chất và vật liệu ñang xét:
- Trong chất bán dẫn: ñiện tử và lỗ trống tương tác với nhau ở khoảng cách lớn
hơn nhiều lần hằng số mạng, cộng thêm thế màn chắn (thế tương tác) của môi trường
mạng nên năng lượng liên kết của exciton thường nhỏ hơn nhiều so với năng lượng của
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 22

- Việc tạo ra các mức exciton trong vùng cấm (exciton Mott-Wannier) rất giống với
việc tạo ra các mức tạp trong bán dẫn. Ở mức cơ bản năng lượng liên kết exciton trùng
với mức năng lượng tạp chất donor nhóm V hoặc các bán dẫn nguyên tố nhóm IV như Si,
Ge (cỡ 0.005eV).
- Không phải chỉ có một mức exciton mà có cả một dải các mức exciton gián
ñoạn. Phổ hấp thụ exciton là phổ gián ñoạn, gồm một dải các vạch như phổ hấp thụ của
hydro.
- Sự tồn tại của exciton ñược chứng tỏ trong thực nghiệm qua việc phát hiện một
vùng phổ hấp thụ gần bờ hấp thụ cơ bản về phía bước sóng dài với các mũi nhọn (peak)
hấp thụ (ở nhiệt ñộ thấp) mà không làm thay ñổi nồng ñộ hạt dẫn. Phổ vạch dạng giống
như nguyên tử Hydro ñã ñược phát hiện trong các bán dẫn có vùng cấm rộng như CdS,
HgI
2
, PbI
2
, CdI
2
, CuO
2
, [7].
2.2 Bài toán exciton hai chiều
2.2.1 Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều
Theo cơ học cổ ñiển, năng lượng của hệ gồm electron và lỗ trống tương tác

2 2
1 2
1 2
ˆ
2 2
H U r
m m
= − ∇ − ∇ +
ℏ ℏ
. (2.2)
Viết lại (2.2) trong hệ tọa ñộ chuyển ñộng khối tâm và chuyển ñộng tương ñối của
hai hạt (xem phụ lục 4):
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 23 ( )
2 2
2 2
2 1
ˆ
2 2( )
r G
H U r
m m
µ

2
1 2
ˆ
2
G G
H
m m
= − ∇
+
ℏ
: chuyển ñộng khối tâm của hệ có khối lượng m=m
1
+m
2
,
+
( )
2
2
ˆ
2
r r
H U r
µ
= ∇ +
ℏ
: chuyển ñộng tương ñối của hạt trong trường thế Coulomb
với khối lượng rút gọn
1 2
1 2

 
=
 
, do ñó
ˆ ˆ
,
G r
H H
giao hoán với
ˆ
H
, khi ñó phương trình trị
riêng ñược tách thành hai phương trình trị riêng của
ˆ ˆ
,
G r
H H
.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2 1

2.6
2

2.7

(
)
(
)
.
r G
r R
ψ ψ
Ψ =
.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 24

Phương trình (2.7) là phương trình Schrödinger của hạt tự do có m=m
1
+m
2
, ta có
thể dễ dàng tìm ñược năng lượng và hàm sóng của nó như sau [5]:
2 2
2
2
1 2
2
( )
G r

x y
ψ ψ
 
 
∂ ∂
 
− + − =
 
 
∂ ∂
+
 
 
 
(2.9)
với
2 2
( , )
Z
U x y
x y
=
+
là thế Coulomb.
2.2.2 Phương pháp giải tích cho bài toán exciton hai chiều.

Trong phần này ta sẽ tiến hành giải (2.9) theo phương pháp giải tích ñể ñối chiếu
với phương pháp toán tử ở phần sau.
* Phương trình Schrödinger của exciton hai chiều trong tọa ñộ cực:
Chuyển toán tử Hamiton trong phương trình (2.9) qua biểu diễn trong tọa ñộ cực

ϕ
∂
= −
∂
;
(2.11)