Nhị thức newton và ứng dụng
I Nhị thức newton
1 Công thức nhị thức Newton:
Với mọi cặp số a, -b và mọi số nguyên dơng ta có:
(a + b)
n
= c
o
n
a
n
+ c
1
n
a
n 1
b + c
2
n
c
1
n 2
b
2
+ + c
n
n-1
ab
n 1
+ c
n

n
; C
n
n
;
Với chú ý: C
k
n
= C
n
n
k
0 < k < n.
3 Một số dạng đặc biệt:
+ Dạng 1: Thay a = 1 và b = x vào (*) ta đợc
(1 + x)
n
= C
0
n
+ C
1
n
x + C
2
n
x
2
+ + C
n-1

n
C
n
n
x
n
(3)
4 Một số hệ thức giữa các hệ số nhị thức
+ Thay x = 1 vào (2) ta đợc
C
0
n
+ C
1
n
x + C
2
n
+ + C
n
n
= 2
n
+ Thay x = -1 vào (3) ta đợc:
C
0
n
- C
1
n


kk
k
k
xC )4.()3(
5
5
0
5
=

=

= 3
5
. C
0
5
. x
5
+ 4.3
4
C
1
5
x
4
+ + 4
5
C

= C
0
6
+ C
1
6
+ C
2
6
+ + C
6
6
b: S
2
= C
0
5
+ 2C
1
5
+ 2
2
C
2
5
+ +2
5
C
5
5

.C
17
17
d: S
4
= C
6
11
+ C
7
11
+ C
8
11
+ C
9
11
+ C
10
11
+ C
11
11
e:
0
1
2001
2002
2001
20022002

= (1 + 1)
6
= 2
6
= 64
b:Ta có (1 + x)
5
k
k
k
xC

=
=
5
0
5
(1)
Thay x = 2 vào (1) ta đợc:
S
2
= C
0
5
+ 2C
1
5
+ 2
2
. C

2
17
4
3
.3
14
. C
3
7
+ -4
17
.C
17
17
= C
0
17
.3
17
+ C117.3
16
(-4)
1
+ C
2
17
3
15
(-4)
2

+ C
2
11
+ + C
11
11
Mặt khác C
k
11
= C
11
11-k
với k

(0,1,2, 11)
Do vậy: (1 + 1)
11
= 2 (C
6
11
+ C
7
11
+ C
8
11
+ C
9
11
+ C

)!2002(
.
)!2002(!
!2002

=

=



=


Từ đó: S
5
= 2002 (
20012001
2001
1
2001
0
2001
)11(2002) +=+++ CCC
Bài 3: Tìm số nguyên dơng n sao cho:
C
o
n
+ 2 C
1

n
= 243 = 3
5
n = 5
Bài tập tơng tự
Bài 4: Viết khai triển (3x 1)
16
và chứng minh rằng
3
16
. C
o
16
3
15
C
1
16
+ + C
16
16
= 2
16
.
Bài 5: Tính giá trị các biểu thức sau:
a: S
1
= 2
n
C

5
n
+ +C
n
n
c: S
3
= C
6
10
C
7
10
+ C
8
10
+ C
9
10
+ C
10
10
Bài 6: Tính tổng
S =
2000
2000
2
2000
1
2000

3
iin
n
n
i
baC

=

1
0

=
+

=
==+
n
i
ini
n
i
in
n
i
i
n
n
xCxxCbx
0

Vậy thứ hạng thứ 7 đợc cho bởi
Ví dụ 2: Trong khai triển nhị thức hãy tìm số hạng không
phụ thuộc vào x biết.
C
n
n
+ C
n-1
n
+ C
n-2
n
= 79
Giải: + Xét PT: C
n
n
+ C
n-1
n
+ C
n-2
n
= 79 (1)
Ta có PT (1)
(do n N)
Khi đó:
Số hạng thứ k + 1 không phụ thuộc x trong khai triển.
T/m
Vậy hệ số không phụ thuộc x bằng C
5

1
n
2
-1

a) Với n = 1 ta đợc không có hạng tử hữu tỷ
b) n = 8 ta đợc:
4
9
072
72)1(36
)2(!2
!
36
2
2
=
=
==

=
n
nn
nn
n
n
C
n
2/763/232/56
9

)()()
k
kkk
n
xxCxxx
15
28
3
)12(4
12
0
12
kk
C
k
k


=

=
50
15
28
3
)12(4
==

k
kk

0
2
kn
k
n
k
x
=

=

=
089
8
)1(
1
2
=+=

+ nnn
nn



=
=

8
1
n









+
4
2
1
x
x
Số hạng thứ k + 1 là hệ số hữu tỷ ( 16 3k)/4 N, 0 < k < 8

Với k = 0 hạng tử hữu tỷ: C
o
8
2
0
x
4
= x
4
k = 4 hạng tử hữu tỷ: C
4
8
2
-4

n
đạt giá trị lớn nhất tại
Với n lẻ thì C
k
n
đạt giá trị lớn nhất tại k = n/2
Ví dụ 5: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển (a + b)
n
biết rằng tổng
các hệ số bằng 4096
CT : Tổng các hệ số trong khai triển (a + b)
n
bằng:
C
o
n
+ C
1
n
+ C
2
n
+ + C
n
n
= 2
n
= 4096 n = 12
Ta đi tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị:
C

8
35
=
kk
n
n
k
xC

=0
)!(!
!
knk
n
C
k
n

=
1)1()!1(
!
1
+
=

knk
n
C
k
n

11
1
1
1
1
+
><
=
<>


n
k
k
n
C
C
CC
k
n
k
n
k
n
k
n
2
1+
<
n

kk
C
C
k
k
Từ (1) suy ra
Vậy C
k
12
đạt giá trị lớn nhất tại k = 6 và C
6
n
= 924
Ví dụ 6: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển.
Giải: Ta có gọi t
k
là số hạng thứ k + 1 trong khai triển.
Ta có =

=
8
0K
Xét (1)
Từ (1) suy ra:
t
k 1
< t
k

t

10
Max (a
1
a
2
a
12
)
Giải: Ta có (1 + 2x)
12
=
Suy ra : a
k
= C
k
12
2
k
với k = 1,12
6
2
13
1
1
12
12
12
1
12
<><

kk
8
3
2
3
1






+
8
3
2
3
1






+
k
k
C
C
t



















=




61
)9(2
1
1
<>

>

6
8
=












C
kkk
k
kk
k
xCxC 2)2(
12
12
0
12
12
0

==
=

k + 1
> a
k

Vậy a
k
đạt giá trị lớn nhất tại k = 8 và có giá trị bằng C
8
12
. 8
8
= 126720
VD 8: Tìm n của k khai triển biết hạng tử thứ 9 có hệ số lớn nhất
Giải: Ta có
Vì không thay đổi nên h/s trong khai triển thay đổi phụ thuộc vào
(x+2)
n
. Xét khai triển (x+2)
n
=
Hạng tử thứ 9 có h.s là C
8
n
2
8
lớn nhất trong các hệ số

VD9: Cho khai triển
1 Biết tổng hai hệ số đầu và hai lần hệ số của số hạng thứ 3 trong khai
triển bằng . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số khi khai triển nhị thức

k

+
=
+


==
++
+
3
23
1
)12(2
1
1
1
>>

+
>
+
k
k
k
a
a
k
k
3

n5
1
knkk
n
n
k
xC

=

2
0
12
2
25
11
2
1
2
2
1
2
22
22
78
98
7
8
9
8

nn
CC
CC
C
C
C
C
CC
CC
nn
nn
n
n
n
n
nn
nn
n
x)
3
2
2
1
( +
n
2
1285
27
0115564161285
9

1
)
3
2
2
1
(
2
2
2
1
10
2
2
2
1
10
=
===

++
=+++
+++++=+


n
nn
nn
CCC
xCxCxCCx

27
27
0
27
=

=+
n
x
)
5
2
5
( +
Vậy n = 7 ta có khai triển :
HST9:
Lập tỉ số:
Do đó (a
k
) tăng khi 0 < k < 15 => (a
k
) max = a
15
Do đó (a
k
) giảm khi 16 < k < 27 => (a
k
) max = a
16
Mà

3
2
2
5
VD11: Biết rằng trong khai triển (x - )
n
= C
0
n
x
4
C
1
n
x
n-1
+ C
2
n
x
n-2

Hệ số của hạng tử thứ ba - (1)
n
C
n
n
( )
n
Trong KT trên là : C

kCCa
kkkkkk
k
1501
1
27
5
4
32
3.2
.
272
27
)1(27)1(2
1
27
1

+

==

++

+
k
k
k
C
C

19
19
19
0
3
19
19
19
0
19
3
23)2()3()23(
kk
k
k
kkk
k
CC

=

=

==+





==






=

















155
95
31
2
319
60
1930

N
k
N
k
k
Nk
3
1
3
1
9
1
3
1
9
1
90)1(45
)!2(!2
!
==

nn
n
n
3
1
5355
10
27
28

CM: Với mọi x và n là số nguyên dơng ta có;
(1 + x)
n
= C
0
n
+ C
1
n
x+ C
2
n
x
2
+ + C
n-1
n
x
n-1
+ C
n
n
x
n
(1)
Lấy đạo hàm 2 vế của (1) theo x ta đợc.
n(1 + x)
n-1
= C
1

(ĐPCM)
b) Lấy đạo hàm 2 vế của (2) theo x
Ta đợc:
n(n 1) (1 + x)
n-2
= 2.1 C
2
n
+ 3 . 2 C
2
n
x + + (n 1) (n 2) C
n-1
n
x
n-3
+ n (n 1) C
n
n
x
n-2
(3)
Thay x = 1 và (3) ta đợc.
n(n 1) 2
n-2
= 2.1 C
2
n
+ 3 . 2 C
2


n-2
+ Xét khai triển (1 + x)
n
= (1)
+ Lấy đạo hàm 2 vế của (1) theo x đợc:
n(1 + x)
n-1
= (2)
+ Thay x = vào (2) kết quả.
+ Nếu phải tính tổng dạng.
S
1
= 2. 1C
2
n
+ 3.2C
3
n
+ + (n-1) (n-2) C
n
n-1

n-3
+ n (n-1)(n 2)C
n
n-1

n-3
+ n(n-1) C


=


kk
n
n
k
xCkk
n(n-1) (1+x)
n-2
= (3)
Thay x = ∝ vµo (3) ⇒ kÕt qu¶
Ch¼ng h¹n tÝnh tæng:
C
1
n
+ 2
2
C
2
n
1 + 3 C
3
n
2
2
+ + (n-1) C…
n
n-1

n-1
(1)
Híng dÉn:
C1: §Ó ý: k. C
k
n
3
n-l
= k C
k
n
. 3
-k+1
. 3
n-1
= k 3
n-1
C
k
n
Tõ ®ã (1) ⇔ C
1
n
3
n-1
+ 2 C
2
n
3
n-1

= n ( )
n-1
= n (1 + )
n-1
⇒ Thay x = vµo (2) ta ®îc ®pcm
C¸ch 2:
§Ó ý : n. 4
n-1
= n (3+ 1)
n-1
⇒ XÐt khai triÓn (1)
+ LÊy ®/h 2 vÕ cña (1) theo biÕn x ta ®uîc.
(2)
+ Thay x = 1 vµo (2) ta ®îc.
n(3 + 1)
n-1
= C
1
n
3
n-1
+ 2 C
2
n
3
n-2
+ + n C…
n
n
3

3
1
−k
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
4
3
1
3
1
kknk
n
n
k
n
xCx
−
=
∑

0
−−
=
∑
=
kknk
n
n
k
xCk
α
Trong (2) thay x = 1 vào ta đợc kết quả
VD3: CMR
2
n-1
C
1
n
+ 2
n-1
C
2
n
+ 3.2
n-3
C
3
n
+ 4. 2
n-4

+ + n (n 1) C
n
n-1
+ (n + 1) n C
n
n
.
Giải:
a) Cách 1:
Xét khai triển: (1 + x)
n
= C
o
n
+ C
1
n
+ C
2
n
x
2
+ C
n
n-1
x
n-1
+ C
n
n

n
+ xn (1 + x)
n-1
= C
0
n
x + C
1
n
x
2
+ C
2
n
x
3
+ +n C
n
n-1
x
n-1
+
+ n(n+1) C
n
n
x
n
(2)
Thay x = 1 vào (2) ta đợc.
2C

c
n-2
(n+1) n C
n
n
x
n-1
(3)
Thay x = 1 vào (3) ta đợc.
S = 2 C
1
n
+ 3. 2 C
2
n
+ + n (n-1) C
n
n-1
+ (n+ 1) n C
n
n
= 2n . 2
n-1
+ n (n-1) 2
n-2
= n. 2
n-2
. (n + 1)
Chú ý: Tính tổng:
(1) S

n
(2)
11
2
1
kk
n
n
k
xC

=
=
0
1
0
+
=

=
kk
n
n
k
xC
Lấy đạo hàm 2 vế của (2) theo biến x ta đợc
(1 + x)
n
+ nx (1 + x)
n-1

2
C
2
n
+ 4.3

C
2
n
2
2
+ + n (n-1) C
n
n-1
2
n-2
+
+ (n+1) n C
n
n
2
n-1
S
2
= 1
2
C
1
n
+ 2

p
n
= p [(p+1) 1] C
p
n
= p(p+1) C
p
n
p C
p
n
.
S
2
= [2 C
1
n
+ 3. 2 C
2
n
+ + p (p+1) C
p
n
+ + (n + 1) n C
n
n
]
- [ C
1
n

n
x
n
Và g(x) = x (1 + x)
n
= C
o
nx
+ C
1
x
x
2
+ C
2
n
x
3
+ C
3
n
x
4
+ + C
n
n
x
n+1
Ta có f(x) = n (1 + x)
n-1

n
(1)
g

(x) = (1+ x)
n
+ nx (1 + x)
n-1
= C
o
n
+ 2 C
1
n
x + x C
2
n
x
2
+ 4 C
3
n
x
3

+ + (p + 1) C
p
n
x
p

n
x
n-2
g

(1) = 2n. 2
n-1
+ n (n-1) 2
n-2
.
= 2 C
1
n
+ 3. 2 C
2
n
+ 4. 3 C
3
n
+ + (= + 1) p C
p
n
+ + (n + 1) n C
n
n
.
Lấy (2) (1) S
2
= 2n. 2
n-1

C
2
n
+ + (-1)
n
C
n
n
.
= C
o
n
+ 2 C
1
n
+ + n 2
n-1
C
n
n
+ + 2
n
C
n
n
.
(2) C
1
n
+ 4 C

n
= C
o
n
+ 4
n
C
1
n
4
n-1
x + 4
n-2
C
2
n
x
2
+ + (-1)
n
C
n
n
x
n
(1)
Thay x = 1 và (1)
3
n
= C

n
n
x
n
(2)
Thay x = 2 vào (2) ta đợc;
3
n
= C
o
n
C
1
n
2 + 2
2
C
2
n
+ + 2
n
C
n
n
(**)
Từ (*) và (**) đpcm.
(2) với mọi x và n là số nguyên dơng ta có:
(1 + x)
n
= C

x + + (n-1) C
n
n-1
x
n-2
+ n C
n
n
x
n-1
(2)
Thay x = 2 vào (2) ta đợc.
n. 3
n-1
= C
1
n
+ 4 C
2
n
+ + ( n- 1) C
n
n-1
x
n-2
+ n C
n
n
x
n-1

n
x
n-2
+ + (-1)
n-1
C
n
n-1
(5)
Thay x = 4 vào (5) ta đợc.
n. 3
n-1
= n. 4
n-1
C
o
n
(n-1) 4
n-2
C
1
n
+ (n-2) 4
n-3
(C
2
n
+ +
(-1)
n-1

0
2006
+ x
2005
C
1
2006
+ + (1)
+ Lấy đạo hàm 2 vế của (1)
2006. (x + 1)
2005
= 2006.x
2005
C
0
2006
+ 2005 x
2004
C
1
2006
+ + (2)
+ Thay x = 3 vào (2) => S
1
= 2006.4
2005
.
2) S
2
= 5

98
C
0
99
98 . 3
97
C
1
99
+ 97 . 3
96
C
2
99
- + C
98
99
HDG: + Xét KT (x + 1)
99
=
+ Lấy đạo hàm 2 vế (1) theo x đợc (2) = (x + 1)
98
=
+ Thay x = -3 vào (2) đợc S
3
= 99.2
98
4) S
4
= C

+ + 2006
C
2
: Nhân 2 vế khai triển (1 + x)
2006
với x lấy đ/h 1 vế theo x sau đó thay x
= 1 => kết quả.
5) S
5
= 3 C
0
2006
+ 4C
1
2006
+ 5C
2
2006
+ + 2009
HDG: + Xét KT: (1 + x)
2006
= (1)
+ Nhân 2 vế (1) với x
3
: x
3
(1 + x)
2006
= (2)
+ Lấy đ/h 1 vế của (2) theo x đợc (3)

C
kkk
k
xC

=

2006
2006
2006
0
5.
12006
2006
2006
0
2005
5.)5(2006

=

+
kkk
k
xCx
kk
k
xC

=

kk
k
xC .
2006
2006
0

=
3
2006
2006
0
.
+
=

kk
k
xC
+ Chọn k = 1 => kết quả S
5
= 2
2005
. 2012
6) S
6
=4.5
3
C
0

15
k
n
k
k
n
n
xCx

=
=+
0
)1(
11
1)1(
11
)1(
)1(
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1

x
C
n
x
xCdxx
k
n
k
n
k
n
k
k
n
n
k
n
kk
n
n
k
n

=
+
+
=
+

n

+
++++
++
n
C
n
CCC
n
n
n
n
nnn

= =
+
+

=
+

+

=
+

n
k
n
k
k

=
+
++
+
+
+

1
1
1
)1(
2111
2
2
1
0

=
+
+
=
+

n
k
k
n
k
n
k

n
C
n
CCC
n
n
n
n
nnn
nnnkk
n
n
k
k
nnn
kk
n
kn
CxCxCxCCxCx )1()1( )1( )1()1(
1
0
2210
+++++==

=






CCCC
CCCC
3
1
)1(
3
1
3
1
3
1
32
3
1
)1(
3
1
3
1
3
2
3
1
)1(
3
1
3
1
3
1

=
=




=
=

xv
dxxnxdu
dxdv
xu
nn 122
)1(2)1(

Khi đó:
16
[ ]
n
n
nn
n
x
xdxdxxI )1(1
1
1
11
)1(
)1()1()1(

k
C
n
CCC
k
x
CxCI
123120
2
0
1
00
2
0
2
1
)1(

3
1
2
2
1
22
1
)1()1(
+
+
==
+

+
=
+

+++=
+
)2)(1(1
00
+++
=

==
kk
C
k
C
k
n
n
k
k
n
n
k
hoặc
)12 (5.3
2 4.2
12
)1(


)12 (5.3
2 4.2
3
2

12
)1(2
12
2
12
2
)(2)1()1(2
1)1()1(2)1(2)1(
1
0
01
1
12
1
0
2
1
0
22
1
0
2
1
2
1

n
n
dx
n
n
I
n
n
n
n
I
n
n
I
IIndxxdxxxn
dxxxndxxxnxxI
nn
nn
nn
n
n
n
(1)

kk
n
k
n
k
n

0
12
0
2
1
0
2
1
0
+

++=
+
==
+
=


n
CCC
C
k
x
CxCdxx
n
n
n
nn
n
k

Lấy TP ta có
dxxCdxxCdxxCdxCdxx
nn
nnnn
n
)1(
1
0
1
0
2
1
0
2
1
0
1
1
0
0

++++=+
=
VD 9: CM
Ta tính (1)
Ta có:
Vậy Từ (1) và (2) => điều phải chứng minh
17
(2)
(3)

0
)1( dxx
n
1
12
)1(
1
1
0
+

=+
+

n
dxx
n
n
1
1
1
)1(

4
1
3
1
2
1
3210

nnnnn
n
xCdxxCxdxCdxCdxx
xCxCxCxCCx


++++=+
+++++=+
1
0
2
1
0
2
1
0
1
1
0
0
1
0
332210
()1(
)1(
)2(
1
)1(

3

n
C
n
CCC
n
x
C
x
C
x
CxCdxx
+

+++=
+
++++=+
+

+



dxxxI
n
)1(
2
1
0
=



= (2)
So sánh (1) và (2) => điều phải chứng minh.
Bài tập:
Bài 1: Chứng minh rằng:
12
2
5
2
3
2
1
2
2
2
4
2
1
2
0
2


++++=++++
n
nnnn
n
nnnn
CCCCCCCC
Bài 2: Chứng minh rằng:

n
+ (-1)
n-1
2C
1
n
+ + (-1)
n-k
2
k
C
k
n
+ 2
n
C
n
n
= 1
Bài 5: Chứng minh rằng:
C
0
2n
+ C
1
2n
+ C
4
2n
+ +

C
n
CC
n
n
nnn
)1(2
1
22
)1(

4
1
2
1
10
+
=
+

++
n
C
n
CC
n
n
n
nn
15

+
=
+

+++
n
C
n
CCC
n
n
n
nnn
)1(2
1
1
)21(
2
1
)1()1(
2
1
)1(
1
0
12
2
1
0
22

)1(
42
1
)1(
)1( )1(
)( )()()1(
)1(
+
++=
+++=
+++=+
+++++=+
+
+

n
x
C
x
Cxdxxx
CxCxCxxCxx
xCxCxCCx
xCxCCxCCx
n
n
nn
n
n
n
nn

Bµi 10: Cho n lµ mét sè tù nhiªn lín h¬n 2
a TÝnh tÝch ph©n–
b Chøng minh r»ng–
Bµi 11: TÝnh tÝch ph©n:
Rót gän tæng
Bµi 12: Cho f(x) = x (x + 1)
2001
a – TÝnh f (x)
b – TÝnh tæng
Bµi 13: TÝnh tæng
Bµi 14: Chøng minh r»ng víi c¸c sè m, p, n nguyªn, d¬ng sao cho.
P< n vµ p < m ta cã
19
dxxxI
n
)1(
2
1
0
−=
∫
)1(2
1
)1(2
)1(

6
1
4
1

6
1
3
1
1
210
+
−
=
+
++++
+
n
C
n
ccc
n
n
nnnn
dxxxI
19
1
0
)1( −=
∫
19
19
18
19
2

1
2005
0
2005
20062003 2 CCCCS
++++=
011110

m
p
nn
p
n
p
mn
p
mn
p
mn
CCCCCCCCC ++++=
−−
+