MyY!M:
1
TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỌC PHẲNG EUCLID. (Đang trong quá trình bổ sung và hoàn thiện). Copyright©2006-2008. By Nguyễn Anh Tuấn và www.diendantoanhoc.net. My Yahoo/ID: (Tôi rất yêu thích Toán học! Ý nghĩa của các khái niệm Toán học, đương nhiên tôi
không thể hiểu hết được, nhưng chúng đã tác dộng lên trí tưởng tượng của tôi,
truyền cho tôi sự sùng bái Toán học như một môn khoa học cao quý và bí hiểm, có
thể mở ra một thế giới của những kiến thức khoa học diệu kì!).

(Lời tựa, phỏng theo lời nhà Toán học người Nga Sofia Vasilyevna Kovalevskaya)

Tài liệu này tác giả xin nhượng lại bản quyền cho Ban Quản trị www.diendantoanhoc.net. *************************************************

(đề Toán chuyên) năm học 2006-2007).
**Cho hình bình hành ABCD với
ABBC
>
. Dựng điểm M sao cho
·
·
BAMBCM
=
.
Chứng minh rằng:
·
·
AMDDMC
=
.
(Bài 6 đề thi Olympic Toán Quốc tế (IMO) năm 2006).
***Cho bốn điểm A, B, C, D, E phân biệt sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và
tứ giác BCED là tứ giác nội tiếp. Gọi l là một đường thẳng đi qua A, cắt đoạn CD và
đường thẳng BC theo thứ tự tại F và G. Biết rằng EC = EF = EG.
Chứng minh rằng l là phân giác của
·
BAD
.
(Bài 2 đề thi Olympic Toán Quốc tế (IMO), Việt Nam năm 2007).
***Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường phân giác của
·
ACB
cắt đường
tròn (O) tại điểm thứ hai R, cắt trung trực của BC, AC theo thứ tự tại P, Q. Gọi K và L

cố định, số đo cung BC không đổi. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC.

MyY!M:
3

**Trong mặt phẳng cho tam giác ABC, CD là đường phân giác trong góc
·
ACB
. Xét một
đường tròn (O) thay đổi luôn luôn đi qua hai điểm C và D, nó cắt các cạnh CB và CA
theo thứ tự tại M và N.
1. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn (S) tiếp xúc với hai đường thẳng DN và
DM theo thứ tự tại N và M.
2. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của CB, CA với đường tròn (S). Chứng minh rằng
độ dài hai đoạn MP và NQ không đổi khi đường tròn (O) thay đổi.
(Bài 2 đề thi HSG Quốc gia THPT môn Toán, bảng A năm học 2003-2004).
**Cho tam giác ABC nhọn cân tại A. Gọi M là hình chiếu của A trên BC. Gọi N là hình
chiếu của M trên AC, Gọi P là trung điểm của MN.
Chứng minh rằng: AP ⊥ BN.
**Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Về phía ngoài tam giác ABC dựng các hình
vuông ABEF, ACMN có tâm tương ứng là P và Q. Gọi H là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng: Tam giác HPQ vuông cân.
**Cho tam giác ABC nhọn cân tại A, đường phân giác BD (D ∈ AC). Gọi M là chân
đường phân giác trong góc D của tam giác BD. Gọi N là giao điểm của phân giác góc
ADB và đường thẳng BC. Chứng minh rằng MN = 2.BD.
*Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định. Gọi MN là một đường kính thay đổi của
đường tròn (O). Gọi C là một điểm cố định nằm trên đường thẳng AB. Các đường thẳng
CN và AM cắt nhau tại D. Tìm quỹ của điểm D khi đường kính MN thay đổi.
*Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi (P) và (Q) theo thứ tự là các
đường tròn nội tiếp của các tam giác ABH, ACH. Đường thẳng PQ cắt AB, AC theo thứ

**Cho tam giác ABC cân tại A có cả 3 góc đều nhọn, các đường cao AH, BD. Trên tia
BD lấy điểm K sao cho BK = BA. Tính số đo
·
HAK
.
*Cho tam giác ABC cố định và một điểm M di chuyển trên đoạn BC. Gọi G là trọng
tâm của tam giác ABM. Tìm qũy tích điểm G. MyY!M:
4

*Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC). nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. Gọi E là
hình chiếu của B trên AD, H là hình chiếu của A trên BC, M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng tam giác MEH cân.
*Cho tam giác ABC vuông tại B với AB = 2BC. Lấy điểm D nằm trên cạnh AC sao cho
BC = CD, điểm E nằm trên cạnh AB sao cho AD = AE.
Chứng minh rằng AD
2
= AB.BE.
**Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H ∈ BC). Một đường tròn đi qua B
và C cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N. Vẽ hình chữ nhật AMDC.
Chứng minh rằng HN ⊥ HD.
**Cho tam giác ABC (không cân tại A), đường cao AH, trung tuyến AM. Biết rằng các
góc
·
·
BAHMAC
=
. Chứng minh rằng Sđ

DAE =
.
**Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Gọi C là một điểm bất kì trên nửa đường
tròn sao cho Sđ
»
AC
> Sđ
»
BC
. Gọi D là giao điểm của đường thẳng qua O vuông góc với
AC. Tìm vị trí điểm C trên nửa đường tròn sao cho D là chân đường cao kẻ từ H xuống
AC của tam giác ACH.
**Cho đường tròn (O) và một dây CD. Trên tia đối của tia DC lấy điểm M, kẻ các tiếp
tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của dây
CD, đường thẳng AB cắt OH tại P và cắt OM tại E.
1. Chứng minh rằng OH.OP = OE.OM.
2. Số đo góc
·
CED
không đổi khi M chuyển động trên quỹ đạo như trên.
*Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là một điểm bất kì trên đường tròn.
Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của D trên các cạnh AB, BC, CA.
Chứng minh rằng 3 điểm M, N, P thẳng hàng.
(Đường thẳng đi qua 3 điểm M, N, P trên có tên là đường thẳng Xim-xơn của điểm D
(Robert Simson (1687-1768), nhà toán học người Scotland)).
MyY!M:
5

**Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi nội tiếp, tổng tích các cặp cạnh đối diện bằng
tích của hai đường chéo.

của tam giác ABC.
Chứng minh rằng 9 điểm M, N, P, D, E, F, Q, R, S cùng thuộc một đường tròn.
(Đường tròn trên có tên là đường tròn Euler (Leonard Euler(1707-1783)-nhà toán học lỗi lạc
người Thụy Sĩ. Ông là nhà toán học xuất sắc nhất mọi thời đại, là người thầy của những người
thầy, ông còn có một đường thẳng mang tên ông (sẽ được trình bày dưới đây). Trong suốt cuộc đời
nghiên cứu khoa học của mình, ông đã để lại một công trình nghiên cứu vô cùng đồ sộ về hầu hết
các lĩnh vực: toán học, vật lí học, thiên văn học,…).
*Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi G là trọng tâm tam giác, H là trực tâm
của tam giác đó. Chứng minh rằng
3
OHOG
=
uuuruuur
.
(Đường thẳng đi qua 3 điểm G, H, O có tên là đường thẳng Euler).
**Trong một mặt phẳng cho hai điểm A và B bất kì. Hãy tìm tập hợp điểm M nằm trong
mặt phẳng chứa A và B đó điểm M thoả mãn điều kiện MA = k.MB (k ∈ R).
(Bài toán trên là một bài toán khá cơ bản và tổng quát của môn hình học phẳng. Ta cần phải
xét tất cả các trường hợp thoả mãn đề bài. Trong trường hợp A và B là hai điểm phân biệt, hệ số k
là một số dương khác 1 thì tập hợp điểm M là một đường tròn, gọi là đường tròn Apololiut
(Apololiut-nhà toán học người ????). Đường tròn Apololiut là một đường tròn rất đặc biệt, nó nhận
đoạn thẳng nối 2 điểm chia trong và chia ngoại đoạn AB theo tỉ số k làm đường kính. Hãy thử
chứng minh xem và thử nghĩ xem ta có thể suy ra những hệ quả gì từ kết quả của bài toán trên!).
**Cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P theo thứ tự nằm trên các đường thẳng AB,
BC, CA tương ứng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng AN, BP,
CM đồng quy là
1
MANBPC
MBNCPA
=−

chuyển trên các đường tròn (O), (O’) sao cho chiều từ A đến M và từ A đến N trên các
đường tròn đều theo chiều quay của kim đồng hồ và các cung
¼
»
,
AMAN
có cùng số đo.
Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.
(Bài 4 đề thi Olympic Toán Quốc tế (IMO), VQ Anh năm 1979).
**Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại 2 điểm A và B, trong đó tiếp tuyến chung
CD song song với cát tuyến chung EBF, C và E thuộc (O), D và F thuộc (O’), B nằm
giữa E và F. Gọi M và N theo thứ tự là giao điểm của DA, CA với EF. Gọi I là giao
điểm của EC và FD. Chứng minh rằng IB là trung trực của MN.
***Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. CC’ là một tiếp tuyến
chung của 2 đường tròn (C, C’ lần lượt thuộc (O) và (O’)). Dựng đường kính COD. Gọi
E và F theo thứ tự là giao điểm của OO’ với C’D, CC’. Chứng minh rằng:
1. Sđ
·
o
90
EAF =
.
2. FA là tiếp tuyến của đường tròn (CAC’).
**Cho hình thang ABCD (AB//CD) thoả mãn điều kiện BD
2
= AB.CD. Chứng minh
rằng đường tròn (ABD) tiếp xúc với BC.
**Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của AB cắt BC tại K. Chứng minh
rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn (ACK).
**Cho hình bình hành ABCD (góc A không là góc tù). Đường tròn (BCD) cắt AC tại E.

N, P theo thứ tự là tâm của các đường tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C. Gọi K là
điểm đối xứng với I qua O. Chứng minh rằng K là tâm đường tròn (MNP).
***Cho tam giác ABC (AC > AB). Đường tròn (I) nội tiếp tam giác đó tiếp xúc với AB,
BC ở D, E. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AC và BC. Gọi K là giao điểm của
MN và AI. Chứng minh rằng:
1. 4 điểm I, E, K, C thuộc cùng một đường tròn.
2. Ba điểm D, E, K thẳng hàng.
**Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng
BD, EF. Chứng minh rằng tam giác AMN đều.
**Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi P và Q theo thứ tự là trung điểm của BC và CD. Gọi
M là giao điểm của AQ và PF. Chứng minh rằng các tam giác AMF và PMQ có diện
tích bằng nhau.
**Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi H, I theo thứ tự là hình chiếu của B
trên AC, CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, HI. Chứng minh rằng
·
0
90
MNB =
.
**Trên hai cạnh BC và AC của tam giác ABC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho các
góc
·
·
oo
50,30
BADABE==. Biết rằng
·
·
o
50

= điểm K thuộc tia đối của tia HA sao cho
1
.
3
HKAH
= Tính số đo của
·
BIK
.
**Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF. Gọi R là bán kính của đường
tròn (ABC), r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
1. Chứng minh rằng OA vuông góc với EF.
2. Tính tỉ số
DEF
ABC
S
S
.
**Qua điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến ABC với đường tròn (O). Các tiếp
tuyến của (O) tại B và C giao nhau ở K. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với OA, cắt
OA tại H và (O) tại E và F. Gọi M là giao điểm của OK và BC. Chứng minh rằng:
1. 4 điểm O, E, M, F thuộc cùng một đường tròn.
2. AE, AF là tiếp tuyến của đường tròn (O).
*Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, trực tâm H. Gọi AM và AN là các tiếp tuyến
với đường tròn (O), đường kính BC (M và N là các tiếp điểm). Chứng minh rằng:
1. AMDN là tứ giác nội tiếp.
2. Ba điểm M, H, N thẳng hàng.
**Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), đường phân giác trong AD. Gọi H
và K tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABD, ACD.
Chứng minh rằng OH = OK.

Chứng minh rằng
·
·
AOBCOD
π
+=
.
**Cho 3 đa giác đồng dạng tương ứng tỉ lệ
::
2
ab
ab
+
. Gọi P
a
, P, P
b
tương ứng là chu vi
3 đa giác; S
a
, S, S
b
tương ứng là diện tích 3 đa giác. Tính P theo P
a
và P
b
, S theo S
a
, S
b

Chứng minh rằng: AC // DI.
**Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi (C) là đường tròn (AOB). AC, BC
theo thứ tự cắt (C) tại P và Q. Chứng minh rằng PQ ⊥ OC.
*Cho tam giác ABC, D và E là 2 điểm lần lượt thuộc 2 cạnh AB, AC sao cho DE // BC.
Gọi F là một điểm bất kì nằm trong tam giác ADE. FB, FC lần lượt cắt DE tại M, N.
Gọi O
1
, O
2
lần lượt là tâm các đường tròn (DFN), (MFE). Chứng minh rằng AF ⊥ O
1
O
2
.
(Bài 3 đề thi HSG Thành phố Hải Phòng, bảng A
1
năm học 2007-2008).
**Cho tam giác ABC có góc
·
BEC
nhọn, trong đó E là trung điểm của AB. Trên tia EC
lấy điểm M sao cho
·
·
BMEECA
=
. Giả sử
·
BEC
α