PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Phần 1: Phương trình mặt cầu.
1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a)
0128
222
=++−++ yxzyx
b)
04284
222
=−−++++ zyxzyx
b)
021536333
222
=−+−+++ zyxzyx
c)
086246
222
=−−+−++ zyxzyx
e)
0246412
222
=+−+−++ zyxzyx
f)
07212126
222
=++−−++ zyxzyx
g)
04248
222
=−++−++ zyxzyx

2
=++−−++ zyxzyxS
.
Chứng minh rằng (S1) và (S2) cắt nhau theo một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của nó.
4. Cho bốn điểm
)0;1;0(A
;
)1,3,2(B
;
)2,2,2(−C
;
)2,1,1( −D
a) Chứng minh rằng ABCD là tứ diện có ba mặt vuông tại A.
b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
5. Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCO với
)0;0;(aA
;
)0,,0( bB
;
),0,0( cC
;
)0;0;0(O
.
6. Cho
)4;1;3( −−S
;
)0;1;3(−A
;
)0;3;1(B
;

g) Hai đầu đường kính là A(2; -3; 5) và B(4; 1; -3).
h) Nhận AB làm đường kính với A(6; 2; -5) và B(-4; 0; 7).
i) Đi qua bốn điểm: A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2).
j) Đi qua bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0).
k) Qua ba điểm: A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz).
9. Cho các điểm: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) trong đó a, b, c là các hằng số dương.
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác nhọn.
b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
c) Tìm toạ độ O’ đối xứng với O qua mặt phẳng (ABC).
10. Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng ( d):
11/ 2 14
2 1 2
x y z+ +
= =
−
tại hai điểm A, B sao cho AB = 16.
11. Cho các điểm: A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4).
a) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Xác định tâm I và bán kính R của mặt
cầu đó.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Viết phương trình tham số của đường thẳng qua I và
vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
12. Xét vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng sau:
a)
05426
222
=+++−++ zyxzyx
, x + 2y + z -1 = 0.
b)
010226

032
222
=−−++ zzyx
, x - 2y - z + 5 = 0.
i)
082
222
=−−++ xzyx
, x - 2y - 3 = 0.
j)
4)1(
222
=++− zyx
, x - 2 = 0.
k)
0242
222
=−−−−++ mzyxzyx
, 2x - 4y - 2z + 5 = 0.
l)
4)2()1(
222
=−++− zyx
, 2x + y - z + m = 0.
m)
024
222
=−−+++ mzxzyx
, x + y - z - 4 = 0.
13. Cho điểm D(-3; 1; 2) và mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8).

15. Cho 4 điểm: A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). Tìm toạ độ tiếp điểm.
16. Cho 4 điểm A(-2; 0; 1), B(0; 10; 3), C(2; 0; -1) và D(5; 3; -1).
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C.
b) Viết phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với mp(P).
c) Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với mp(P).
17. Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + 6z - 18 = 0 cắt Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C. Viết phương trình
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (tiếp diện)
18. Viết phương trình mặt phẳng:
a) Tiếp xúc với mặt cầu:
24)2()1()3(
222
=++−+− zyx
tại điểm M(-1; 3; 0).
b) Tiếp xúc với mặt cầu:
05426
222
=++−−++ zyxzyx
tại M(4; 3; 0).
c) Tiếp xúc với mặt cầu:
49)2()3()1(
222
=−+++− zyx
tại M(7; -1; 5).
d) Tiếp xúc với mặt cầu:
2222
)()()( Rczbyax =−+−+−
và song song với mp: Ax+By+Cz+D=0.

2 3 2
x y z
d
+ − +
= =
−
;
( )
2
7 1 8
:
3 2 0
x y z
d
+ + −
= =
−
.
k)* Chứa đường thẳng
( )
10 7
: 10 12
3
x t
d y t
z t
= − +


= − +

12
222
=++ zyx
. Xác
định tiếp điểm.
20. Cho mặt cầu (S):
26)1()2(
222
=+−++ zyx
và đường thẳng (d): x = 1, y = 2 -5t, z = -4 +5t.
a) Tìm giao điểm A, B của đường thẳng và mặt cầu. Tính khoảng cách từ tâm (S) đến (d).
b) Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại A, B.
21. Cho mặt cầu (S):
05642
222
=+−−+++ zyxzyx
. Viết phương trình tiếp diện của (S):
a) Đi qua T(1; 1; 1). b) Đi qua đường thẳng:
( )
: 1 2
1
x t
d y t
z
=


= − +



. Xét vị trí tương đối của (S) với (d):
a) (d): (x = 1 - 2t; y = 2 + t; z = t + 3). b) (d): (x = 1 - t; y = 2 - t; z = 4).
c) (d):
0
3
2
2
2
1 −
=
−
−
=
− zyx
.
23. Tìm vị trí tương đối của đường thẳng (d):
2
2
1
1
2
3
−
−
=
+
=
− zyx
với mỗi mặt cầu (S) sau:
5

25. Tìm vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng sau:
a)
0142
222
=++−++ zxzyx
,
1
2
1
1
2 −
−
=
−
=
zyx
.
b)
16)2()1(
222
=+−+− zyx
,
3 5
2 3 1
x y z− +
= =
− −
c)
02242
222

x y z+ +
= =
−

27) Cho mặt cầu (S):
03242
222
=−+−−++ zyxzyx
. Viết phương trình tiếp tuyến của (S):
a) Có vectơ chỉ phương
)1;1;4(=a
và đi qua A(-4; 3; m).
b) Đi qua A(-2; 1; 3) và B(-4; -2; n).
6
28. Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; -1) tiếp xúc với đường thẳng:
a) x = 1 - t; y = 2; z = 2t.
b)
3
2
12
1 −
=
−
=
− zyx
Vị trí tương đối của hai mặt cầu
29. Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu (S
1
) và (S
2

010226
222
=+−−−++ zyxzyx
e)
081024
222
=−−−+++ zyxzyx
,
0662
222
=−−−++ zyzyx
f)
015262
222
=−+−+++ zyxzyx
,
0222
222
=−−−++ yxzyx
Đường tròn trong không gian
Phương trình:
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
0
x a y b z c R
Ax By Cz D

− + − + − =

+ + + =

zyx
zyxzyx
c)
0122
010226
222
=+−+
=+−+−++
zyx
zyxzyx
d)
0122
0246412
222
=+++
=+−+−++
zyx
zyxzyx
e)
0122
5)3()3()2(
222
=++−
=++++−
zyx
zyx
f)
0122
010226
222

0C B A
222
≠++
,
);;( CBAn =
là vtpt của
mp.
b) Phương trình mặt phẳng đi qua
( )
000
;; zyxM
và có vectơ pháp tuyến
);;( CBAn =
có dạng:
0)()()(
000
=−+−+− zzCyyBxxA
c) Phương trình mp theo đoạn chắn, đi qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có dạng:
1=++
c
z
b
y
a
x
d) Phương trình pháp dạng của mặt phẳng:
0
000
=+++ DzCyBxA
với

8
e) Đi qua điểm M(1; 3; -2) và vuông góc với đường thẳng M
1
M
2
với M
1
(0; 2; -3) và M
2
(1; -4; 1).
f) Đi qua M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0.
g) Qua P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z - 1= 0.
h) Qua các hình chiếu của A(2; 3; 4) lên các trục toạ độ.
i) Qua M(2; -1; 2) song song với Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0.
j) Qua P(2; -1; 3), Q(3; 1; 2) và song song với vectơ
( )
4;1;3 −−=a
.
k) Qua A(3; 4; -5) và song song với 2 vectơ
( )
1;1;3 −=u
và
( )
1;2;1 −=v
.
l) Qua P(8; -3; 1), Q(4; 7; 2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 5y - 7z - 21 = 0.
m) Qua I(3; -1; 5) và vuông góc với MN, trong đó M(4; 2; -1), N(1 ; -2, 3).
n) Qua K(-1; -2; 5) đồng thời vuông góc với 2 mp (P
1
):x + 2y - 3z + 1 = 0 & (P

+=
+=
c) EF với E(1; 2; -4), F(5; 4; 2). d) IJ với I(0; 0; 1), J(0; 0; -1).
e) M
1
M
2
với M
1
(2; 3; -4), M
2
(4; -1; 0). f) AB với A(-1; 2; 3), B(0; 3; -1).
6. Với mỗi tam giác sau, viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối
diện.
a) Tam giác ABC với A(3; -5; 2), B(1; -2; 0), C(0; -3; 7) .
b) Tam giác MNP với M(-3; 5; 7), N(0; -1; 1), P(3; 1; -2).
7. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Với:
a) A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6). b) A(3; -1; 5), B(4; 2; -1), C(1 ; -2, 3).
c) A(-1; 1; 2), B(3; -1; 0), C(2; 1; 1). d) A(2; 1; 3), B(-1; -2; 4), C(4; 2; 1).
e) A(2; -3; 1), B(-2; 0; 5), C(3; 2; 0). f) A(2; -4; 0), B(5; 1; 7), C(-1; -1; -1).
g)A(1; -1; 2), B(-3; 0; 4), C(1; 1; 0). h) A( 5; 0; 0), B(0; -3; 0), C(0; 0; -5).
8.a) Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm M(-4; -9; 12), A(2; 0; 0) và cắt Oy, Oz lần
lượt tại B và C sao cho OB = 1 + OC (B, C không trùng với gốc O).
b) Tìm phương trình mp(Q) đi qua M và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A
0
, B
0
, C
0
sao cho:

thoả mãn điều kiện:
.
841
000
CBA
==
−
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng - chùm của mặt phẳng.
1. Xác định m, n,
λ
để các cặp đường thẳng sau song song với nhau:
a) 3x + my - 2z - 7 = 0; nx + 7y - 6z + 4 = 0. b) 5x - 2y + mz - 11 = 0; 3x + ny + z - 5 = 0.
c) 2x + my + 3z - 5 = 0; nx - 6y - 6z + 2 = 0. d) 3x - y + mz - 9 =0; 2x + ny + 2z - 3 = 0.
e) 2x +
λ
y + 3z - 5 = 0; mx - 6y - 6z - 2 = 0. f) (
λ
-2)x + (
λ
+1)y+
λ
z+
λ
=0; x+my+
λ
(m+
λ
)z+1=0
g) 3x - 5y + mz - 3 = 0; 2x +
λ

để (P)//(Q). b) Định
l
,
λ
để (P)//(R).
5. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng có phương trình sau:
a) x + 2y - z + 5 = 0; 2x + 3y - 7z - 4 = 0. b) x - 2y + z + 3 = 0; 2x - y + 4z - 2 = 0.
c) x + y + z - 1 = 0; 2x + 2y - 2z + 3 = 0. d) 3x - 2y -3z + 5 = 0; 9x - 6y -9z - 5 = 0.
e) x - y + 2z + 4 = 0; 10x - 10y + 20z + 40 = 0. f) 5x + 6y - 3z + 8 = 0; -5x + 6y - 12 = 0.
g) 2x - 2y - 4z + 5 = 0; 5x - 5y - 10z + 25/2 = 0. h) 3x - 4y + 3z + 6 = 0; 3x - 2y + 5z - 3 = 0.
6. Cho hai mặt phẳng có phương trình: 2x - my + 3z - 6 = 0; (m+3)x - 2y + (5m+1)z - 10 = 0.
Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó: a) Song song? b) Trùng nhau? c) Cắt nhau?
Tương tự với hai mặt phẳng: 3x - (m-3)y + 2z - 5 = 0; (m+2)x - 2y + mz - 10 = 0.
7. Viết phương trình của mặt phẳng trong các trường hợp sau đây:
a) Đi qua điểm M(1; 2; -3) và qua giao tuyến của hai mp 2x - 3y + z - 5 = 0; 3x - 2y + 5z - 1 = 0
b) Qua giao tuyến của hai mp: 2x + 3y - 4 = 0; 2y - 3z - 5 = 0 và vuông góc mp: 2x + y - 3z - 2 = 0.
c) Đi qua trục Oz và điểm M(2; 3; -1).
d) Đi qua giao tuyến của hai mp: x - 4y +2z - 5 = 0; y + 4z- 5 = 0 và s song với mp: 2x - y+ 19 = 0.
e) Đi qua M(2; 1; -1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng sau: x - y + z - 4 = 0; 3x - y + z - 1 = 0.
f) Qua giao tuyến của hai mp: y + 2z - 4; x + y - z + 3 và vuông góc với mp: x + y + z - 2 = 0.
g) Đi qua trục Oy và điểm M(1; 1; -1).
h) Qua giao tuyến của hai mp: 3x- y+ z- 2 = 0; x + 4y - 5 = 0 và s song với hai mp: 2x - z + 7 = 0.
i) Qua M(0; 0; 1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng: 5x - 3y + 2z - 5 = 0; 2x - y - z - 1 = 0.
j) Qua M(3; 4; 1) và qua giao tuyến của hai mp: 19x - 6y - 4z + 27 = 0; 42x - 8y + 3z + 11 = 0.
k) Qua giao tuyến của 2mp: x +2y - z - 4 = 0; 2x +y +z + 5 = 0 và vuông góc với mp: x- 2y- 3z = 0.
8. Cho hình tứ diện ABCD với các đỉnh A(3; 2; 1), B(1; 3; 2), C(1; -2; 3), D(-1; 2; 2).
a) Tìm phương trình của mặt phẳng (ABC).
b) Tìm phương trình của mặt phẳng (P) qua C và có cặp vectơ chỉ phương
CDv =
1

, m để (P)//(Q).
c) Tìm hệ thức giữa
λ
, m để
).()( QP ⊥
III. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
1. Cho bốn điểm A(-1; -2; 4), B(-4; -2;0), C(3; -2; 1), D(1; 1; 1). Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh
D của tứ diện ABCD.
2. Cho hình hộp chữ nhật với các đỉnh A(3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và D là đỉnh đối
diện với O. Xác định toạ độ đỉnh D. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABD). Tính
khoảng cách từ C tới mặt phẳng (ABD).
3. Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng:
a) x - 2y + 3z + 1 =0 và 2x - y + 3z + 5 = 0. b) 6x - 2y + z + 1 = 0 và 6x - 2y + z - 3 = 0.
c) 2x - y + 4z + 5 = 0 và 3x + 5y - z - 1 = 0. d) 4x - y + 8z + 1 và 4x - y + 8z + 5 = 0.
e) 2x - y + 4z + 5 = 0 và 3x + 5y - z - 1 = 0. f) 3x + 6y - 3z + 7 và x + 2y - z + 1 = 0.
4. a) Tìm điểm M trên trục Oz cách đều điểm (1; 2; -2) và mặt phẳng 2x + 2y + z - 5 = 0.
b) Tìm M trên trục Oy và cách đều hai mặt phẳng: x + y - z + 1 = 0 và x - y + z - 5 = 0.
c) Tìm M trên trục Oz cách đều điểm (2; 3; 4) và mặt phẳng 2x + 3y + z - 17 = 0.
d) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: 7x - 5y + 11z - 3 = 0 và 7x - 5y + 11z - 5.
e) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: 5x - 2y + 3z = 0 và 5x - 2y + 3z - 11 = 0.
f) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D’ = 0.
g)Tính khoảng cách từ các điểm M
1
(1; -1; 2), M
2
(3; 4;1), M
3
(-1;4; 3) đến mặt phẳng x +2y +2z
-10= 0.
13

1111
2222
OCOBOAOH
++=
7. Cho mặt phẳng
)(
α
: 2x - 3y + z - 7 = 0 và các điểm M(0; 2; -1), N(2; 1; 8), P(-1; -3; 0).
a) Hai điểm nào cùng phía đối với
)(
α
.
b) Hai điểm nào khác phía đối với
)(
α
.
8. Xét xem các cặp điểm sau đây cùng phía hay khác phía đối với mặt phẳng
)(
α
.
a) M(2; 1; -3), N(2; 3; -1), mp
)(
α
: 2x - y - z + 4 = 0.
b) M(2; 0; 1), N(-1; 2; 0), mp
)(
α
qua P(1; 3; 2) và có cặp vectơ chỉ phương
)4;3;1(=a
;

,
.0332 =+−− zyx
h)
03 =+ zx
,
.0=+ zx
g) (HIK) và (Oxy) với H(1/2; 0; 0), I(0;1/2; 0), K(1; 1;1/3).
3. a) Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng:
)(
α
: 3y - z - 1 = 0,
)(
β
2y + mz = 0 bằng 45
o
.
b) Tìm phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm (0; 2; 0), (2; 0; 0) và tạo với mp(Oyz) một góc
60
o
.
4. Cho tứ diện ABCD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
a) Tìm cosin của góc tạo bởi các cặp vectơ:
AB
và
CD
,
AC
và
BD
.

: 2x + y - 2z + 5 = 0.
15
b) (d):
5 2
1 1 2
x y z− −
= =
−
và
)(
α
: 2x + y - 3z - 5 = 0.
2. Tìm phương trình mặt phẳng (P’) đối xứng với (P) qua mặt phẳng
)(
α
với:
a) (P): 2x - y - z - 5 = 0 và
)(
α
: 2x - 3y + z - 7 = 0. b) (P): x - 2y - z - 1 = 0 và
)(
α
: 3x - 2y - z + 5 = 0.
VII(*). Tổng khoảng cách nhỏ nhất - Hiệu khoảng cách lớn nhất
A. Lý thuyết cần nhớ
Cho hai điểm
);;(
AAA
zyxA
và

sao cho |NA - NB| lớn nhất.
a) Nếu A và B khác phía thì N là giao điểm của đường thẳng AB’ với mp
)(
α
, B’ đối xứng B qua
)(
α
.
b) Nếu A và B cùng phía thì N là giao điểm của đường thẳng AB với mp
)(
α
.
B. Bài tập
1. Tìm
)(,
α
∈NM
sao cho MA + MB nhỏ nhất với:
a) A(1; 1; 2), B(2; 1; -3) và mp
)(
α
: 2x + y - 3z - 5 = 0.
b) A(-7; 4; 4), B(-6; 2; 3) và mp
)(
α
: 3x - y - 2z + 19 = 0.
c) A(1; 0; 2), B(2; -1; 3) và mp
)(
α
: x - 2y + z - 4 = 0.

c) Qua hai điểm A(2; 3; -1) và B(1; 2; 4).
d) Qua hai điểm A(3; 1; -5) và B(2; 1; -1).
e) Qua hai điểm A(1; 2; -7) và B(1; 2; 4).
f) Qua (3; 4; 1) và song song với đường thẳng (d): x = 1 + 25t, y = -4t, z = 5 + 3t.
g) Qua (2; 0; -5) và song song với đường thẳng (d):
1
5 2
2 3
x
y t
z t
=


= − −


= +

h) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Ox.
i) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Oy.
j) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Oz.
k) Qua hai điểm A(1; -1; 0) và B(0; 1; 2).
l) Qua A(1; 3; -1) và có vectơ chỉ phương
).1;2;1( −=a
m) Qua A(2; 1; 0) và B(0; 1; 2).
n) Qua A(2; 3; 5) và vuông góc với mỗi mặt phẳng toạ độ.
17
o) Qua hai điểm A(-2; 1; 3) và B(4; 2; -2).
p) Qua A(1; 4; -2) và song song với đường thẳng

−
+
=
+ zyx
;
.
5
1
3
1
2
2
−
−
=
+
=
− zyx
t) Qua (2; 1; -1) và tựa trên hai đường thẳng:
5
3
4
2
3
1 +
=
+
=
− zyx
;

w) Qua (1; 1; 1) cắt trục Oz và cắt đường thẳng
3 1
1 1 1
x y z− −
= =
−
.
x) Qua (1; -1; 1) và cắt cả hai đường thẳng x = 1 + 2t, y = t, z = 3 - t;
2 3
1 2 1
x y z+ −
= =
−
.
y) Nằm trong mp y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng: x = 1-t, y = t, z = 4t; x = 2- t, y = 4 + 2t, z = 1.
z) Song song với đt x = 3t, y = 1 - t, z = 5+ t và cắt 2 đt
3
2
4
2
1
1 −
=
+
=
− zyx
;
4 7
5 9 1
x y z+ +

4
2
1
4
:)(
2
−
=
−
−
=
− zyx
d
a) Viết phương trình tham số và chính tắc các cạnh của tam giác.
b) Viết phương trình chính tắc của đường phân giác góc A.
8. Cho hai mặt phẳng (P): 2x - y + z + 2 = 0, (Q): x + y + 2z - 1 = 0.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng trên cắt nhau.
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
II. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng
1. Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P):
a) (d):
1
1
3
9
4
12 −
=
−
=

5
7 −
=
−
=
− zyx
; (P): 3x - y + 2z - 5 = 0.
f) (d): x = 2t, y = 1 - t, z = 3 + t; (P): x + y + z - 10 = 0.
III. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng.
1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) sau:
a)
2 1
3 1 2
x y z+ −
= =
−
; x = -2 + 2t, y = -t, z = 2 + t.
b)
3
4
1
2
2
1 −
=
+

4
3
1
5
2
1 −
=
+
=
− zyx
;
1
3
2
1
3
6 +
=
+
=
− zyx
.
f)
12
2
2
1 zyx
=
−
−

7 zyx
=
−
=
−
−
.
h) x = 9t, y = 5t, z = - 3 + t;
9 5 2
1 2 3
x y z− − +
= =
i) x = 2 + 2t, y = -1 + t, z = 1; x = 1, y = 1 + t, z = 3 - t.
j)
1
9
2
3
1
7
−
−
=
−
=
− zyx
;
3
1
2

a) Đường thẳng x = m + t, y = 2 - t, z = 3t cắt mặt phẳng 2x - y + z - 5 = 0 tại điểm có tung độ là 3.
20
b) Đưởng thẳng
052
032
=++
=−−
zy
yx
cắt mặt phẳng 2x + y + 2z - 2m = 0 tại điểm có cao độ bằng -1.
c) Mặt phẳng x + y + z + m = 0 cắt đường thẳng
0723
032
=−−
=−+
zx
yx
3. Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
a) x = 3t, y = 1 - 2t, z = 3 + t; x = 1 + t, y = 2t, z = 4 + t.
b)
062
042
=+++
=−−−
zyx
zyx
;
072
02
=++

042
=−+
=−−+
yx
zyx
;
062
032
=−++
=−++
zyx
mzyx
.
c) x = 1 - t, y = 3 + 2t, z = m + t; x = 2 + t’, y = 1 + t’, z = 2 - 3t’.
V. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - khoảng cách giữa hai đường thẳng.
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng qua điểm M
o
có vectơ chỉ phương
u
.
[ ]
u
uMM
dMd
;
),(
0
=
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng

.
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng (d).
b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (d).
2. Tính khoảng cách:
a) Từ điểm A(1; 0; 0) đến đường thẳng (d):
.
12
1
1
2 zyx
=
−
=
−
b) Từ điểm M(2; 3; 1) đến đường thẳng
.
2
1
2
1
1
2
−
+
=
−
=
+ zyx
c) Từ điểm M(1; -1; 1) đến đường thẳng
.

032
=++
=−−
zy
zy
.
g) Giữa hai đường thẳng chéo nhau: x = 1, y = -4 + 2t, z = 3 + t; x = -3u, y = 3 + 2u, z = -2.
h) Giữa hai đường thẳng song song: x = 3 + 2t, y = 4 + 3t, z = 2 + t; x = 4 + 4t, y = 5 + 6t, z = 3 +
2t.
i) Giữa đường thẳng x = 1 - 2t, y = t, z = 2 + 2t và mặt phẳng x + z + 8 = 0
j) Giữa hai đường thẳng
13
2
4
9 zyx
=
−
+
=
−
và
2
2
9
7
2
−
=
+
=

+ zyx
.
VI. Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Góc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) có vectơ chỉ phương
);;( cbau =
và
)';';'(' cbau =
.
222222
'''.
'''
cos
cbacba
ccbbaa
++++
++
=
ϕ

).900(
oo
≤≤
ϕ
Đặc biệt:
.0''')'()( =++⇔⊥ ccbbaadd
2. Góc giữa đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương
);;( cbau =
và mp
)(

09332
=++−
=−−−
zyx
zyx
.
b)
01737
022
=−+−
=+−
zyx
zx
; x = 2 + 3t, y = -1, z = 4 - t.
c)
1
2
1
1
2
3 −
=
−
=
+ zyx
và các trục toạ độ.
d) x = 1 + 2t, y = -1 + t, z = 3 + 4t; x = 2 - t, y = -1 + 3t, z = 4 + 2t.
e)
4
2

.
g)
052
042
=+−+
=−+−
zyx
zyx
;
02
093
=+
=−−
zy
zx
.
23
h) x = 3 + t, y = -2 -t, z = 1+
t2
;
052
05
=−−
=−−
zx
yx
.
i)
0723
0432

−
+
=
−
=
+ zyx
.
2. Tính góc hợp bởi đường thẳng và mặt phẳng sau:
a)
3
3
2
1
1
1 +
=
−
−
=
− zyx
; 2x - y - 2z - 10 = 0.
b) x = 2 + t, y = 1 - t
2
; x + y
2
-z - 5 = 0.
c)
0273
0724
=−+

2
):
0103
01
=−−
=+−
zy
yx
(d
3
):
2
3
2
1
1
1
−
−
=
−
=
+ zyx
a) Tìm góc giữa ba cặp đường thẳng.
b) Tìm góc giữa ba đường thẳng và mặt phẳng (P).
c) Tìm giao điểm của (d
3
) và (P).
4. Chứng minh hai đường thẳng sau vuông góc với nhau:
03457

và có vtcp
).;;( cbau =
Vậy
ctzz
btyy
atxx
+=
+=
+=
0
0
0

→

⇔⊥ uMH
0)()()(
000
=−++−++−+
MMM
zzctcyybtbxxata
→
Giải ra ta được
222
000
)()()(
cba
zzcyybxxa
t
MMM

2
zz
2
;
2
0
M
00
=−+−+−+=
+
+=
+
+=
+
MMM
MM
zzcyybxxactz
bty
yy
atx
xx
B. Bài tập
1. Tìm A’ đối xứng với A qua (d) với:
a) A(1; 2; -1) và đường thẳng (d):
32
1
1
2 zyx
=
−

5
7
3
−
=
+
=
zyx
f) A(4; -3; 2) và đường thẳng (d):
12
2
3
2
−
=
+
=
+ zyx
.
25