CÔNG THỨC CỘNG VẬN TỐC
A. Cơ sở lý thuyết
* Xét hai hệ quy chiếu:
- XOYZ là cố định
- xo’yz là hệ di động
Véc tơ
R
ur
xác định vị trí
0
R
uur
xác định vị trí
,
o
,
R
uur
xác định của cả 2 điểm
,
o
và M so với hệ cố định.
+ Chuyển động của chất điểm đối với hệ cố định gọi là chuyển động tuyệt đối, ta có vận tốc là vận tốc
tuyệt đối
r
T
v
+ Chuyển động của chất điểm đối với hệ di động gọi là chuyển động tương đối và ta có vận tốc là vận tốc
tương đối
r
t

ur
M
R
ur
z
y
O’
x
O
Y
với
( )
 
= + + = + + + ∧
 
 
= + ∧
 
r r r
ur
r r r uur uur
&
& &
uur uur
i j k
t
dR d
x y z xi yj Zk W R'
dt dt
v W R'

=> ta có Định lý cộng vận tốc
= +
r r r
T t k
v v v
vận tốc tuyệt đối bằng tổng vectơ của vận tốc tương đối và
vận tốc kéo theo.
+ Xét trường hợp đặc biệt:
TH 1:
i, j, k
r r r
không đổi: hệ di động chỉ chuyển động tịnh tiến => W=O
=>
=
r ur
k o
v V
TH 2:
= →
ur
o
V O
hệ di động chuyển động quay quanh một điểm O
 
=
 
r uur ur
k
v W.R'
+ Ta có:

= +
r r r
T o t
v v v
t
v
ur
là vận tốc của điểm M so với hệ cố định.
- Trong đó
r
o
v
và
r
t
v
không phụ thuộc vào điểm M
- Mọi điểm trên vật rắn phải có cùng mật véc tơ vận tốc tuyệt đối so với hệ cố định.
- Nếu
{
=
=
=> = +
r r
r r
r r r
t 1
o 2
v v
T 1 2

và gia tốc góc
2
ε
uur
∆
1
và ∆
2
cắt nhau tại O.
+ Chuyển động của vật rắn quay quanh ∆
1
được coi là chuyển động tương đối và ∆
1
gắn với hệ di động.
Chuyển động quay quanh ∆
2
là chuyển động kéo theo.
- Với điểm M bất kỳ trên vật rắn:
= +
r r r
T t k
v v v
ta có:
 
=
 
 
=
 
r uur uuuur

được biến diễn như hình vẽ.
Vì
W
uur
là véc tơ có điểm đặt bất kì trên trục quay nên ta có thể đưa
1 2
W , W
uur uur
đặt tại O.
Chọn gốc hệ di động trùng với gốc hệ cố định O
Kết luận: Chuyển động tổng hợp của vật rắn cũng là chuyển động quay với
1 2
W W W= +
uur uur uur
và trục
∆

trùng phương với
W
uur
,đi qua O
c) Hai chuyển động quay của vật rắn có trục quay ∆
1
//∆
2
TH1:
1 2
W W↑↑
uur uur
tức là hai vận tốc góc của vật rắn song song với nhau .

2
B
C
A
M
Với
1
W
k o
v v R
 
= +
 
uur uur uurur
Vì
0
o
v =
uur r
với
   
= =
   
 
=
 
r uur ur uur uuuur
r uur uuur
k 1 1
t 2

W AC W BC
W AC
=> C là điểm chia trong thành các đoạn tỉ lệ nghịch
- Với trục ∆ qua C và ∆//∆
1
, ∆
2
-> mọi điểm trên vật rắn có vận tốc tuyệt đối = O.
- ∆ là trục quay tức thời của vật rắn. Vận tốc góc
W ∈∆
uur
và có chiều cùng chiều
1 2
W vµ W ,
uur uur
độ lớn
W=W
1
+W
2
.
TH 2: Khi
1 2
W W↑↓
uur uur
: tức là hai véc tơ vận tốc góc ngược chiều nhau
- Lấy M là điểm bất kì trên vật rắn
Theo công thức cộng vận tốc của chất điểm
= +
r r r

   
= ∧ − = =
   
 
ur uur r r uur uuur uur uuur
không phụ thuộc vào vị trí
của M.
-> Mọi điểm trên vật rắn có cùng véc tơ vận tốc. chuyển động của vật là chuyển động tịnh tiến ->ta có
một cặp quay.
B. Bài tậpmẫu
Bài 1: Một chiếc thuyền chuyển động ngược dòng với vận tốc 14km/h so với mặt nước. Nước chảy với
tốc độ 9km/h so với bờ. Hỏi vận tốc của thuyền đối với bờ? Một em bé đi từ đầu thuyền đến cuối thuyền
với vận tộc 6km/s so với thuyền hỏi vận tốc của em so với bờ.
Lời giải
Bước 1: Gọi 1 là thuyết =>
13
V
ur
là vận tốc thuyệt đối
2 là nước =>
r
23
v
là vận tốc kéo theo
3 là bờ =>
r
12
v
là vận tốc tương đối.
Bước 2: - Ta có:

T k t
v v v
=> v
T
= v
k
- v
t

T
V 6 5 1(km / h)=> = − =
(xuôi dòng)
ĐS: 5km/h:1km/h
Bài 2: Lúc trời không gió, một máy bay, bay với vận tốc không đổi 300km/h từ địa điểm A tới địa điểm B
hết 2,2h, khi bay trở lại từ B - A gặp gió thổi ngược máy bay phải bay mấy 2,4h, xác định vận tốc của gió.
Lời giải:
Bước 1: Khoản cách AB
= =B
y
300,2,2
AB v 275(km / h)
2,4
Bước 2: Vận tốc của gió so với mặt đất = 300-275 = 25(km/h).
Bài 3 : Một người lái đò qua một con sông rộng 400m muốn cho đò đi theo hướng AB vuông góc với bờ
sông, người ấy phải luôn hướng con chèo theo hướng AC. Đò qua sông mất thời gian 8p20s vận tốc của
dòng nước so với bờ sông 0,6m/s, tìm vận tốc của con đò so với dòng nước.
L ờ i gi ả i :
Bước 1:
r
12

r
=>
2 2 2
13 12 23
v v v= +

với
( )
13
0,8 /
AB
v m s
t
= =
, với t là thời gian đi và AB là khoảng cách 2 bờ song
C
B
A
13
v
r
12
v
r
23
v
r
400m
Do đó
2 2

r
+
23
v
r
=>
23 12 13
v v v= −
với v
12
=
150
15(m / s) 54(km / h)
10
= =
Với v
13
=36 km/h=10 m/s
 v
23
=15-10 =5 (m/s) =18 (km/h)
 Vậy vận tốc của xe 2 là 18 (km/h).
Bài 5 : Hai ô tô chuyển động đều khởi hành cùng một lúc ở 2 bên cách nhau 40km, nếu chúng đi ngược
chiều thì sau 24p gặp nhau, nếu chúng đi cùng chiều thì sau 2h đuổi kịp nhau, tính vận tốc mỗi xe.
Lời giải:
Bước 1: vận tốc v
1
là của xe 1
v
2

( )
2 2
1 2
s s 40
v v 40
t t
+
 
+ = +
 ÷
 
Từ (1) và (2) ta có: s
2
+ s
2
+ 40 = 100t
=>
2 2
2s 40 200 s 80(km)+ = => =
Bước 3: Vậy sau 2h xe đi được 80km với
( )
2
2
s
80
v 40 km / h
t 2
= = =
- Vận tốc xe 1:
1

23
v
r
Chọn chiều (+) là chiều chuyển động của khách
13
v
r
=
r
12
v
+
23
v
r
⇔
1 2
s s s
t t t
= +
Bước 3: với t
1
= 3 phút; t
2
= 1phút
1 2
1 1 1 1 1
t t t 3 1
⇔ = + = +
3

Bước 3: lấy (1) trừ (2) ta được
23
1 2
1 1
2v s
t t
 
= =
 ÷
 
mà:
23
3
s
v
t
=
(vận tốc nước/bờ chính là vận tốc phà trôi theo dòng nước)
3 1 2
1 2
3
2
2 1 1
t t t
2t t
t 12h
t t
⇒ = =
⇔ = =
−

= = =
13
v 54km / h 15m / s= =
Bài 9: Một canô đi ngang qua sông, xuất phát từ điểm A, mũi hướng vào điểm B trên bờ sông bên kia.
AB vuông góc với bờ sông. Nhưng do dòng nước chảy nên sau một thời gian t=100s, canô đến vị trí C ở
bờ bên kia, cách B một đoạn BC = 200m. Nếu người lái giữ cho mũi canô luôn hướng theo phương chếch
với bờ sông góc 60
0
và mũi máy như trước thì canô sẽ sang đúng điểm B. Hãy tìm:
a. Vận tốc của dòng nước so với bờ sông
b. Vận tốc của canô so với dòng nước
c. Chiều rộng của dòng sông
d. Thời gian canô qua sông khi canô cập bến B
Giải
A
D
B
C
60
0
Bước 1: gọi:
13
v
r
=
r
12
v
+
23

ta có: - Vận tốc của canô/nước
( )
12
1
AB AB
v 1
t 100
= =
- Vận tốc của nước/bờ
23
1
BC 200
v 2(m / s)
t 100
= = =
b. Khi canô hướng mũi theo phương chếch với bờ sông góc 60
0
Trong trường hợp này v
12
và v
13
có độ lớn không đổi.
- Từ hình vẽ ta có:
( )
23
12
0
v
v 4 m / s
sin 30

13
v
r
12
v
r
A
B
C
12
v
r
13
v
r
23
v
r
Bước 1 .1) gọi
10 20
v vµ v
r r
là các vetơ vận tốc của xe 1 và xe 2 đối với mặt đường. Sau khi gặp nhau ở ngã
tư, theo đề bài ,các vectơ
10 20
v vµ v
r r
có hướng như (h.v) vận tốc tương đối
12
v

;
Đó là hướng Đông Nam hướng này lập với
hướng chuyển động của xe 2 một góc
1
2
v
3
víi tg =
v 4
Π − α α =
3. Muốn tìm khoảng cách d giữa 2 xe, ta tìm quãng đường mà xe 1 đi được nếu lấy xe 2 làm gốc quy
chiếu, quãng đường đó bằng 3 = v
12
.t. Thay số ta được
1
3 50. 5
10
= =
km. Vậy khoảng cách 2 xe sau 6
phút kể từ khi gặp nhau là 5 km.
Bài 11: Hai ôtô trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, sau khi gặp nhau ở ngã tư, hai xe tiếp tục chạy
theo hướng cũ, xe thứ nhất với vận tốc 40km/h, xe thứ hai với vậnt ốc 30km/h.
a) Xác định vận tốc của xe thứ nhất với xe thứ 2?
v) Xác định khoảng cách giữa 2 xe tại thời điểm t = 2 giờ kể từ lúc chúng gặp nhau.
Lời giải
Tóm tắt:
1 2
v v⊥
r r
,

- Hệ chuyển động gắn với xe thứ 2
- Ta có:
13
v
r
là vận tốc tuyệt đối
r
12
v
là vận tốc tương đối
23
v
r
là vận tốc kéo theo
Bước 2: Theo công thức cộng vận tốc
13 12 23
13 23
Ta cã: v v v
Ta cã: v v
= +
⊥
r r r
r r
- Ta có
2 2
13 23
12
v v v 40 30 50km / h= + = + =
r r
Vậy vận tốc của xe thứ nhất so với xe thứ 2 là 50km/h.

=
13
v
r
+
12
v
r
Ta có: để
23min 23
v th× v AC⊥
r r
vì đường ngắn nhất phải vuông góc với AC.
- Ta có: theo hình vẽ:
( )
23 13
23
13
23
v d.v
d
v
v a a
v 3 m / s
§S:3m/s
= => =
=
23
v
r

Lời giải:
- Chọn hệ cố định gắn với mặt.
- Chọn hệ di động là gắn với xe
- Vật G trượt trên mặt phẳng của xe
+ Vận tốc của xe với mặt đất là vận tốc kéo theo
k
v
r
+ Vận tốc của G với mặt phẳng nghiêng là vận tốc tương đối
t
v
r
-Ta có:
k t k
v v v= +
r r r
- Ta có: sau 5s v
t
=10 (m/s)
-
t
v
r
có chiều giả sử như hình vẽ
với:
( )
2 2
t k
T k t k t
v v v 2v v cos v v= + +

- Con chạy N chuyển động theo CD
-> Ta chọn tâm hệ cố định ≡ tâm di động
•
B
C
O
O
A
k
v
r
G
T
v
r
t
v
r
t
v
r
•
D
C
N
•
h
W
uur
t

ds
v 6t hay v 6t
dt
= = =
- Khi t = 2(s) => v
t
= 13 (cm/s)
- Ta có:
( )
T t k t k
v v v v× v vµ v cïng ph<¬ng cïng chiÒu= +
r r r r r
=>
( )
( )
T t k
v v v 12 10 22 cm / s
§S: 22 cm/s
= + = + =
C. Bài tập làm thêm
Bài 1: Một chiến thuyền chuyển động đều xuôi dòng nước từ A đến B cách nhau 6km rồi lại quay về A
mất tất cả 2h30p, biết vận tốc của thuyền trong nước yên lặng là 5km/h, tính vận tốc dòng nước và thời
gian thuyền đi xuôi dòng.
ĐS: 1km/h,t= 1h
Bài 2: Một chiếc canô đi xuông dòng từ A đến B mất 2h, và đi ngược lại mất 3h. Hỏi nếu tắt máy để cho
canô trôi theo dòng nước thì nó trôi từ A đến B hết bao lâu?
ĐS: 12h
Bài 3: Lúc 8h một ôtô đi qua điểm A trên cùng một đường thẳng với vận tốc 10m/s chuyển động chậm
dần đều với gia tốc 0,2m/s
2