Tính tổng dãy số viết theo quy luật
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HUYỆN THƯỜNG TÍN
TRƯỜNG THCS VĂN TỰ
ĐỀ TÀI
Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2008-2009
Tác giả :Doãn Thị Thanh Bình
Chức vụ :Giáo viên Môn đào tạo:Toán tin
Đơn vị công tác :Trường THCS Văn Tự
Thuộc :Phòng giáo dục Thường Tín-TP Hà nội
ĐỀ TÀI THUỘC LĨNH VỰC :MÔN TOÁN
Doãn Thị Thanh Bình Trường THCS Văn Tự
Tính tổng dãy số viết theo quy luật
Phần I:Sơ yếu lý lịch
Họ tên:Doãn Thị Thanh Bình
Ngày,tháng ,năm, sinh: 26-06-1975
Năm vào ngành: 1997
Trình độ chuyên môn : Đại học

Hệ đào tạo :Tại chức
Bộ môn giảng dạy: Toán

Doãn Thị Thanh Bình Trường THCS Văn Tự
Tớnh tng dóy s vit theo quy lut
Phn II:Ni dung ca ti
A.Tờn ti
Tớnh tng dóy s vit theo quy lut

B. Lý do chn ti
Theo ngh quuyt ca ng mc tiờu giỏo dc l :Nõng cao dõn trớ o to nhõn lc bi
dng nhõn ti vn bi dng nhõn lc l vn thit thc t ra trong hon cnh

dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững những yêu cầu trong quá trình giải những bài
toán về tính tổng dãy số viết theo quy luật.Tôi mạnh dạn nêu ra một số biện pháp để
được cùng các đồng nghiệp trao đổi và đóng góp ý kiến, để áp dụng vào thực tế giảng
dạy
2.Một số biện pháp
Cho học sinh tiếp cận và chứng minh công thức tổng quát từ những bài toán đơn giản
Bài toán 1
Chứng tỏ rằng:
)1.(
1
1
11
3.2
1
3
1
2
1
;
2.1
1
2
1
1
+
=
+
−
=−
=−

=
−
=−
nn
nn
nn
Từ bài toán trên ta có dạng tổng quát sau
Nếu n+1-n=1 Thì
1
11
)1.(
1
+
−=
+ nnnn
với n
∈
N
Nhận xét:
Phương pháp giải loại toán này là viết mỗi số hạng thành một hiệu của hai phân số
Số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau rồi khử liên tiếp còn lại số hạng
đầu tiên trừ đi số hạng cuối cùng.Lúc đó ta thực hiện dễ dàng
Doãn Thị Thanh Bình Trường THCS Văn Tự
Tính tổng dãy số viết theo quy luật
Ví dụ1:Tính tổng sau
A=
)1.(
1

4.3

7.4
3
4.1
3
+
++++
nn
với n=1,4,7,10…
D-
)4.(
4

11.9
4
9.5
4
5.1
4
+
++++
nn
với n=1,5,9,11…
Bài giải: Cả bốn câu trên ta đều vận dụng công thức của bài toán ta giải như sau
A=
1
11

4
1
3

B=1-
2
11

7
1
5
1
5
1
3
1
3
1
+
−++−+−+
nn
B=1-
2
1
2
12
2
1
+
+
=
+
−+
=

+
=
+
−+
=
+ n
n
n
n
n
D=1-
4
11

13
1
9
1
9
1
5
1
5
1
+
−++−+−+
nn
D=1-
=
+ 4

Tớnh tng dóy s vit theo quy lut
Ta nhn thy vi vớ d ny hai tha s mu mi phõn s hn kộm nhau hai n v
m t l 1 n v vy gii quyt nh th no?Trong quỏ trỡnh ging dy cho hc sinh
c thc hin nh sau
Ta nhõn c hai v ca Evi 2 ta c
2E=
)2.(
2

7.5
2
5.3
2
3.1
2
+
++++
nn
Theo cõu A vớ d 1 ta cú
2E=
2
1
+
+
n
n
E=
)2.(2
1
+

4

102.98
4
98.94
4
94.90
4
.(
4
7
++++
810
7
810
4
4
7
)
162
1
90
1
.(
4
7
)
162.158
1


2008
Lời giải:
3G = 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+3
5
+3
2009
2G = 3G G = (3
2
+ 3
3
+ 3
4
+3
5
+3
2009
) (3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+3
2008

3
+ a
4
+a
5
+a
n
(a-1)G = aG G = (a
2
+ a
3
+ a
4
+a
5
+a
n+1
) ( a + a
2
+ a
3
+ a
4
+a
n
)
= a
n+1
a


2
+ a
3
+ a
4
+a
2008
Tuy vậy ta còn có cách khác phù hợp hơn:
5.H =
200732
5
1

5
1
5
1
5
1
1 +++++
4H=5H H = (
200732
5
1

5
1
5
1
5

15
Ta có thể tổng quát bài toán 3 thành bài toán sau:
Tính tổng
H =
a
aaaa
1

111
32
++++
(với mọi a và n là số nguyên dơng a

1)
Bài giải:
a.H=
132
1

111
1

+++++
a
aaaa
Doón Th Thanh Bỡnh Trng THCS Vn T
Tớnh tng dóy s vit theo quy lut
(a-1)H = aH H = (
132
1

aa
a
)1(
1


Từ kết quả của bài toán 3 ta có thể khai thác dới một dạng khác nh sau:
Bài toán 4:
a. Chứng minh rằng:
I =
200832
5
1

5
1
5
1
5
1
++++
<
4
1
Từ bài toán 3 ta có:
4.I = 1-
2008
5
1
< 1

1 ++++
2K = 3K K = (
20072
3
2008

3
3
3
2
1 ++++
) (
200832
3
2008

3
3
3
2
3
1
++++
)
=
2008200732
3
2008
3
1

3
1
3
1
++++
Ta có: 3L=
20062
3
1

3
1
3
1
1 ++++
2L = 3L L = (
20062
3
1

3
1
3
1
1 ++++
) (
200732
3
1


4
3
Ta có thể dễ dàng chứng minh đợc các bài toán tổng quát sau:
Chứng minh: Với mọi a, n là các số nguyên dơng a

1 thì:
a.
n
aaa
a
1

111
32
++++
<
1
1
a
b.
n
a
n
aa
a
++++
321
32
<
2

a. 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + n
2
b. 1.4 + 2.5 + 3.6 ++ n(n+3)
Lời giải:
Câu a:
Nhận xét: n
2
= n(n+1) n


1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ +n
2
=
=1.2 1 + 2.3 2 + 3.4 3 ++ n(n+1) n
= 1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1) ( 1 +2 +3 ++n)
Doón Th Thanh Bỡnh Trng THCS Vn T
Tính tổng dãy số viết theo quy luật
=

N=1.99+2.(99-1)+3.(99-2)+…+98.(99-97)+99.(99-98)
N=(1.99+2.99+3.99+…+98.99+99.99)-(1.2+2.3+…+97.98+98.99)
N=99.(1+2+3+…+98+99) - M (Bài toán 5)
N=99.
2
100.99
-
6
101.100.99
3
100.99.98
=
=166650
b.Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị bằng 1
P=
1.982.97 96.397.298.1
)9897 321( )321()21(1
+++++
++++++++++++
Ta thấy số bị chia gồm 98 tổng và số 1 có mặt ở 98 tổng ,số 2 có mặt ở 97 tổng ,,,,số
97 có mặt ở 2 tổng ,số 98 có mặt ở 1 tổng
Giải:
P=
1.982.97 96.397.298.1
1.982.97 96.397.298.1
+++++
+++++
=1
Vậy P=1
Ta rút ra dạng tổng quát

1
=
−
=−

4.3.2
2
4.3
1
3.2
1
=−
……
39.38.37
2
39.38
1
38.37
1
=−
Tổng quát

−
+
=
++ )1(
1
)2)(1.(
2
nnnnn

2Q=
741
370
39.38
740
39.38
1
2.1
1
==−
Q=
741
185
Cách 2
Ta thấy
)
3.2
1
2
1
.(
2
1
3.2.1
1
−=
)
39.38
1
38.37

1
)
1482
1
2
1
(
2
1
)
39.38
1
2
1
.(
2
1
=
===
==
Q
Q
Q
b,Tính tổng
R=
30.29.28.27
1

6.5.4.3
1

)
30.29.28
1
3.2.1
1
.(
3
1
=
R=
8120
451
24360
1353
=
Ta có thể tổng quát bài toán 7 nh sau
)2).(1(
1
2
1
)1).(1.(
1

4.3.2
1
3.2.1
1
++
=
+

2.Trong quỏ trỡnh dy toỏn cho hoc sinh phi c bit coi trng phn cng c ,khc
sõu lý thuyt c bn.Trong quỏ trỡnh bi dng hc sinh gii, ngi giỏo viờn phi bit
kt hp. Cỏc dng toỏn cú nhng bi toỏn hay hn,phong phỳ hn.Co nh vy thỡ
hc sinh mi gii quyt c cỏc bi toỏn c bn,to nn múng gii quyt cỏc bi
toỏn nõng cao,t ú phỏt huy trớ lc ca hc sinh
3.iu quan trng nht l ngi dy phi thng xuyờn hc hi ,su tm tớch ly qua
sỏch v,ti liu, ng chớ ,ng nghip khụng ngng vn lờn,t. Nõng cao trớ
thc,t hon thin mỡnh.Cú nh vy mi ỏp ng c yờu cu ca s nghip giỏo
dc o to.
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân trong khi giảng dạy về các
bài toán tính tổng dóy s vit theo quy lut.
Rất mong đợc sự trao đổi, góp ý của đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn!

Vn T, ngày 28 tháng 4 năm 2009
Tỏc gi
Doón Th Thanh Bỡnh
Doón Th Thanh Bỡnh Trng THCS Vn T
Tính tổng dãy số viết theo quy luật
Ý kiến đánh giá của hội đồng khoa học cơ sở
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Ý kiến đánh giá của hội đồng khoa học huyện
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………