Chuyên đề : dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật ôn thi HSG- Toán THCS
(1). Dãy 1: Sử dụng công thức tổng quát
na
1
a
1
n)a.(a
n
+
=
+
- - - Chứng minh - - -
naanaa
a
naa
na
naa
ana
naa
n
+
=
+

+
+
=
+
+
=
+

507.502
10
...
22.17
10
17.12
10
12.7
10
++++=
C
d)
258.253
4
...
23.18
4
18.13
4
13.8
4
++++=
D
Bài 1.2 : Tính:
a)
509.252
1
...
19.7
1

7.4
2
+++=
C
Bài 1.3 : Tìm số tự nhiên x, thoả mãn:
a)
8
5
120
1
...
21
1
15
1
10
1
2008
=
x
b)
45
29
45.41
4
...
17.13
4
13.9
4

1
+
=
+
++++
n
n
nn
b)
34
5
)34)(14(
5
...
15.11
5
11.7
5
7.3
5
+
=
+
++++
n
n
nn
Bài 1.5 : Chứng minh rằng với mọi
2;


81
16
<<
A
Bài 1.7 : Cho dãy số :
;...
25.18
2
;
18.11
2
;
11.4
2
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy
b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy. Tính S.
Bài 1.8 : Cho
2 2 2 2
1 1 1 1
...
2 3 4 100
A = + + + +
. Chứng minh
3
4
A <
HD: Ta có :
2 2 2
1 1 1 1 1 1
; ;...;

. Chứng minh
9
8
5
2
<<
A
GV: Lê Văn Hoà - Trờng THCS Xuân Lâm Tĩnh Gia Thanh Hoá
1
Chuyên đề : dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật ôn thi HSG- Toán THCS
Bài 1.10 : Cho
2 2 2 2
1 1 1 1
... ( , 2)
2 3 4
A n N n
n
= + + + +
. Chứng minh 1A <
Bài 1.11 : Cho
2222
2007
2
...
7
2
5
2
3
2

9
1
5
1
+++=
S
. Chứng minh:
12
1
<
S
Bài 1.14 : Cho
2222
305
9
...
17
9
11
9
5
9
++++=
A
. Chứng minh:
4
3
<
A
Bài 1.15 : Cho

20
40
43
20
40
<<
A
Bài 1.17 : Cho
100.98
99
...
6.4
5
5.3
4
4.2
3
3.1
2
22222
+++++=
B
. Tìm phần nguyên của B.
Bài 1.18 : Cho
2500
2499
...
16
15
9

1
321
1
++++
++
+++
+
++
=
M
. Chứng minh
3
2
<M
Bài1.20 : Cho
100.99
101.98
...
5.4
6.3
4.3
5.2
3.2
4.1
++++=
N
. Chứng minh 97 < N < 98.
Bài1.21 : Chứng minh
2 2 2 2
1 1 1 1 1

2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ...
5 6 7 100 5.6 6.7 7.8 100.101 5 101 6
Q = + + + + > + + + + = >
Mở rộng với tích nhiều thừa số:
)2)((
1
)(
1
)2)((
2
nananaananaa
n
++

+
=
++
Chứng minh:
)2)((
1
)(
1
)2)(()2)((
2
)2)((
)2(
)2)((
2


++
=
+++
Bài 1.23 : Tính
39.38.37
2
...
4.3.2
2
3.2.1
2
+++=
S
Bài 1.24 : Cho
20.19.18
1
...
4.3.2
1
3.2.1
1
+++=
A
. Chứng minh
4
1
<
A
GV: Lê Văn Hoà - Trờng THCS Xuân Lâm Tĩnh Gia Thanh Hoá

+++=
C
. Chứng minh
48
1
<
C
Bài 1.27 : Chứng minh với mọi n

N; n > 1 ta có:
4
11
...
4
1
3
1
2
1
3333
<++++=
n
A
Bài 1.28 : Tính
30.29.28.27
1
...
5.4.3.2
1
4.3.2.1

...
9.7
5.3
7.5
4.2
5.3
3.1
++
+
+
++++=
nn
nn
Q
Bài 1. 31: Tính:
2007.2005
2006
...
5.3
4
4.2
3
3.1
2
2222
++++=
R
Bài 1.32: Cho
12005
2

n
n
S
So sánh S với
1002
1
Hng dn:
1k
m2
1k
m
1k
m
1k
m2
)1k)(1k(
mmkmmk
1k
m
1k
m
22



=
+


=

2
2
3
2
2
2
2



=
+
..
(2). Dãy 2: Dãy luỹ thừa






n
a
1
với n tự nhiên.
Bài 2.1: Tính :
10032
2
1
...
2

1
2
1
2
1
++++=
C
Bài 2.4: Tính:
581074
2
1
...
2
1
2
1
2
1
2
1
++=
D
Bài 2.5: Cho
n
n
A
3
13
...
27

. Chứng minh B < 100.
Bài 2.7: Cho
9932
4
5
...
4
5
4
5
4
5
++++=
C
. Chứng minh:
3
5
<
C
Bài 2.8: Cho
22222222
10.9
19
...
4.3
7
3.2
5
2.1
3

3
7
3
4
32
+
++++=
với n

N
*
. Chứng minh:
4
11
<
F
Bài 2.11: Cho
10032
3
302
...
3
11
3
8
3
5
++++=
G
. Chứng minh:

605
...
3
23
3
17
3
11
++++=
I
. Chứng minh: I < 7
Bài 2.14: Cho
10132
3
904
...
3
22
3
13
3
4
++++=
K
. Chứng minh:
4
17
<
K
Bài 2.15: Cho

35
1
1,
24
1
1,
15
1
1,
8
1
1,
3
1
1
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Tính tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy.
Bài 3.3: Tính:













1
1
6
1
1
3
1
1B
.
Bài 3.4: Cho
200
199
.....
6
5
.
4
3
.
2
1
=
C
. Chứng minh:
201
1
2
<
C
HD: Ta có

6
5
.
4
3
.
2
1
=
D
. Chứng minh:
10
1
15
1
<<
D
Bài 3.6: Tính:






+

































=
1
100

Chuyên đề : dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật ôn thi HSG- Toán THCS
Bài 3.9: Tính:
64
31
.
62
30
....
10
4
.
8
3
.
6
2
.
4
1
=
H
.
Bài 3.10: Tính:
1000...001.....100000001.10001.101
/12

sc
n
I


1
100
1
....1
4
1
1
3
1
1
2
1
2222
K
. So sánh K với
2
1

Bài 3.12: So sánh












21
1
Bài 3.13: So sánh




























N
Bài 3.15: Tính



























=












=
2007
2
1.....
7
2
1
5
2
1
3
2
1Q
Bài 3.17: Tính:






2
1
5
1
2
1
3
1
2
1
T
Bài 3.18: So sánh:
40.....23.22.21
39.....7.5.3.1
=
U
và
12
1
20

=
V
Bài 3.19: Cho







1
3.1
1
1V
. Chứng minh V < 2.
Bài 3.20: Cho
199
200
.....
5
6
.
3
4
.
1
2
=
S
. Chứng minh:
400201
2
<<
S
Bài 3.21: Cho
210
208
....
12
10

B
Bài 3.23: Tính:






+






+






+






+

1000
1.....
3
1000
1
2
1000
1
1
1000
1
1000
1999
1.....
3
1999
1
2
1999
1
1
1999
1
C
Bài 3.24: Tính:






25
4
1
9
4
1
1
4
1
n
D
, với n

N,
1

n
Bài 3.25: Cho






++++






=
với n

N
*
. Tính
F
E
Bài 3.26: Cho






+






+






+

và
2047
2
1
=
H
Tính: G + H.
Bài 3.27: Cho
n
nn
I
2
22
2
2)12)(12(
.....
65536
2257.255
.
256
217.15
.
16
25.3
.
4
23.1 ++++++
=
với n