Nguyễn Đăng Công Trường THCS Việt Hùng
PHẦN THỨ NHẤT – MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài:
Đối với những người làm công tác gió dục trong nhà trường, đứng trươc
vận mệnh của đất nước trong tương lai đòi hỏi mỗi thày cô giáo phải luôn cố
gắng vươn lên bằng chính năng lực của mình và sự đổi mới không ngừng để bắt
kịp với tình hình phát triển mới của giáo dục của đất nước góp phần thực hiện
tốt nhiệm vụ giáo dục của mình trong sự nghiệp đổi mới giáo dục của đất nước.
Ngoài trau dồi phương pháp dạy học , người giáo viên phải trau dồi về kiến
thức. Ngoài kiến thức trong sách giáo khoa thì người giáo viên phải phát triển
kiến thức của mình để bắt nhịp với cuộc sống hiện tại và có kiến thức giảng dạy
cho các em học sinh.
Là giáo viên dạy môn toán trong trường phổ thông, tôi ý thức được rằng.
Toán học là môn học tự nhiên, nó có vai trò vô cùng quan trọng trong sự phát
triển tư duy của con người, nó là chìa khoá để con người khám phá ra các lĩnh
vực khác như tin học, vật lý, hoá học, y học
Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh, tôi đã không ngừng học hỏi
nâng cao tay nghề, học hocir đồng nghiệp và những người có kinh nghiệm. Tôi
nhận thấy trong việc giảng dạy môn số học còn nhiều mảng kiến thức mà học
sinh thêm hơn nữa như: Các bài toán chia hết, các bài toán về cấu tạo số, so
sánh phân số, đặc biệt là bài toán tính giá trị của “Dãy số viết theo quy luật”.
Đay là dạng bài toán tương đối khó đối với học sinh lớp 6. Học sinh khó hiểu
khi đứng trước dạng bài toán này, học sinh còn lúng túng, chưa định ra phương
pháp giải bài tập (chưa tìm ra quy luật của dãy số). Trong khi đó dạng toán này
trong sách giáo khoa lớp 6 chỉ đưa ra một vài bài toán dạng sao (*), không đưa
ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự vận động kiến thức của mình.
Dạng toán “Dãy số viết theo quy luật” là dạng toán tương đối khó đối với học
sinh lớp 6, tổng hợp nhiều kiến thức, đối với học sinh phải phân tích, phán xét,
nhận dạng nhanh bài toán để đưa ra quy luật của dãy số. Vì vạy tôi mạnh dạn
chọn đề tài “Phương pháp giải các bài toán dãy số viết theo quy luật”. Để đưa
ra một số phương pháp nhận biết cho học sinh.

2. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua một số
năm giảng dạy, đồng thời tiếp thu kinh nghiệm qua việc trao đổi với các giáo
dạy giỏi toán.
PHẦN THỨ HAI - NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2
Nguyễn Đăng Công Trường THCS Việt Hùng
CHƯƠNG I – Cơ sở lý thuyết
Để giải được các bài toán “Dãy số viết theo quy luật” ta phải dựa vò các
kiến thức sau:
1. Quy đồng mẫu số nhiều phân số:
- Tìm mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu)
Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu.
- Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
2. Các phép tính của phân số:
a. Cộng, trừ phân số cùng mẫu:
M
BA
M
B
M
A +
=+
(M
≠
0)
M
BA
M
B
M

A D
=
(B, C, D
≠
0)
3. Tính chất cơ bản của phép cộng và nhân phân số:
a. Tính chất giao hoán:
- Phép cộng:
bdd
c
b
a ac
+=+
(b, d
≠
0)
- Phép nhân:
b
.
dd
c
.
b
a ac
=
(b, d
≠
0)
b. Tính chất kết hợp :
- Phép cộng :



=






n
m
.
d
c
.
bn
.
d
c
.
b
a am
(b, d, n
≠
0)
c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép công (trừ):

n
.
d

Nếu a > b thì a . c > b . c (c > 0)
- Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều:
Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d
CHƯƠNG II
Phương pháp giải các bài toán “Dãy số viết theo quy luật”
I. Phương pháp tính tổng các dãy số viết theo quy luật:
Loại toán tìm tổng của một dãy số viết theo quy luật, trong đó thường có 3
phân số đầu là số cụ thể còn các phân số sau cùng cho ở dạng tổng quát. Để
làm dạng toán này ta cần nhận xét, so sánh giữa tử và mẫu, các tử (hay các
mẫu) với nhau, giữa phân số cụ thể và tổng quát để tìm ra cách viết phân số rồi
dần dần tìm ra cách giải.
Để làm dạng toán này người ta dùng phương pháp khử liên tiếp các số
hạng.
1. Ví dụ 1: Tính tổng sau:
S =
101.100
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
++++
* Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Bài toán này có tổng của các phân số có tử là 1 còn mẫu của các phân số là
1.2; 2.3; 3.4; 100.101.
Như vậy mẫu của các phân số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Cách giải
bài toán này là biến đổi mỗi phân số đã cho thành hiệu của 2 phân số, biến dãy

101.100
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
++++
=
101
100
101
1
1
1
101
1
100
1

4
1
3
1
3
1
2
1



−
+) Bài toán tổng quát:
Tính tổng: S =
)1(
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
+
++++
nn
=
11
1
1
1
1
11

4
1
3
1
3



−+






−
n
n
nnn
2. Ví dụ 2:
Tính tổng: P=
101.99
2

7.5
2
5.3
2
3.1
2
++++
* Phương pháp tìm lời giải:
Ta thấy P là tổng của các phân số có tử là 2, còn mẫu của các phân số là
tích của 2 chữ số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, do đó ta có thể viết mỗi
phân số đó là hiệu của 2 phân số, phân số bị trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ
nhất, phân số trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ 2.

2
−=
Nên ta dễ dàng tính được tổng đã cho
* Cách giải:
P=
101.99
2

7.5
2
5.3
2
3.1
2
++++
=
101
1
99
1

7
1
5
1
5
1
3
1
3

=
2
11

7
1
5
1
5
1
3
1
3
1
1
1
+
−++−+−+−
nn
=
2
1
2
1
1
+
+
=
+
−

Ta cần tính tổng A=
501.496
1

16.11
1
11.6
1
6.1
1
++++
Tương tự như bài trên ta tách từng phân số thành hiệu của 2 phân số, ta
nhận thấy :
6.1
5
6
1
1
1
=−
=>
6.1
1
)
6
1
1
1
(
5

=>
501.496
1
)
501
1
496
1
(
5
1
=−
Từ đó ta tính được tổng A một cách dễ dàng
* Cách giải:
A=
2484966
1

336
1
176
1
66
1
6
1
+++++
=
501.496
1

+
)
16
1
11
1
(
5
1
−
+…+
)
501
1
496
1
(
5
1
−
=
5
1






−++++−+−

5
1
.
501
500
=
501
100
*) Bài toán tổng quát:
A=
)15)(45(
1

16.11
1
11.6
1
6.1
1
+−
++++
nn
=
)
6
1
1
1
(
5




+
−
15
1
1
n
=
5
1
.
15
5
+n
n
=
15 +n
n
4. Ví dụ 4:
Tính tổng B=
39.38.37
1

5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1

−=>=−

4.3.2
1
4.3
1
3.2
1
2
1
4.3.2
2
4.3
1
23
1
=






−=>=−
…

39.38.37
1
39.38
1

* Cách giải:
B=
39.38.37
1

5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
++++
=






−
3.2
1
2.1
1
2
1
+







−++−+−
39.38
1
38.37
1

4.3
1
3.2
1
3.2
1
2.1
1
2
1
=






−
39.38
1
2.1

741
370
.
2
1
=
741
185
* Bài toán tổng quát:
B=
++++
5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
)2)(1(
1
++ nnn
=






++
−
)2).(1(

5. Ví dụ 5:
Tính tổng: A= 1.2 +2.3 + 3.4 +…+ 98.99
*Hướng dẫn giải:
Ta thấy số hạng của A là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Nếu để áp dụng
phương pháp khử liên tiếp như những bài toán trên ta phải nhân mỗi số hạng
của A với 3 thừa số 3 này được viết dưới dạnh (3-0) ở số hạng thứ nhất, (4-1) ở
số hạng thứ 2, (5-2) ở số hạng thứ 3 và (100-97) ở số hạng cuối cùng.
* Cách giải:
A= 1.2 +2.3 + 3.4 +…+ 98.99
3A=1.2.(3-0) +2.3.(4-1) + 3.4.(5-2) +…+ 98.99.(100-97)
3A=1.2.3 – 0.1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + + 98.99.100 - 97.98.99
3A=98.99.100
A=
323400
3
100.99.98
=
*) Bài toán tổng quát:
A=1.2 +2.3 + 3.4 +…+ n(n+1) =
3
)2)(1( ++ nnn
II. Phương pháp tính tích “ Dãy số viết theo quy luật”
1. Ví dụ 1: Tính tích sau
A=
10000
9999

16
15
.

VD:
22
2
3.1
2
3
=

22
3
4.2
3
8
=

22
4
5.3
4
15
=22
100
101.99
100
9999
=
Sau đó ta lập ra ở tử và mẫu hai dãy thừa số để có thể rút gọn được.

2
100
101.99
=
100 4.3.2
101 5.4.3
.
100 4.3.2
99 3.2.1
=
200
101
2
101
.
100
1
=
*) Bài toán tổng quát:
A=
2
2
3.1
.
2
3
4.2
.
2
4






−






−






−
1326
1
1
36
1
1
28
1
1.
21

.
42
40
hay ta có thể viết là:
9.8
10.7
.
8.7
9.6
.
7.6
8.5
Đến đây ta thấy tử của phân số có 2 thừa số hơn kém nhau 3 đơn vị.
Nhân tử và mẫu của phân số cuối cùng với 2, rồi dựa vào nhận xét trên về tử và
mẫu của 3 phân số đầu, ta có :
52.51
53.50
2652
2650
=
Như vậy tích đã cho được viết thành :
9.8
10.7
.
8.7
9.6
.
7.6
8.5
….





−
1326
1
1
36
1
1
28
1
1.
21
1
1
=
1326
1325

36
35
.
28
27
.
21
20
=

2000
1998
)1(
2

10
1
6
1
3
1
=
+
++++
xx
*) Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Trước hết ta xét phân số
)1(
2
+xx
ta nhận thấy phân số này có tử là 2, có
mẫu là tích của 2 số liên tiếp, nên có thể viết:
)1(
2
+xx
=





4.3
.2
2.6
2.1
6
1
==
;
5.4
2
2.10
2.1
10
1
==
Như vậy vế trái của đẳng thức gồm các phân số có dạng tử là 2 còn mẫu là
tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Cần tính tổng của các phân số ở vế trái để đưa
bài toán về dạng tìm x đơn giản mà ta đã biết.
*) Cách giải: Tìm x,
biết
2000
1998
)1(
2

10
1
6
1
3

)1(
1

5.4
1
4.3
1
3.2
1
xx
=
2000
1998
2.






+
−++−+−−
1
11

5
1
4
1
4

+
−
x
=
2000
1998
:2
1
1
2
1
+
−
x
=
2000
999
11
Nguyễn Đăng Công Trường THCS Việt Hùng
1
1
+x
=
−
2
1
2000
999
1
1

1
5
1
−
=
8.5
3
=>
3
1






−
8
1
5
1
=
8.5
1
11
1
8
1
−
=







−
14
1
11
1
=
14.11
1
1
11
+
−
xx
=
)3(
3
+xx
=>
3
1





1






−
8
1
5
1
+
3
1






−
11
1
8
1
+
3
1








+
−++−+−+−
3
11

14
1
11
1
11
1
8
1
8
1
5
1
xx
=
1540
101
3
1
.

1
+
−
x
=
1540
303
12
Nguyễn Đăng Công Trường THCS Việt Hùng
3
1
+x
=
−
5
1
1540
303
=
1540
5
3
1
+x
=
308
1
Ta có hai phân số bằng nhau với tử bằng nhau thì mẫu phải bằng nhau, tức
là: x+3=308 => x=308 - 3=305
3) Ví dụ 3: Chứng minh rằng

phải chứng minh.
*) Cách giải:
100 -
100
99

4
3
3
2
2
1
100
1

3
1
2
1
1 ++++=






++++
Cộng vào hai vế của đẳng thức trên với



1
+






++++
100
1

3
1
2
1
1
=






++++
100
99

4
3

2
1
+






+
3
1
3
2
+






+
4
1
4
3
+…+




2≥
)
2
2
1
<
2.1
1
=
2
1
1
1
−
;
2
3
1
<
3.2
1
=
3
1
2
1
−
13
100 số 1
Nguyễn Đăng Công Trường THCS Việt Hùng

<
dc
ba
=> a+c < b+d
Từ đó ta có điều phải chứng minh:
2
2
1
+
2
3
1
+
2
4
1
+ +
2
100
1
< 1
2
2
1
<
2.1
1
=
2
1

100
1
<
100.99
1
=
100
1
99
1
−
Vậy
2
2
1
+
2
3
1
+
2
4
1
+ +
2
100
1
<
2.1
1

1
2
1
−
+
4
1
3
1
−
+ +
100
1
99
1
−
2
2
1
+
2
3
1
+
2
4
1
+ +
2
100

giảng dạy, tôi đã thể hiện vấn đề này qua đề tài “ Phương pháp giảng dạy bài
toán: Dãy số viết theo quy luật” nhằm thể hiện phương pháp giảng dạy cho
giáo viên và nâng cao chất lượng học tập nhận thức của học sinh.
Trong nội dung của đề tài này tôi đã đưa ra các dạng bài toán “Dãy số
viết theo quy luật”, phương pháp tìm lời giảng của từng bài toán để đưa ra
cách giải cụ thể cho từng bài để có một bài toán tổng quát cho từng dạng bài.
Qua đề tài nỳ tôi muốn đưa đến cho học sinh thói quen suy nghĩ và tìm tòi
lời giải một bài toán trên cơ sở kiến thức đã được học. Đề tài này nhằm nối
giữa lý thuyết với thực hành toán học.
Mỗi bài toán tôi đưa ra:
- Phương pháp tìm lời giải
- Cách giải
- Bài toán tổng quát
Từ cách đưa ra như thế này, giáo viên, học sinh có thể nhận dạng bài toán
14
Nguyễn Đăng Công Trường THCS Việt Hùng
thật dễ dàng nếu nhanh có thể đọc được ngay đáp số với những bài toán thuộc
quy luật.
Trên đây là toàn bộ phần trình bày nội dung của đề tài. Mong rằng những
vấn đề được đề cập đến trong đề tài này ít nhiều góp phần vào việc giảng dạy,
bồi dưỡng học sinh giỏi.
15