Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
Lời nói đầu
Đứng trớc yêu cầu của công cuộc đổi mới , giáo dục phải
luôn luôn đi trớc một bớc , vì thế đòi hỏi ngành giáo dục nói
chung và mỗi ngời thầy nói riêng phải gánh vác một trọng trách
hết sức nặng nề. Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại xứng đáng với
vị trí của nó trong xã hội thì các nhà giáo dục phải đổi mới ( học
hỏi, nghiên cứu ) để đề ra những định hớng kịp thời.
Trong quá trình giáo dục thì việc dạy học trong các nhà tr -
ờng là chủ yếu, và trong mỗi nhà trờng thì bản thân mỗi giáo
viên phải luôn luôn phấn đấu nâng cao hiệu suất giờ lên lớp , có
làm đợc nh vậy thì mới nâng cao đợc chất lợng đào tạo, gây đợc
uy tín đối với học sinh, củng cố niềm tin với phụ huynh học sinh
và toàn xã hội.
Là một giáo viên dạy toán THCS, trong những năm qua tôi
đã đặt ra cho mình một nhiệm vụ là phải nghiên cứu tìm ra những
phơng pháp thích hợp cho giảng dạy , những vấn đề cụ thể phù
hợp với đối tợng thực tế. Một trong những chuyên đề mà tôi tâm
đắc nhất là " Phơng trình vô tỷ ".
Tôi đã tham khảo rất nhiều tài liệu viết về "Phơng trình vô
tỷ ", phần nào các tác giả đã đa ra những bài toán tơng đối đa
dạng, tuy nhiên còn tản mạn trong nhiều cuốn sách khác nhau.
Để giáo viên có tài liệu bồi dỡng chuyên đề cho học sinh khá,
giỏi - Tôi xin mạn phép các tác giả đợc lựa chọn ra một số bài
toán, phân giải, giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức và nắm
chắc chuyên đề trên.
Phơng trình vô tỷ mới đợc đa vào trong chơng trình toán
lớp 9 cải cách giáo dục và mới chỉ là các dạng rất đơn giản, vì
vậy việc dạy "Phơng trình vô tỷ "là kiến thức mới và rất khó đối
với giáo viên dạy toán cấp 2. Mặc dù số tiết học trong phân phối

ờng lối chung

.
- Tìm miền xác định của phơng trình .
- Khử căn đa về phơng trình đại số.
- Giải phơng trình đại số .
- Nhận định kết quả và trả lời.
3- Các ph

ơng pháp và ví dụ

.
a-Phơng pháp nâng lên luỹ thừa.
Dạng 1:( )
xf

=
( )
xg
Sơ đồ cách giải :

( )
xf

( )
xg=






+
1
01
01
x
x
xVới điều kiện trên, 2 vế không âm, bình phơng 2 vế của (1)
ta đợc phơng trình tơng đơng:

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
1
+
x

x=
2
12
+
x
x
2
- 3x = 0 x = 0 hoặc x = 3.

xf +

( )
xg+

( )
xh=
- Tìm điều kiện dể phơng trình có nghĩa :

( )
0xf
`
( )
0xg

( )
0xh
- Biến đổi 2 vế của phơng trình không âm ( với phơng trình
chứa căn bậc hai ) ta bình phơng 2 vế để đợc phơng trình tơng đ-
ơng. Sau đó đa phơng trình về dạng đã biết cách giải.
Ví dụ : Giải phơng trình :

3+x

25 = x
.
Chuyển vế :

3+x


62
2
+ xx

x224
=6
2
+ xx

x
=
12

( )
12x
Bình phơng 2 vế ta có :
x
2
+ x - 6 = 144 - 24 x + x
215025
=
x
x = 6 ( thoả mãn )
Vậy phơng trình có 1 nghiệm x = 6.

71227121 ++=+ xxxxx
484192
2
=+ xxx
Do
127

x
, 2 vế không âm. Bình phơng 2 vế ta đợc:
- 4x
2
+ 76x-336 = x
2
-8x + 16

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
5x
2
-84x + 352 =0
;
5
44
1
= x
x
2
=8 ( Thoả mãn )
Vậy phơng trình có 2 nghiệm
8;

xxx =+ 9
2
(x 0 )
Bình phơng 2 vế ta đợc:
x
2
+9x =x
2
9x = 0

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
x=0 ( Thoả mãn ).
Vậy phơng trình có một nghiệm x=0.
Nhận xét

: Khi giải phơng trình vô tỷ ta cần chú ý đến việc
tìm miền xác định của phơng trình .
Sau khi biến đổi 2 vế của phơng trình không âm
( Với phơng trình chứa căn bậc 2 ) ta bình phơng 2 vế để đợc ph-
ơng trình tơng đơng .
Nếu bớc khử căn vừa rồicha khử hết đợc các căn thức bậc
hai chứa ẩn, ta tiếp tục chuyển vế và đặt điều kiện để bình phơng
tiếp.
Thực hiện các phép biến đổi tơng đơng để đa phơng trình
về dạng phơng trình quen thuộc ( bậc nhất hoặc bậc hai ).
Giải phơng trình trung gian rồi nhận định kết quả và trả
lời về số nghiệm của phơng trình đầu.
Tuy nhiên với những phơng trình chỉ có ẩn số nằm trong
dấu căn bậc 2, tức là phơng trình có dạng:

=+ xxx
x
Vậy miền xác định :
Rx
Nhân hai vế của phơng trình với :

11
22
+++ xxxx
ta đợc phơng trình tơng đơng:

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ

( )
(
)
11211
2222
+++=+++ xxxxxxxx
11
22
+++= xxxxx
(2)
Cộng vế theo vế phơng trình (1) và (2) ta có phơng trình t-
ơng đơng :
xxx +=++ 212
2
( )
( )

2
=0
b- Phơng pháp đặt ẩn phụ.
* Với những phơng trình vô tỷ có dạng đặc biệt.
( ) ( )
0=+ cxfbxaf
Dùngphép biến đổi sau:
Đặt
( )
0= txf

Ta đa phơng trình về dạng phơng trình bậc 2 :
0
2
=+ cbtat
Ví dụ : Giải phơng trình
3393232
22
=++++ xxxx

042932932
22
=+++++ xxxx
Đặt điều kiện :
`









+= x
x
Đặt :
0932
2
yxx =++
ta có
y
2
+y -42 =0

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
Giải phơng trình đợc :
y
1
=6 ( thoả mãn)
Y
2
= -7 ( loại )
02732
369326932
2
22
=+
=++=++
xx

Đặt điều kiện :
2
13
2 x
Đặt :

( )( )
( )( )
12212
21221
021
2
2
+=+
++++=
=++
xtxx
xxxxt
txx
Phơng trình (1) có dạng :

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
t
2
+ t- 2x + 1 = 13 -2x t
2
+ t - 12 = 0
Giải phơng trình đợc :
t

: Khi giải phơng trình vô tỷ bằng phơng pháp đặt ẩn
dụ , ta cần hớng dẫn học sinh đặt điều kiện cho ẩn dụ. Số nghiệm
của phơng trình đầu phụ thuộc vào số nghiêm phơng trình bậc hai
trung gian và điều kiện có nghĩa của phơng trình đầu .
+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì ph ơng
trình đầu vô nghiệm.
+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm nhng
nghiệm đó không thuộc miền xác định của phơng trình đầu thì
phơng trình đầu vô nghiệm.
+ Trái lại, nếu các nghiệm số tìm đợc của phơng trình bậc
hai trung gian làm cho các ẩn số của phơng trình đầu thuộc miền
xác định của nó thì phơng trình đã cho có nghiệm.
c -Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá
trị tuyệt đối.
Ví dụ : Giải phơng trình
( )
191611441 =+++ xxxx
(1)

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
Điều kiện :
.1

x
( )
( ) ( )
13121
131211
22

=
=+
ox
xx
Nghiệm của phơng trình là :
105 x

+ Nếu
10

x
ta có phơng trình :
31
612
13121
=
=
=+
x
x
xx
x-1 =9
x=10 ( thoả mãn ).
Vậy phơng trình có nghiệm :
105

x
d - Phơng pháp bất đẳng thức :
Dạng 1


=++++++= xx
Vế phải

( )
( )
515125
2
2
+=++= xxx
.
Vậy phơng trình có nghiệm khi 2 vế đều bằng 5.
Lúc đó x+1 =0 x=-1
Thử lại : VT =
514105763 =+++
VP = 4+2-1=5
Vậy phơng trình có 1 nghiệm x =-1
Dạng 3

: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số .
Ví dụ : Giải phơng trình
312
3
=++ xx
Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phơng trình .
+ Với
3x
thì
.3
12
3

14
=

+

x
x
x
x
(1)
Điều kiện :
4
1
x
Ta có bất đẳng thức
2+
a
b
b
a
(a,b > 0)
Dấu (=) xảy ra a=b
Do đó
(1)
01414
2
=+= xxxx




-2x + 2
Kết hợp và ta có hệ:

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
y
2
-2y - x + 3 = 0
x
2
- 2x -y +3 = 0
Trừ hai vế của hệ ta đợc:
y
2
- x
2
- y + x = 0
( y - x )( y + x - 1 ) = 0
y = x
x + y = 1
-Nếu x=y Thay vào ta có x
2
- 3x + 3 = 0 vô nghiệm
-Nếu x + y = 1 y = 1 - x thay vào ta đợc:
x
2
- x + 2 = 0 vô nghiệm
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm
Một số bài tập tham khảo
Giải các phơng trình sau:

22
=++++ xxxxx
12,
732813232222 =++++ xxxx
13,
765
22
=+ xx
14,
xxxxxx 654524428183
222
+=+++
15,
271064
2
+=+ xxxx
16,
749
2
=+ xxx
17,
2
1
2
1
2
=+

x
x

.

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
Bình phơng 2 vế ta đợc
x - 2 = x
2
- 4x + 4
x
2
+ 5x + 6 = 0
Giải phơng trình đợc
x
1
= 2 ; x
2
= 3
3 - điều kiện




+

034
1
2
xx
x
*

( )( )
8271
3
=+ xx

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ

( )( ) ( )( )
071071
3
=+=+ xxxx
Giải phơng trình ta đợc:
x
1
= 1 ; x
2
= 7
6 - Chuyển vế đa về phơng trình :
15231 += xxx
Điều kiện
10

x
*
Bình phơng 2 vế ta đợc :
( )( )
1523215231 ++= xxxxx

xxx 72213152

x

1

x
(**)
Kết hợp điều kiện (*) và (**)thì x = 1 là nghiệm của ph ơng
trình .
8 - Điều kiện :
0

x
Biến đổi phơng trình về dạng phơng trình chứa ẩn trong
dấu giá trị tuyệt đối .
Đáp số : x = 1
9 - Biến đổi phơng trình về dạng :
1111 = xx

Điều kiện
1

x

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng trình vô tỉ
VP = VT
011 x

11 x


21

x
11 - Điều kiện :
3
1
x
rồi đa phơng trình chứa ẩn trong dấu
giá trị tuyệt đối .
Đáp số x= 3
12 - Điều kiện
2
3

x
, đua về phơng trình chứa ẩn trong dấu
giá trị tuyệt đối .
Đáp số x = 2
13 - Điều kiện
6x
Phơng trình đã cho có thể viết dới dạng
x
2
- 6 +
6x
- 6 = 0
Đặt
06
2
= tx

(1) có nghiệm 2 vế đều bằng 4. x- 3 = 0 x = 3
15 - Điều kiện : 4 x .
Xét
( )
( )
422512264
2
2
=++=+ xxx

264 + xx
x
2
- 10x + 27 = ( x-5)
2
+ 2 2
Phơng trình có nghiệm cả 2 vế đều bằng
2 x-5 x=5 ( thoả mãn)
16 - Đặt

29
=+
yx
( y 2) phơng trình đã cho có dạng
y - 2 = x
2
- 4x -7 (1)
x + 9 = y
2
- 4y + 4 (2)

2
413
17 - Đặt :
02
2
yx =
x
2
+ y
2
= 2
Ta có hệ

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
 Ph¬ng tr×nh v« tØ






=+
=+
2
2
11
22
yx
xy
⇔