sáng kiến kinh nghiệm
phơng trình vô tỉ
cách giải phơng trình vô tỉ trong trờng thcs
phần thứ nhất
đặt vấn đề.
I - Cơ sở lí luận.
Mục tiêu của giáo dục và đào tạo đã đợc nghị quyết TƯ2 khoá VIII xác định là:
'' Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dỡng nhân tài''. Nh vậy song song
với việc nâng cao mặt bằng dân trí cho toàn dân , đào tạo nhân lực có tay nghề cao
cho các ngành nghề thì việc '' phát hiện và bồi dỡng nhân tài '' đợc Đảng và Nhà n-
ớc ta rất quan tâm.
Nh các bạn đã biết Toán học là một môn khoa học nói chung, nhng lại giữ một
vai trò rất chủ đạo trong các nhà trờng cũng nh đối với các ngành khoa học khác.
Hiện nay đầu t sâu cho bộ môn Toán là mục tiêu của nhiều ngành giáo dục của các n-
ớc trên thế giới cũng nh ngành giáo dục của Việt Nam ta. Toán học nh một kho tàng
tài nguyên vô cùng phong phú và quí giá mà nếu ai đã đi sâu tìm hiểu, khai thác thì sẽ
thấy rất mê say, ham muốn khám phá và hiểu biết ngày càng nhiều hơn ở bộ môn này.
Các bậc phụ huynh cũng nh các thầy cô giáo, các thế hệ học sinh luôn mơ ớc
học giỏi bộ môn này, tuy nhiên để đạt đợc điều đó thật chẳng dễ dàng gì. Hiện nay,
trong các nhà trờng đặc biệt là nhà trờng THCS, ngoài việc dạy kiến thức cơ bản cho
HS thì việc dạy cách học, cách nghiên cứu và phát triển kiến thức cho các em rất đợc
chú trọng.
Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu bài cơ bản và ngày một say mê bộ
môn Toán, bản thân mỗi ngời giáo viên phải tự mình tìm ra những phơng pháp giải
sao cho phù hợp với từng đối tợng học sinh và kích thích lòng ham muốn học Toán
của các em, từ đó tìm ra đợc những học sinh có năng khiếu về bộ môn này, để có thể
bồi dỡng các em trở thành những học sinh giỏi, có ích cho xã hội.
Một trong những vấn đề rất cơ bản của đại số khối THCS là việc nắm đợc các
phơng trình sơ cấp đơn giản và cách giải những phơng trình đó đối với những đối tợng
là học sinh đại trà. Ngoài ra mở rộng các phơng trình đó ở dạng khó hơn, phức tạp
hơn đối với đối tợng học sinh khá - giỏi.

trình vô tỉ cũng cha nhiều. Để giúp các em HS nắm đúng, nắm chắc từng dạng và ph-
ơng pháp giải từng dạng, tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm ''phơng trình vô
tỉ và các cách giải'' áp dụng cho khối THCS với hy vọng phần nào tháo gỡ những
khó khăn cho các em HS khi gặp dạng phơng trình này và là cuốn tài liệu có thể dùng
để tham khảo đối với các bạn đồng nghiệp. Với kinh nghiệm còn rất hạn chế và thời
gian nghiên cứu cha nhiều, sáng kiến kinh nghiệm này sẽ không tránh khỏi những
thiếu sót. Do vậy tôi rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến thật chân tình của các bạn
2
đồng nghiệp và bạn đọc để sáng kiến này có thể đợc áp dụng rộng rãi hơn, góp phần
thúc đẩy chất lợng học tập của các em HS.
iii - nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu về khái niệm của phơng trình một ẩn, khái quát và cách giải phơng
trình đó.
- Kỹ năng giải các phơng trình: Phơng trình chứa ẩn ở mẫu, phơng trình
bậc nhất một ẩn, phơng trình chứa hệ số ba chữ, phơng trình chứa dấu giá trị
tuyệt đối, phơng trình tích, phơng trình thơng, phơng trình bậc cao
- Kỹ năng giải các phơng trình bậc cao đa về phơng trình bậc 1, bậc 2, phơng
trình vô tỉ
- Làm các bài tập minh hoạ.
- Một số phơng pháp giải và các dạng bài tập thờng gặp.
iv - Đối tợng nghiên cứu:
- Học sinh lớp 9 trờng THCS.
- Học sinh thi học sinh giỏi của trờng và của huyện.
v- phơng pháp nghiên cứu:
- Tìm đọc các tài liệu tham khảo và nghiên cứu kĩ SGK
-Dạy và trắc nghiệm trên ba đối tợng học sinh: Khá, giỏi - trung bình - yếu, kém.
- Đa ra bàn luận theo tổ, nhóm chuyên môn, cùng nhau thực hiện.
- Tham khảo các trờng bạn, ý kiến đóng góp của các thầy cô dạy lâu năm có nhiều
kinh nghiệm.
- Dự giờ, kiểm tra chất lợng học sinh.

+ Các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ.
+ Các dạng phơng trình vô tỉ, cách giải từng dạng.
+ Những sai lầm thờng gặp khi giải phơng trình vô tỉ.
II - Một số khái niệm
1 - Khái niệm về phơng trình một ẩn:
4
a - Khái niệm: cho A(x), B(x) là hai biểu thức chứa biến x, khi đó A(x) = B(x) gọi là
phơng trình một ẩn. Trong đó:
+ x đợc gọi là ẩn.
+ A(x), B(x) gọi là hai vế của phơng trình.
+ Quá trình tìm x gọi là giải phơng trình.
+ Giá trị tìm đợc của x gọi là nghiệm của phơng trình.
+ : Tập hợp nghiệm của phơng trình.
+ Tập xác định: Tập xác định của phơng trình (thờng viết tắt là TXĐ)
b - Tập xác định của phơng trình: Là tập những giá trị của biến làm cho mọi
biểu thức trong phơng trình có nghĩa.
c - Các khái niệm về hai phơng trình tơng đơng:
+ Là hai phơng trình có cùng một tập hợp nghiệm.
Hoặc : Nghiệm của phơng trình này cũng là nghiệm của phơng trình kia và ngợc
lại.
2. Phơng trình vô tỉ:
a) Định nghĩa: Phơng trình vô tỉ là phơng trình chứa ẩn ở dới dấu căn.
Ví dụ: 1. - 3.
2. -3
1
2
+x
-2x + 5 = 0
b) Các bớc giải phơng trình vô tỉ (dạng chung):
+ Tìm tập xác định của phơng trình.

Giải
Phơng trình (1)



=

)3()7()5(
)2(07
2
xx
x

Giải phơng trình (3) : x - 5 = x
2
-14x + 49 x
2
-15x + 54 = 0
(x - 6)(x - 9) = 0 => x = 6 hoặc x = 9
Đối chiếu với ĐK (2) ta thấy x = 9 thoả mãn
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là : x = 9
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
5+x
= 1 - x (1)
Giải
Phơng trình (1) 1 - x 0 x

1 (2)
x + 5 = (1 - x)
2


(x) - h(x)
]
(3)
Phơng trình (3) có dạng (1) nên có điều kiện mới:
[
[
g(x)
]
2
- f(x) - h(x)
]

0 (4)
Bình phơng hai vế của phơng trình (3) đợc phơng trình mới đã biết cách giải.
Đối chiếu nghiệm với điều kiện (2) và điều kiện (4) rồi kết luận.
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
3+x
+
x1
= 2 (1)
Giải
6
Điều kiện có nghĩa: x + 3 0 x - 3 -3 x 1 (*)
1 - x 0 x 1
Với điều kiện (*) phơng trình có hai vế không âm nên bình phơng hai vế ta có:
x + 3 + 1 - x + 2
3+x
.
x1

.
2x
= 24 - 2x
<=>
3+x
.
2x
= 12 - x (2)
Điều kiện để (2) có nghĩa: 12 - x 0 x 12 (**)
Bình phơng hai vế của (2) ta có:
(x + 3)(x - 2) = (12 - x)
2
x
2
+ x - 6 = 144 - 24x + x
2
25 x = 150
x = 6 thoả mãn điều kiện (*) và (**)
Vậy nghiệm của phơng trình là x = 6.
3 - Dạng 3
+ = (1)
Dạng 3 chỉ khác dạng 2 ở vế phải là nên cách giải tơng tự nh dạng 2.
Ví dụ 1: Giải phơng trình

1+x
=
x12
+
7x
(1)

12 (*)
Với (*) thì hai vế của phơng trình (2) không âm ta bình phơng hai vế của (2) ta
đợc:
Phơng trình (2) < 4 (- x
2
+ 19x - 84) = x
2
- 8x + 16
5x
2
- 84x + 352 = 0 (3)
Ta có :
'
= 1764 - 1760 = 4 > 0 = 2
Phơng trình (3) có hai nghiệm: x
1
= 8,8 ; x
2
= 8 đều thoả mãn ĐK (*)
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm : x
1
= 8,8 ; x
2
= 8
Ví dụ 2 : Giải phơng trình

15 x
-
23 x
=

Với x 1 cả hai vế của phơng trình này không âm , bình phơng 2 vế của phơng
trình ta đợc:
(x + 2)
2
= 4.(x - 1)(3x - 2) x
2
+ 4x + 4 = 12x
2
- 20x + 8 = 0
<=> 11x
2
- 24x + 4 = 0
<=> (x - 2)(11x - 2) = 0 <=> x = 2 hoặc x =
11
2
Theo ĐK (*) thì phơng trình chỉ có nghiệm x = 2
Vậy x = 2 là nghiệm của phơng trình
4 - Dạng 4:
+ = + (1)
Sơ đồ lời giải:
Điều kiện: f(x)

0; h(x)

0, g(x)

0; k(x)

0
Bình phơng hai vế ta có:


-2
x + 5

0 x

-5
Bình phơng 2 vế của phơng trình (1) ta có :
x + 1 + x +10 + 2.
1+x

10+x
= x + 2 + x + 5 + 2
2+x
.
5+x
<=> 2 +
1+x

10+x
=
2+x
.
5+x

Với ĐK : x

-1 cả hai vế của phơng trình là không âm tiếp tục bình phơng ta có
:
4 + (x + 1)(x + 10) + 4

0) => t
2
= f(x) +h(x) +2 từ đó ta giải tiếp => =( t
2
- f(x) - h(x)):2
Ví dụ : Giải phơng trình
1+x
+
x3
-
1+x
.
x3
= 2 (1)
Giải
Điều kiện : x + 1

0
3 - x

0 <=> -1

x

3 (*)
Đặt t =
1+x
+
x3
( t > 0) , ta có : t

9
<=>
1+x
.
x3
= 0 = > x = -1 hoặc x = 3
Cả 2 nghiệm này đều thoả mãn ĐK (*)
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x = -1 và x = 3
6.Dạng 6.
bxabax ++ 2
2
+
bxabax + 2
2
= cx + m (1)
Cách giải
Điều kiện: x - b

0 <=> x

b (*)
Đặt: t =
bx
( t

0) => t
2
= x - b <=> t
2
+ b = x


0 để nhận nghiệm từ đó suy ra :
x = t
2
+ b là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ: Giải phơng trình
9.6 + xx
+
9.6 xx
=
6
23+x
(1)
Giải
ĐK: x - 9

0 <=> x

9 (*)
Đặt: t =
9x
=> x = t
2
+ 9 .Khi đó phơng trình (1) có dạng:
6.(
2
)3( +t
+
2
)3( t

+ 9 = 13
Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm : x = 73 ; x = 25 ; x = 13
iv - các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ.
Không phải bất cứ một phơng trình vô tỉ nào cũng có thể đa về đợc một trong 5
dạng trên do đó ngời giáo viên cần cung cấp cho học sinh thêm các phơng pháp giải
phơng trình vô tỉ.
1 - Ph ơng pháp luỹ thừa .
10
Để làm mất căn bậc n thì ta nâng cả hai vế lên luỹ thừa n. Nếu chẵn thì chỉ thực
hiện đợc khi hai vế của phơng trình là không âm.
Ví dụ1: Giải phơng trình
x +
1x
= 7 (1)
Giải
Phơng trình (1) có dạng :
1x
= 7 - x (2)
Điều kiện : x 1
x 7
Với điều kiện (*) thì phơng trình (2) có hai vế không âm nên ta bình phơng hai
vế phơng trình (2), ta có :
x - 1 = 49 - 14 x + x
2
<=> x
2
- 15x + 50 = 0
Phơng trình có: = 25 > 0 = 5
nên có hai nghiệm phân biệt là : x
1

Phơng trình (2) có ĐK: 2 - 7 x 0 x

2
7
(**)
Khi đó phơng trình (2) (2 - 7x)
2
= 4 (15x
2
- 13x + 2)
4 - 28x + 49x
2
= 60x
2
- 52x + 8
11x
2
- 24x + 4 = 0
Ta có :
'
= 100 > 0 nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt :
x
1
=
11
2
; x
2
= 2 thoả mãn ĐK (**)
Kết hợp với điều kiện (*) ta thấy cả 2 giá trị x

+
96
2
+ xx
= 4 (1)
Giải
Phơng trình (1)
4)3()1(
22
=++ xx

431 =++ xx
(2)
Để loại bỏ dấu GTTĐ ta phải xét dấu của biểu thức bên trong dấu GTTĐ ,ta có
các trờng hợp sau :
1)
3
3
1
03
01










(không xảy ra)
3)
31
3
1
03
01
<<



<
>




<
>+
x
x
x
x
x
(**)
PT (2) có dạng x + 1 + 3 - x = 4 0x = 0
PT này có vô số nghiệm thoả mãn (**)
4)
1
3

+
5168 =+ xx
(1)
Giải
Điều kiện: x
1

Phơng trình (1)
4141 ++ xx
+
913.21 + xx
= 5.

5)31()21(
22
=++ xx

1x
+2 +
31 x
= 5 (do x
1
)

1331 = xx
Vì VT luôn không âm nên ta có: 3 -
9103101 xxx
12
101 x
Kết hợp ĐK ta thấy


275232522 =++++ xxxx
(1)
Giải
Điều kiện: x 5/2
Biến đổi phơng trình (1) :
14)5232(2)522(2 =++++ xxxx
(2)
Đặt :
52 x
= y 0 2x - 5 = y
2
2x = y
2
+5
Phơng trình (2) có dạng:
149612
22
=+++++ yyyy

2
)1( +y
+
2
)3( +y
<=> y+ 1 + y + 3 = 14 do y 0 nên phơng trình có
dạng : y+ 1 + y + 3 = 14 <=> 2y +4 = 14
<=> 2y = 10
<=> y = 5 (thoả mãn điều kiện y 0)
Vậy

53
2
+ xx
- 12 = 0 (2)
Điều kiện: x R
Đặt
53
2
+ xx
= t ( t 0 ) => x
2
- 3x + 5 = t
2
(*)
Phơng trình (2) có dạng : t
2
+ t - 12 = 0
= 49 > 0 = 7
Vậy phơng trình có hai nghiệm: t
1
= 3 ; t
2
= - 4
Vì t
0
nên t = 3 thoả mãn .
Theo (*) ta có : x
2
- 3x +5 = 9
x

(2)
Ta thấy b 0 vì nếu b = 0 thì x = - 2 khi đó (1) không thoả mãn.
Chia hai vế của (2) cho b ta có :
b
a
b
a
2
3
1 =

1
2
3

b
a
b
a
= 0
14
Đặt:
b
a
= Y (Y 0) ta có phơng trình:
Y
2
-
2
3

= 3 +
x
2
= 3 -
Vậy nghiệm của phơng trình (1) là: x
1,2
= 3
4 - Ph ơng pháp hệ ph ơng trình:
Ví dụ : Giải phơng trình.
x
2
- x -1000
x80001+
= 1000 (1)
Giải
Đặt:
x80001+
+1 = 2y . Kết hợp với (1) ta đợc hệ: x
2
- x= 2000 y
y
2
- y= 2000 x (2)
Từ hệ (2) suy ra : (x- y) ( x+ y-1+ 2000 ) = 0 (3)
Từ hệ (2) dễ thấy : 2001 (x +y) = x
2
+ y
2
> 0 => x + y + 1999 > 0
Vậy từ (3) ta có y = x. Thay vào (1) ta đợc :



>+
+
122
11
2
2
x
x
Vậy VT là:
21
22
+++ xx
> 2 , còn VP = 2
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm
Ví dụ 3: Giải phơng trình.

23151 = xxx
Giải
Điều kiện: x 1
Với điều kiện này thì x < 5x do đó
151151 < xxxx
<0
VT luôn âm còn VP không âm nên phơng trình đã cho vô nghiệm
b ) Sử dụng tích đối nghịch ở hai vế.
Ví dụ 1 : Giải phơng trình.
xx + 53
= x
2

Giải phơng trình (2):
x
2
- 8x + 16 = 0 (x - 4)
2
= 0 x = 4
Thay x = 4 vào (3) thoả mãn,đồng thời x = 4 thoả mãn điều kiện (*).
Vậy nghiệm của phơng trình (1) là x = 4.
Ví dụ 2 : Giải phơng trình.

14105763
22
+++++ xxxx
= 4 - 2 x - x
2
Giải
Ta viết phơng trình dới dạng:
=+++++ 9)1(54)1(3
22
xx
5 - (x + 1)
2
Vì 3(x + 1)
2
0 và 5(x + 1)
2
0 nên
44)1(3
2
++x

Vậy vế trái lớn hơn 7 x > 8 không là nghiệm của phơng trình (1).
Vậy x = 8 là nghiệm của phơng trình (1).
Ví dụ 2: Giải phơng trình.

12
3
++ xx
= 3 (1).
Giải
Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phơng trình.
17

VT

5
Với x > 3 thì
12
3
>x
;
21 >+x
nên vế trái của (1) lớn hơn 3.
Với - 1 x < 3 thì
12
3
<x
;
21 <+x
nên vế trái (1) nhỏ hơn 3.
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phơng trình (1).

=

+

x
x
x
x
(1)
Giải
Điều kiện : x >
3
2
(*)
Ta có bất đẳng thức Côsi với a, b > 0. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Với điều kiện (*) thì (1) x =
23 x
x
2
- 3x + 2 = 0
<=> (x-1)(x-2) = 0
x = 1 hoặc x = 2 thoả mãn điều kiện (*).
Vậy nghiệm của phơng trình là x = 2 hoặc 1.
e. Sử dụng tính chất của luỹ thừa bậc chẵn, của căn bậc hai
Ví dụ : Tìm x, y, z

R trong phơng trình
x + y + z + 4 = 2
2x
+ 4

- 1)
2
+(
3y
- 2)
2
+ (
5z
-3)
2
= 0 (2)
18
Vì A
2
(x)

0
x
nên phơng trình (2)







=
=
=


y
x
z
y
x
Vậy phơng trình (1) có nghiệm (x;y;z) = (3;7;14)
6 - Ph ơng trình vô tỉ có biện luận:
Ví dụ 1 : Tìm giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất.

xx + 95
= m (1).
Giải
ĐKXĐ : 5
9 x
Điều kiện cần
Giả sử a là nghiệm duy nhất của (1)
Khi đó ta có :
aa + 95
= m (2).

)14(95)14( aa +
= m (3).
(3) chứng tỏ 14 - a cũng là nghiệm của (1)
Để (1) có nghiệm duy nhất phải có a = 14 - a a = 7.
Khi đó m = + = 2.
Điều kiện đủ
Giải phơng trình :
xx + 95
= 2 (4).
Cách 1

19

y = z =

x = 7
Thờng học sinh hay mắc phải sai lầm khi giải phơng trình vô tỉ mà căn là bậc
chẵn là:
1 - Quên không tìm ĐKXĐ khi giải.
2 - Không đặt điều kiện khi ta biến đổi tơng đơng: Khi biến đổi ta thờng nhận
đợc phơng trình có thể tơng đơng, có thể không tơng đơng. Nếu biến đổi phơng trình
(1) ta đợc một phơng trình (2) nhng cha chắc phơng trình (2) đã tơng đơng với phơng
trình (1) nên khi giải, học sinh thờng quên tìm điều kiện của phơng trình (2) để tơng
đơng với phơng trình (1) hoặc ngộ nhận phơng trình (2) luôn tơng đơng với phơng
trình (1)
Ví dụ 1: Giải phơng trình.

622 + xx
= 2 (1)
Học sinh giải
Phơng trình (1) < x + 2 = 4 + 4
62 x
+ 2x - 6
4
62 x
= 4 - x (3)
Ta lại bình phơng hai vế của phơng trình ta đợc phơng trình:
16 (2x - 6) = 16 - 8x + x
2
<=> 32x - 96 = 16 - 8x + x
2

1)1)(1( ++ xxx
= x + 1
20

x

1
Vì x 1 nên
1+x
> 0 chia hai vế cho
1+x
ta có:
1x
- 1 =
1+x
Vì với x 1 thì
1x
<
1+x
nên
1x
- 1 <
1+x
phơng trình vô nghiệm.
*Sai lầm khi giải hệ:
x
2
- 1 0 AB 0 A 0
x + 1 0 A 0 B 0
ở lời giải trên thiếu x = - 1 và đó chính là nghiệm duy nhất của phơng trình:

+
10+x
=
2+x
+
5
+
x
8 ) 1 +3
16x
= 3
3+x

10
12 + xx
+
12 xx
=
2
3+x
11)
x1
+
23
2
+ xx
+ (x - 2)
2
1


ơng trình vô tỉ khác nhau, góp phần nhỏ bé trong sự phát triển trí tuệ, tính cẩn thận,
khoa học, năng lực nhận xét, phân tích, phán đoán tổng hợp kiến thức Tuy nhiên
không phải đối với tất cả các đối tợng học sinh chúng ta đều truyền tải các nội dung
trên mà cần xác định đúng đối tợng để cung cấp kiến thức cơ bản phù hợp với trình độ
và quỹ thời gian của học sinh.
Qua việc dạy chuyên đề về phơng trình vô tỉ đối với học sinh nói chung và đội
tuyển học sinh giỏi nói riêng, sau khi trắc nghiệm ở học sinh tôi đã thu đợc một số kết
quả dới đây.
- Học sinh không ngại khi gặp dạng toán giải phơng trình vô tỉ.
-Làm tốt dạng tìm ĐKXĐ của biểu thức có chứa CBH.
-Kĩ năng biến đổi tốt hơn, suy luận của các em chặt chẽ hơn bớc đầu đã có sự
sáng tạo khi suy luận.
-Khả năng phân dạng của các em rất tốt khi GV đa ra ví dụ .
- Một số học sinh khi giải đã trả lời thấy hứng thú hơn khi giải phơng trình đặc
biệt là phơng trình vô tỉ.
Qua việc kiểm tra đánh giá chất lợng đại trà sau 3 lần kiểm tra tôi đã thu đợc một
số kết quả cụ thể nh sau:
KTra Dới 5 điểm 5 - 6 điểm 7-<8 điểm 8 - 10 điểm 5 - 10 điểm
Lần
Số l-
ợng
%
Số l-
ợng
%
Số l-
ợng
%
Số l-
ợng

khỏi sai sót trong cách trình bày, cũng nh hệ thống các dạng bài tập đa ra còn hạn chế, cha
đầy đủ, cha khoa học. Tôi rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè đồng
nghiệp đểôsangs kiến kinh nghiệm đợc hoàn thiện hơn; góp phần nâng cao chất lợng giảng
dạy và học tập của giáo viên và học sinh.
điều kiện áp dụng
Nh tôi đã trình bày ở trên bản kinh nghiệm này đợc áp dụng trong việc giảng
dạy các chuyên đề trong các trờng học THCS hoặc sử dụng để bồi dỡng học sinh giỏi
nhằm nâng cao vốn kiến thức cho các đội tuyển học sinh giỏi lớp 9, là cơ sở vững
23
chắc cho các em học tốt hơn khi học cấp III trong bộ môn toán, đặc biệt là toán giải
phơng trình vô tỉ.
Dạng toán giải phơng trình vô tỉ mà tôi đề cập ở trên cũng có những dạng đã đợc
sử dụng rộng rãi song phần nào giúp học sinh lớp 9 và giáo viên dạy toán 9 nâng cao
chất lợng dạy và học của mình.
Sáng kiến kinh nghiệm này còn để ngỏ và còn tiếp tục khai thác nên nội dung
còn sơ sài còn nhiều vấn đề cha mở rộng, đi sâu.
ii - kiến nghị
Nh tôi đã viết ở trên, trong sáng kiến kinh nghiệm này chỉ nhằm một mục tiêu
đơn giản là giúp cho học sinh trong việc giải toán "Phơng trình vô tỉ", để học sinh có
thêm những phơng pháp giải cụ thể, dễ nhớ, có hiệu quả.
Qua sáng kiến kinh nghiệm cho thấy bản thân tôi và các bạn đồng nghiệp đều
thấy đợc mọi vấn đề dễ khó đều có hớng giải quyết tốt nếu nh ngời giáo viên giúp học
sinh biết đơn giản hoá các vấn đề phức tạp thành đơn giản hơn và quen thuộc hơn.
Sau thực tế giảng dạy tôi xin lu ý với các bạn đồng nghiệp khi vận dụng sáng
kiến kinh nghiệm trên cần:
- Dạy cho học sinh hiểu chắc chắn các khái niệm về phơng trình, đặc biệt là
những khái niệm đơn giản và rất quan trọng nh các phép biến đổi tơng đơng phơng
trình, các hằng đẳng thức quan trọng đặc biệt là các công thức có chứa dấu căn.
- Lựa chọn phơng pháp giải phù hợp đối với từng dạng phơng trình để có lời giải
ngắn gọn và hiệu quả.