HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ -TÍCH PHÂN-LƯỢNG GIÁC 2001 Phương pháp điều kiện cần :

1/ ĐH Cần Thơ 2001 :
Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất :

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−++=++
=++
a35xx5y
ay3x
22
22/ Y Dược Hà Nội 2001 :
Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++

+=+
=−+−−+
1xyyx
1)1yx(K1yx
22

a/ Giải khi K = 0
b/ Tìm K để hệ có nghiệm duy nhất

4/ ĐHSP – ĐH Luật A HCM 2001
Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất

⎩
⎨
⎧
+=+
+=+
ax)1y(
ay)1x(
2
2

Phương pháp hình học và đố thử :

1/ ĐH A – 2001
Trong các nghiệm (x,y) của BPT . Hãy tìm nghiệm có tổng x +
3y nhỏ nhất.
08y15x5y5x5
22
≤+−−+

2x3x
5x4x2
3xx
log
2
2
2
3
++=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
++

Nhận xét : a = x
2
+ x + 3 > 0 ∀x
b = 2x
2
+ 4x + 5 > 0 ∀x
b – a = x
2
+ 3x + 2
PT ⇔

2
1

Khi đó
11x4 ≥− và
01x4
2
≥−11x41x4
2
≥−+−⇒

5/ ĐHQG TP.HCM 2001 :
a/ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất :
f(x) = 2x
3
+ 3x
2
– 12x trên [−3,3]
b/ Tìm x ∈ [−3,3] của phương trình :
2x
3
+ 3x
2
– 12x = 5 – 3.2
x
–12.2
−x

Giải BPT
)8ex(xe8x
1x21x4
−>−
−−
Hướng dẫn : BPT ⇔
0)ex)(8x(
1x3
>−+
−
2

Đánh giá , ∀x≠1
0ex
1x
<−
−
BPT ⇔ ⇔ x < −2
08x
3
<+

Phương pháp đoán nghiệm và chứng minh duy nhất :

1/ HVBCVT 2001
Giải phương trình :
5
3x
2x31x4
+

Phương pháp ẩn dụ :

1/ ĐH CSND :
Giải PT :
0xlog.40xlog.14xlog
3
x16
2
2
x
=+−2/ ĐH Công Đoàn :

)32(logx)44(log
1x
2
1
x
2
−−=+
+3/ ĐH Y Dược Hà Nội :
Giải BPT :
06xlog)5x2(xlog)1x(
2
1

2
3x2
2
7x3
=+++++
++
Hướng dẫn : PT ⇔
4)7x3)(3x2(log)3x2(log
3x2
2
2x3
=++++
++
Đặt t =
)3x2(log
7x3
+
+

7/ ĐH Mở 2001 :
Giải PT :
22
x4x32x4x −+=−+

Hướng dẫn : đặt t =
2
x4x −+
PT thành : 3t
2
– 2t – 8 = 0

x2
x
2
=
++
+12/ ĐH Phòng cháy chữa cháy 2001 :
Tìm m để BPT sau nghiệm đúng với ∀x ≤ 0; x ≥ 1

02510)1m(4.m
222
xx1xxxx
>−++
−+−−

13/ ĐHDL Phương Đông 2001 :
Giải PT :
1x3)23.49(log
x1x
3
+=−−
+

14/ HV Ngân Hàng A 2001 :
Giải PT :
1x)3x(1x3x
22
++=++

2
33
−
=
+
+
⇒
(xy ≠ −1)

06)xy(19)xy(19)xy(6
23
=++⇔

17/ Viện ĐH Mở Hà Nội 2001 :
Giải BPT :

02)5x(log4)5x(log6)5x(log3)5x(log
25
25
1
55
2
2
1
≤+−−−+−+−

18/ ĐH Y Hà Nội 2001 :
Giải BPT :
15x106x5xx2
22

3/ ĐH An Giang :
a/ Giải BPT :
1x2log
2
x
≥
b/
3x22x3xx
2
x
2
2
−−+−<−−

Hướng dẫn câu b : điều kiện x≥ 3 → x
2
– 2 > 0
• Xét
VN7x303x2 ⇒≤≤⇔≥−−

• Xét
7x03x2 >⇔<−−
Ap dụng ⏐A⏐< B

4/ HV Công Nghệ BCVT 2001 :
Giải PT :
5
3x
2x31x4
+

+

7/ ĐH Kiến Trúc Hà Nội 2001 :
Giải BPT :
1x1x3x23x4x
22
−≥+−−+−

Hướng dẫn : BPT ⇔
1x)1x2)(1x()3x)(1x( −≥−−−−−

8/ Kinh Tế Quốc Dân 2001 :

)1x(4)4x3)(5x( −>++

9/ ĐH Ngoại Thương CS2 – 2001 :
Giải BPT :
xx11x ≥−−+
Hướng dẫn : nhân 2 vế BPT cho
x1x1 −++

5

10/ ĐH Nông Nghiệp 1A 2001 :
Giải và biện luận BPT : 2log)x(loglog2)(loglog2
aa
a
x
a
a

2
5
2
4
−−=−+−−13/ ĐH Tài Chính Kế Toán Hà Nội 2001 :
Giải BPT :
1
3
1
]3)2
2
x
([loglog
1x
2
log
2
3
1
2
1
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

logxlogx2logx2log
2
2x2
2
2x2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++

Hướng dẫn : PT ⇔
2)1x(log)1x(log
2
2
2
2
=−++17/ ĐH Y Dược HCM 2001 :
a/ Giải BPT :
4x5x23x4x2x3x
222
+−≥+−++−

)2(6yx4x
)1(9)yx2)(2x(x
2
Hướng dẫn : PT (2) ⇔ (x
2
+ 2x) + (2x+y) = 6

2/ ĐH Đà Nẵng 2001 :
6

Giải hệ
⎩
⎨
⎧
=−
=−−
6xyyx
1yxyx
22

3/ ĐH Đông Đô :
Giải hệ
⎩
⎨
⎧
=−++
=−++
47x9y
47y9x


⎧
=−
=−++
)2(ayx
)1(1)yx(log)yx(log
22
a2
Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất và giải hệ trong trường hợp đó.
Hướng dẫn : PT (1) ⇔
()
)alog1(alog)yx(logalog1
2222
−
=
−
−

6/ ĐH Kinh Tế HCM 2001 :
Cho hệ
⎩
⎨
⎧
+=−
=−
m26xyx
12yxy
2
2
a/ Giải hệ khi m = 2
b/ Định m để hệ có nghiệm.

⎩
⎨
⎧
=+
−=−
)2(1yx
)1(y3yx3x
b6
33
Hướng dẫn : từ (1) → |x| ≤ 1, |y| ≤ 1
Đặt f(t) = t
3
– 3t ; |t| ≤ 1
f'(t) = 3t
2
– 3 ≤ 0 , ∀t ∈ [−1, 1]
→ f(t) giải / [−1, 1] nên từ (1) ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x = y

10/ ĐH Phòng cháy chũa cháy 2001 :
7

Giải hệ
⎩
⎨
⎧
=+++
=+
43y3x
2yx


⎨
⎧
+=+
=+
)2(yxyx
)1(1yx
4499
55
Hướng dẫn : hệ (2) ⇔ x
4
(x
5
– 1) + y
4
(y
5
– 1) = 0
⇔ -x
4
y
5
– y
4
x
5
= 0

⇔ x
4
y

15/ ĐH Thái Nguyên :
Giải hệ
⎩
⎨
⎧
=+
=+
x21y
y21x
3
3

16/ ĐH Thủy Lợi 2001 :
Giải hệ
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+
=+
2
2
y
3
xy2
x
3


Bất đẳng thức :

1/ ĐH An Giang (2001)
Cho a ≥ 0, b ≥ 0, a + b = 1. CMR :
a/ a
2
+ b
2
≥
2
1
HD : a/ BCS
b/ a
3
+ b
3
≥
4
1
b/ cosi hoặc hàm số

2/ CM : ∀t ∈ [−1, 1] ta có :

22
t2t11t1t1 −≥−+≥−++

Giải PT :
)1x4x2()1x(2xx21xx21
2422

1
2
3
b
lnaln
cln
alncln
bln
cln
b
ln
aln
>≥
+
+
+
+
+4/ ĐHDL Phương Đông 2001 :
Cho a + b + c = 0. CM :

abc
3
cba
333
=
++


c >−>−⇒>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⇒<

Ap dụng côsi ⇒
8
1
c
2
3
b
2
3
a
2
3
≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟


9

Phương trình có n nghiệm :

1/ Tìm m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt :
⎩
⎨
⎧
=−+−
>−−+
+−
52logm)5x2x(log
4log)1x(log)1x(log
5x2x
2
2
3
33
22/ ĐH Thái Nguyên 2001
Tìm m để PT : x
4
– 2mx
2
– x + m
2
– m = 0 có 4 nghiệm phân biệt

Tích phân :

1/ ĐHBK Hà Nội 2001
2
x4y −−= và x
2
+ 3y = 0 Tính S
hp
giới hạn bởi

2/ ĐHCSNG 2001 :
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
==
==
4
x1
x
y,0y
2
1
x,0x
Tính S
hp

==
2
0
3
dx.
)xsinx(cos
xcos4xsin5
JI
→
∫∫
ππ
π
−
=
+
+
=
2
0
2
0
2
3
)
4
x(cos2
dx
)xsinx(cos
xcosxsin
I

2
x
)xa(
xa
I
(a, b > 0)
HD :
∫∫
+
−
+
=
b
a
b
a
22
2
2
)xa(
dxx
2
xa
dx
I

22
)xa(
xdx
+

2
0
3
dxxsin
Tính I =
HD : đặt t =
x
3
3
tx =⇔

∫
π
=
2
0
2
dt.tsin.t.3I →

9/ ĐH KTQD 2001
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

π
π
−
+
+
=
4
4
x
66
dx
16
xcosxsin
I
Tính
HD :
∫∫
=
+
−
x
0
x
x
t
dt)t(f
1a
dt)t(f
với a> 0, f là hàm chẵn
∫∫

dx
1xxx
x1
I

b/ Tính
∫
π
−=
2
0
dx.xsin).xcos1(J (x = 0,1,2)

13/ ĐH Ngoại Ngữ HN 2001
Tính
∫

−−=
1
0
2
dx).xx1(I

14/ ĐH Ngoại Ngữ 2001 A
Tính
∫
π
+
=
4

+
Tìm nghiệm hàm f(x) =
HD :
)xsin1(xsin
xsin.xcos
)xsin1(xsin
xcos
xsin1
gxcot
)x(f
9999
+
=
+
=
+
=

xsin1
xsin.xcos
xsin
xsin.xcos
9
8
9
8
+
−=

∫∫ ∫

2
0
5
2
0
6
dx.x6sin.xsin.xcosdx.x6cos.xcos b/ CM :
c/ Tính
∫
π
2
0
5
dx.x7cos.xcos
HD : b/ dùng tích phân từng phần u = cos
6
x, dv = cos6x.dx ⇒ đpcm
c/
∫∫
ππ
+=
2
0
5
2
0
5
dx)xx6cos(.xcosdx.x7cos.xcos
=
∫

π
π
−
=
2
4
4
222
dx
xsin
)xsin1(xcos
I

∫
π
π
+−
=
2
4
4
24222
dx
xsin
xcos.xsinxsin.xcos2xcos
I

∫∫∫
π
π

+−++
−
dx
)1x3x)(1x5x(
1x
22
đồng nhất

19/ ĐHQC HCM 2001
∫
π
+
=
6
0
2
dx
xcos3xsin
xsin
I
Đặt
∫
π
+
=
6
0
2
dx
xcos3xsin


13