Sở giáo dục và đào tạo
phú thọ
kì thi tuyển sinh lớp 10
THPT chuyên hùng vơng
năm học 2009-2010
Môn: Toán (Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
(Đề thi có 01 trang)
Cõu 1(2 im). Cho h phng trỡnh:
2 (1)
5 (2)
mx y
x my
=


+ =

(m l tham s)
a) Chng t h ó cho luụn cú nghim duy nht vi mi m.
b) Tỡm giỏ tr ca m h phng trỡnh trờn cú nghim (x, y) tho món x + y = 5.
Cõu 2(1 im). Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng
, ,x y z
tha món
3 3 2
x y z
=
trong ú
y
l s nguyờn t,
( ) ( )

ABC
sao cho
ã
ã
ã
ã
;BAP PBC CAP PCB= =
. ng thng
AP
ct cnh
BC
ti
.M
a) Chng minh rng
M
l trung im ca cnh
BC
.
b) Chng minh rng t giỏc
BHPC
ni tip trong mt ng trũn
( )

, trong ú
H
l
trc tõm tam giỏc
ABC
.
c) ng trung trc ca on thng

Chỳ ý: Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
H tờn thớ sinh SBD
Đề chính thức
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN
(Chuyªn To¸n)
Câu Ý Nội dung Điểm
1
a)
(1đ)
Từ (1)
⇒
y = mx -2 (3)
0.25
Thế vào (2) được x =
2
2 5
;
1
m
m
m
+
∀
+
0.25
Từ đó tính được y =
2
5 2

=

; kết luận
0.5
2 (1đ)
Phương trình đã cho tương đương với
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
3x y x xy y z x y x y xy z
− + + = ⇔ − − + =
(1)
Do
y
là số nguyên tố,
( ) ( )
;3 ; 1z z y
= =
nên từ (1),
⇒
( ) ( )
; 1, ;3 1x y x y
= − =
(2)
0.25
Từ (1),(2) suy ra
2 2 2 2

, nhưng
2
1 3m m
/
+ ∀M
, vô lý
•
2 2 3 , 2 2n x y y n x y y
+ + = − − =
. Suy ra
2 4 2 0y x y x
= + ⇒ =
, loại
0.25
•
2
2 2 ,2 2 3n x y y n x y+ + = − − =
. Suy ra
( )
( )
2 2
3 2 2 2 2 3y x y m y
− = + = +
do
đó
( )
2
2
3 4 12y m
− − =

0.5
( ) ( )
2 2
1 2
3
1 2
1 2
2
x x
x x x
x x
+ = +

⇔ + = + ⇔ ⇔ = −

+ = − −

0.5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
3
2
x
= −
0.25
b)
(1,5đ)
Với x > 0 ta có:
4 4
4 2 .4 8x x
x x

y
y
y
x y

=


=

 
⇔ = ⇔
 
=
 


+ =


Giá trị nhỏ nhất của A là 5 đạt được khi x = 1; y =
1
4
0.5
4
a)
(1đ)
A
Q
P

b)
(1đ)
Gọi
,E F
là giao điểm của
,BH CH
với các cạnh
,AC AB
. Khi đó do
· ·
0
90AEH AFH
= =
nên tứ giác
AEHF
nội tiếp,

0.25
suy ra
·
·
·
0
180BHC EHF BAC
= = −
(1) 0.25
Từ cách xác định điểm
P
suy ra
· ·

.NMX MPN
=
Khi đó
2
NX MX
NP MP
 
=
 ÷
 
0.25
+ Tiếp tuyến tại
A
của đường tròn
( )O
cắt
BC
tại
1
.Q
Do
·
·
1 1
Q AB ACQ=
, nên
2
1
1
Q B AB

 ÷
 
(4)
0.25
+ Theo kết quả phần 1,
M
là trung điểm
BC
suy ra
· ·
·
·
sin
sin sin
sin
ABM ACM
AB CAP
S S AB BAP AC CAP
AC
BAP
= ⇒ = ⇒ =
(5)
cũng vậy
·
·
·
·
·
sin sin
sin sin

Q A Q P=
. Suy ra
1
Q Q≡
. Điều phải chứng minh.
0.25
5 (1đ)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4a b b c c a a b c
+ + + ≥
0.25
Đặt
, ,bc x ca y ab z
= = =
. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
2 2 2
4x y z xyz+ + + ≥
với
, , 0: 3x y z x y z
≥ + + =
0.25
Không giảm tổng quát, coi
( )
min , ,x x y z
=
, thế thì
1x
≤
và

= − + ≥
Suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 1x y z a b c
= = = ⇔ = = =
0.5
Ghi chú: Nếu học sinh giải theo cách khác đúng thì cho điểm tối đa.