1
Chương 3
Chương 3
Nội suy và xấp xỉ
Nội suy và xấp xỉ
hàm số
hàm số
2
3.1. Số gia hữu hạn
3.1. Số gia hữu hạn
Cho giá trị của hàm số ƒ(x) tại các điểm mốc
Là …,
1. Số gia hữu hạn tiến
- Số gia hữu hạn tiến bậc 1 của hàm ƒ(x) tại điểm x là

mmmiihxx
i
, ,1,0, ,,,
0
−−=+=
),(
m
xf
−
),(
1+−m
xf
),(
m
xf
)()()( xfhxfxf

+−+−+=
∆−+∆=∆
−−
4
Hoặc
là một số (hệ số binôm)
))(()1(
)1.3()()1()(
0
0
hikxf
i
k
ihxf
i
k
xf
k
i
i
k
i
ikk
−+







=








k
,
1
k
k
=








, ,
!2
)1(
2
−
=


Số gia hữu hạn lùi bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm ƒ(x) tại
điểm x
………………………………………………………………
)2()(2)(
)()()(
)()()(
2
hxfhxfxf
hxfxfxf
hxfxfxf
−+−−=
−∇−∇=∇
−−=∇
)()1(
)2.3(),)(()1()(
0
0
ihxf
i
k
hikxf
i
k
xf
k
i
i
k
i
ikk

)()(2)(
)2/()2/()(
)2/()2/()(
2
hxfxfhxf
hxfhxfxf
hxfhxfxf
−+−+=
−−+=
−−+=
δδδ
δ
)4.3()
2
()()(
)3.3(),)2/(()1()(
0
h
k
xfkhxfxf
hikxf
i
k
xf
kkk
k
i
ikk
+=+∇=∆⇒
−+

Thì các mốc được thay thế
bằng u = -m , -m+1, … , 0 , 1 , … , m
ii
xxh
h
xx
u −=
−
=
+1
0
,
11
Nội suy Gregory-Newton tiến
Nội suy Gregory-Newton tiến
Ta dùng một loại đa thức được gọi là đa thức giai
thừa
),1) (2)(1(

),1(
,
,1
][
]2[
]1[
]0[
+−−−=
−=
=
=

ukku
kk
kk
=∆
−=∆
−
13
14
15
•
Nếu |ƒ
(N+1)
(x)|<M
1
, M
1
là một số dương đủ nhỏ thì công thức nội
suy Gregory-Newton tiến với sai số E
N
là
∀
∆
i
y
0
= ∆
i
P
N
(x

∆
=
+++
=
∑
N
fuh
E
E
i
yu
y
NNN
N
N
N
i
ii
ξ
0
0
3
0
2
00
!
)1) (2)(1(

!3
)2)(1(

,1
][
]2[
]1[
]0[
−+++=
+=
=
=
kuuuuu
uuu
uu
u
k
17
Khi đó, theo định nghĩa (3.2), số gia hữu hạn lui bậc 1 của u
[k]
Tương tự
Ta nhận thấy
u
1
= u
[1]
,
u
2
= u(u+1)-u = u
[2]
- u
[1]

]2[][2
ku
ukku
kk
kk
=∇
−=∇
−
18
]0[]1[
1
]1[
1
][
0
)( ucucucucxP
NN
NN
N
++++=
−
−
NNN
NN
N
cccccxP =++++=
−
− ]0[]1[
1
]1[

2
!)(

12 )1)(2()1()(
cNxP
cucNNucNNxP
N
N
N
NN
N
=∇
××++−−+−=∇
−
−−
Tức là u
k
có thể biểu diễn thành một đa thức của các đa thức
giai thừa u
[i]
, i = 1, 2, …, k và do
P
N
(x) = P
N
(x
0
+ uh)
Là một đa thức bậc N của u
[i]


!2
)(
,)(
,)(
c
N
xP
c
xP
cxP
cxP
N
N
N
N
NN
NN
=
∇
=
∇
=∇
=
−
−
∑
=
∇
=

!
)(
)(
)()(
!
)(
)(
20
•
Nếu |ƒ
(N+1)
(x)|<M
1
, M
1
là một số dương đủ nhỏ thì công thức nội
suy Gregory-Newton lui với sai số E
N
là
∀
∇
i
y
0
= ∇
i
P
N
(x
0

=
+++
=
∑
N
fuh
E
E
i
yu
y
NNN
N
N
N
i
ii
ξ
N
N
NNNNN
y
N
Npppp
y
ppp
y
pp
ypyxP
∇

Nếu số hạng cuối là thì sai số là

!2
)1(
2)!12(
)1(

!6
)2(
2!5
)2(
!4
)1(
2!3
)1(
!22
0
2
]2[
1
12
]12[
0
6
]6[
1
5
]5[
0
4



+
+
+
+








+
+
+
+








++=
−
−
y

k
ξ
)!2(
)()1(
)2(2]2[
2
k
fhku
E
kkk
k
ξ
−+
=
2)!12(
)1(
1
12
]12[
y
k
ku
k
k
−
−
+
−+
δ
22

]4[
2/1
3
]3[
0
2
]2[
2/1
]1[
0
]0[
+








+
+
+
+
++






y
u
y
u
y
u
y
u
yuyuy
k
k
k
k
δδδδ
δδδ
2/1
12
]12[
)!12(
)(
−
+
+
+
+
y
k
ku
k
k

)12(12]12[
12
+
−+
=
+++
+
k
fhku
E
kkk
k
ξ
23
2. Nội suy với mốc không cách đều
Nội suy Lagrange
Trên đoạn a≤x≤b cho một lưới các điểm chia (điểm nút) x
i
, i = 0,
1, 2, …, n:
a ≤ x
0
, x
1
, x
2
, …, x
n
≤ b
tại các nút x