Chơng 3
Hàm số và giới hạn
3.1 Hàm số
1. Các định nghĩa
a. Định nghĩa hàm số
Cho tập XR, ánh xạ: f: XR đợc gọi là một hàm số xác định trên X, ký hiệu: y=f(x).
- X gọi là miền xác định của f, f(X)={y=f(x)R: xX} gọi là miền giá trị của f.
- Tập {(x,f(x)): xX}R
2
gọi là đồ thị của f(x).
Nh vậy hàm y=f(x), xX là quy luật f cho ứng mỗi phần tử xX với một phần tử xác định yR.
Khi đó x gọi là đối số còn y gọi là giá trị của hàm số.
Chú ý: Hàm số không phụ thuộc vào ký hiệu của đối số mà chỉ phụ thuộc quy luật f để xác định
giá trị của hàm số.
b. Một số dáng điệu đơn giản của hàm số
Cho hàm f(x) xác định trên tập X.
(i) Hàm đơn điệu
Cho tập VX, khi đó:
+ f(x) đợc gọi là hàm đơn điệu tăng (đồng biến) trên V nếu: x
1
,x
2
V: x
1
<x
2

f(x
1
)<f(x
2

x
1
,x
2
V: x
1
<x
2
f(x
1
)f(x
2
)
Tất cả các hàm đơn điệu tăng, giảm, đơn điệu không tăng hay không giảm trên V đợc gọi chung là
các hàm đơn điệu trên V. Nếu f(x) đơn điệu tăng hay giảm trên V, ta nói f(x) đơn điệu ngặt, hay đơn
điệu thực sự trên V và khi đó chúng là các song ánh xác định trên V.
Nếu X đợc chia thành những tập con V mà trên đó f(x) là hàm đơn điệu thì ta nói f(x) đơn điệu
từng khúc trên X.
Ví dụ 3.1:
a. y=ln(1+x) là hàm đơn điệu tăng trên X=(-1,+).
b. y=sin x là hàm đơn điệu từng khúc trên R, nó đơn điệu tăng trên V=







2
,

y=cos4x+2sin3x là hàm tuần hoàn với chu kỳ T=2
(vi) Hàm bị chặn
+ f(x) đợc gọi là bị chặn trên nếu: M, f(x)M, xX.
+ f(x) đợc gọi là bị chặn dới nếu: M, f(x) M, xX.
+ f(x) đợc gọi là bị chặn nếu: M>0, f(x)M, xX.
c. Hàm hợp
Cho hàm số y=f(x) với miền xác định X và miền giá trị Y=f(X) và hàm số z=g(y) với miền xác
định Y, nh vậy:
ZYX
gf

. Khi đó hàm:
Trang 1
h(x)= (gof)(x)=g(f(x))
đợc gọi là hàm hợp của hai hàm f và g. ở đây x là biến độc lập còn y là biến phụ thuộc x.
Ví dụ 3.4: h(x)=
xx
e
sin
2


là hàm hợp của hàm g(y)=e
y
và f(x)=x
2
-sinx
2. Các phơng pháp cho hàm số
a. Hàm số cho dới dạng bảng số
Nếu miền xác định X của hàm y=f(x) có hữu hạn giá trị: x

Ví dụ 3.6: y=
x
x 21
2
+
Một hàm có thể cho bằng nhiều biểu thức trong những khoảng khác nhau.
Ví dụ 3.7: y=






<
<
xx
x
xxx
3
301
0sin.

Ta quy ớc rằng nếu hàm cho bằng biểu thức thì miền xác định của nó tà tập các điểm làm cho biểu
thức có nghĩa.
c. Hàm ẩn
Nếu từ biểu thức:
(x,y)=0
ứng với mỗi xX, xác định đợc y tơng ứng để biểu thức thoả mãn thì ta nói biểu thức xác định một
hàm ẩn trên X.
Ví dụ 3.8: x

Ví dụ 3.9:



=
=
)sin(
)cos(
tby
tax
t[0,2]
là phơng trình của elip:
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
3. Hàm ngợc
a. Định nghĩa
Cho hàm y=f(x), nếu tồn tại hàm z=g(y) mà tích: (gof)(x)=g(f(x))=x
thì g(y) đợc gọi là hàm ngợc của f(x), ký hiệu g(y)=f
-1
(y).
Vì hàm số không phụ thuộc ký hiệu của đối số nên nếu dùng x là ký hiệu đối số ta có thể viết:
y=g(x)=f





2
,
2

là một song ánh từ







2
,
2

lên [-1,1] nên nó có hàm ngợc:
x=arcsin y
Với quy ớc x là đối số, y là hàm số thì hàm ngợc của y=sinx là: y=arcsin x
Hàm y=arcsin x có miền xác định x[-1,1] và miền giá trị y







y=arcsinx Hình 2 y=arccosx
Hàm y=arccos x có các tính chất:
1. arccos(-x)= - arccosx
2. cos(arccosx)= arccos(cosx)=x
3. Từ cosx= x= arccos +2k kZ
4. sin(arccosx)=
2
1 x
5. Từ sin x=cos(
x
2

) suy ra:
arcsinx+arccosx=
2

(iii) Hàm y=arctg x
Trang 3
Hàm y=tg x, với x







2
,
2



2
,
2

. Đồ thị của hàm
y=arctg x và y=tg x đối xứng qua đờng phân giác của góc phần t thứ nhất và có hai đờng tiện cận
ngang là: y=
2

và y=
2


.
Hàm y=arctg x có các tính chất:
1. arctg(-x)=- arctgx
2. tg(arctg x)= arctg(tg x)=x
3. Từ tg x= x=arctg +k kZ
(iv) Hàm y=arccotg x
Hàm y=cotg x , với x(0,) là một song ánh từ (0,) lên (-

,+

) nên nó có hàm ngợc:
x=arccotg y . Với quy ớc x là đối số, y là hàm số thì hàm ngợc của y=cotg x là:
y=arccotg x
Hàm y=arccotg x có miền xác định x(-

,+

ee
chx
shx


+

=
, cthx=
xx
xx
ee
ee
shx
chx



+
=
tơng ứng gọi là hàm sinhypebôn, coshypebôn, tanghypebôn và côtanghypebôn
Các hàm trên có các công thức biến đổi rất giống với các hàm lợng giác:
ch
2
x-sh
2
x=1
sh2x=2shx.chx
ch2x=ch
2

1ln
2
++= xxy
Tơng tự hàm y=chx là một song ánh từ [0,+) lên [1,+) nên nó có hàm ngợc và hàm ngợc của nó
là:
(
)
1ln
2
+= xxy
4. Hàm sơ cấp
a. Định nghĩa
Định nghĩa 1: (Hàm sơ cấp cơ bản) Các hàm sau đợc gọi là các hàm sơ cấp cơ bản:
+ Hàm luỹ thừa x

.
+ Hàm mũ a
x
(a>0).
+ Hàm lôgarit log
a
x (a>0).
+ Các hàm lợng giác: sin x, cos x, tg x, cotg x.
+ Các hàm lợng giác ngợc: arcsin x, arccos x, arctg x, arccotg x.
Định nghĩa 2: (Hàm sơ cấp)
Hàm sơ cấp là các hàm đợc lập từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi các phép tính tổng, hiệu, tích, thơng
và phép lấy hàm hợp của các hàm sơ cấp cơ bản.
Ví dụ 3.11:
+ Các hàm: y=arctg(x+
)1


>
=
<
01
00
01
xkhi
xkhi
xkhi
không là các hàm sơ cấp. Hàm sgn x gọi là hàm dấu của x.
3.2 Giới hạn của hàm số
1. Các định nghĩa
a. Giới hạn hàm số khi x dần tới x
0
hữu hạn
Định nghĩa 3: Cho hàm f(x) xác định tại lân cận u(x
0
), không cần xác định tại x
0
. Ta nói f(x) có
giới hạn L ( hữu hạn) trong quá trình xx
0
, ký hiệu:

Lxf
xx
=

)(lim

xx
xf
n
L
Ví dụ 3.12: Chứng tỏ
0
1
coslim
0
=

x
x
x
.
Hiển nhiên f(x)=xcos
x
1
không xác định tại x
0
=0. Lấy dãy {x
n
}(-1,1) bất kỳ và x
n
0, ta có:
n
n
n
n
n

n
} mà: x
n
x
0
, và x
n
x
0
nhng:
)'(lim)(lim
00
'
n
xx
n
xx
xfxf
nn


thì f(x) không có giới hạn khi xx
0
.
Ví dụ 3.13: Chứng tỏ hàm f(x)=cos
x
1
không có giới hạn trong quá trình x0.
Trang 5
Xét hai dãy

n
x
1
=cos(
2

+2n)=00
f(x
n
)=cos








n
x'
1
=cos(2n)=11
Do đó cos
x
1
không có giới hạn trong quá trình x0.
Định nghĩa 4: Cho hàm f(x) xác định tại lân cận u(x
0
), không cần xác định tại x
0

mà |f()-L|
0

Lấy {
n
} là dãy hội tụ đến 0. Ký hiệu
n
là điểm thoả mãn giả thiết trên ứng với
n
.
Do |
n
-x
0
|<
n
và
n
0 nên
n
x
0
nhng |f(
n
)-L|
0
nên dãy { f(
n
)} không hội tụ về L, trái với
giả thiết, vậy từ định nghĩa 1 suy ra định nghĩa 2.

)(lim
0
n
xx
xf
n
L với mọi dãy {x
n
} hội tụ đến x
0
.
Ví dụ 3.14: Chứng minh
0
1
coslim
0
=

x
x
x
Từ

<<== x
x
x
x
xxf
1
cos

L khi x nếu thoả mãn một trong hai điều kiện sau:
(i) Với mọi dãy {x
n
} mà x
n
thì dãy {f(x
n
)} L.
(ii) >0, M>0, x:
Mx >
thì

< Lxf )(
Ta ký hiệu:
Lxf
x
=

)(lim
Ví dụ 3.15: Chứng minh
1lim
2
1
=

x
x
e
Với >0 đủ bé, từ biểu thức: |
1


)1ln(
1

+
>x
=M
Nh vậy với
)1ln(
1

+
>x
=M thì |
1
2
1

x
e
|<, hay
1lim
2
1
=

x
x
e
.

x
x
e
Từ biểu thức: |
2
1
x
e
|
Me
x
>=
2
1
hay
M
x
ln
1
2
>
x
2
<
Mln
1


=<
M

Mx >
thì
Nxf >)(
Ta ký hiệu:
Lxf
x
=

)(lim
Nếu f(x) có giới hạn L khi x+ hoặc x- ta viết
L=
)(lim xf
x +
hoặc L=
)(lim xf
x
Trong một quá trình nào đó, một hàm có giới hạn 0 ta gọi nó là một vô cùng bé trong quá trình
đó; một hàm có giới hạn vô cùng ta gọi nó là một vô cùng lớn trong quá trình đó.
Các vô cùng bé và các vô cùng lớn tham gia vào cùng một biểu thức cần lấy giới hạn trong cùng
một quá trình sẽ lập nên những dạng bất định mà việc khử nó là vấn đề quan trọng khi lấy giới hạn.
d. Giới hạn một phía
Định nghĩa 8:
Nếu hàm f(x) xác định với những x<x
0
ta nói f(x) xác định ở lân cận bên trái x
0
. Khi cho x dần tới
x
0
từ các giá trị bé hơn x

, hay x dần tới x
0
từ bên phải, ký hiệu xx
0
+0, mà f(x)L thì L đợc gọi
là giới hạn phải của x
0
, ký hiệu f(x
0
+0), nh vậy:
f(x
0
+0)=
Lxf
xx
=
+
)(lim
0
0
Định lý: Điều kiện cần và đủ để hàm f(x) có giới hạn khi xx
0
là nó có giới hạn phải và giới hạn
trái tại x
0
và hai giới hạn đó bằng nhau.
Ví dụ 3.17:
1. Tìm
x
x


=
+ xxx
x
x
x
x
Vậy hàm số không có giới hạn khi x0.
2. Tìm
x
x
e
1
0
lim

.
Đặt t=
x
1
ta có:
+==
++
t
t
x
x
ee limlim
1
0

=

)(lim
thì giới hạn là duy nhất.
Với a=x
0
hữu hạn
3. Cho
Lxf
xx
=

)(lim
0
(i) Nếu L>0 (hoặc L<0) thì >0 (đủ nhỏ) sao cho xU

(x
0
), f(x)>0 (f(x)<0).
(ii) Nếu >0 đủ nhỏ sao cho:xU

(x
0
), f(x)>0 (f(x)0) thì L 0
4. Nếu >0 đủ nhỏ sao cho xU

(x
0
): f(x)>g(x) (hoặc f(x)g(x)) thì:
)(lim

21
)]()([lim LLxgxf
ax
=

3.
21
.)]().([lim LLxgxf
ax
=

4.
2
1
)(
)(
lim
L
L
xg
xf
ax
=

nếu L
2
0
5. Nếu có:
0
)(l im uxu

=, L
2
= ta có dạng vô định: - và


.
3. Khi L
1
=0, L
2
= ta có dạng vô định 0..
Trang 8
Khi gặp các dạng vô định trên ta phải thực hiện khử các dạng vô định đó rồi mới áp dụng các quy
tắc trên để lấy giới hạn.
Ví dụ 3.18:
1.
1
1
lim
1



m
n
x
x
x
có dạng
0


m
n
m
n
m
n
xx
xx
xxx
xxx
x
x
Vậy
m
n
x
x
m
n
x
=



1
1
lim
1
2.

lim =
+
+
+
x
x
x
3.












3
1
1
2
1
3
lim
xx
x
có dạng - .

2
1
=
+++
+

yyy
y
y
4.
(
)
xxx
x
+
+
1lim
2
giới hạn có dạng .0 vì:

0
1
1
lim)1(lim
2
2
=
++
=+
++

<
0
xx
và

<
0
' xx
thì

< )'()( xfxf
.
b. Tiêu chuẩn kẹp
Định lý 4: Giả sử cho các hàm f(x), g(x) và h(x) thoả mãn bất đẳng thức:
f(x)g(x)h(x), xU (x
0
)
Khi đó nếu
Lxhxf
xxxx
==

)(lim)(lim
00
thì:
Lxg
xx
=

)(lim

2
0
==












=


x
x
x
x
xx
2.
2
0
2
0
)3cos1()1(cos
lim

=

x
x
x
x
xx
3. Dùng hằng đẳng thức: 1-ab=(1-a)b+(1-b) ta có:
x
xxx
x
xx
xx
cos1
2cos12cos)cos1(
lim
cos1
2coscos1
lim
00

+
=



52.
2
1
.41

giới hạn:
Lxf
x
=
+
)(lim
Với L là số không lớn hơn cận trên đúng của f(x) (xR).
2. Cho f(x) là hàm đơn điệu không tăng xác định trên R; khi đó nếu f(x) bị chặn dới thì tồn tại giới
hạn:
Lxf
x
=
+
)(lim
Với L là số không lớn hơn cận dới đúng của f(x) (xR).
Ví dụ 3.20: Chứng minh
x
x
x






+
+
1
1lim
e

1
+






+






+






+
+
nxn
nxn
Chuyển giới hạn qua bất đẳng thức kép ta đợc:
x
x
x

+
+






+

t
t
t
=
)1(
1
lim
+
+






+
t
t
t
t

+






+
++
1
1lim.
1
1lim
Chú ý: Đặt
x
1
=

ta đợc:
( )
e=+




1
0
1lim
Các biểu thức
x

1
22
2
2
2
2
2
1
2
1lim
1
1
lim e
xx
x
x
x
x
x
x
x
=









cos11limcoslim
x
x
x
x
xx =

2
1
2
sin2
2
sin2
1
2
0
2
2
2
2
sin21lim




=





Vì
1
1
cos
x
trong quá trình x0 nên:
0
1
cos.lim
0
=

x
x
x
3. Nếu
Lxf
xx
=

)(lim
0
thì (x)=f(x)-L là một VCB khi x0.
Thật vậy, ta có:
( )
Lxfx
xxxx
=

)(lim)(lim

)(
)(
lim
x
x


Ta nói
)(x

là VCB cấp cao hơn
)(x

, hay
)(x

là VCB cấp thấp hơn
)(x

, ký hiệu:
)(x

=o(
)(x

).
Nh vậy một VCB cấp cao hơn là VCB hội tụ về 0 nhanh hơn.
2. Nếu
0(
)(


và
)(x

là hai VCB tơng đơng và ký hiệu:
)(x


)(x

.
Nếu
)(x

C
)(x
k

thì C
)(x
k

đợc gọi là phần chính của
)(x

so với
)(x

.
3. Nếu không tồn tại giới hạn:

1
2
cos1
lim
2
0
=


u
u
u
nên 1- cos u
2
2
u
. Hay
2
2
u
là phần chính của 1- cos u so với u.
3.
( )
( ) ( )
1ln1limln1lnlim
1ln
lim
1
0
1

00
=
+
=


v
v
u
e
v
u
u
nên e
u
-1u.
5.
u
e
u
u
u
uu
.
1
lim
.
1)1(
lim
)1ln(

Trong cùng một quá trình, nếu:
)(x


)(x

và
)(x


)(x

thì:
)(
)(
lim
)(
)(
lim
x
x
x
x




=
Ví dụ 3.23: Dùng phép thay thế các VCB tơng đơng:
1- cos u

Trong cùng một quá trình, nếu:
)(x

=o(
)(x

) thì:
)(x

+
)(x


)(x


Nh vậy, nếu
1
(x) là VCB bậc thấp hơn các VCB:
2
(x),,
n
(x) còn
1
(x) là VCB bậc thấp hơn
các VCB:
2
(x),,
m
(x) thì:

2
2
0
2
2
0
sin2
)cos1(1)1(
lim
sin2
cos)1(
lim
+
++
=
+
+

1
2
2
lim
sin2
2
2
lim
0
2
2
0






=

x
x
x
xx




Trang 12
Ví dụ 3.25:
1. Ta thấy sin xtgxx nhng:

1
cos
2
2
.
lim
cos
2
)cos1(sin
lim
2

121 + x
) (
131
3
+ x
) x nhng:
2
3
0
)131()121(
lim
x
xx
x
++


2
3
0
2
0
)1(31
lim
)1(21
lim
x
xx
x
xx

+++
+++
=


))1(31)1()31((
)3(
lim
))1(21(
lim
2
3
3
22
32
0
2
2
0
xxxxx
xx
xxx
x
x
x
++++++
+

+++



x
5
7

Chúng là hai VCB cùng cấp không tơng đơng nên:

( ) ( )
x
xx
x
xx
xx
171151
lim
7151
lim
53
0
53
0
++
=
++

15
4
15
4
lim

)(
1
x

là một VCL trong cùng quá
trình đó; ngợc lại, nếu A(x) là một VCL thì
)(x

=
)(
1
xA
là VCB trong quá trình đó. Vì vậy các kết
quả của VCL có thể nhận đợc từ các VCB.
Cho A(x) và B(x) là hai VCL trong cùng một quá trình, khi đó:
1. Nếu
0
)(
)(
lim =
xB
xA

Ta nói A(x) là VCL cấp thấp hơn B(x), hay B(x) là VCL cấp cao hơn A(x).
Nh vậy một VCL cấp cao hơn là VCL hội tụ về

nhanh hơn.
Trang 13
2. Nếu
0(

xA
=
2. Ngắt bỏ VCL bậc thấp
Trong cùng một quá trình, nếu: A(x) là VCL bậc thấp hơn B(x) thì: A(x) +B(x) B(x)
Chú ý: Tích của một hàm bị chặn với một VCL trong một quá trình không chắc đã là một VCL,
chẳng hạn:
f(x)=x
2
.cos x
không là một VCL khi x

vì dãy con x
k
=


k+
2
có cos(x
k
)=0.
3.3 Sự liên tục của hàm số
1. Điểm liên tục của hàm số
a. Định nghĩa
Định nghĩa 11: Hàm f(x) đợc gọi là liên tục tại x
0
nếu:
1. f(x) xác định tại x
0
và lân cận x

0
và lân cận trái của x
0
.
2.
)()(lim)0(
0
0
0
0
xfxfxf
xx
==

Định nghĩa 13: Hàm f(x) đợc gọi là liên tục phải tại x
0
nếu:
1. f(x) xác định tại x
0
và lân cận phải của x
0
.
2.
)()(lim)0(
0
0
0
0
xfxfxf
xx



>
+
=
01
02sin
)(
x
xx
xf
Không liên tục tại 0 nhng liên tục trái tại đó.
b. Sự liên tục của các hàm sơ cấp
Bằng định nghĩa chúng ta chứng minh đợc các hàm sơ cấp cơ bản:
x

, a
x
(a>0), log
a
x (a>0), sin x, cos x,
tg x, cotg x, arcsin x, arccos x, arctg x, arccotg x
liên tục tại mọi điểm thuộc miền xác định của chúng.
Định lý 6: Nếu các hàm f(x) và g(x) liên tục tại x
0
thì các hàm:
f(x)g(x), f(x).g(x), c.g(x) (c=const)
Trang 14
cũng liên tục tại x
0

.
Nh vậy f(x) gián đoạn tại x
0
nếu:
1. Hoặc f(x) không xác định tại x
0
.
2. Hoặc f(x) xác định tại x
0
nhng

)(lim
0
xf
xx
3. Hoặc
)(lim
0
xf
xx
=L f(x
0
).
Ví dụ 3.28: Hàm
1.
x
xxf
1
cos.)( =
gián đoạn tại 0 vì nó không xác định tại 0.

.
3.





=

+
=
01
0
11
)(
x
x
x
x
xf
gián đoạn tại 0 vì nó tuy xác định tại 0 và
)(lim
0
xf
x

nhng
1)0(
2
111

0
+0) f(x
0
-0)
là độ dài bớc nhảy tại x
0
. Nếu
f(x
0
+0)=f(x
0
-0)f(x
0
)
thì x
0
gọi là điểm gián đoạn khử đợc vì khi đó ta thay f(x
0
) = f(x
0
+0) thì x
0
trở thành điểm liên tục của
hàm.
Chú ý: Trong bài toán xét sự liên tục của hàm số không sơ cấp ta thờng chia miền xác định của
hàm số thành các miền nhỏ mà trên mỗi miền nhỏ hàm số có công thức trùng với một hàm sơ cấp nào
đó. Vì thế ta có ngay kết quả về sự liên tục của hàm số trên các miền đó. Sau đó xét riêng tại các
điểm chia.
Ví dụ 3.29: Xét sự liên tục của hàm số:


1
sinlim
0
=

x
x
x
, f(+0)=
)0()(lim
0
fbbax
x
==+
+
Do đó x=0 là điểm gián đoạn khử đợc. Thật vậy nếu a tuỳ ý còn cho b=0 thì f(x) liên tục tại 0 và do
đó f(x) liên tục với mọi x.
3. Hàm số liên tục trên một khoảng
a. Định nghĩa
Định nghĩa 14: Hàm f(x) đợc gọi là liên tục trên khoảng XR nếu nó liên tục tại mọi điểm trong
của X và liên tục trái hoặc phải tại các điểm biên trái hoặc phải tơng ứng (nếu có) của nó.
b. Tính chất
Hàm liên tục trên một khoảng có các tính chất quan trọng sau.
Định lý 8: Cho hàm f(x) xác định và liên tục trên khoảng đóng [a,b], nếu f(a).f(b)<0 khi đó tồn tại
c(a,b) sao cho f(c)=0.
Định lý 3 khẳng định, nếu f(x) thoả mãn điều kiện của định lý thì phơng trình f(x)=0 có ít nhất
một nghiệm trên (a,b).
Chứng minh: Ta có thể giả thiết f(a)<0, ngợc lại ta xét g=-f.
Đặt c
0

)>0 đặt c
1
=c
0
, d
1
=u
0
. Trên [c
1
,d
1
] ta lại
có f(c
1
)f(d
1
)<0, đặt:
2
11
1
dc
u
+
=
lặp lại quá trình trên hoặc ta đợc c, hoặc đến bớc thứ n ta luôn có:
f(c
n
)f(d
n

n
, d
n+1
=u
n+1
.
Quá trình tiếp tục ta đợc các dãy {u
n
}, {c
n
}, {d
n
} thoả mãn:
c
n
u
n
d
n
Vì {c
n
} đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi b; {d
n
} đơn điệu giảm và bị chặn dới bởi a nên chúng có
giới hạn. Do |c
n
-d
n
|0 nên chúng có giới hạn chung là c. Vì f(c
n


Định lý 10: Nếu f(x) xác định và liên tục trên khoảng đóng [a,b] thì à[m,M] c[a,b] mà
f(c)=à. Trong đó:
m=f(c)==
],[
)(min
bax
xf

, M=f(d)=
],[
)(max
bax
xf

Chứng minh: Giả sử à là một giá trị nằm giữa f(c) và f(d): f(c)< à <f(d). Đặt g(x) = f(x) - à, khi
đó g(c)<0 và g(d) >0, hiển nhiên g(x) liên tục trên [c,d] vì vậy theo định lý 8, tồn tại c[c,d] mà
g(c)=0 hay f(c)= à.
Định lý 10 đợc gọi là định lý về các giá trị trung gian của hàm liên tục.
Định lý 11: Cho f(x) xác định và liên tục trên khoảng X, điều kiện cần và đủ để f(x) có nghịch đảo
f
-1
(x) trên X là f(x) đơn điệu ngặt trên X.
c. Hàm số liên tục đều trên một khoảng
Định nghĩa 15: Hàm f(x) xác định trên X đợc gọi là liên tục đều trên X nếu:
>0, >0: x,x
0
X:x-x
0
< thì f(x)-f(x

xx
xfxf
chỉ cần chọn 0 <


2
<x
và x=2x sao cho 0<x<x<1 là bất đẳng thức không thoả mãn.
Tuy nhiên với mọi a>0 thì f(x)=
x
1
liên tục đều trên [a,+)


<

<

==
2
'
'
'
'
11
)'()(
a
xx
xx
xx

8,0

+
+
x
x
d. f(x)=
xsin
e. f(x)=lg






x

sin
f. f(x)=
2
cos x
2. Xét tính chẵn lẻ của các hàm sau:
a. f(x)=
xx
x
+
+
2
2
3

2
x
e. f(x)= sin x
2
f(x)= sin
x
5. Tìm f(f(x)), g(g(x)), f(g(x)), g(f(x))
a. f(x)=x
2
g(x)=2
x
b. f(x)=sgn(x) g
x
x
1
=
6. Tìm f(x) nếu
a. f(x+1)=x
2
-3x+2
b.
)2(
11
2
2
+=








+
7. Tìm và phân loại các điểm gián đoạn của các hàm số sau
Trang 17
a. f(x)=
)4)(1(
1
2
2
−+
−
xxx
x
b. f(x)=
1
23
2
−
+−
x
xx
c. f(x)=
x
x
sin
sin
d. f(x)=
32

1)cos(lim
0
=+
→
xx
x
c.
0sinlim
0
=
→
ax
x
c.
0)1ln(l im
0
=+
→
x
x
9. T×m c¸c giíi h¹n sau
a.
103
202
2
)1612(
)2(
lim
+−
−−

→
e.
22
321
lim
4
−−
−+
→
x
x
x

f.
)1(51
lim
5
2
0
xx
x
x
+−+
→
g.
1
1
lim
1
−

)
xxxxxx
x
++−+
∞→
22
22lim
d.
3 3
2
1
3
lim
+
−
∞→
x
x
x
e.
(
)
xxxx
x
23lim
2
3
23
−−+
∞→

+−+
→
c.
x
xx
x
53
0
3121
lim
+−+
→
d.
2
4
3
0
4131
lim
x
xx
x
+−+
→
e.
x
xx
nm
x
βα

arctgx
x ∞→
lim
d.
ztgz
z
2
)1(lim
1
π
−
→
e.
nx
mx
x
cos
cos
lim
2
π
→
13. T×m c¸c giíi h¹n
a.
1
12
32
lim
+
∞→

1
2
2
3
12
13
lim
c.
1
1
2
2
1
1
lim
+
−
∞→








+
−
x
x

e+
∞→
b.
[ ]
nnn
n
ln)1ln(lim −+
∞→
Trang –18
c.










1lim
1
n
n
an
d.
[ ]
)sin(ln)1sin(ln(lim xx
x
+

ax



sinsin
lim
b.
x
xcoxx
x
cos1
32coscos1
lim
0



c.
xx
ee
xx
x


sinsin
lim
0




3121 xx ++
c.
xtgx sin11 ++
d.
xx 2coscos
e.
3
coscos xx
f.
1
2
2

xx
e
g.
11 +
à
x
h. ln(cos x)
18. Xét sụ liên tục của hàm số
a. f(x)=





=

00

0sin1
xbax
xx
d. f(x)=
[ ]







+
<<
2
22


xax
xarctgx
19. Các hàm sau có liên tục đều trên miền đã cho
a. f(x)=
11
4
2


x
x
x